On the typical rank of elliptic curves over ${\mathbb Q}(T)$
Francesco Battistoni, Sandro Bettin, Christophe Delaunay
我们给上界的一些家庭有积极的秩的理性椭圆曲面的数量，特别是获得这些形成一个子集的密度为零。这证实了Cowan在$m,n\leq2$情况下的猜想（arXiv：2009.08622 v2）。
We give upper bounds for the number of rational elliptic surfaces in some families having positive rank, obtaining in particular that these form a subset of density zero. This confirms Cowan's conjecture (arXiv:2009.08622v2) in the case $m,n\leq2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Symmetric diophantine systems and families of elliptic curves of high rank
虽然已经有相当大的兴趣在这个问题上找到高秩的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$，很少参数化家庭的椭圆曲线的一般秩$\geq 8$已公布。在本文中，我们使用某些对称丢番图系统的解决方案，以建立几个参数化的家庭椭圆曲线，其一般的秩范围从至少8到至少12。具体数值的参数产生椭圆曲线具有相当大的系数，因此，我们可以确定精确的排名只有在少数情况下，排名的椭圆曲线$\leq 13$。然而，期望本文中得到的椭圆曲线的参数化族将产生具有更高秩的椭圆曲线的例子。
Positive-rank elliptic curves arising pythagorean triples
本文引入了一类新的正秩椭圆曲线，它们都是由勾股三元组组成的.
A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。
New Rank Records For Elliptic Curves Having Rational Torsion
我们提出了具有扭子群Z/2 Z、Z/3 Z、Z/4 Z、Z/6 Z和Z/7 Z的破秩记录的椭圆曲线。
A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves
我们提出了一个启发式，表明椭圆曲线的秩有理数是有界的。事实上，它表明只有1000多个椭圆曲线的秩大于大于21。我们的启发式算法基于同时对椭圆曲线的秩和Shafarevich-Tate群进行建模，并依赖于对指定秩的交替整数矩阵进行计数的定理。我们还讨论了类似的椭圆曲线在其他全球领域。
Ranks of elliptic curves in families of quadratic twists
证明了椭圆曲线二次扭的秩的无界性等价于某些无穷级数的发散性。
On the distribution of analytic ranks of elliptic curves
本文在椭圆$L$ -函数的GRH下，给出了椭圆曲线具有$L$ -函数的解析秩$L$-的概率的上界，以及椭圆曲线的解析秩的$n$ -阶矩的上界.这些是计算具有局部条件的椭圆曲线的应用，例如，在$p$处具有好约化。
Average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion
证明了在椭圆曲线$L$ -函数的GRH下，具有给定挠率$G$的椭圆曲线的平均解析秩对每个挠群$G$是有界的.
Upper bounds for moments of analytic ranks of elliptic curves over number fields
研究数域上椭圆曲线解析秩矩的上界，通过证明条件上界及解析秩大于给定界的椭圆曲线密度的条件界来进行研究。
On the rank of certain parametrized elliptic curves
本文研究了\Q上由方程E_{p}：Y^2=（X-p）^3+X^3+（X+p）^3给出的椭圆曲线族，其中p是素数.证明了椭圆曲线的最大秩至多为3，并给出了秩（E_p（\Q））=0或秩（E_p（\Q））=1或秩（E_p（\Q））>=2的条件.证明了该族中存在秩为0，1，2，3的椭圆曲线.
A Simple Method for High-Rank Families of Elliptic Curves with Specified Torsion
我们描述了一个简单而有效的方法，用于推导具有高秩的所有成员具有相同挠子群结构的椭圆曲线族。
On The Rank Of Congruent Elliptic Curves
本文中，$p$和$q$是两个不同的奇素数.首先构造了对应于$p$、$2p$、$pq$和$2pq,$的全等椭圆曲线，然后在全等数的情况下，确定了相应的全等椭圆曲线的秩.
Infinitely many elliptic curves of rank exactly two, II
在奇偶猜想下，构造了一类秩为2且扭子群为二阶或三阶循环群的椭圆曲线的无穷族.
On positive proportion of rank zero twists of elliptic curves over Q
推广\cite{dab2}的思想，利用2-下降法，给出了Q上的三类椭圆曲线，使得这类椭圆曲线的素数扭转的正比例同时为秩零.
Elliptic curves of rank one over number fields
该研究证明了对任意数域 $K$，均存在无穷多条秩恰好为 1 的椭圆曲线，解决了该领域的一个基本存在性问题。
Elliptic curves of unbounded rank and Chebyshev's bias
建立了$\mathbb Q$上椭圆曲线解析秩的定量无界性与高偏椭圆曲线素数族存在性之间的条件等价性.我们表明，有条件的黎曼假设和假设上的多重性的零$L(E,s)$，大的分析秩转化为一个极端的切比雪夫偏见。相反，我们表明，在一定的线性独立性假设下的零点$L(E,s)$，如果高度偏置的椭圆曲线素数种族确实存在，然后黎曼假设成立无限多个椭圆曲线$L$ -功能，并存在椭圆曲线的任意大的秩。
Infinite family of elliptic curves of rank at least 4
我们研究了椭圆曲线$E_t$：$y^2+txy=x^3+tx^2-x+1$的$\mathbb{Q}$ -秩，其中$t$是有理参数.我们证明了对于无穷多个$t$值，$E_t(\mathbb{Q})$的秩至少为4。
Rank of elliptic curves and class groups of real quadratic fields
本文研究了椭圆曲线的秩与实二次域类群非平凡性之间的联系。
An elliptic K3 surface X/Q(t) with Mordell-Weil rank 17, I: Formulas for X and base changes of rank 18 and 19
本文给出Q(t)上Mordell-Weil秩17的椭圆K3曲面X的公式，证明其二次基变换可得到秩18的椭圆曲面，一对复合后得秩19的椭圆曲面，对应无穷多条Q上高秩椭圆曲线。
Rank one elliptic curves and rank stability
本文证明对任意数域的二次扩张，存在无穷多个秩为一的椭圆曲线，推广了相关定理，并通过特化非平凡秩一椭圆曲线族并计算所有秩来获得结果。
On the Ranks of the 2-Selmer Groups of Twists of a Given Elliptic Curve
本文推广了Swinnerton-Dyer关于给定椭圆曲线具有特定秩的2-Selmer群的扭数密度的工作.
On a Family Of Elliptic Curves With Positive Rank arising from Pythagorean Triples
本文的目的是引入一个新的椭圆曲线族的形式$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$，具有正秩。我们首先生成一个列表的勾股三元组$(a,b,c)$，然后构造这个家庭的椭圆曲线。证明了这个新族具有正秩，并求出了它们的秩的上界。
Rank bias for elliptic curves mod $p$
我们猜想，对于一个固定的素数$p$，有理椭圆曲线具有较高的秩往往有更多的点模$p$。我们发现，有一个类似的偏置模形式的根数，并推测，顺序的秩偏置椭圆曲线大于根数偏置模形式。
Analytic ranks of elliptic curves over number fields
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。然后，我们证明了$E$在$\mathbb{Q}$上的次数为$l$的循环扩张上的平均解析秩至多为$2$，其中$r_{\mathbb{Q}}(E)$是$\mathbb{Q}$上椭圆曲线$E$的解析秩.这个界与$l$的度无关。另外，我们还得到了$S_d$ -域上的平均解析秩结果。
Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization
本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。
Conjecture: 100% of elliptic surfaces over $\mathbb{Q}$ have rank zero
基于一个方程的秩的椭圆表面上$\mathbb{Q}$出现在工作中的长尾，罗森，和西尔弗曼，我们猜想，100%的椭圆表面的秩$0$时，他们的维尔斯特拉斯方程的系数的大小排序，并提出了一个概率启发式证明这一猜想。然后，我们将讨论它将如何遵循无论是从某些$L$ -功能的理解，或从理解的局部行为的表面。最后，我们对有限域上椭圆曲面的秩提出了一个猜想，并给出了一些实验证据。
Infinite rank of elliptic curves over $\mathbf{Q}^{\ab}$
如果$E$是定义在二次域$K$上的椭圆曲线，并且$E$的$j$不变量不是0或1728，则$E(\mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。如果$E$是Legendre形式的椭圆曲线$y^2 = x(x-1)(x-λ)$，其中$\mathbf{Q}(λ)$是三次域，则$E(K \mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。若$λ\in K$有一个4次极小多项式$P(x)$，且$v^2 = P(u)$是$\bbq$上的正秩椭圆曲线，我们证明了$y^2 = x(x-1)(x-λ)$在$K\bbq^{\ab}$上有无穷秩.
100% of elliptic curves with a marked point have positive rank
本文为带标记点的椭圆曲线具有正秩提供了替代证明，并将该结论扩展至特征不为2或3的global fields。
Conditionally bounding analytic ranks of elliptic curves
在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想以及广义黎曼假设的假设下，给出了一种确定椭圆曲线秩的方法.作为一个例子，我们计算，根据这些结构，确切的上界曲线，已知有秩至少为20，21，22，23，和24一样大。对于秩至少为28的已知曲线，我们得到的界为30。
Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves
利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.
Ranks of elliptic curves over Z_p^2-extensions
设$E$是在固定奇素数$p$处具有好约化的椭圆曲线，$K$是$p$分裂的虚二次域。给出了在$K$的$\mathbb{Z}_p^2$ -扩张内的有限扩张上$E$的Mordell-Weil秩的增长估计.
Sums of two biquadrates and elliptic curves of rank $\geq 4$
如果整数$n$以两种不同的方式写成两个双二次曲线之和，则椭圆曲线$y^2=x^3-nx$具有秩$\geq 3$。此外，如果$n$是奇数，奇偶猜想是真的，那么它有偶数秩$\geq 4$。最后，给出了秩为4，5，6，7，8和10的一些例子.
The average analytic rank of elliptic curves with prescribed level structure
本文在Hasse--Weil猜想与广义黎曼假设下，对模叠可由射影直线表示的指定级结构椭圆曲线，给出了其平均解析秩的上界。
A new family of elliptic curves with positive ranks arising from the Heron triangles
本文的目的是引入一类新的正秩椭圆曲线。这些椭圆曲线是用一定的有理数，即a、b和c作为具有有理数面积$k$的Heron三角形的边来构造的。证明了这个族的扭群是$\frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}\times \frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}$形式的，并且秩是正的.
The Parity of Analytic Ranks among Quadratic Twists of Elliptic Curves over Number Fields
椭圆曲线的解析秩的奇偶性由函数方程L（E，s）中的根数给出。在任意数域上固定一条椭圆曲线，并考虑它的二次扭曲族，很自然地会问这个族的平均解析秩是多少。这个数的下界由平均根数给出。本文研究了这类曲线族的根数，并给出了这类曲线族中偶数秩曲线所占比例的一个渐近公式。然后，我们的结果被用来支持一个猜想的平均解析秩在这个家庭的椭圆曲线。
High rank elliptic curves with prescribed torsion group over quadratic fields
定义在二次数域上的椭圆曲线的挠群有26种可能。我们给出了具有给定扭群的高秩椭圆曲线的例子，这些例子给出了大多数扭群的当前记录。特别地，我们证明了对于每一个可能的挠群，除了可能是Z/15 Z之外，存在一条在某个二次域上具有该挠群且秩>= 2的椭圆曲线。
Elliptic curves of high rank and the Riemann zeta function on the one line
我们描述了一些实验，显示之间的连接高秩椭圆曲线和黎曼ζ函数的一条线。我们还讨论了一对夫妇的统计涉及$L$ -功能的zeta功能的一条线上起着突出的作用。
The distribution of 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves with partial two-torsion
本文给出了任意数域K上椭圆曲线的二次扭族的2-Selmer秩分布的一个新结果，该数域K上有一个二阶点，且在其二除域上没有定义循环4-等距线.我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
A conditional determination of the average rank of elliptic curves
在一个比椭圆曲线$L$ -函数的黎曼假设稍强的假设下，我们证明了二次扭族中椭圆曲线的平均解析秩和平均代数秩都恰好是$\frac 12$ .作为推论，我们得到，在这最后一个假设下，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想几乎对我们族中的所有曲线都成立，并且这些曲线的渐近一半具有代数秩$0$，其余一半具有代数秩$1$。在所有椭圆曲线族中，我们也证明了一个类似的结果。解释我们的结果的一种方法是说，椭圆曲线$L$ -函数族中的非实零点对这个族中的平均秩有直接的影响。卡茨-萨尔纳克和杨的结果构成了证明的主要成分。
On the Distribution of 2-Selmer Ranks within Quadratic Twist Families of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文给出了关于在二除域上没有循环4-等距线的二阶单点椭圆曲线的二次扭族中2-Selmer秩分布的一个新结果。我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
Ranks of elliptic curves over cyclic cubic, quartic, and sextic extensions
对于给定的群$G$和定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，本文讨论了寻找$K$的$G$ -扩张，使$E$在其上获得秩的问题.我证明了下面的定理，扩展了Fearnley，Kisilevsky和Kuwata的结果：设$n = 3,4,$或$6$。如果$K$包含其$n^{th}$ -单位根，则对于$K$上的任何椭圆曲线$E$，存在无穷多个$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -$K$的扩展，其中$E$获得秩。
Elliptic curves with bounded ranks in function field towers
设$k$表示代数闭域。我们重新建设的作者的家庭椭圆曲线的有理函数域$k(t)$。结合组合分析与乌尔默的秩公式，我们证明了，对于所有的，但许多家庭的这些曲线，Mordell-Weil群在$k(t^{1/d})$的秩为零，因为$d$范围在正整数素数的特征$k$。
Quadratic Twists of Elliptic Curves with 3-Selmer Rank 1
1979年戈德菲尔德猜想的一个较弱的形式指出，对于每一条椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它的二次扭曲$E^{(d)}$的秩为1。利用Galois上同调的工具，我们给出了E和d的准则，该准则使得E的二次扭曲的正比例具有3-Selmer秩1和整体根数-1。然后，我们给出了四个非同构的椭圆曲线的无限族$E_{m, n}$满足这些标准。在Birch和Swinnerton-Dyer猜想的秩部分的条件下，这证明了无限多条椭圆曲线的上述猜想。我们的椭圆曲线很容易明确地给出，我们精确地说明了使用哪些二次扭曲d。此外，我们的方法有可能被推广到其他数域上的椭圆曲线。
Rank zero elliptic curves induced by rational Diophantine triples
有理丢番图三元组，即有理a，b，c具有ab+1，ac+1，bc+1是完满平方的性质，常用于构造高秩椭圆曲线。在本文中，我们考虑相反的问题，并询问如何小的秩的椭圆曲线诱导的有理丢番图三元组。很容易找到包含混合符号元素的有理丢番图三元组，它们诱导秩为0的椭圆曲线。然而，找到这样的例子的合理丢番图三元组的积极元素的问题是更具挑战性的，我们将提供第一个这样的已知的例子。
Congruent number elliptic curves with rank at least two
我们给出了一类无穷多个同余数椭圆曲线，每一条曲线的秩至少为2，它们与$m^2=n^2+nl+l^2$的积分解有关。
Ranks of elliptic curves in cubic extensions
对于数域K上的椭圆曲线E，证明了E的代数秩在K的无穷多个扩张中上升，这些扩张是通过邻接K的一个元素的一个立方根而得到的.作为一个例子，我们简要地讨论了E=X_1（11）在Q上的性质，以及这个结果与岩泽理论的关系。
There are infinitely many elliptic curves over the rationals of rank 2
本文利用显式模型、2-下降法以及 Tao–Ziegler 定理，证明了有理数域上存在无穷多条秩恰好为2的椭圆曲线。
A note on Larsen's conjecture and ranks of elliptic curves
设E是定义在数域K上的椭圆曲线。MichaelLarsen证明了对Gal（\bar K/K）的任意非线性生成子群G，E的Mordell-Weil秩在G固定的数域上是无界的.我们证明了猜想持有K=Q的解析秩和p-无穷Selmer秩的E的每一个奇素数p。对于任意的E/K，我们表明，拉森猜想如下从标准的椭圆曲线的行列，如果K有一个真正的地方或E有非整数j-不变。
Construction of an infinite family of elliptic curves of 2-selmer rank 1 from heron triangles
给定任意正整数n，众所周知，总存在有理边为a、b、c的三角形，使得三角形的面积为n。假设有限的Shafarevich-Tate群，我们首先构造一族无穷多的Heron椭圆曲线的秩正好为1从某种类型的Heron三角形。我们还明确地产生一个单独的家庭的无限多Heronian椭圆曲线与2-Selmer秩介于1和3之间。
$L$-derivatives of the fixed elliptic curve over rank-one imaginary quadratic fields
研究固定椭圆曲线在虚二次域上的L导数分布，揭示其统计性质及非小导数的存在性。
Ranks of elliptic curves over $\mathbb{Q}(T)$ of small degree in $T$
研究了$\mathbb{Q}(T)$上的椭圆曲面，其中Weierstrass模型的系数是$\mathbb{Q}[T]$中次数至多为2的多项式。我们推导出一个明确的表达式，他们的排名$\mathbb{Q}(T)$取决于某些多项式的因式分解和其他简单的性质。最后，我们给出了所考虑的家庭的秩的尖锐估计，我们提出了几个应用，其中有列表的有理点，一般家庭的最大秩和推广以前的结果。
On the fibres of an elliptic surface where the rank does not jump
对于一个非常数椭圆曲面上的$\mathbb{P}^1$定义的$\mathbb{Q}$，这是一个结果西尔弗曼的Mordell-韦伊秩的纤维至少是排名的组的部分，多达1000个纤维。如果椭圆曲面是非等平凡的，人们期望这个界对于无穷多个纤维是相等的，尽管没有例子是无条件已知的。根据布尼亚科夫斯基猜想，诺伊曼和塞泽尔已经构造了这样一个例子。本文证明了勒让德椭圆曲面具有所需的性质，条件是存在无穷多个梅森素数。
High rank elliptic curves induced by rational Diophantine triples
一个有理丢番图三元组是一个由三个非零有理a，b，c组成的集合，具有ab+1，ac+1，bc+1是完满平方的性质。我们说椭圆曲线y^2 =（ax+1）（bx+1）（cx+1）是由三元组{a，b，c}诱导的。在本文中，我们描述了一个新的方法来构造椭圆曲线在Q上具有合理的高秩的有理丢番图三元组的参数化的基础上。特别地，我们构造了一条秩为12的有理丢番图三元组诱导的椭圆曲线，以及一个秩>= 7的无限族，这两条曲线都是这类曲线的最新记录.
On 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves
研究了椭圆曲线的$2$ -Selmer秩.证明了对于任意数域$K$上的椭圆曲线$E$，如果$E$的二次扭转的2-Selmer秩的集合$A_E$包含一个整数$c$，则它包含所有大于$c$且与$c$具有相同奇偶性的整数.我们还找到了$A_E$上的充分条件，使得对于某些数目的$t_E$，$A_E$等于$\Z_{\ge t_E}$。当$E[2]$中的所有点都是有理数时，我们给出了$t_E$的一个上界.
On the infinitude of elliptic curves over a number field with prescribed small rank
该研究证明了在数域上存在无限多个具有指定小秩的椭圆曲线，通过专门化非平凡椭圆曲线并利用Kai的结果实现对坏素数的控制和秩的计算。
On the rank of quadratic twists of elliptic curvers over function fields
我们证明了一个给定的椭圆曲线$E/\Fp_q(C)$在一个函数域上的有限域，有秩$\geq 2$的二次扭曲的数量的定量上界，并为他们的平均秩。主要工具是结构和结果的卡茨和统一版本的Chebotarev密度定理品种在有限域。此外，我们有条件地推导出在某些情况下，导体的程度是无界的一个界。
Proving the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for specific elliptic curves of analytic rank zero and one
我们描述了一个算法来证明Birch和Swinnerton-Dyer代数公式的任何给定的椭圆曲线定义在有理数的解析秩为零或一。在16725条小于小于5000度的导线曲线中，我们用计算机辅助证明了16714条的公式。
The average size of the 5-Selmer group of elliptic curves is 6, and the average rank is less than 1
本文证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线按高度排序时的平均秩小于$1$（实际上是小于$.885$）.作为我们的方法的结果，我们还证明了至少五分之四的所有椭圆曲线在$\mathbb{Q}$有秩0或1;此外，至少五分之一的所有椭圆曲线实际上有秩0。在这些定理的证明的主要成分是一个确定的平均大小的$5$ -塞尔默组的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$，我们证明，这个平均大小是$6$。另一个关键的成分是一个新的下界根数的均匀分布的椭圆曲线，我们证明了有一个家庭的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$的密度至少$55\%$的根数是均匀分布的。
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
Root numbers and parity of ranks of elliptic curves
本文的目的是完成几个关于椭圆曲线秩的奇偶性的整体和局部结果。首先，证明了Shafarevich-Tate猜想对数域上的所有椭圆曲线都蕴涵奇偶猜想，给出了椭圆曲线的局部根数和整体根数的计算公式，并完成了Kramer和Tunnell关于特征0的一个猜想的证明.该方法是通过将局部域变形为全实数域，再利用整体宇称结果来求解局部公式。
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