Maximal volume entropy rigidity for $\mathsf{RCD}^*(-(N-1),N)$ spaces
对于具有以$-(n-1)$为下界的里奇曲率的$n$维黎曼流形$M$，体积熵以$n-1$为上界.如果$M$是紧的，则已知等式成立当且仅当$M$是双曲的。我们将这个结果推广到$\mathsf{RCD}^{\ast}(-(N-1),N)$空间。虽然上界是直接的，刚性的情况下是相当复杂的，由于缺乏一个光滑的结构，在$\mathsf{RCD}^{\ast}$空间。作为应用，我们得到了黎曼流形的一个几乎刚性结果，它部分地恢复了Cheng-Rong-Xu的一个结果。
2020-11-25 math.DG math.MG
A characterization of non-collapsed $RCD(K, N)$ spaces via Einstein tensors
本文通过热核嵌入诱导度量展开式中第二主项的无散度性质，刻画了紧致非坍缩 $RCD(K, N)$ 空间，并证明该结果无法推广至非紧情形。
2023-08-04 math.DG math.MG
The behavior of harmonic functions at singular points of $\mathsf{RCD}$ spaces
本文研究了调和函数在$\mathsf{RCD}(K,N)$空间的奇点处的行为。特别地，我们证明了它们的梯度为零的所有点的切锥是等距的度量测度空间上的锥与非最大直径。对$L^{N+\varepsilon}$中具有拉普拉斯算子的函数执行相同的分析。作为结果，我们表明，光滑流形上没有先验估计的梯度连续模的调和函数，它只依赖于下界的截面曲率。以同样的方式，我们表明，没有先验的Calderón-Zygmund理论的拉普拉斯算子的界限只取决于下界的截面曲率。
2019-09-11 math.DG math.MG
Cohomogeneity one RCD-spaces
本研究针对上齐性一RCD空间展开，证明非塌缩情形下的切片定理，推导完整拓扑结构与正则轨道表示定理，给出构造方法与完整刻画，并完成本质维数≤4的非塌缩上齐性一RCD空间的分类。
2025-10-02 math.DG math.MG
Sharp Cheeger-Buser type inequalities in $ \mathsf{RCD}(K,\infty)$ spaces
本文的目标是锐化和概括涉及的Cheeger的等周常数$h$和拉普拉斯算子的第一特征值$λ_{1}$的界限。1970年Cheeger对光滑黎曼流形证明了$h$的一个著名的下界，即$λ_{1}\geq h^{2}/4$。关于$h$的一个上界是由Buser在1982年建立的（有维数常数），并由Ledoux在2004年改进（无维数估计），用于光滑黎曼流形，里奇曲率在下面有界。本文的目的有两个方面。第一个：我们锐化了Buser和Ledoux得到的不等式，得到了一个无量纲的尖锐Buser不等式，该不等式适用于具有（Bakry-Émery加权）里奇曲率的空间，该曲率由$K\in {\mathbb R}$限制（该不等式对于$K>0$是尖锐的，因为等式是在高斯空间上得到的）。第二个：我们的所有结果在综合意义下具有里奇曲率有界的度量测度空间（可能是非光滑的）的更高的一般性中成立，即所谓的$ \mathsf{RCD}(K,\infty)$空间。
2020-02-10 math.DG math.FA math.MG
The isometry group of an $\mathsf{RCD}^*$-space is Lie
给出了一类度量测度空间的等距群和保测等距群都是李群的充要条件.此外，我们研究，在其他例子中，是否有一个广义的里奇曲率下界满足这些要求的空间。这些条件由RCD*-空间满足，并且在额外的假设下，由CD-空间、CD*-空间和MCP-空间满足。然而，我们表明，MCP条件本身是不足以保证这些自同构群的光滑行为。更一般地说，我们表明，具有良好的最优输运性能的空间，以及满足的假设。
2017-04-17 math.DG math.MG
Gromov-Hausdorff and intrinsic flat convergence of RCD(K,N) and Kato spaces
University of Oxford（牛津大学）；Centro de Investigación en Matemáticas（数学研究中心）
本文研究了RCD(K,N)和Kato空间在Gromov-Hausdorff和内在平坦收敛下的定向性稳定性及极限一致性。
2026-02-03 math.DG math.MG
On the topology and the boundary of N-dimensional RCD(K,N) spaces
我们建立了N维RCD（K，N）空间（直到一个小的奇异集）的拓扑正则性和稳定性，在文献中也称为非塌陷RCD（K，N）。我们还引入了这种空间的边界的概念，并研究了它的性质，包括它在格罗莫夫-豪斯多夫收敛下的行为。
2020-03-31 math.DG math.MG
On quotients of spaces with Ricci curvature bounded below
设$(M,g)$是光滑黎曼流形，$\mathsf{G}$是有效地等距作用在$M$上的紧李群.众所周知，$(M,g)$的截面曲率的下界也是商空间的曲率的界，商空间是曲率在下面有界的亚历山德罗夫空间。此外，类似的稳定性性质也适用于度量叶理和淹没。本文的目的是证明相应的稳定性的综合里奇曲率下界。具体来说，我们表明，这种稳定性的$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间的子，同构紧群的行动下，更普遍的度量措施叶理和submetries。一个$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间是一个度量测度空间，它的上维数有界$N$，加权里奇曲率在广义意义下由$K$有界。特别地，这表明如果$(M,g)$具有由$K\in \mathbb{R}$和维度$N$限定的里奇曲率，则商空间是$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间。此外，我们解决了同样的问题，为$\mathsf{CD}/\mathsf{CD}^*$和$\mathsf{MCP}$曲率尺寸的条件。我们提供以及几何应用，其中包括：一个推广小林的分类定理齐性流形$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间与基本最小尺寸$n\leq N$ ;一个结构定理$\mathsf{RCD}^{*}(K,N)$ -空间承认行动的大（紧凑）群体;和几何刚性结果orbifolds，如程的最大直径和最大体积刚性定理。最后，在两…
2017-04-18 math.DG math.MG
Warped products over one-dimensional base spaces and the RCD condition
Maynooth University（梅努斯大学）
研究一维基空间上\(N\)扭曲积的黎曼曲率 - 维数条件\(\mathsf{RCD}(KN,N + 1)\)，通过\(f\)的\(Kf\) - 凹性等条件证明其成立及精确性，还探讨了\(f\)为\(Kf\) - 仿射时的相关等价条件。
2026-07-23 math.DG math.MG
Isometric immersions of RCD spaces
证明了若RCD空间在欧几里得空间中有正则等距浸入，则该浸入是局部双Lipschitz嵌入映射。这个结果使我们证明了：如果紧致非塌陷RCD空间通过特征映射在欧几里得空间中有等距浸入，则该特征映射是球面的局部双Lipschitz嵌入映射，从而将Takahashi在子流形理论中的一个基本定理推广到非光滑情形.这些结果的应用包括一个拓扑球面定理和拓扑有限性定理，这是新的，甚至封闭的黎曼流形。
2021-01-15 math.DG math.MG
Singular Kähler-Einstein metrics and RCD spaces
该研究聚焦奇异射影簇上的Kähler-Einstein度量，证明在常数量曲率度量的逼近条件下，其光滑部分的度量完备化为非坍塌RCD空间且与原簇同胚，拓展了奇异几何空间的研究范畴。
2024-12-11 math.DG
Monotonicity formula and stratification of the singular set of perimeter minimizers in RCD spaces
本文在RCD(0,N)度量测度锥中建立周长极小化集合的单调性公式及刚性陈述，并由此得到非塌缩RCD空间中奇异分层的尖锐Hausdorff维数估计，以及非负Ricci曲率流形中全局周长极小化子blow-down锥的存在性。
2025-02-03 math.DG math.MG
Non-collapsed RCD spaces with local bounded covering geometry
本文研究具有局部有界覆盖几何的非坍缩RCD空间，证明了殆平坦流形定理的对应结论及正则纤维化定理，验证了RCD+CBA框架下的相关猜想。
2026-11-10 math.DG math.MG
Heat flow on 1-forms under lower Ricci bounds. Functional inequalities, spectral theory, and heat kernel
研究了$\mathrm{RCD}(K,\infty)$空间$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$，$K\in\boldsymbol{\mathrm{R}}$上余切模$L^2(T^*M)$上的正则热流$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$.本文证明了Hess-Schrader-Uhlenbrock不等式，并证明了当$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$也是$\mathrm{RCD}^*(K,N)$空间时，$N\in(1,\infty)$，Bakry-Ledoux不等式对$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ w.r.t. $L^2(M)$上的热流$(\mathsf{P}_t)_{t\geq 0}$。这些估计的变量版本进行了讨论。结合对$1$ -形式的对数Sobolev不等式的研究，前面的不等式给出了$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$，$p\in [1,\infty]$的各种$L^p$ -性质.然后，我们建立显式包含其生成器，霍奇拉普拉斯$\smash{\vecΔ}$，负功能的拉普拉斯$-Δ$，和薛定谔算子$-Δ+K$的频谱之间。在$\mathrm{RCD}^*(K,N)$的情况下，我们证明了当$M$是紧的时，$\smash{\vecΔ^{-1}}$是紧的，并且在体积增长的条件下，$\smash{\v…
2022-06-13 math.DG math.FA math.MG
Improvement of the dimension bound for unweighted RCD spaces
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Warwick（华威大学）
该研究针对无权重RCD空间的维数界问题，证明有限维无权重RCD空间的维数界可自动改进为其Hausdorff维数，且在额外假设n-可求长性时，该结论对N=∞的情形也成立，推进了RCD空间理论的相关研究。
2026-09-01 math.DG math.MG
Isometric immersions of RCD$(K,N)$ spaces via heat kernels
本文利用热核构造RCD$(K,N)$空间的等距浸入，证明紧致等距热核浸入空间必为无权重闭光滑黎曼流形，并给出相应黎曼流形类的$C^\infty$-紧性定理。
2023-02-25 math.DG math.MG
Glued spaces and lower curvature bounds
Maynooth University（梅努斯大学）
本文综述光滑与非光滑语境下受下曲率界约束的粘合构造定理并提出猜想，聚焦合成下Ricci曲率界，涉及多种空间类型，为相关研究提供理论梳理与猜想方向。
2026-08-05 math.DG math.MG
One-phase Free Boundary Problems on RCD Metric Measure Spaces
Sun Yat-sen University（中山大学）
研究在RCD度量测度空间上的一相伯努利型自由边界问题，证明解的存在性与局部Lipschitz正则性，并显示自由边界在除去Hausdorff维度≤N-3的相对闭集外为N-1维拓扑流形。
2026-04-21 math.AP math.DG math.MG
The isoperimetric problem via direct method in noncompact metric measure spaces with lower Ricci bounds
在非紧$\mathsf{RCD}(K,N)$空间$(X,\mathsf{d},\mathcal{H}^N)$上建立了等周问题极小化序列的结构定理.唯一的（必要的）假设下，单位球的措施是一致有界远离零，我们证明了这样一个序列的极限是确定的有限收集的等周区域可能包含在点Gromov-Hausdorff限制的周围空间$X$沿发散序列的点。这样的区域的数量是有界的线性最小化序列的措施。这个结果来自一个新的广义紧性定理，它确定了具有一致有界测度和周长的集合序列$E_i\subset X_i$的极限，其中$(X_i,\mathsf{d}_i,\mathcal{H}^N)$是$\mathsf{RCD}(K,N)$空间的任意序列.本文还讨论了极小化序列在无穷远处不损失质量地收敛到等周集的一个抽象判据。后一个准则也是新的光滑黎曼空间。
2022-01-10 math.DG math.MG
Topological rigidity of small RCD(K,N) spaces with maximal rank
Oregon State University（俄勒冈州立大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
研究显示，小RCD(K,N)空间在最大秩条件下具有拓扑刚性，与infranilmanifold同胚，扩展了Kapovitch-Wilking的结果至非光滑环境。
2025-12-24 math.DG math.MG
Non-collapsed eGH convergence and dimension
Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；Universidad Politécnica de Madrid（马德里理工大学）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）
本文研究了非塌陷eGH收敛下等度群维度的下界，推广了Mazur-Rong-Wang的结果，并应用于RCD空间的大等度群研究。
2026-07-08 math.DG math.MG
Sharp gradient estimate, rigidity and almost rigidity of Green functions on non-parabolic $\mathrm{RCD}(0,N)$ spaces
本文将Colding的结果推广到非抛物型$\n\trm{RCD}(0,N)$空间，证明格林函数导出的光滑化距离函数的梯度精确上界，建立对应的刚性与近刚性结论，其中近刚性结果在光滑框架下也属新成果。
2023-12-17 math.DG
A note on the topological stability theorem from RCD spaces to Riemannian manifolds
本文受Wang-Zhao最近工作的启发，证明了对于一个固定的$n$维闭黎曼流形$(M^n, g)$，如果$\mathrm{RCD}(K, n)$空间$(X, \mathsf{d}, \mathfrak{m})$是$M^n$的Gromov-Hausdorff逼近，则存在一个从$X$到$M^n$的正则同胚$F$，使得$F$是Lipschitz连续的，$F^{-1}$是Hölder连续的，其中$F$的Lipschitz常数，$F^{-1}$的Hölder指数和Hölder常数可以任意选择为接近$1$。这是尖锐的意义上说，在一般情况下，这样的地图不能改善为bi-Lipschitz。此外，如果$X$是光滑的，那么这样的同胚可以被选择为一个自同构。值得一提的是，$F$的Lipschitz-Hölder连续性改进了Cheeger-Colding建立的Ricci曲率有界的闭流形的内在Reifenberg定理。纳什嵌入定理在证明中起着关键作用。
2022-08-15 math.DG math.MG
Removability of non-isolated singularities for Einstein metrics and RCD spaces
本文建立了爱因斯坦度量及里奇曲率有下界度量的非孤立奇点可去性结果，证明特定奇异集外有界的度量可延拓，还可用于证明Schoen的标量曲率奇点猜想。
2026-09-02 math.DG math.MG
Volume entropy and rigidity for RCD-spaces
本文发展BCG重心技术至RCD空间，证明熵-体积不等式及刚性结果，并推广Lipschitz体积刚性至RCD$(K,N)$空间，应用于4-orbifolds上的爱因斯坦度量。
2024-11-07 math.DG math.GT math.MG
Nash entropy, Calabi energy and geometric regularization of singular Kähler metrics
本文证明了具有有界纳什熵和卡拉比能量的凯勒流形上拉普拉斯方程解的一致索伯列夫界，并由此建立了与RCD空间理论的联系，证明了正规射影簇上里奇曲率下有界的可容许奇异凯勒度量可诱导出同胚于原射影簇的非坍缩RCD空间。
2025-02-04 math.AP math.DG math.MG
On the rectifiability of $\mathsf{CD}(K,N)$ and $\mathsf{MCP}(K,N)$ spaces with unique tangents
本文证明了具有唯一切空间和Ahlfors正则测度的$\mathsf{CD}(K,N)$与$\mathsf{MCP}(K,N)$度量测度空间的可整流性，核心策略基于sub-Finsler Carnot群中相关条件的失效性及Bate的突破性研究。
2025-05-02 math.DG math.MG
Asymptotic isoperimetry on non collapsed spaces with lower Ricci bounds
该文研究N维${\rm RCD}(K,N)$空间的等周比较定理与渐近等周性质，得到几乎正则性定理及函数不等式推论，多数结论在光滑非紧流形经典框架下也为新结果，合成理论起关键作用。
2023-10-07 math.DG math.MG
Ricci curvature bounds and rigidity for non-smooth Riemannian and semi-Riemannian metrics
本文研究低正则性度量的Riemannian与semi-Riemannian流形刚性问题，证明了Cheeger-Gromoll分裂定理和C^1平坦性准则，建立了非光滑度量和向量场的Bochner-Weitzenböck恒等式，并给出了分布Ricci曲率与RCD型界限等价性的新证明。
2025-07-16 math.DG math.MG
Cheng's eigenvalue comparison on metric measure spaces and applications
本文利用局部化技术，将Cheng的特征值比较定理推广到度量测度空间，给出Dirichlet和Neumann特征值上界及刚性稳定性结果，并应用于高维引力理论的Kaluza-Klein激发质量上界。
2025-08-04 hep-th math.DG math.MG
Sharp isoperimetric comparison on non-collapsed spaces with lower Ricci bounds
本文针对具有下Ricci曲率界的非光滑RCD空间，通过原创变分估计与渐近质量分解方法，证明了尖锐等周比较定理与等周轮廓的维数凹性，推广了紧流形及欧氏凸体上的经典结果。
2023-10-07 math.DG math.MG
Curvature-dimension condition of sub-Riemannian $α$-Grushin half-spaces
该研究提供了带边界且配备光滑测度的次黎曼流形满足RCD(K,N)条件的新例子，其构造灵感源自α-Grushin平面几何，通过在半平面等空间上配备特定结构与测度实现。
2025-08-15 math.DG math.MG
Maximal first Betti number drop and collapsing RCD spaces
Kspectra Research Inc.（Kspectra研究公司）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究紧致RCD空间塌缩时第一贝蒂数达到最大下降$N-m$的情形，通过将极限对称性转化为Seifert纤维化，证明有限覆盖与环面乘积同胚，并证实Zamora-Zhu猜想。
2026-09-25 math.DG
On $BV$ functions and essentially bounded divergence-measure fields in metric spaces
本文利用N. Gigli，我们首先给出了完备可分度量测度空间$(\mathbb{X},d,μ)$上的有界变差函数（$BV$）的概念，该度量测度空间具有在有界集上有限的非负Radon测度$μ$.然后，我们扩展的概念，任何$p\in[1,\infty]$的发散测度向量场$\mathcal{DM}^p(\mathbb{X})$，并通过简单地要求，此外，度量空间是局部紧的，我们确定了适当的一类域，它是可能的，以获得一个高斯-格林公式的正规迹的$\mathcal{DM}^\infty(\mathbb{X})$向量场。这种微分机制也是我们专门分析${\mathsf{RCD}(K,\infty)}$空间的自然框架，在这里，我们利用潜在的几何来确定$\mathcal{DM}^\infty(\mathbb{X})$的莱布尼茨规则，并最终扩展我们对高斯-格林公式的讨论。
2021-09-22 math.AP math.DG math.MG
Boundary regularity and stability for spaces with Ricci bounded below
本文研究了非塌陷$\text{RCD}(K,N)$空间，即具有下Ricci曲率有界的度量测度空间$(X,\mathsf{d},\mathscr{H}^N)$中边界的结构和稳定性。我们的主要结构性结果是边界$\partial X$同胚于一个远离余维为2的流形，并且是$N-1$可求长的。一路上，我们展示了边界及其管状邻域的有效测度界。这些结果是新的，甚至Gromov-Hausdorff限制$(M_i^N,\mathsf{d}_{g_i},p_i) \rightarrow (X,\mathsf{d},p)$的光滑流形的边界，并需要新的技术超出了那些需要证明类似的声明，为正规集，特别是当它涉及到流形结构的边界$\partial X$。关键的局部结果是一个$ε$ -正则性定理，它告诉我们，如果一个球$B_{2}(p)\subset X$在Gromov-Hausdorff意义下足够接近半空间$B_{2}(0)\subset \mathbb{R}^N_+$，那么$B_1(p)$是一个开集$\mathbb{R}^N_+$的biHölder。特别地，$\partial X$本身在$B_1(p)$附近同胚于$B_1(0^{N-1})$。此外，边界$\partial X$是$N-1$可求长的，边界测度$\mathscr{H}^{N-1}_{\partial X}$是$B_1(p)$上的Ahlfors正则…
2020-11-17 math.DG
