Long-time asymptotics of the defocusing mKdV equation with step initial data
本文通过Deift-Zhou非线性最速下降法分析Riemann-Hilbert问题，揭示了阶梯初始数据下散焦mKdV方程解在长时间下的三分时空结构，且理论结果与数值模拟高度吻合。
2025-06-26 math-ph math.AP math.MP
Bright and dark breathers on an elliptic wave in the defocusing mKdV equation
McMaster University（麦克马斯特大学）；University of Alabama at Birmingham（阿拉巴马大学伯明翰分校）
本文通过构造椭圆波背景下的新型特征函数，解决了反聚焦mKdV方程中构造明亮和黑暗呼吸子的开放性问题。
2025-12-23 math-ph math.AP math.CA
Almost periodic solutions of the defocusing mKdV equation
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Emory University（埃默里大学）
本文研究带概周期初值的散焦型mKdV方程的柯西问题，针对满足特定条件的初值证明其存在时空概周期的唯一局部有界解，相关结果适用于特定准周期初值。
2026-08-27 math.AP math.SP
Monotonicity of the periodic waves for the perturbed generalized defocusing mKdV equation
本文利用几何奇异摄动理论、阿贝尔积分和对合运算，证明了扰动广义散焦mKdV方程周期波极限波速关于能量的单调性并给出下界，推广了Chen等人(2018)的结果，数值模拟验证了理论分析。
2025-01-21 math.AP math.DS
On the large-time asymptotics of the defocusing mKdV equation with step-like initial data
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
研究反聚焦mKdV方程在阶梯状初始数据下的大时间渐进行为，通过反散射变换和非线性最陡下降法，得到稀疏波解在三个不同区域的渐近行为。
2026-07-28 math-ph math.AP math.MP
Dark breathers on a snoidal wave background in the defocusing MKDV equation
本研究针对散焦修正Korteweg-de Vries方程，借助含雅可比θ函数表示Lax本征函数的达布变换得到暗呼吸子精确解，分析其传播与局域特性，为非线性波相互作用研究提供新解析结果。
2023-12-14 math-ph math.AP math.DS
The Cauchy problem for the semilinear quintic Schrödinger equation in one dimension,the defocusing case
本文已被作者撤回
2009-08-05 math-ph math.AP math.MP
Existence of global solutions to the nonlocal mKdV equation on the line
本文利用基于Riemann-Hilbert问题的逆散射方法，在初值满足小范数条件下建立了非局部mKdV方程位势与反射系数间的Lipschitz $L^2$-双射，从而证明了柯西问题在Sobolev空间中全局解的存在性。
2023-05-26 math-ph math.AP math.MP
Kink breathers on a traveling wave background in the defocusing modified Korteweg--de Vries equation
该研究利用雅可比椭圆θ函数刻画散焦mKdV方程的一般行波周期解，推导新的多参数解形式与对应Lax系统本征函数，最终得到描述行波背景上扭结呼吸子传播的新解析解。
2025-03-19 math-ph math.AP math.CA
Asymptotics, frequency modulation, and low regularity ill-posedness for canonical defocusing equations
在最近的一篇论文中，Kenig，Ponce和Vega研究了聚焦非线性薛定谔（NLS），聚焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）和复杂Korteweg-de Vries（KdV）方程的低正则性行为。使用孤立子和呼吸器的解决方案，他们证明了缺乏当地的适定性，这些方程低于各自的端点？在本文中，我们研究这些方程的散焦类似物，即散焦NLS，散焦mKdV，和真正的KdV，都在一个空间维度，合适的孤子和呼吸解决方案是不可用的。我们为每个这些方程类的修改后的散射解决方案，存在于全球的时间，是渐近的解决方案，相应的线性方程明确的相移。这些解决方案是用来证明缺乏当地的适定性在某些索伯列夫空间，在这个意义上说，依赖于初始数据的解决方案未能一致连续。特别是，我们表明，mKdV流是不一致连续的$L^2$拓扑结构，尽管存在全局弱解在这个规律。最后，我们研究了KdV方程在端点正则性$H^{-3/4}$，并构造了实KdV方程和复KdV方程的解。该构造提供了一个非平凡的时间区间$[-T,T]$和一个局部Lipschitz连续映射，该映射将$H^{-3/4}$中的初始数据取为对所有光滑数据唯一定义的分布解（$u \in C^0 ([-T,T]; $ H^{-3/4}）。证明使用广义Miura变换转移现有的端点正则性理论mKdV KdV。
2004-07-29 math.AP
Long time asymptotics for the nonlocal mKdV equation with finite density initial data
本文考虑一类具有非零边界条件\begin{align*} &q_t(x,t)-6σq(x,t)q(-x,-t)q_{x}(x,t)+q_{xxx}(x,t)=0, &q(x,0)=q_{0}(x),\lim_{x\to \pm\infty} q_{0}(x)=q_{\pm}, \end{align*}的可积实非局部mKdV方程的Cauchy问题，其中$|q_{\pm}|=1$和$q_{+}=δq_{-}$，$σδ=-1$ .基于Lax对的谱分析，将非局部mKdV方程的Cauchy问题的解表示为Riemann-Hilbert问题.在固定的时空孤子区域$-6<x/t<6$中，我们应用$\bar{\partial}$ -最速下降法分析了解$q(x,t)$的长时间渐近行为。我们发现$q(x,t)$的长时间渐近行为可以用离散谱上的$N(Λ)$ -孤子和连续谱上的首阶项$\mathcal{O}(t^{-1/2})$来表征，直到剩余误差阶数为$\mathcal{O}(t^{-1})$ .
2021-11-12 math-ph math.AP math.MP
A continuum of invariant measures for the periodic KdV and mKdV equations
本文针对周期mKdV方程，利用Killip-Vişan-Zhang发现的守恒量构造了支撑在分数阶Sobolev空间上的不变测度，并通过Miura变换推广到KdV及散焦三次非线性Schrödinger方程，覆盖了流适定的最低正则性。
2025-04-10 math.AP
Painlevé \uppercase\expandafter{\romannumeral34\relax} and collisionless shock in the defocusing NLS equation with step-like initial data in the transition regions
利用非线性最速下降法，研究散焦NLS方程阶梯初始数据柯西问题在三个过渡区域的长时渐近，前两个区域由Painlevé XXXIV型公式主导，第三个无碰撞激波区域由Riemann theta函数描述。
2026-06-26 math-ph math.AP math.MP
On the Cauchy problem for focusing and defocusing Gross-Pitaevskii hierarchies
我们考虑$\R^d$、$d\geq1$上的动态Gross-Pitaevskii（GP）层次结构，用于三次、五次、聚焦和散焦相互作用。对于聚焦和散焦的情况，以及任何$d\geq1$，我们证明了局部存在性和唯一性的解决方案，在某些Sobolev型空间$\cH_ξ^α$序列的边缘密度矩阵。其规律性可用$α>\frac12& if $ d=1 $, $ α> \frac d2- \frac{1}{2(p-1)} $ if $ d \geq 2 $ and $（d，p）\neq（3，2）$, and $ α \geq 1 $ if $（d，p）=（3，2）$, where $ p=2 $ for the cubic, and $ p=4 $ for the quintic GP hierarchy; the parameter $ n>0 $ is arbitrary and determines the energy scale of the problem. This result includes the proof of an a priori spacetime bound conjectured by Klainerman and Machedon for the cubic GP hierarchy in $ d=3 $. In the defocusing case, we …
2009-03-05 math-ph math.AP math.MP
Spectral analysis and long-time asymptotics of complex mKdV equation
本文利用Defit-Zhou方法（非线性最速下降法）得到了复mKdV方程的长时间渐近解.利用拉克斯对和散射矩阵，将复mKdV方程的Cauchy问题转化为相应的Riemann-Hilbert问题.然后通过矩阵值谱函数的分解和Riemann-Hilbert问题的跳矩阵的因式分解将Riemann-Hilbert问题转化为Riemann-Hilbert问题。最后，通过求解最后一个模型问题，得到了复mKdV方程的长时间渐近解.
2021-12-29 math-ph math.AP math.MP
Sharp ill-posedness results for the KdV and mKdV equations on the torus
我们建立了环面上mKdV方程解的$ L^2 $ -有界序列的一个新的先验界。这首先使我们能够构造弱解在$ L^2$为这个方程，并检查的“解决方案”所构造的Kappeler和Topalov在散焦的情况下满足方程在某种弱意义上。在第二次，我们证明了与mKdV和KdV方程的解映射是不连续的$ H^s(\T) $拓扑分别为$ s<0$和$ s<-1$。这些最后的结果是尖锐的。
2011-07-21 math.AP
Invariant measures for mKdV and KdV in infinite volume
本文构造了实线上按Gibbs测度分布初始数据的defocusing mKdV方程动力学，证明了Gibbs测度不变性，并据此为KdV方程构造了新保测度动力学。
2024-01-09 math.AP
On stationary solutions of KdV and mKdV equations
构造了Korteweg-de ~Vries方程和修正的Korteweg-de ~Vries方程（修正的Korteweg-de ~Vries方程在聚焦和散焦情况下）的初边值问题在有界区间上的定态解.研究方法是基于单自由度保守系统理论。所得到的解是周期性的。建立了区间长度与方程系数之间的精确关系，证明了方程存在非平凡解的充分必要条件。
2015-09-30 math.AP
Long time asymptotic behavior for the nonlocal mKdV equation in space-time solitonic regions-II
研究了具有非零初值的可积实非局部mKdV方程在孤子区域\begin{align*} &q_t(x,t)-6σq(x,t)q(-x,-t)q_{x}(x,t)+q_{xxx}(x,t)=0, &q(x,0)=q_{0}(x),\ \ \lim_{x\to \pm\infty} q_{0}(x)=q_{\pm}, \end{align*}中Cauchy问题的长时间渐近性态，其中$|q_{\pm}|=1$和$q_{+}=δq_{-}$，$σδ=-1$ .在前一篇文章中，我们用$ξ=\frac{x}{t}$得到了非局部mKdV方程在孤子区域$-6<ξ<6$中的长时间渐近解.在本文中，我们计算了解$q(x,t)$对其他孤子区域$ξ<-6$和$ξ>6$的渐近展开。在Cauchy问题的Riemann-Hilbert问题的基础上，进一步利用$\bar{\partial}$最速下降法，得到了$q(x,t)$解在上述两个不同时空孤子区域的不同长时间渐近展开式.在区域$ξ<-6$中，相函数$θ(z)$在$\mathbb{R}$上具有四个固定相点。相应地，$q(x,t)$可以用离散谱上的$\mathcal{N}(Λ)$ -孤子、连续谱上的首阶项和残差项来表征，它们受函数${\rm Im}ν(ζ_i)$的影响.在$ξ>6$区域内，相位函数$θ(z)$在$i\mathbb{R}$上有四个稳定相位点，相应的渐近…
2022-04-15 math-ph math.AP math.MP
Global well-posedness and equicontinuity for mKdV in modulation spaces
本文证明了实线上调制空间中复值修正KdV方程的整体适定性，给出了所有允许参数下的整体时间界，并证明了等连续初始数据导出等连续轨道集合，该性质是适定性论证的关键。
2024-11-08 math.AP
Asymptotic stability of solitons for mKdV
我们证明了mKdV方程的孤波解的完全渐近稳定性结果。我们认为小扰动的孤波与多项式衰减在无穷远，并证明解决方案的柯西问题的发展，从这样的数据趋于一致，在实数线上，另一个孤波作为时间到无穷远。我们精确地描述了孤波背后的扰动的渐近性，表明它满足非线性修改的散射行为。这后一部分，我们的结果依赖于一个精确的研究小解的mKdV方程的渐近行为。
2015-03-31 math.AP
A unified inverse scattering transform and soliton solutions of the nonlocal modified KdV equation with non-zero boundary conditions
我们提出了一个严格的理论，一个统一的和简单的逆散射变换（IST）的聚焦和散焦实非局部（逆时空）修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程与非零边界条件（NZBC）在无穷远。具有NZBC的非局部方程的IST问题比具有NZBC的局部方程的IST问题复杂。引入适当的一致化变量，使正、反问题建立在复平面上，而不是建立在两层黎曼曲面上。直接散射问题建立了Jost解和散射矩阵的解析性、对称性和渐近行为，以及离散谱的性质。逆问题通过矩阵值Riemann-Hilbert问题来制定和求解。得到了重构公式、迹公式和θ条件。最后，详细分析了四种不同情况下无反射势下聚焦和散焦非局域mKdV方程中孤子的动力学行为。
2019-03-21 math-ph math.AP math.MP
On the decay of solutions to a class of defocusing NLS
我们考虑下面的柯西问题族：{方程 *} iPDMATHABMMu = Δ u-uPDMATHABMN ^α，（t，x）\in \R \times \R^d {方程 *} $$u(0)=φ\in H^1(\R^d)$$其中$0<α<\frac 4{d-2}$用于$d\geq 3$，$0<α<\infty$用于$d=1,2$。我们证明了$L^r$ -规范的解决方案$t\to \pm \infty$衰减，提供$2<r<\frac{2d}{d-2}$时$d\geq 3$和$2<r<\infty$时$d=1,2$。特别是，我们扩展了以前的结果由Ginibre和Velo的$d\geq 3$和Nakanishi的$d=1,2$，其中相同的衰变结果证明下额外的假设$α>\frac 4d$。
2008-11-12 math-ph math.AP math.MP
On the Cauchy Problem for nonlinear Schrödinger equations with rotation
考虑了具有次二次外部势和附加角动量转动项的（能量亚临界）非线性薛定谔方程的Cauchy问题.这个方程是旋转陷阱中超流量子气体的一个著名模型。我们证明了在不限制旋转频率的情况下，离焦非线性项的整体存在性（在能量空间中），推广了文献[11，12]中给出的结果。此外，我们发现，旋转项有相当大的影响，证明有限时间爆破的情况下，聚焦。
2010-09-21 math-ph math.AP math.MP
Long-time asymptotic behaviour for the fifth order modified Korteweg-de Vries equation
采用Deift-Zhou的非线性最速下降法，分析了五阶修正Korteweg-de Vries方程Cauchy问题的长时间渐近性态.基于逆散射变换，将5阶MKdV问题转化为一个2 × 2的振荡Riemann-Hilbert问题，通过对Cauchy算子的操作和相函数的降阶，得到了该问题解的长时间渐近性.
2019-07-30 math-ph math.AP math.MP
On the hierarchies of higher order mKdV and KdV equations
利用范数为$$\n{v_0}{\hat{H}^r_s(\R)} := \n{< ξ> ^s\hat{v_0}}{L^{r'}_ξ},\quad < ξ>=(1+ξ^2)^{\frac12}, \quad \frac{1}{r}+\frac{1}{r'}=1.$$的空间$\hat{H}^r_s(\R)$中的数据研究了mKdV族中高阶方程的Cauchy问题，证明了$\hat{H}^r_s(\R)$阶方程在参数范围$2 \ge r >1$，$s \ge \frac{2j-1}{2r'}$中的局部适定性.证明使用傅立叶限制范数方法的适当变体。本文给出一个反例，证明了当$s<\frac{2j-1}{2r'}$满足时，这类方程的柯西问题在$C^0$ -一致意义下是一般不适定的.对于$r=2$ --到目前为止文献中只有当$j=1$（mKdV）或$j=2$时的结果--可以与mKdV方程的高阶守恒律相结合，以获得$j$ th方程在$H^s(\R)$中的整体适定性，对于$s\ge\frac{j+1}{2}$，如果$j$是奇数，对于$s\ge\frac{j}{2}$，如果$j$是偶数。- 对于KdV族中$j$阶方程的Cauchy问题，若$r> \frac{2j}{2j-1}$为$r> \frac{2j}{2j-1}$，则不依赖于$s\in \R$的大小，不能用Picard迭代求解.特别是对于$j\ge …
2009-10-28 math.AP
Global existence for the defocusing nonlinear Schrödinger equations with limit periodic initial data
研究了以一类特殊的殆周期函数为初值的实直线上的散焦非线性薛定谔方程的Cauchy问题.特别地，我们在一定的正则性假设下，证明了以极限周期函数为初值的NLS方程解的整体存在性。
2015-02-08 math.AP
Almost Periodic Solutions of The Cubic Defocusing Nonlinear Schrödinger Equation
Texas A&M University（德州农工大学）；Rice University（莱斯大学）；Emory University（埃默里大学）；Nankai University（南开大学）
本文结合正、逆谱理论，证明满足丢番图频率条件的小解析拟周期初值下，三次散焦NLS方程存在时空概周期且唯一的局部有界解，并解决了相关谱理论问题。
2026-09-24 math-ph math.AP math.DS
Scattering for defocusing energy subcritical nonlinear wave equations
考虑$(1+3)$中的散焦幂型非线性波动方程的Cauchy问题-能量次临界幂$p$在$3 < p< 5$范围内的维数.我们证明了任何解决方案是全球的时间和散射的自由波在两个时间方向上，只要其关键的Sobolev规范保持有界的最大区间的存在。
2018-12-03 math.AP
Energy solutions for the fifth-order modified Korteweg de-Vries equations
本文研究周期边界条件下第五阶修正Korteweg-de Vries方程，通过引入带权重的频率局部化修正能量与短时空间，克服缺乏光滑化效应的障碍，建立能量空间中的全局适定性，并证明流映射非$C^3$，揭示其拟线性本质。
2023-05-12 math.AP
Complex-valued solutions of the mKdV equations in generalized Fourier-Lebesgue spaces
本文研究实直线上mKdV方程Cauchy问题的复值低正则性解，借助统一调制空间与Fourier-Lebesgue空间的$\widehat{M}^{s}_{r,q}(\mathbb{R})$及$X^{s,b}$型空间扰动方法，证明了尖锐局部适定性并改进已有结果。
2025-03-12 math.AP
Painlevé XXXIV asymptotics for the defocusing nonlinear Schrödinger equation with a finite-genus algebro-geometric background
Fudan University（复旦大学）；Tsinghua University（清华大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文研究了具有有限亏格代数几何背景的反聚焦非线性Schrödinger方程的长期渐近行为，揭示了Painlevé XXXIV transcendental在解的展开中的作用。
2026-02-14 math-ph math.AP math.MP
On asymptotic stability of N-solitons of the defocusing nonlinear Schrodinger equation
考虑Gross-Pitaevskii（GP）方程的Cauchy问题.利用Deift和Zhou的非线性最速下降法的DBAR推广，我们导出了GP在时空$|x| < 2t$的孤子区域中的解的高阶近似，并给出了误差的界，对于一般的初始数据，其与非零背景的差具有固定数量的有限矩和导数，该误差衰减为$t \to \infty$.利用（GP）的散射映射的性质，作为推论，我们得到了一个渐近稳定性结果的初始数据是足够接近的N-暗孤子解（GP）。
2016-03-25 math-ph math.AP math.MP
Global pointwise decay estimates for defocusing radial nonlinear wave equations
本文证明了一类在$n=3$维限制于球对称的散焦半线性波动方程的整体点态衰减估计。该技术是基于一个保角变换和一个适当的选择调整到非线性映射。作为结果，我们得到了任意大的柯西数据的解决方案的逐点界，提供的解决方案存在的整体。衰减率与小数据的衰减率相同，因此似乎是最佳的。提出了一种超越球对称性的推广。
2009-03-04 math.AP
On the probabilistic Cauchy theory of the cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb R^d$, $d \geq 3$
考虑了三次非线性薛定谔方程（NLS）在$\mathbb R^d$，$d \geq 3$上的Cauchy问题，并证明了在尺度临界正则性$s_\text{crit} = \frac{d-2}{2}$以下的几乎必然适定性.更确切地说，给定$\mathbb R^d$上的函数，我们引入适应于维纳分解的随机化，并且本质上适应于所谓的调制空间。我们在本文中的目标有三个方面。(i)我们证明了几乎必然的局部适定性的三次NLS低于缩放临界正则性以及小数据的整体存在性和散射。(ii)我们实现了一个概率扰动参数，并证明了“条件”几乎必然的整体适定性为$d = 4$在散焦的情况下，假设一个先验的能量界上的临界Sobolev范数的非线性部分的解决方案;当$d \ne 4$，我们证明了条件几乎必然全局适定性在散焦情形下也成立，在临界Sobolev正则性下，具有确定性初始数据的散焦三次NLS解的适定性。(iii)最后，我们证明了扩张立方体上随机初始数据的大概率全局适定性和散射性。
2015-07-06 math.AP
Long-time asymptotics of the modified KdV equation in weighted Sobolev spaces
在某些加权索伯列夫空间中，在初始条件下建立了离焦修正Korteweg-de vries（MKdV）方程解的长时间行为.我们的方法是基于非线性最速下降法Deift和周和它的重新制定由Dieng和McLaughlin通过$\overline{\partial}$ -衍生物。为了将渐近性推广到具有较低正则性空间中的初始数据的解，我们通过PDE技术应用全局逼近。
2022-04-05 math.AP
$L^{2}$-Sobolev space bijectivity and existence of global solutions for the matrix nonlinear Schrödinger equations
针对允许任意阶极点和谱奇异性的矩阵非线性Schrödinger方程Cauchy问题，本文通过建立矩阵谱问题散射变换的$L^{2}$-Sobolev空间双射性，证明了该方程在加权Sobolev空间中的全局适定性。
2024-08-27 math-ph math.AP math.MP
Hörmander's method for the characteristic Cauchy problem and conformal scattering for a non linear wave equation
本文证明了非平稳背景下三次离焦波动方程共形散射算子的存在性。证明基本上依赖于解决的特点初值问题的方法开发的Hörmander。该方法通过减慢波的传播速度，将特征初值问题转化为标准柯西问题。
2019-03-29 math.AP
The defocusing nonlinear Schrödinger equation with step-like oscillatory initial data
本文研究了散焦非线性薛定谔方程在阶梯型振荡初始数据下的 Cauchy 问题，通过发展逆散射变换形式和最速下降分析，证明了全局解的存在性并推导了各渐近扇区的渐近公式，同时发现了一类具有渐近时间周期边界值的解。
2024-03-21 math.AP
$H^s_x\times H^s_x$ scattering theory for a weighted gradient system of 3D radial defocusing NLS
本文利用$I$方法，建立了如下柯西问题的$H^s_x\times H^s_x$散射理论：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} iu_t+Δu=λ|v|^2u,\quad iv_t+Δv=μ|u|^2v,\quad x\in \mathbb{R}^3,\ t>0,\\ u(x,0)=u_0(x),\quad v(x,0)=v_0(x),\quad x\in \mathbb{R}^3. \end{array}\right. \end{equation*}这里是$λ>0$，$μ>0$，$(u_0,v_0)\in H^s_x(\mathbb{R}^3)\times H^s_x(\mathbb{R}^3)$和$\frac{1}{2}<s<1$ .
2021-05-24 math.AP
Higher order Airy and Painlevé asymptotics for the mKdV hierarchy
本文考虑实直线上修正的Korteweg-de Vries方程族的Cauchy问题，其初值是衰减的。利用Riemann-Hilbert公式和非线性最速下降法，我们得到了$t^{-1/(2n+1)}$的所有阶幂的一致渐近展开式，其中变量$(-1)^{n+1}x((2n+1) t)^{-1/(2n+1)}$的系数在自相似区域内是光滑的，并且第$n$阶解是光滑的.结果表明，Painelvé II方程的领先渐近性是由Painlevé II方程族的一组特殊解描述的，它们推广了Painelvé II方程的经典Ablowitz-Segur解，并出现在各种随机矩阵和统计物理模型中。我们建立了这个家庭的解决方案的连接公式。在反射系数在原点为零的特殊情况下，Painlevé II族的解在首项系数处也为零，而渐近展开中的首项和次首项则用广义Airy函数的导数显式给出.
2021-11-21 math.AP nlin.SI
A minimization approach to hyperbolic Cauchy problems
发展了De Giorgi的一种新的纯变分方法，研究了一类散焦双曲型方程的Cauchy问题.主要的新特点是，解决方案是作为限制的功能，最大限度地减少适当的泛函在时空（其中的初始数据的柯西问题作为规定的边界条件）。这为双曲世界和变分法之间的新联系开辟了道路。也可以处理耗散方程。最后，我们讨论了几个例子的方程，适合在这个框架中，包括非局部方程，特别是分数拉普拉斯方程。
2013-10-25 math.AP
Global well-posedness and scattering for the defocusing $\dot{H}^{\frac{1}{2}}$-critical nonlinear Schrödinger equation in $\mathbb{R}^2$
本文研究 $\mathbb{R}^2$ 中 defocusing quintic 非线性 Schrödinger 方程在临界空间 $\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 中的 Cauchy 初值问题，证明了解的有界性蕴含整体存在性与 scattering。
2019-10-01 math.AP
Random data Cauchy theory for nonlinear wave equations of power-type on $\mathbb{R}^3$
在$\mathbb{R}^3$上考虑幂型离焦非线性波动方程。我们建立了一个几乎必然的整体存在的结果，关于一个适当的随机化的初始数据。特别是，这提供了超临界规律性的初始数据的例子，导致全球的解决方案。证明是基于Bourgain的高低频率分解和改进的平均效果的自由演变的随机初始数据。
2014-09-13 math.AP
Derivation of the cubic NLS and Gross-Pitaevskii hierarchy from manybody dynamics in $d=3$ based on spacetime norms
本文从描述气体相互作用玻色子的$N$ -体薛定谔方程出发，在极限$N\rightarrow\infty$下，导出了三维$d=3$中的散焦Gross-Pitaevskii（GP）族.本文的主要结果是证明了相应的BBGKY族收敛到GP族的空间中介绍了我们以前的工作的柯西问题的适定性GP族，\cite{chpa2,chpa3,chpa4}，这是由Klainerman和Machedon在\cite{klma}中介绍的时空范数的基础上的解决方案空间的启发。我们注意到，在$d=3$中，这是该领域中众所周知的开放问题。虽然我们的结果不假设因式分解的解决方案，考虑因式分解的解决方案产生一个新的推导立方，散焦非线性薛定谔方程（NLS）在$d=3$。
2013-02-22 math-ph math.AP math.MP
Scattering for the nonlinear Schrodinger equation with a general one-dimensional confinement
考虑了在几个空间维中的离焦非线性薛定谔方程，其中存在一个只依赖于一个空间变量的外部势.这个势是从下面有界的，并且可以在无穷远处任意快速地增长。我们证明存在性和唯一性相关的柯西问题，在一个合适的功能框架，以及存在的波算子时，权力的非线性是足够大的。渐近完备性则源于至少两种方法，这是简要回顾。
2015-02-03 math-ph math.AP math.MP
Sharp well-posedness for the cubic NLS and mKdV in $H^s(\mathbb R)$
本文证明三次NLS和mKdV方程在$H^s(\mathbb R)$中对任意$s>-\frac12$全局适定，通过交换流方法、局部光滑效应和新的微观守恒律克服低正则性困难。
2024-02-06 math.AP
De Giorgi's approach to hyperbolic Cauchy problems: the case of nonhomogeneous equations
本文推广了E. Serra and P. Tilli，in [Serra&Tilli '12，Serra&Tilli '16]，concerning an original conjecture by E. De Giorgi（[De Giorgi '96，De Giorgi '06]）关于散焦非线性波动方程Cauchy问题的纯极小化方法。准确地说，我们展示了如何扩展的技术开发的Serra和Tilli齐次双曲型非线性偏微分方程的非齐次的情况下，从而证明的想法，德Giorgi产量实际上是一个有效的方法来调查一般的双曲型方程。
2017-09-26 math.AP math.FA
Global Well-posedness for the Biharmonic Quintic Nonlinear Schrödinger Equation on $\mathbb{R}^2$
本研究证明了二维五次散焦双调和薛定谔方程的柯西问题在特定索伯列夫空间中全局适定，核心采用$I$-方法构造几乎守恒的修正能量泛函。
2023-04-29 math-ph math.AP math.MP
Long-time asymptotic behavior for the defocusing Hirota equation on a finite-genus algebro-geometric background
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；School of Mathematics and Information Science, Zhongyuan University of Technology（中原工学院数学与信息科学学院）
研究有限亏格代数几何背景下散焦Hirota方程柯西问题解的长时间渐近性，基于黎曼-希尔伯特公式和Deift-Zhou方法，通过相位函数临界值划分区域得出不同渐近行为，结果可扩展到AKNS层次结构高阶成员。
2026-07-22 math-ph math.AP math.MP
Long-time asymptotics of the integrable defocusing Wadati-Konno-Ichikawa equation with a finite-genus algebro-geometric background
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；School of Mathematics and Information Science, Zhongyuan University of Technology（中原工学院数学与信息科学学院）
该研究针对具有饱和非线性项的WKI方程，构造有限亏格代数几何解的RH问题与散射数据，经Deift-Zhou分析得到其短程扰动的长时间渐近行为，明确了各区域的渐近主项与修正项。
2026-08-20 math-ph math.AP math.MP
Data-driven discoveries of Bäcklund transforms and soliton evolution equations via deep neural network learning schemes
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京雁栖湖应用数学研究院）；Tsinghua University（清华大学）
提出两种深度学习方案，分别用于数据驱动学习 Bäcklund 与 Miura 变换，并借助高阶孤子信息提升 mKdV 和 sine-Gordon 方程发现精度。
2022-03-21 cs.LG math.AP nlin.PS
Dynamics of the infinite discrete nonlinear Schrödinger equation
\(\Z^d\)，\(d \geq 1\)上的离散非线性薛定谔方程是色散非线性波系统的一个例子。作为一个也保持\(\ell^2(\Z^d)\) -范数的哈密顿系统，相应的柯西问题的适定性如下平方可和的初始数据。在本文中，我们证明了适定性继续持有少得多的定期初始数据，即任何东西，最多有一定的幂律增长远离原点。增长条件是足够宽松的，以保证，至少在尺寸\(d=1\)，从任何合理的平衡分布的散焦DNLS采样的初始数据满足它几乎肯定。
2023-03-11 math-ph math.AP math.MP
Strichartz Inequalities for Lipschitz Metrics on Manifolds and Nonlinear Schrodinger Equation on Domains
本文证明了具有Dirichlet边界条件的非线性Schrodinger方程的Cauchy问题的适定性。主要的论点是基于一个广义的Lipschitz度量流形上的Lipschitz不等式。
2005-12-29 math.AP
