White noise for KdV and mKdV on the circle
本文综述了研究周期性KdV的白噪声不变性的各种方法。我们主要讨论以下两种方法。首先，我们讨论的PDE方法，布尔增益\cite{BO4}，在一个一般的框架。然后，我们展示了如何通过引入Besov型空间\hat{b}^s_{p, \infty}，sp<-1，将其应用于KdV的白噪声的低正则性设置。其次，我们描述了Quastel，Valkó和作者\cite{OQV}的概率方法。我们也使用这种概率方法来研究mKdV的白噪声。
2010-07-12 math.AP math.PR
Integrability of Kersten-Krasil'shchik coupled KdV-mKdV equations: singularity analysis and Lax pair
利用奇异性分析方法检验了耦合KdV-mKdV系统的可积性。利用延拓技术得到了该系统的真拉克斯对。
2002-06-27 math-ph math.AP math.MP
The Modulation of Multiple Phases Leading to the Modified KdV Equation
本文试图推导出修改的KdV（mKdV）方程使用一种新的方法从系统产生的抽象拉格朗日具有两个参数的对称群。该方法使用修改的调制方法，这导致mKdV出现与原拉格朗日系统所拥有的守恒律相关的系数。除此之外，适应的方法的仓本开发，提供了一个更简单的机制来确定非线性项的系数。该理论说明使用两个例子的物理利益，一个在分层流体动力学和另一个使用耦合非线性薛定谔模型，以说明如何标准的mKdV方程出现可以评估和其系数生成。
2018-04-23 math.AP
Sharp Global well-posedness for KdV and modified KdV on $\R$ and $\T$
研究了Korteweg-de Vries（KdV）和修正KdV（mKdV）方程在周期和衰减边界条件下的初值问题.这些初值问题被证明是全球性的良好的所有$L^2$为基础的索伯列夫空间$H^s$的地方适定性目前已知的，除了$H^{1/4} (\R)$端点mKdV。KdV的结果依赖于一种新的方法，使用多线性调和分析和可用的局域时间理论来构建几乎守恒量。利用Miura变换证明了标准KdV方程的整体适定性隐含了修正KdV方程的整体适定性.
2001-10-03 math.AP
Global Well-Posedness for a Coupled Modified KdV System
证明了修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的初值问题（IVP）和耦合修正Korteweg-de Vries方程的系统（mKdV-系统）的全局适定性.为了获得我们的结果，我们使用第二代的修改后的能量和几乎守恒量，更准确地说，改进的I-方法介绍Colliander，基尔，Staffilani，高冈和陶。
2011-07-01 math.AP
On unconditional well-posedness of modified KdV
Bourgain（1993）通过引入新的加权索伯列夫空间X^s，b，证明了周期修正KdV方程（mKdV）在Sobolev空间H^s（T），s ≥ 1/2中的局部适定性，其中唯一性有条件地成立，即在C（[0，T]; H^s）与X^s，b的交中.本文证明了mKdV在H^s（T），s ≥ 1/2中的无条件适定性适定性，即证明了mKdV解在C（[0，T]; H^s），s ≥ 1/2中的无条件唯一性.我们通过分部微分证明了这个结果。对于终点情况s = 1/2，我们在第二次部分微分后进行仔细的五分和七分线性估计。
2011-07-22 math.AP
A remark on the well-posedness of the modified KdV equation in the Fourier-Lebesgue spaces
研究了圆上的复值修正Korteweg-de Vries方程（mKdV）.我们首先考虑实值的设置和显示整体适定性的（通常）重整化mKdV方程在Fourier-Lebesgue空间。在复值条件下，我们观察到动量在适定性理论中起着重要的作用。特别地，我们证明了复值mKdV方程在动量无穷大时解不存在的意义下是不适定的，这是基于Guo-Oh（2018）关于非线性薛定谔方程的工作的精神。这个不存在的结果促使第二重正化mKdV方程的引入，我们建议作为正确的模型在$H^\frac12(\mathbb{T})$以外的复值设置。此外，强加一个新的概念，有限的动量的初始数据，在低的正则性，我们证明了复值mKdV方程的解的存在性。特别地，我们需要能量估计，由此得出动量守恒。
2020-12-27 math.AP
Long time asymptotics of a perturbed modified KdV equation
本文利用无穷维可积系统微扰理论及新的先验估计证明，带高阶微扰项的修正KdV方程与完全可积mKdV具有相同的长时间行为。
2025-04-28 math.AP
On the hierarchies of higher order mKdV and KdV equations
利用范数为$$\n{v_0}{\hat{H}^r_s(\R)} := \n{< ξ> ^s\hat{v_0}}{L^{r'}_ξ},\quad < ξ>=(1+ξ^2)^{\frac12}, \quad \frac{1}{r}+\frac{1}{r'}=1.$$的空间$\hat{H}^r_s(\R)$中的数据研究了mKdV族中高阶方程的Cauchy问题，证明了$\hat{H}^r_s(\R)$阶方程在参数范围$2 \ge r >1$，$s \ge \frac{2j-1}{2r'}$中的局部适定性.证明使用傅立叶限制范数方法的适当变体。本文给出一个反例，证明了当$s<\frac{2j-1}{2r'}$满足时，这类方程的柯西问题在$C^0$ -一致意义下是一般不适定的.对于$r=2$ --到目前为止文献中只有当$j=1$（mKdV）或$j=2$时的结果--可以与mKdV方程的高阶守恒律相结合，以获得$j$ th方程在$H^s(\R)$中的整体适定性，对于$s\ge\frac{j+1}{2}$，如果$j$是奇数，对于$s\ge\frac{j}{2}$，如果$j$是偶数。- 对于KdV族中$j$阶方程的Cauchy问题，若$r> \frac{2j}{2j-1}$为$r> \frac{2j}{2j-1}$，则不依赖于$s\in \R$的大小，不能用Picard迭代求解.特别是对于$j\ge …
2009-10-28 math.AP
Power series solution of the modified KdV equation
利用M.基督
2007-12-15 math.AP
Uniform well-posedness and Inviscid limit for the KdV-Burgers and mKdV-Burgers equations on $\mathbb{T}$
本文研究环面上周期KdV-B与mKdV-B方程的一致适定性及无粘极限，分别在对应Sobolev空间建立无条件一致适定性，证明扩散系数趋于0时解收敛到对应无粘方程的解。
2025-07-31 math.AP
Local well posedness for KdV with data in a subspace of $H^{-1}$ and applications to illposedness theory for KdV and mKdV
我们证明了KdV方程在调制空间$M^{-1}_{2,1}(\mathbb{R})$中的局部适定性。我们的方法是用离散Bourgain空间中的一致分解代替二进分割。这个适定性的结果使我们能够表明，解决方案的地图是不连续的关于$H^{s} $ -拓扑的起源尽快$s<-1$。利用三浦变换，我们还推导出一个不连续的结果，$ H^s(\Real) $ -拓扑结构，$s<0 $，与聚焦和散焦mKdV方程的解决方案映射。
2010-04-20 math-ph math.AP math.FA
A novel noncommutative KdV-type equation, its recursion operator, and solitons
推广了[S.卡里略湾Lo Schiavo和C. Schiebold，SIGMA 12（2016）]。这个方程，这里称为元mKdV，通过Cole-Hopf变换与[P. J. Olver和V. V. Sokolov Commun. Math.Phys.193（1998），Theorem 3.6]。对于这个元mKdV，它的镜像对应，递归运算符，层次结构和一个明确的解决方案类。
2017-04-11 math-ph math.AP math.MP
Asymptotics, frequency modulation, and low regularity ill-posedness for canonical defocusing equations
在最近的一篇论文中，Kenig，Ponce和Vega研究了聚焦非线性薛定谔（NLS），聚焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）和复杂Korteweg-de Vries（KdV）方程的低正则性行为。使用孤立子和呼吸器的解决方案，他们证明了缺乏当地的适定性，这些方程低于各自的端点？在本文中，我们研究这些方程的散焦类似物，即散焦NLS，散焦mKdV，和真正的KdV，都在一个空间维度，合适的孤子和呼吸解决方案是不可用的。我们为每个这些方程类的修改后的散射解决方案，存在于全球的时间，是渐近的解决方案，相应的线性方程明确的相移。这些解决方案是用来证明缺乏当地的适定性在某些索伯列夫空间，在这个意义上说，依赖于初始数据的解决方案未能一致连续。特别是，我们表明，mKdV流是不一致连续的$L^2$拓扑结构，尽管存在全局弱解在这个规律。最后，我们研究了KdV方程在端点正则性$H^{-3/4}$，并构造了实KdV方程和复KdV方程的解。该构造提供了一个非平凡的时间区间$[-T,T]$和一个局部Lipschitz连续映射，该映射将$H^{-3/4}$中的初始数据取为对所有光滑数据唯一定义的分布解（$u \in C^0 ([-T,T]; $ H^{-3/4}）。证明使用广义Miura变换转移现有的端点正则性理论mKdV KdV。
2004-07-29 math.AP
A note on ill-posedness for the KdV equation
证明了KdV方程的解映射$ u_0 \mapsto u $在$ s<-1 $的$ H^s(\R) $中不能连续扩张.主要成分是著名的加藤平滑效应的mKdV方程以及三浦变换。
2010-09-15 math.AP
Global Attractor For Weakly Damped, Forced Mkdv Equation Below Energy Space
证明了一维环面上弱阻尼强迫mKdV方程在$ \dot H^s$，$s > 11/12$中的全局吸引子的存在性.虽然建立了能量空间下的整体适定性，但能量空间下的整体吸引子的存在性还不清楚。我们直接将I-方法应用于阻尼和强迫mKdV，因为Miura变换对具有阻尼和强迫项的mKdV不起作用。我们需要仔细研究涉及共振频率的三线性估计，这不同于对应于KdV的双线性估计。
2018-09-26 math.AP
Non dispersive solutions of the generalized KdV equations are typically multi-solitons
我们考虑广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）的解，它在某种意义上（在[18]的精神中）是非色散的，并且仍然接近于多孤子。我们证明了这些解必然是纯多孤子。特别是对于Korteweg-de Vries方程（KdV）和修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），我们得到了多孤子和多呼吸子的非色散特性。
2020-07-03 math.AP
Local Well and Ill Posedness for the Modified KdV Equations in Subcritical Modulation Spaces
本文考虑修正KdV方程（mKdV）的Cauchy问题.在调制空间$M^{1/4}_{2,q}(\mathbb{R})$ $(2\leq q\leq\infty)$中得到了该问题的局部适定性。此外，我们发现，数据到解决方案的映射失败是$C^3$连续的$M^{s}_{2,q}(\mathbb{R})$时，$s<1/4$。众所周知，$H^{1/4}$是mKdV的临界Sobolev空间，因此它在$H^s$中对于$s\geq 1/4$是适定性的，而在$H^{s'}$中对于$s'<1/4$是不适定性的（在一致连续意义下）。注意到$M^{1/4}_{2,q} \subset B^{1/q-1/4}_{2,q}$是一个尖锐的嵌入和$H^{-1/4}\subset B^{-1/4}_{2,\infty}$，我们的结果包含了所有的次临界数据在$M^{1/4}_{2,q}$，其中包含了一类功能在$H^{-1/4}\setminus H^{1/4}$。
2018-11-13 math.AP
A finite difference scheme for smooth solutions of the general mKdV equation
针对一般mKdV方程，提出一种经济的有限差分格式，在特殊条件下保持全局经典解性质，并展示孤子传播与相互作用的数值结果。
2024-05-25 math.AP
Long-time asymptotics of the modified KdV equation in weighted Sobolev spaces
在某些加权索伯列夫空间中，在初始条件下建立了离焦修正Korteweg-de vries（MKdV）方程解的长时间行为.我们的方法是基于非线性最速下降法Deift和周和它的重新制定由Dieng和McLaughlin通过$\overline{\partial}$ -衍生物。为了将渐近性推广到具有较低正则性空间中的初始数据的解，我们通过PDE技术应用全局逼近。
2022-04-05 math.AP
Moving boundary problems for a novel extended mKdV equation. Application of Ermakov-Painlevé II symmetry reduction
The University of New South Wales（新南威尔士大学）；Univ. Austral, Paraguay 1950-CONICET（澳大利亚大学，巴拉圭1950-国家科学研究和技术委员会）
本文提出了一种新型扩展mKdV方程，利用厄马科夫-皮安内II类对称性约简，解决斯蒂芬型移动边界问题，并通过反演变换生成可解的移动边界问题类。
2025-11-25 math.AP
Generalized KdV equation subject to a stochastic perturbation
我们证明了次临界广义Korteweg-de Vries方程（mKdV和gKdV与四次幂的非线性）的全局适定性。更精确地说，我们证明了如果驱动噪声是$L^2(\mathbb{R})$上的圆柱Wiener过程，协方差算子是适当的索伯列夫空间中的Hilbert-Schmidt，那么具有$H^1(\mathbb{R})$数据的解在$H^1(\mathbb{R})$中是全局适定性的.这推广了A. de Bouard和A.德彪西的随机KdV方程。
2017-11-13 math.AP
Well-posedness and invariant measures for complex valued modified KdV equation
本文研究一维周期复值mKdV方程，构造了支撑在递增正则性Sobolev空间上的不变测度序列，并指出复值情形比实值情形更难分析。
2025-01-24 math.AP
Almost sure spatial decay and almost sure nonlinear smoothing of some stochastic dispersive equations
South China University of Technology（华南理工大学）；National University of Defense Technology（国防科技大学）；Henan Normal University（河南师范大学）
研究随机mKdV方程和随机三次KdV - Benjamin - Ono方程的几乎必然非线性平滑、空间衰减及一致收敛性。通过证明局部适定性，建立非线性平滑，得出积分项的相关性质，给出特定条件下局部路径解满足的概率结论。
2026-07-21 math.AP
Nonsqueezing property of the coupled KdV type system without Miura transform
证明了耦合KdV方程的非压缩性质。利用有限维哈密顿系统的Gromov非压缩性定理，将原无限维哈密顿系统的解近似为一个频率截断的有限维系统，从而将非压缩性转移到无限维系统.这是Bourgain使用的参数为一维立方NLS流，和Colliander等。对于KdV流。\cite{Colliander:2005vv}的主要成分之一是使用Miura变换将KdV流转换为mKdV流。在这项工作中，我们考虑耦合KdV方程的三浦变换是不可用的。我们用分部微分的正规形方法代替了三浦变换。虽然我们给出了耦合KdV方程的证明，但同样的证明也适用于KdV流，因此为KdV流提供了另一种简化的证明。
2016-03-11 math.AP
Well-posedness and ill-posedness of the fifth order modifed KdV equation
在Sobolev空间上考虑五阶修正KdV方程的初值问题. \partial_t u = \partial_x^5 u + c_1 \partial_x^3（u^3）+\partial_x u + c_3uuPDMATHABMO u =0，u（x，0）= u_0（x）其中$ u:R\timesR \to R $和$c_j$是实数.利用$X^{s,b}$空间上的压缩原理证明了sPDMATHABMT 3/4在H^s（R）中的局部适定性.此外，我们表明，从数据到解决方案的解决方案映射未能一致连续低于$H^{3/4}(R)$。反例是通过用三次NLS方程近似五阶mKdV方程得到的。
2007-11-07 math.AP
Soliton resolution for the modified KdV equation
在某些加权索伯列夫空间中，对初始条件建立了聚焦修正Korteweg-de vries（mKdV）方程的孤子解.我们的方法是基于非线性最速下降法及其通过$\bar{\partial}$ -衍生物的重新制定。从不动点的观点出发，对任意固定的$ \textrm{v} $，给出了精确的沿轨迹$x=\textrm{v}t$的渐近公式.为了将渐近性扩展到低正则性空间中的初始数据的解，我们通过PDE技术应用全局逼近。作为长时间渐近性的副产品，我们还得到了包含孤子和呼吸子的非线性结构的渐近稳定性。
2019-10-09 math.AP
Dynamics of complex-valued modified KdV solitons with applications to the stability of breathers
本文研究了复值修正Korteweg-de Vries（mKdV）孤子的长时间动力学，这类孤子是由于在有限时间内爆破而被公认的。我们在正则性的H^1水平上建立稳定性，一致地远离每个爆破点。这些新的性质被用来证明mKdV呼吸子是H^1稳定的，改进了我们之前只证明了H^2稳定性的结果。证明的主要新成分是使用Bäcklund变换，该变换将mKdV方程的呼吸子、复值孤子和小实值解的行为联系起来。我们还证明了负能量呼吸子是渐近稳定的。由于我们没有使用任何依赖于逆散射变换的方法，因此我们的证明即使在粗糙扰动下也有效，只要有相应的局部适定性理论即可。
2014-06-05 math-ph math.AP math.MP
Periodic waves of the modified KdV equation as minimizers of a new variational problem
修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程的周期波被确定在一个新的变分问题的上下文中有两个约束。这个变分问题的优点是它的非退化局部极小在mKdV方程的时间演化中是稳定的，而鞍点是不稳定的。我们探讨了Jacobi椭圆函数给出的周期波的解析表示，并数值计算了约束变分问题的临界点。发现了三个光滑解族的一个分叉，其中两个解族表示约束变分问题的（稳定）极小解，另一个解族表示（不稳定）鞍点。
2021-12-09 math-ph math.AP math.DS
KdV-type equations linked via Baecklund transformations: remarks and perspectives
考虑了三阶非线性发展方程，即Korteweg-deVries（KdV）方程、修正的Korteweg-deVries（mKdV）方程及其它方程，它们都通过Baecklund变换联系起来.这些链接可以在一个广泛的贝克伦图}中描述，该图进一步扩展了[22]中构建的前一个图。特别是，Baecklund变换的mKdV方程的KdV奇异流形方程的联系被重新考虑和KdV本征函数的非线性方程被证明是链接到以前构建的Baecklund图中的所有方程。也就是说，这种Baecklund图被扩展为包含KdV本征函数的非线性方程[30]，其起源于逆散射变换方法研究的早期，当时构建了KdV方程的Lax对。证明了KdV本征函数的非线性方程具有非平凡的不变性。此外，它所允许的遗传递归算子[30]通过不同的方法恢复。然后，将所得结果推广到它所产生的整个非线性发展方程族。值得注意的是，建立的链接允许显示，也KdV本征函数的非线性方程连接到Dym方程，因为这两个方程出现在相同的贝克隆德图。
2018-04-13 math-ph math.AP math.MP
Stability of elliptic function solutions for the focusing modified KdV equation
本文研究了聚焦mKdV方程椭圆函数解的谱与轨道稳定性，基于MSW方法给出了亚谐波扰动下谱稳定的充要条件，并利用Darboux-Bäcklund变换构造呼吸子解以展示其动态行为及渐近性质。
2023-03-12 math-ph math.AP math.MP
Decay of the radius of spatial analyticity for the modified KdV equation and the nonlinear Schrödinger equation with third order dispersion
本文研究 mKdV 与带三阶色散的三次 NLS 的空间解析半径演化，利用解析型三线性估计证明局部适定性，并给出全局解解析半径的代数衰减下界。
2024-06-12 math.AP
Miura transformation for the "good'' Boussinesq equation
本文证明了“好”Boussinesq方程存在类似KdV情形的Miura型变换，并借助底层Riemann–Hilbert问题的对应关系完成构造。
2023-08-10 math-ph math.AP math.MP
Periodic travelling waves of the modified KdV equation and rogue waves on the periodic background
我们解决最一般的周期性行波的修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程写为雅可比椭圆函数的有理函数。通过应用代数方法，其中涉及的周期行波和平方周期本征函数的Lax运营商，我们明确的特征的位置特征的周期谱问题远离虚轴。我们证明了具有周期本征函数的达布变换仍属于mKdV方程的相同周期行波类。在一般情况下，离虚轴正好有三对对称的特征值，对于相同的特征值，我们给出了Lax方程第二非周期解的一种新表示.我们发现，达布变换的非周期解的Lax方程产生流氓波的周期背景下，这是从无穷远带来的传播代数孤子或形成在有限区域的时间-空间平面。
2018-08-08 math-ph math.AP math.CA
On the wellposedness of the defocusing mKdV equation below $L^{2}$
证明了圆上的重正化散焦mKdV方程在Fourier Lebesgue空间${\mathcal{F}\ell}^p$上对任意$2 < p < \infty$都是局部时$C^{0}$适定的.结果表明，散焦mKdV方程本身是不适定的这些空间，因为重整化相因子成为无穷大。证明是基于这样一个事实，即mKdV方程是一个可积的偏微分方程，其哈密顿量是在NLS族。一个关键的成分是一种新的方式表示的双无穷序列的频率的重整散焦mKdV方程，允许解析扩展到${\mathcal{F}\ell}^p$的任何$2 \le p < \infty$和推导渐近$n \to \pm \infty$。
2016-06-22 math.AP
A unified inverse scattering transform and soliton solutions of the nonlocal modified KdV equation with non-zero boundary conditions
我们提出了一个严格的理论，一个统一的和简单的逆散射变换（IST）的聚焦和散焦实非局部（逆时空）修改Korteweg-de Vries（mKdV）方程与非零边界条件（NZBC）在无穷远。具有NZBC的非局部方程的IST问题比具有NZBC的局部方程的IST问题复杂。引入适当的一致化变量，使正、反问题建立在复平面上，而不是建立在两层黎曼曲面上。直接散射问题建立了Jost解和散射矩阵的解析性、对称性和渐近行为，以及离散谱的性质。逆问题通过矩阵值Riemann-Hilbert问题来制定和求解。得到了重构公式、迹公式和θ条件。最后，详细分析了四种不同情况下无反射势下聚焦和散焦非局域mKdV方程中孤子的动力学行为。
2019-03-21 math-ph math.AP math.MP
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the periodic case
我们证明了KdV-Burgers在$ H^{-1}(\T) $中是全局适定的，其解映射是从$H^{-1}(\T) $到$C([0,T];H^{-1}(\T))$的解析解映射，而它在$ H^s(\T) $中是不适定的，只要$ s<-1 $，在这个意义上，流映射$u_0\mapsto u(t) $在任何足够小的固定$ t>0 $处都不能从$ H^s(\T) $连续到甚至${\cal D}'(\T) $。根据Kappeler和Topalov关于KdV的结果，由此看来，即使KdV-Burgers方程的耗散部分允许相对于KdV方程降低$ C^\infty $临界折射率，它也不允许提高$ C^0$临界折射率。
2010-05-26 math.AP
Global well-posedness of the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation in almost critical spaces
本文首先引入了一个新的函数空间$MH^{θ, p}$，它的范数由给定函数的调制$H^θ$-范数的$\ell^p$-和给出。特别地，当$θ< -\frac 12$，我们表明，空间$MH^{θ, p}$符合调制空间$M^{2, p}(\mathbb R)$的实数线和Fourier-Lebesgue空间$\mathcal F L^{p}(\mathbb T)$的圆。我们使用这种等价的规范和伽利略对称性，以适应由Killip-Vivian-Zhang构造的调制空间设置的守恒量。利用标度对称性，我们证明了一维立方非线性薛定谔方程（NLS）在几乎临界空间中的整体适定性。更准确地说，我们表明，$\mathbb R$上的三次NLS是全球适定的$M^{2, p}(\mathbb R)$的任何$p < \infty$，而重整化的三次NLS的$\mathbb T$是全球适定的$\mathcal FL^p(\mathbb T)$的任何$p < \infty$。在附录中，我们还建立了修正KdV方程（mKdV）在实直线上的调制空间和圆上的Fourier-Lebesgue空间中的类似的全局时间界。在这种情况下，证明的另一个关键成分是伽利略变换，它将mKdV转换为mKdV-NLS方程。
2020-01-25 math.AP
Nonlinear stability of Gardner breathers
我们证明了Gardner方程（KdV和mKdV方程的自然推广）的呼吸子解是$H^2(\mathbb{R})$稳定的。通过变分方法，我们刻画了Gardner呼吸子作为一个新的Lyapunov泛函的极小值，并研究了相关的谱问题，通过$(i)$分析显式线性系的谱（\emph{spectral stability}），以及$(ii)$利用低正则性守恒律控制退化方向.
2017-09-22 math.AP
On sharp global well-posedness and Ill-posedness for a fifth-order KdV-BBM type equation
我们考虑最近导出的高阶Hamilton模型的单向水波的柯西问题，并证明了整体存在性的索伯列夫空间$H^s$，$s\geq 1$中给定的数据。我们还证明了一个不适定性结果，表明流图是不连续的，如果给定的数据具有Sobolev正则性$s< 1$。在这项工作中得到的结果是尖锐的。
2019-06-26 math.AP
Sharp well-posedness and ill-posedness of the Cauchy problem for the higher-order KdV
本文研究了具有低正则性数据的高阶KdV型方程\begin{eqnarray*} u_{t}+(-1)^{j+1}\partial_{x}^{2j+1}u + \frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2}) = 0,j\in N^{+},x\in\mathbf{T}= [0,2πλ) \end{eqnarray*}和$λ\geq 1$的柯西问题。首先，我们证明了周期高阶KdV方程的Cauchy问题在具有$s\geq -j+\frac{1}{2},j\geq2.$的$H^{s}(\mathbf{T})$中的局部适定性。我们还证明了周期高阶KdV方程的Cauchy问题是病态的，本文的结果改进了\cite{H}的结果，$j\geq2$。
2015-11-08 math.AP
Sharp ill-posedness and well-posedness results for dissipative KdV equations on the real line
本文研究了广义KdV-Burgers方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \partial_tu+\partial_x^3u+L_pu+u\partial_xu=0, u(0,\,x)=u_0(x). \end{array} \right. \end{equation*}的Cauchy问题，其中$L_p$是耗散的乘子算子.使用Besov-Bourgain空间，我们建立了一个双线性估计，并遵循Molinet，L。& Vento，S.（2011）我们证明了索伯列夫空间$H^{-p/2}(I\!\!R)$的尖锐的整体适定性和尖锐的不适定性在$H^s(I\!\!R)$当$s<-p/2$与$p \geq 2$ .
2020-02-24 math.AP
Dynamics of KdV solitons in the presence of a slowly varying potential
本文研究了扰动KdV（pKdV）方程$\partial_t u = -\partial_x (\partial_x^2 u + 3u^2-bu)$解的孤子动力学，其中$b(x,t) = b_0(hx,ht)$，$h\ll 1$是一个缓变但不小的势.我们选择了一个明确的描述的孤子参数的轨道的规模和位置上的动态相关的时间尺度$δh^{-1}\log h^{-1}$，连同尺寸误差的估计$h^{1/2}$。除了通常应用于这些问题的李雅普诺夫分析外，我们还使用了Martel-Merle（2005）的局部维里估计。结果得到了数值的支持。该证明不依赖于逆散射机制，并有望对$L^2$亚临界gKdV- $p$方程$1<p<5$进行。$p=3$的情况，即修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程，在结构上更简单，并且可以通过Holmer-Zworski（2007）的方法获得更精确的结果。
2010-12-31 math-ph math.AP math.MP
On Local Well-posedness of the Periodic Korteweg-de Vries Equation Below $H^{-\frac{1}{2}}(\mathbb{T})$
本文利用调制限制正规形方法，在不依赖完全可积性理论的前提下，将周期KdV方程的局部适定性从$s\geq -\frac12$推广到$s>-\frac23$，构造了与mKdV已有结果相平行的结论。
2024-11-22 math.AP
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the real line case
我们完成了已知的结果在Sobolev空间中的局部柯西问题的KdV-Burgers方程证明，这个方程是适定的$ H^{-1}(\R) $的解映射是解析的从$H^{-1}(\R) $到$C([0,T];H^{-1}(\R))$，而它是不适定的$ H^s(\R) $，只要$ s<-1 $，在这个意义上的流映射$u_0\mapsto u(t) $不能连续从$ H^s(\R) $到甚至${\cal D}'(\R) $在任何固定的$ t>0 $足够小。据我们所知，这是第一个关于色散-耗散方程的这类结果。我们在这里开发的框架应该是非常有用的，以证明其他色散耗散模型的类似结果
2009-12-31 math.AP
A KdV-like advection-dispersion equation with some remarkable properties
本文讨论了一个新的非线性偏微分方程u_t +（2u_xx/u）u_x = u_xxx，它在因变量尺度下是不变的，这里称之为SIdV。它是一个最简单的平移和时空反射对称的一阶对流-色散方程。这个偏微分方程（色散系数单位）是在遗传编程搜索共享KdV孤立波解的方程中发现的。它在非线性平流、扩散和弥散之间架起了一座桥梁。特殊情况包括mKdV和线性色散方程。我们确定了两个守恒定律，虽然初步调查表明，SIdV不遵循多项式拉格朗日的KdV排序。然而，它具有孤立的和周期性的行波。此外，数值模拟揭示了通常与可积系统相关的递归性质。KdV和SIdV是共享KdV孤立波的无穷维方程族中最简单的。SIdV及其推广可以作为数值和分析技术的试验场，并为进一步探索提供丰富的资源。
2014-09-21 cs.NE math.AP nlin.PS
Remark on the ill-posedness for KdV-Burgers equation in Fourier amalgam spaces
该研究证明了实轴上KdV-Burgers方程在$s<-1$的Fourier amalgam空间中具有弱形式不适定性，复现了已有经典结果，并在Fourier Lebesgue空间与调制空间中得到新的不适定性结论。
2023-07-20 math.AP
A sharp condition for the well-posedness of the linear KdV-type equation
为了使不适定性参数更透明的参数重写，以减少方程的恒定色散的情况下。小错误得到纠正。接受AMS的程序。
2013-01-11 math.AP
Nonlinear stability of vector multi-solitons in coupled NLS and modified KdV equations
该研究证明耦合NLS和修正KdV方程的多孤子（含呼吸子）在特定Sobolev空间中非线性稳定，并给出Lyapunov泛函负特征值个数，方法基于可积性，同时推广至经典方程及李代数框架。
2025-10-14 math-ph math.AP math.MP
Hamiltonian operators and l*-coverings
描述了一种构造非线性发展方程哈密顿结构的有效方法。它是基于变分Schouten括号和l* 覆盖的概念。后者在非线性演化偏微分方程范畴中充当余切丛的角色。我们首先考虑两个说明性的例子（KdV方程和Boussinesq系统），并为他们重建已知的哈密顿结构，我们的方法。对于耦合的KdV-mKdV系统，找到了一个新的Hamilton结构，并证明了它的唯一性（在多项式（x，t）-无关结构类中）.我们还构造了该系统的非局部哈密顿结构，并证明了它与局部哈密顿结构的相容性。
2010-04-08 hep-th math-ph math.AP
Inverse scattering transforms for the focusing and defocusing mKdV equations with nonzero boundary conditions
本文系统地研究了无穷远点非零边界条件下聚焦和散焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的逆散射变换与矩阵Riemann-Hilbert问题的严格理论。通过引入一个合适的均匀化变量，在复平面上而不是在两层Riemann曲面上求解正、逆散射问题。对于直接散射问题，建立了Jost解、散射矩阵和离散谱的解析性、对称性和渐近性。利用Riemann-Hilbert问题建立和求解了反问题，得到了重构公式、迹公式和θ条件，特别给出了单极点和双极点的聚焦mKdV方程和单极点的散焦mKdV方程的通解.最后，一些代表性的无反射势进行了详细研究，以说明不同的波结构的聚焦和散焦mKdV方程与NZBC。
2019-03-21 math-ph math.AP math.MP
