A note on ill-posedness for the KdV equation
Luc Molinet
证明了KdV方程的解映射$ u_0 \mapsto u $在$ s<-1 $的$ H^s(\R) $中不能连续扩张.主要成分是著名的加藤平滑效应的mKdV方程以及三浦变换。
We prove that the solution-map $ u_0 \mapsto u $ associated with the KdV equation cannot be continuously extended in $ H^s(\R) $ for $ s<-1 $. The main ingredients are the well-known Kato smoothing effect for the mKdV equation as well as the Miura transform.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on local well-posedness of generalized KdV type equations with dissipative perturbations
本文在低正则性索伯列夫空间中，对给定的数据，在$L^2$中得到了具有耗散扰动的广义KdV型方程Cauchy问题的局部适定性结果.证明方法是基于{ \em压缩映射原理}在适当的时间加权空间中的应用。
A note on the stability for Kawahara-KdV type equations
本文建立了Kawahara-KdV方程$$u_t+uu_x+u_{xxx}-γ_1 u_{xxxxx}=0,$$和修正的Kawahara-KdV方程$$u_t+3u^2u_x+u_{xxx}-γ_2 u_{xxxxx}=0,$$的孤立子行波解的非线性稳定性，其中当$i=1,2$时，$γ_i\in\mathbb{R}$为正数.用于确定孤立行波稳定性的主要方法将是阿尔伯特发展的理论
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the periodic case
我们证明了KdV-Burgers在$ H^{-1}(\T) $中是全局适定的，其解映射是从$H^{-1}(\T) $到$C([0,T];H^{-1}(\T))$的解析解映射，而它在$ H^s(\T) $中是不适定的，只要$ s<-1 $，在这个意义上，流映射$u_0\mapsto u(t) $在任何足够小的固定$ t>0 $处都不能从$ H^s(\T) $连续到甚至${\cal D}'(\T) $。根据Kappeler和Topalov关于KdV的结果，由此看来，即使KdV-Burgers方程的耗散部分允许相对于KdV方程降低$ C^\infty $临界折射率，它也不允许提高$ C^0$临界折射率。
A Note on the Painleve Property of Coupled KdV Equations
我们证明了一个系统的耦合KdV方程，声称由广田，胡，唐通过Painleve测试的可积性，实际上失败的测试在最高共振的通用分支，因此必须是不可积的。
On sharp global well-posedness and Ill-posedness for a fifth-order KdV-BBM type equation
我们考虑最近导出的高阶Hamilton模型的单向水波的柯西问题，并证明了整体存在性的索伯列夫空间$H^s$，$s\geq 1$中给定的数据。我们还证明了一个不适定性结果，表明流图是不连续的，如果给定的数据具有Sobolev正则性$s< 1$。在这项工作中得到的结果是尖锐的。
Sharp well-posedness and ill-posedness of the Cauchy problem for the higher-order KdV
本文研究了具有低正则性数据的高阶KdV型方程\begin{eqnarray*} u_{t}+(-1)^{j+1}\partial_{x}^{2j+1}u + \frac{1}{2}\partial_{x}(u^{2}) = 0,j\in N^{+},x\in\mathbf{T}= [0,2πλ) \end{eqnarray*}和$λ\geq 1$的柯西问题。首先，我们证明了周期高阶KdV方程的Cauchy问题在具有$s\geq -j+\frac{1}{2},j\geq2.$的$H^{s}(\mathbf{T})$中的局部适定性。我们还证明了周期高阶KdV方程的Cauchy问题是病态的，本文的结果改进了\cite{H}的结果，$j\geq2$。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for dissipative KdV equations on the real line
本文研究了广义KdV-Burgers方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \partial_tu+\partial_x^3u+L_pu+u\partial_xu=0, u(0,\,x)=u_0(x). \end{array} \right. \end{equation*}的Cauchy问题，其中$L_p$是耗散的乘子算子.使用Besov-Bourgain空间，我们建立了一个双线性估计，并遵循Molinet，L。& Vento，S.（2011）我们证明了索伯列夫空间$H^{-p/2}(I\!\!R)$的尖锐的整体适定性和尖锐的不适定性在$H^s(I\!\!R)$当$s<-p/2$与$p \geq 2$ .
Nonexistence of soliton-like solutions for defocusing generalized KdV equations
本文研究了离焦广义KdV方程：u_t + u_{xxx} =（|u| ^{p-1}u）_x的整体动力学.我们使用陶的定理，能量移动速度比质量证明了一个时刻型色散估计。作为色散估计的一个应用，我们证明了在衰减假设下不存在类孤子解。
Sharp ill-posedness results for the KdV and mKdV equations on the torus
我们建立了环面上mKdV方程解的$ L^2 $ -有界序列的一个新的先验界。这首先使我们能够构造弱解在$ L^2$为这个方程，并检查的“解决方案”所构造的Kappeler和Topalov在散焦的情况下满足方程在某种弱意义上。在第二次，我们证明了与mKdV和KdV方程的解映射是不连续的$ H^s(\T) $拓扑分别为$ s<0$和$ s<-1$。这些最后的结果是尖锐的。
Well-posedness and ill-posedness of the fifth order modifed KdV equation
在Sobolev空间上考虑五阶修正KdV方程的初值问题. \partial_t u = \partial_x^5 u + c_1 \partial_x^3（u^3）+\partial_x u + c_3uuPDMATHABMO u =0，u（x，0）= u_0（x）其中$ u:R\timesR \to R $和$c_j$是实数.利用$X^{s,b}$空间上的压缩原理证明了sPDMATHABMT 3/4在H^s（R）中的局部适定性.此外，我们表明，从数据到解决方案的解决方案映射未能一致连续低于$H^{3/4}(R)$。反例是通过用三次NLS方程近似五阶mKdV方程得到的。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the real line case
我们完成了已知的结果在Sobolev空间中的局部柯西问题的KdV-Burgers方程证明，这个方程是适定的$ H^{-1}(\R) $的解映射是解析的从$H^{-1}(\R) $到$C([0,T];H^{-1}(\R))$，而它是不适定的$ H^s(\R) $，只要$ s<-1 $，在这个意义上的流映射$u_0\mapsto u(t) $不能连续从$ H^s(\R) $到甚至${\cal D}'(\R) $在任何固定的$ t>0 $足够小。据我们所知，这是第一个关于色散-耗散方程的这类结果。我们在这里开发的框架应该是非常有用的，以证明其他色散耗散模型的类似结果
Small data scattering and soliton stability in $\dot{H}^{-\frac16}$ for the quartic KdV Equation
本文证明了四次非线性标度空间中孤子扰动的散射，即$\dot{H}^{-\frac16}$。文章强烈依赖于精确的估计线性化的KdV方程的孤子。与Tao（2006）的工作相比，我们能够在标度空间中工作而无需额外的正则性假设，从而使我们能够证明逆波算子存在性的一些结果。
Remark on the ill-posedness for KdV-Burgers equation in Fourier amalgam spaces
该研究证明了实轴上KdV-Burgers方程在$s<-1$的Fourier amalgam空间中具有弱形式不适定性，复现了已有经典结果，并在Fourier Lebesgue空间与调制空间中得到新的不适定性结论。
A sharp condition for the well-posedness of the linear KdV-type equation
为了使不适定性参数更透明的参数重写，以减少方程的恒定色散的情况下。小错误得到纠正。接受AMS的程序。
On the extension of the frequency maps of the KdV and the KdV2 equations
在KdV和KdV 2方程的情况下，我们提出了一种新的方法表示的频率可积偏微分方程，它允许扩展到低正则性空间的分析，并研究其渐近。应用包括凸性的哈密尔顿和适定性的结果在空间的低正则性。特别地，证明了在$H^{s}$上KdV 2方程是$C^{0}$ -适定的，如果是$s\ge 0$，如果是$s < 0$，则是不适定的（在强意义上）.
Local Well and Ill Posedness for the Modified KdV Equations in Subcritical Modulation Spaces
本文考虑修正KdV方程（mKdV）的Cauchy问题.在调制空间$M^{1/4}_{2,q}(\mathbb{R})$ $(2\leq q\leq\infty)$中得到了该问题的局部适定性。此外，我们发现，数据到解决方案的映射失败是$C^3$连续的$M^{s}_{2,q}(\mathbb{R})$时，$s<1/4$。众所周知，$H^{1/4}$是mKdV的临界Sobolev空间，因此它在$H^s$中对于$s\geq 1/4$是适定性的，而在$H^{s'}$中对于$s'<1/4$是不适定性的（在一致连续意义下）。注意到$M^{1/4}_{2,q} \subset B^{1/q-1/4}_{2,q}$是一个尖锐的嵌入和$H^{-1/4}\subset B^{-1/4}_{2,\infty}$，我们的结果包含了所有的次临界数据在$M^{1/4}_{2,q}$，其中包含了一类功能在$H^{-1/4}\setminus H^{1/4}$。
The Modulation of Multiple Phases Leading to the Modified KdV Equation
本文试图推导出修改的KdV（mKdV）方程使用一种新的方法从系统产生的抽象拉格朗日具有两个参数的对称群。该方法使用修改的调制方法，这导致mKdV出现与原拉格朗日系统所拥有的守恒律相关的系数。除此之外，适应的方法的仓本开发，提供了一个更简单的机制来确定非线性项的系数。该理论说明使用两个例子的物理利益，一个在分层流体动力学和另一个使用耦合非线性薛定谔模型，以说明如何标准的mKdV方程出现可以评估和其系数生成。
Local well posedness for KdV with data in a subspace of $H^{-1}$ and applications to illposedness theory for KdV and mKdV
我们证明了KdV方程在调制空间$M^{-1}_{2,1}(\mathbb{R})$中的局部适定性。我们的方法是用离散Bourgain空间中的一致分解代替二进分割。这个适定性的结果使我们能够表明，解决方案的地图是不连续的关于$H^{s} $ -拓扑的起源尽快$s<-1$。利用三浦变换，我们还推导出一个不连续的结果，$ H^s(\Real) $ -拓扑结构，$s<0 $，与聚焦和散焦mKdV方程的解决方案映射。
KdV and Almost Conservation Laws
这篇简短的综述论文关注的是一种新的方法来证明能量空间下色散方程的整体适定性结果，即薛定谔方程的$H^{1}$和KdV方程的$L^{2}$。这种方法的主要成分是定义一族我们称之为几乎守恒律的定律。特别是，我们分析Korteweg-德弗里斯初值问题，我们说明了在通项下，我们使用的“算法”，正式产生几乎守恒定律可以用来恢复无穷多个保守的积分，使KdV的一个可积系统。
Asymptotics, frequency modulation, and low regularity ill-posedness for canonical defocusing equations
在最近的一篇论文中，Kenig，Ponce和Vega研究了聚焦非线性薛定谔（NLS），聚焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）和复杂Korteweg-de Vries（KdV）方程的低正则性行为。使用孤立子和呼吸器的解决方案，他们证明了缺乏当地的适定性，这些方程低于各自的端点？在本文中，我们研究这些方程的散焦类似物，即散焦NLS，散焦mKdV，和真正的KdV，都在一个空间维度，合适的孤子和呼吸解决方案是不可用的。我们为每个这些方程类的修改后的散射解决方案，存在于全球的时间，是渐近的解决方案，相应的线性方程明确的相移。这些解决方案是用来证明缺乏当地的适定性在某些索伯列夫空间，在这个意义上说，依赖于初始数据的解决方案未能一致连续。特别是，我们表明，mKdV流是不一致连续的$L^2$拓扑结构，尽管存在全局弱解在这个规律。最后，我们研究了KdV方程在端点正则性$H^{-3/4}$，并构造了实KdV方程和复KdV方程的解。该构造提供了一个非平凡的时间区间$[-T,T]$和一个局部Lipschitz连续映射，该映射将$H^{-3/4}$中的初始数据取为对所有光滑数据唯一定义的分布解（$u \in C^0 ([-T,T]; $ H^{-3/4}）。证明使用广义Miura变换转移现有的端点正则性理论mKdV KdV。
On the steadiness of symmetric solutions to higher order perturbations of KdV
研究KdV高阶扰动方程的对称解，证明对称解必为传播解，并分类受扰动方程的对称传播解，揭示耗散或浅化扰动下无孤立型对称解，为水波模型评估提供新视角。
Two approaches for the stabilization of nonlinear KdV equation with boundary time-delay feedback
研究了具有边界时滞反馈的非线性Korteweg-de Vries方程。在适当的反馈系数的假设下（延迟或不延迟），我们首先证明了这个非线性无穷维系统在小的初始数据下是适定的。本文的主要结果是关于非线性时滞系统指数稳定性的两个定理。采用两种不同的方法：一个李雅普诺夫函数的方法（允许有一个估计的衰减率，但与KdV方程的空间域的长度的限制性假设）和可观测性不等式的方法，与矛盾的论点（任何非临界长度，但没有估计的衰减率）。给出了一些数值模拟来说明结果。
Stability and asymptotic stability in the energy space of the sum of N solitons for subcritical gKdV equations
本文证明了次临界广义KdV方程$u_t+(u_{xx}+u^p)_x=0$（1<p<5）的N个解耦合和在H^1中的稳定性和渐近稳定性.稳定性结果的证明是基于能量变元和局部L^2范数的单调性。注意，即使p=2（KdV方程），结果也是新的。渐近稳定性的结果则直接从[15]中的刚性定理得出。
A refined well-posedness result for the modified KdV equation in the Fourier-Lebesgue spaces
研究了圆上复值修正Korteweg-de Vries方程（mKdV）在低正则性下的适定性.在我们之前的工作（2019）中，我们引入了基于动量守恒的第二重正化mKdV方程，我们提出将其作为研究$H^\frac12(\mathbb{T})$之外的复值mKdV的正确模型。在这里，我们采用Deng-Nahmod-Yue（2019）介绍的方法证明了第二重正化mKdV方程在Fourier-Lebesgue空间$\mathcal{F}L^{s,p}(\mathbb{T})$中对于$s\geq \frac12$和$1\leq p <\infty$的局部适定性。作为这个适定性结果的一个副产品，我们在这些具有无限动量的Fourier-Lebesgue空间中，在没有初始数据的第二重正化的情况下，证明了复值mKdV的不适定性。
Random data Cauchy problem for a generalized KdV equation in the supercritical case
本文考虑一类广义KdV方程\begin{eqnarray*} u_{t}+\partial_{x}^{3}u+u^{7}u_{x}=0, \end{eqnarray*}的Cauchy问题，其随机数据在\R上. Kenig，Ponce，Vega（Comm. Pure Appl. Math.46（1993），527-620）证明了该问题在H^{s}（\R）$中是全局适定的，其中s> s_{crit} = \frac{3}{14}，这是标度临界正则性指标. Birnir，Kenig，Ponce，Svanstedt，Vega（J. London Math.Soc.53（1996），551-559.）证明了该问题是不适定的，在这个意义上，存在的时间T和连续依赖不能表示在H^{ \frac{3}{14} }-范数的数据的大小。本文证明了H^{s}（\R）中的几乎必然局部时间适定性成立，其中s> \frac{17}{112}，其下界小于\frac{3}{14} .关键的成分是维纳随机化的初始数据和概率Eschhartz估计连同一些重要的嵌入定理。
Convergence of a finite difference method for the KdV and modified KdV equations with $L^2$ data
针对KdV和修正KdV方程，提出一种带四阶稳定项的半离散有限差分方法，证明在$L^2$非光滑数据下强收敛，并通过数值实验验证。
Local well-posedness of the KdV equation with quasi periodic initial data
证明了拟周期函数空间中Korteweg-de Vries方程Cauchy问题的局部适定性.函数空间包含函数，使得f=f_1+f_2+.+其中f_j在a_j周期函数的阶数s>-1/2N的Sobolev空间中。注意，当周期比a_i/a_j为无理数时，f不是周期函数。证明的主要工具是Bourgain提出的Fourier限制范数方法。我们还证明了一个不适定性结果，在这个意义上，流图（如果它存在）不是C^2，这是有关丢番图问题。
On the hierarchies of higher order mKdV and KdV equations
利用范数为$$\n{v_0}{\hat{H}^r_s(\R)} := \n{< ξ> ^s\hat{v_0}}{L^{r'}_ξ},\quad < ξ>=(1+ξ^2)^{\frac12}, \quad \frac{1}{r}+\frac{1}{r'}=1.$$的空间$\hat{H}^r_s(\R)$中的数据研究了mKdV族中高阶方程的Cauchy问题，证明了$\hat{H}^r_s(\R)$阶方程在参数范围$2 \ge r >1$，$s \ge \frac{2j-1}{2r'}$中的局部适定性.证明使用傅立叶限制范数方法的适当变体。本文给出一个反例，证明了当$s<\frac{2j-1}{2r'}$满足时，这类方程的柯西问题在$C^0$ -一致意义下是一般不适定的.对于$r=2$ --到目前为止文献中只有当$j=1$（mKdV）或$j=2$时的结果--可以与mKdV方程的高阶守恒律相结合，以获得$j$ th方程在$H^s(\R)$中的整体适定性，对于$s\ge\frac{j+1}{2}$，如果$j$是奇数，对于$s\ge\frac{j}{2}$，如果$j$是偶数。- 对于KdV族中$j$阶方程的Cauchy问题，若$r> \frac{2j}{2j-1}$为$r> \frac{2j}{2j-1}$，则不依赖于$s\in \R$的大小，不能用Picard迭代求解.特别是对于$j\ge …
Convergence of a numerical scheme for a coupled Schrödinger--KdV system
通过截断技巧和能量估计，证明了有界域上耦合Schrödinger--KdV系统有限差分半离散格式在强范数下的收敛性，并给出数值算例。
A remark on the well-posedness of the modified KdV equation in the Fourier-Lebesgue spaces
研究了圆上的复值修正Korteweg-de Vries方程（mKdV）.我们首先考虑实值的设置和显示整体适定性的（通常）重整化mKdV方程在Fourier-Lebesgue空间。在复值条件下，我们观察到动量在适定性理论中起着重要的作用。特别地，我们证明了复值mKdV方程在动量无穷大时解不存在的意义下是不适定的，这是基于Guo-Oh（2018）关于非线性薛定谔方程的工作的精神。这个不存在的结果促使第二重正化mKdV方程的引入，我们建议作为正确的模型在$H^\frac12(\mathbb{T})$以外的复值设置。此外，强加一个新的概念，有限的动量的初始数据，在低的正则性，我们证明了复值mKdV方程的解的存在性。特别地，我们需要能量估计，由此得出动量守恒。
Bilinear controllability for the linear KdV-Schr{ö}dinger equation
本文研究了线性KdV-薛定谔方程在单维环面上通过纯虚双线性控制的可控性，证明了在L2(T)中有限傅里叶模的局部时间全局近似可控性，通过饱和方法结合相乘控制与环面微分流形生成运输算子，实现全局近似可控性。
Approximate Conservation Laws in the KdV Equation
已知Korteweg-de Vries方程对于小振幅和大波长的波产生表面波的有效描述。该方程具有许多守恒积分，但科学家对这些积分的物理意义没有共识。特别是，目前还不清楚这些积分是否与动量守恒或能量守恒有关，一些研究人员对方程所支配的动力学中的能量守恒提出了质疑。在这份说明中，它表明，虽然准确的能量守恒可能不成立，如果动量和能量密度和通量被定义在一个适当的方式，然后Korteweg-de Vries方程的解决方案引起的动量和能量的近似微分平衡定律。
Classification of KdV vessels with constant parameters and two dimensional outer space
在这篇文章中，我们对一些完全可积的偏微分方程的解的产生容器进行了分类，并给出了一个\textit{unified}方法。这一分类包括Korteweg-de Vries（KdV）方程和演化非线性Schr”odingier（ENLS）方程等重要例子。事实上，采用基本的矩阵代数技术，它表明，正好有两个规范形式的这种船只，使每个规范形式推广KdV或ENLS方程。特别是，狄拉克正则系统，其演变最近被插入到容器理论，被证明是等价的ENLS方程的意义上的船只。这项工作是重要的第一步，分类完全可积偏微分方程，这是可解的理论的船只。我们注意到，作者最近发表在《数学物理杂志》上的一篇论文表明，KdV方程具有解析初势的初值问题至少有一个“窄化”的时间解。所提出的分类，继承了这一思想和一个类似的定理可以很容易地证明所提出的偏微分方程。最后，本文的研究结果为以下问题的研究奠定了基础：1。广义KdV、ENLS方程的层次（通过推广血管方程），2.新的完全可积的偏微分方程（通过改变外层空间的维度），3。解决了给定任意偏微分方程的可积性问题（未来的分类将创建一个可由血管方程求解的列表，最终可能包括许多现有的偏微分方程类）。
Selected aspects of the Korteweg-de Vries equation
该讲义基于作者过去五年在比利时安特卫普大学讲授可积偏微分方程及KdV方程课程的笔记整理而成，欢迎意见与建议。
On the Cauchy problem for higher-order nonlinear dispersive equations
研究了一类高阶KdV方程。我们证明了相关的初值问题在加权Besov和索伯列夫空间中的小初值问题是适定的。我们还证明了不适定性结果时，在H^s（\R），任何真正的s。
Dispersion vs. anti-diffusion: well-posedness in variable coefficient and quasilinear equations of KdV-type
研究了首阶项具有三阶空间导数的线性和拟线性发展方程的周期区间上的初值问题的适定性.在这样的方程中，有一个竞争之间的色散效应，这源于领先的顺序项，和反扩散，这源于较低的顺序项与两个空间导数。我们发现，色散效应可以主导向后扩散：我们找到一个条件，保证适定性的初值问题的线性，变系数方程的这种，即使当这种反扩散存在。事实上，我们表明，即使在局部向后扩散的存在下，分散在某些情况下会导致抛物线平滑的整体效果。相比之下，我们还表明，当我们的条件被违反，向后扩散可以主导的色散效应，导致不适定的初值问题。我们使用这些结果的线性发展方程作为指导时，证明适定性的初值问题的一些准线性方程，也表现出这种竞争之间的色散和反扩散：Rosenau-Hyman的Escherton方程，哈利Dym方程，方程中出现的色散方程的有限差分格式的数值分析。对于这些拟线性方程，适定性定理要求初始数据一致有界远离零。
New solitary wave and Multiple soliton solutions of (3 + 1)-dimensional KdV type equation by using Lie symmetry approach
孤立波是局部的重力波，通过非线性流体动力学的性质保持其一致性和可见性。孤立波具有有限的振幅，以恒定的速度和恒定的形状传播。本文利用李群变换法求解了（3 + 1）维KdV型方程。得到了KdV型方程的无穷小生成元和李代数的换位子表。通过相似约化得到了KdV型方程的一些显式精确解。所有报告的结果都以解析形式（封闭形式）表示，并通过其演化解曲线以图形方式表示。我们的特点是物理解释所获得的解决方案与自由选择的特定参数绘制一些三维和二维插图。几何分析表明，解的性质是行波、扭波、单孤子、双孤子和曲线形多孤子。
Discrete transparent boundary conditions for the mixed KDV-BBM equation
本文研究了线性化混合Korteweg-de Vries方程的透明边界条件，提出了一种稳定且通用的方法来处理非局部时间算子，通过渐近展开系数来提高大时间模拟的准确性。
Absence of exponentially localized solitons for the Novikov-Veselov equation at positive energy
本文证明了正能量的Novikov-Veselov方程（2+1维KdV的类似物）不存在指数局域孤子（二维意义）。
A Note on $C^2$ Ill-Posedness Results for the Zakharov System in Arbitrary Dimension
本文研究索伯列夫空间$H^k(\mathbb R^d)\!\times\!H^l(\mathbb R^d)\!\times\!H^{l-1}\!(\mathbb R^d)$中Zakharov系统的初值问题。我们回顾了迄今为止已知的适定性和不适定性结果，并建立了新的不适定性结果。我们证明了$C^2$对一些新指标$(k,l)\in\mathbb R^2$的不适定性。此外，我们的结果是有效的，在任意维数。我们相信，我们的详细证明是建立在一个有条不紊的方法，可以适应其他系统和方程获得类似的结果。
Well-posed Questions for Ill-posed Inverse Problems: a Note in Memory of Pierre Sabatier
本文以电阻抗断层成像为例，纪念Sabatier教授关于逆问题中适定方面的洞见，证明在识别均匀背景中的小椭圆夹杂物时，优化电极位置可显著提升解的稳定性。
Convergence of a higher-order scheme for Korteweg-de Vries equation
研究了KdV方程Cauchy问题高阶差分格式的收敛性。更准确地说，我们设计了一个Galerkin型隐格式，它在空间上具有更高的精度，在时间上具有一阶精度。对L^2中的初始数据建立了收敛性，并证明了该格式在L^2（0，T; L^2_loc（\R））中强收敛到一个弱解.最后，通过几个例子说明了收敛性。
Note on the Euler equations in C^k spaces
本文利用我们最近的文章\cite{EM}中的思想，证明了二维Euler方程在$C^k$空间中的强不适定性.这说明提供了一个显着较短的证明许多主要结果在\cite{BLi2}。在$k>1$的情况下，我们表明存在的初始数据的速度场的$kth$导数立即开发对数奇异性。强不适定性也覆盖了$C^{k-1,1}$空间。不适定性来自于欧拉方程中的压力项。我们将$D^k u$的方程表示为：$$\partial_t D^k u=D^{k+1} p + l.o.t.$$，然后利用映射$u\rightarrow p$的非局部性得到不适定性。真正的困难在于如何处理"l.o.t."。"可以通过特殊的交换子估计来处理的项。
An index theorem for the stability of periodic traveling waves of KdV type
我们考虑Korteweg-Devries型方程的周期解。虽然周期波的稳定性理论已经得到了很多关注，但该理论比孤波稳定性的类似理论发展得更少，并且似乎在数学上更丰富。我们证明了一个指数定理，给出了一个精确的计数的线性化算子的不稳定的特征值的行波轮廓的导数的零点的数目与几何信息的常微分方程的积分常数和偏微分方程的守恒量之间的一定的映射。该指标可以看作是Sturm振荡定理和Korteweg-de Vries型方程孤波解的经典稳定性理论的推广。在多项式非线性的情况下，这个指数，以及之前由Bronski和Johnson介绍的相关指数，可以用黎曼曲面上周期积分的导数来表示。由于这些周期积分满足Picard-Fuchs方程，这些导数可以用积分本身表示，从而得到解的各种矩的表达式。最后，我们举一些说明性的例子。
Extended decay properties for generalized BBM equations
在这篇文章中，我们证明了BBM方程的所有小解在物理空间的大部分区域中必须衰减为零，作为$t\to +\infty$，扩展了以前的已知结果，并且只假设能量空间中的数据。我们的结果还包括物理线的左侧部分的衰减，与标准的KdV动力学。
A note on the Prandtl boundary layers
本文讨论了Prandtl方程的非线性不适定性和不可压缩流体在固体边界附近流动的渐近边界层展开式的无效性。我们的分析是建立在最近由Gérard-Varet和Dormy [2]建立的显着的线性不适定性结果，以及Guo和Tice [5]的分析。我们证明了渐近边界层展开对于索伯列夫空间中的非单调剪切层流是无效的。我们还引入了弱适定性的概念，并证明了非线性普朗特方程在非平稳和非单调剪切流附近在这个意义上是不适定性的。另一方面，我们能够验证Oleinik的单调解是适定的。
Space-time fractional NLS equation
本文证明了具有幂型非线性项的非线性薛定谔方程的时空分数阶推广的局部适定性。该线性方程与Naber提出的模型相吻合，并且在空间和时间上都表现出非定域行为，这说明了长程相互作用和所谓的记忆效应。由于损失的衍生物产生的后者和缺乏半群结构的解决方案运营商，我们采用的策略证明的基础上利用一些平滑效果类似的凯尼格，庞塞和织女星的KdV方程。最后，我们证明了在超临界情况下的解析不适定性的数据到解决方案的映射。
A critical note on back-and-forth Data Assimilation Nudging Algorithm
本文指出BFN算法在使用AOT连续数据同化降缩趋近算法时，无法可靠恢复某些耗散动力系统初始条件，揭示了数据同化方法在稀疏观测下的局限性。
Notes on tangent bicharacteristics and ill-posedness of the Cauchy problem
本文构造一族 Hamilton 映射发生谱转变、且双特征可与二重流形相切的二阶双曲算子，并据此证明高阶 Gevrey 类中 Cauchy 问题在原点局部不可解。
Nonlinear PDEs with modulated dispersion II: Korteweg-de Vries equation
研究线性色散项受时间非齐次调制的色散方程，以KdV等为模型。通过特定方法建立噪声正则化现象，包括调制KdV局部和全局适定性、相关方程半线性化及非线性平滑，还给出了方法应用示例。
Hamiltonian operators and l*-coverings
描述了一种构造非线性发展方程哈密顿结构的有效方法。它是基于变分Schouten括号和l* 覆盖的概念。后者在非线性演化偏微分方程范畴中充当余切丛的角色。我们首先考虑两个说明性的例子（KdV方程和Boussinesq系统），并为他们重建已知的哈密顿结构，我们的方法。对于耦合的KdV-mKdV系统，找到了一个新的Hamilton结构，并证明了它的唯一性（在多项式（x，t）-无关结构类中）.我们还构造了该系统的非局部哈密顿结构，并证明了它与局部哈密顿结构的相容性。
A note on uniqueness for linear evolution PDEs posed on the quarter-plane
本文针对四分之一平面上的一类线性演化偏微分方程，利用统一变换方法分析积分表示的边界渐近行为，并结合能量估计建立唯一性结果，同时给出构造非唯一性反例的算法，并以热方程、线性 KdV 方程及线性化 BBM 方程为例加以说明。
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