arXiv 2501.061472025-01math.AP

环面$\n\b\bb{m\na\nt\nh\nb\nb\b{o\nb\b{\n\bT\nb}$上KdV-Burgers与mKdV-Burgers方程的一致适定性及无粘极限

Uniform well-posedness and Inviscid limit for the KdV-Burgers and mKdV-Burgers equations on $\mathbb{T}$

Xintong Li, Yongsheng Li

AI总结：

本文研究环面上周期KdV-B与mKdV-B方程的一致适定性及无粘极限，分别在对应Sobolev空间建立无条件一致适定性，证明扩散系数趋于0时解收敛到对应无粘方程的解。

摘要：

本文研究周期Korteweg-de Vries-Burgers（KdV-B，即KdV-伯格斯）方程与修正Korteweg-de Vries-Burgers（mKdV-B，即修正KdV-伯格斯）方程的一致适定性与无粘极限行为，方程形式为：\\[ \partial_t u + \partial_x^3 u - \varepsilon \partial_x^2 u = \partial_x(u^α), \quad u(0) = ϕ, \\] 其中$α=2,3$，$\varepsilon \in (0,1]$为扩散系数，$u : \mathbb{R}^+ \times \mathbb{T} \to \mathbb{R}$为实值函数。\n 对于KdV-B方程（$α=2$），我们在$s \geq 0$的$H^s(\mathbb{T})$空间中建立了无条件一致全局适定性，对所有$\varepsilon \in [0,1]$一致成立，且无需依赖辅助函数空间。此外，我们证明对任意$s \geq 0$，存在$T > 0$，使得当$\varepsilon \to 0$时，解在$C([0,T]; H^s)$中收敛于KdV方程的解。对于mKdV-B方程（$α=3$），我们在$s \geq 1/2$的$H^s(\mathbb{T})$空间中建立了类似结果——无条件一致适定性与无粘极限行为。

英文摘要：

This article investigates uniform well-posedness and inviscid limit behavior for the periodic Korteweg-de Vries-Burgers (KdV-B) and modified Korteweg-de Vries-Burgers (mKdV-B) equations: \[ \partial_t u + \partial_x^3 u - \varepsilon \partial_x^2 u = \partial_x(u^α), \quad u(0) = ϕ, \] where $α= 2, 3$, $\varepsilon \in (0, 1]$ is the diffusion coefficient, and $u : \mathbb{R}^+ \times \mathbb{T} \to \mathbb{R}$ is real-valued. For the KdV-B equation ($α=2$), we establish unconditional uniform global well-posedness in $H^s(\mathbb{T})$ for $s \geq 0$, uniformly for all $\varepsilon \in [0,1]$, without relying on auxiliary function spaces. Furthermore, we prove that for any $s \geq 0$, there exists $T > 0$ such that solutions converge in $C([0,T]; H^s)$ to those of the KdV equation as $\varepsilon \to 0$. For the mKdV-B equation ($α=3$), we establish analogous results--unconditional uniform well-posedness and inviscid limit behavior in $H^s(\mathbb{T})$ for $s \geq 1/2$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

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