arXiv 2107.085872021-07math.NT

分圆$\mathbb Z_2$ -扩张的极小相对单位

Minimal relative units of the cyclotomic $\mathbb Z_2$-extension

Tomokazu Kashio, Hyuga Yoshizaki

备注：: 19 pages, typos corrected

摘要：

令$\mathbb B_n:=\mathbb Q(\cos(π/2^{n+1}))$。对于单位群上的相对范数映射$\mathrm{N}_{n/n-1} \colon \mathcal O_{\mathbb B_n}^\times \rightarrow \mathcal O_{\mathbb B_{n-1}}^\times$，我们定义了$RE_n:=\mathrm{N}_{n/n-1}^{-1}(\{\pm 1\})$，$RE_n^+:=\mathrm{N}_{n/n-1}^{-1}(\{1\})$ . Komatsu确认$\mathrm{Tr} ε^2 \geq 2^n(2^{n+1}-1)$适用于$ε\in RE_n -\{\pm 1\}$。Morisawa和Okazaki证明了它对$ε\in RE_n -RE_n^+$成立。在本文中，我们研究的情况下$ε\in RE_n^+$。我们推测，$\min \{\mathrm{Tr} ε^2 \mid ε\in RE_n^+-\{\pm 1\}\}= 2^n(1+8c_n)$，其中$c_1:=2$和$c_n:=2\cdot \mathrm{round}(2^n/5)$（$n\geq 2$）。我们表明，这适用于$n\leq 6$和“一半”这：$\min \{\mathrm{Tr} ε^2 \mid ε\in RE_n^+-\{\pm 1\}\} \leq 2^n(1+8c_n)$甚至$n$。我们还观察到一个关系到类数的问题。

英文摘要：

Let $\mathbb B_n:=\mathbb Q(\cos(π/2^{n+1}))$. For the relative norm map $\mathrm{N}_{n/n-1} \colon \mathcal O_{\mathbb B_n}^\times \rightarrow \mathcal O_{\mathbb B_{n-1}}^\times$ on the units group, we define $RE_n:=\mathrm{N}_{n/n-1}^{-1}(\{\pm 1\})$, $RE_n^+:=\mathrm{N}_{n/n-1}^{-1}(\{1\})$. Komatsu conjectured that $\mathrm{Tr} ε^2 \geq 2^n(2^{n+1}-1)$ for $ε\in RE_n -\{\pm 1\}$. Morisawa and Okazaki showed that it holds for $ε\in RE_n -RE_n^+$. In this paper we study the case $ε\in RE_n^+$. We conjecture that $\min \{\mathrm{Tr} ε^2 \mid ε\in RE_n^+-\{\pm 1\}\}= 2^n(1+8c_n)$, where $c_1:=2$ and $c_n:=2\cdot \mathrm{round}(2^n/5)$ ($n\geq 2$). We show that this holds for $n\leq 6$ and that a "half" of this: $\min \{\mathrm{Tr} ε^2 \mid ε\in RE_n^+-\{\pm 1\}\} \leq 2^n(1+8c_n)$ holds for even $n$. We also observe a relation to the class number problem.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

摘要：

英文摘要：

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