Multiple solutions to cylindrically symmetric curl-curl problems and related Schrödinger equations with singular potentials
本文研究柱对称 curl-curl 问题及其对应的带奇异位势薛定谔方程，通过建立临界情形的新方法，证明了两个方程束缚态的多重性，并在次临界情形下发现无穷多个束缚态。
2023-12-05 math.AP
Breathers and rogue waves for semilinear curl-curl wave equations
我们考虑半线性卷曲-卷曲波动方程$s(x) \partial_t^2 U +\nabla\times\nabla\times U + q(x) U \pm V(x) |U|^{p-1} U = 0$的变形的局部化解，其中$s(x) \partial_t^2 U +\nabla\times\nabla\times U + q(x) U \pm V(x) |U|^{p-1} U = 0$为$(x,t)\in \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$和任意的$p>1$。根据系数$s, q, V$，我们可以证明存在三种类型的本地化解决方案：时间周期的解决方案衰减到$0$在空间无穷远，时间周期的解决方案往往在空间无穷远的非平凡的配置文件（两种类型都称为呼吸），和流氓波收敛到$0$在空间和时间的无穷远。我们的解是弱解，并采取梯度场的形式。因此，它们属于卷曲算子的核，因此，由于对系数的结构假设，半线性波动方程被减少到一个常微分方程。由于常微分方程中的空间依赖性只是一个参数依赖性，我们可以用相平面技术分析常微分方程，从而建立上述局域波的存在。值得注意的副作用，我们的分析是存在的紧凑的支持呼吸和事实上，一个本地化的波解决方案$U(x,t)$已经产生了一个完整的连续的相移解决方案$U(x,t+b(x))$的连续函数$b:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$属于一个合适…
2022-12-09 math.AP
Semiclassical states for the curl-curl problem
本文证明了curl-curl问题在$\varepsilon>0$充分小时半经典态的存在性，研究了解在$\varepsilon\to0^+$时的渐近行为及相关非线性Schrödinger方程，用于建模大磁导率非线性材料。
2025-01-27 math.AP
$L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义无迹Korn不等式的$L^p$ -版本。更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\right) \]对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，其中$ν$表示$ P\times ν=0 $的向外单位法向量场，$\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$表示$P$的偏（无迹）部分。我们还证明了张量场…
2021-10-13 math.AP
Normalized solutions to at least mass critical problems: singular polyharmonic equations and related curl-curl problems
本文研究了至少质量临界情形下奇异多重调和方程及相关 curl-curl 问题的归一化解存在性，利用 $L^2$-球极小化变分技术求解，后者源于 Maxwell 方程组并在非线性光学中具重要意义。
2024-07-31 math.AP
Pointwise descriptions of nearly incompressible vector fields with bounded curl
对于在无穷远处几乎不可压缩的具有$|x|\log|x|$增长的向量场${\bf{v}}:{\mathbb{R}}^n\to{\mathbb{R}}^n$，我们给出了$\operatorname{curl}{\bf{v}}= D{\bf{v}}-D^t{\bf{v}}$属于$L^\infty$的近似不可压缩向量场的逐点刻画.当$n=2$时，我们可以更进一步，仍然以逐点方式描述$|\operatorname{div}{\bf{v}}|+|\operatorname{curl}{\bf{v}}|\in L^\infty$所针对的向量场${\bf{v}}:{\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}^2$。
2020-07-02 math.AP math.CA
Optimizers in Sobolev-curl inequalities
Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）；Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolas Copernicus University（尼古拉·哥白尼大学数学与计算机科学学院）；Department of Mathematics, Stockholm University（斯德哥尔摩大学数学系）
研究涉及 p-curl 算子的 Sobolev 型不等式，证明临界情形下极小元的存在性，并引入新的变分方法处理拟线性不定问题。
2026-09-30 math.AP
The Brezis-Nirenberg problem for the curl-curl operator
在有界Lipschitz域$Ω\subset\mathbb{R}^3$上寻找问题$$ \left\{ \begin{aligned} &\nabla\times(\nabla\times E) +λE = |E|^{p-2}E &&\quad \text{in }Ω&ν\times E = 0 &&\quad \text{on }\partialΩ\end{aligned} \right. $$的解$E:Ω\to\mathbb{R}^3$，其中$\nabla\times$表示$\mathbb{R}^3$中的旋度算子.该方程描述了时谐电场$\Re\{E(x)e^{iωt}\}$在具有$λ=-μ\varepsilon ω^2\leq 0$的非线性各向同性材料$Ω$中的传播，其中$μ$和$\varepsilon$代表材料的磁导率和介电常数的线性部分。非线性项$|E|^{p-2}E$与$p>2$是负责$Ω$的非线性极化和边界条件是由一个完美的导体包围的$Ω$。该问题具有变分结构，我们处理了临界值$p$，例如，在凸区域$Ω$或在具有$\mathcal{C}^{1,1}$边界的区域$p=6=2^*$是Sobolev临界指数，我们得到了方程的五次非线性。我们表明，存在一个圆柱对称的基态解和有限数量的圆柱对称的束缚态依赖于$λ\leq 0$。我们开发了一个新的临界点理论，允许解决这个问题，这使我们…
2017-12-28 math.AP
Nečas-Lions lemma revisited: An $L^p$-version of the generalized Korn inequality for incompatible tensor fields
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义Korn不等式的一个$L^p$ -版本.更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\begin{equation*} \| P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left( \|\operatorname{sym} P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \| \operatorname{Curl}P \|_{L^p(Ω, \mathbb{R}^{3\times3})}\right)\end{equation*}对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，对于在$ \partialΩ$上具有消失的切向迹线$ P\times ν=0 $的所有$P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$，其中$ν$表示$\partialΩ$的向外单位法向量场。对于相容的$P=D …
2021-05-15 math.AP
Ground States of a Nonlinear Curl-Curl Problem in Cylindrically Symmetric Media
本文考虑了与非线性麦克斯韦方程组有关的非线性旋-旋问题$\nabla\times\nabla\times U + V(x) U= Γ(x)|U|^{p-1}U$在$\mathbb{R}^3$中的应用。我们搜索的解决方案作为极小值（基态）的子空间（散焦的情况下）或自然约束（聚焦的情况下）的$H(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)$定义的相应的能量泛函。在函数$V$和$Γ$的圆柱对称性假设下，变分问题可以在$H(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)$的对称子空间中提出.对于$Γ$在无穷远处具有大负值的强散焦情形$\mathrm{esssup}\, Γ<0$，我们用直接极小化方法得到了基态.对于聚焦情形$\mathrm{essinf}\, Γ>0$，在零位于线性算子$\nabla \times \nabla \times +V(x)$的谱之外的假设下，浓度紧性原理产生基态。圆柱对称函数$V$的例子被提供，这对它成立。
2014-11-26 math-ph math.AP math.MP
$L^p$-versions of generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in arbitrary dimensions with $p$-integrable exterior derivative
对于$n\ge2$和$1<p<\infty$，我们证明了不相容的$p$ -可积张量场$P:Ω\to \mathbb{R}^{n\times n}$的广义Korn型不等式的一个$L^p$ -版本，它具有$p$ -可积的广义$\underline{\operatorname{Curl}}$和$\partial Ω$上的广义消失切迹$P\,τ_l=0$，用$\{τ_l\}_{l=1,\ldots, n-1}$表示$\partialΩ$上的移动切标架，更精确地说，我们有：$$\| P \|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{n\times n})}\leq c\,(\| \operatorname{sym} P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{n \times n})} + \|\underline{\operatorname{Curl}} P \|_{L^p(Ω,(\mathfrak{so}(n))^n)} ),$$其中广义$\underline{\operatorname{Curl}}$由$ (\underline{\operatorname{Curl}})_{ijk} :=\partial_i P_{kj}-\partial_j P_{ki}$和$c=c(n,p,Ω)>0$给出.
2021-09-06 math.AP
On a p-curl system arising in electromagnetism
我们证明了在自然切向边界条件下，具有$p$，$1<p<\infty$阶幂非线性项的$p$ -旋度型电磁演化系统解的存在性.我们还考虑了当$p$趋于无穷大时，一个带旋度约束的变分不等式的幂的渐近性质。我们还讨论了具有依赖于时间的旋度约束的一般变分不等式解的存在性、唯一性和对数据的连续依赖性，以及在有约束和无约束的情况下平稳解的时间渐近稳定性。
2010-09-02 math.AP
Differential Inclusions Involving the Curl Operator
Indian Institute of Science Education and Research Kolkata（印度科学教育研究所加尔各答分校）
该文研究涉及旋度算子的微分包含问题，探讨满足特定旋度条件的Sobolev空间函数的存在性，明确了定义域与集合的相关设定。
2024-04-29 math.AP math.CA math.OC
Div-Curl Problems and $\mathbf{H}^1$-regular Stream Functions in 3D Lipschitz Domains
本文考虑在有界Lipschitz域$Ω\subset\mathbb{R}^3$上恢复给定涡量${\mathbf F}=\mathrm{curl}\,{\mathbf U}$的无发散速度场${\mathbf U}\in\mathbf{L}^2(Ω)$的问题。为此，我们解决了给定${\mathbf F}\in{\mathbf H}^{-1}(Ω)$的“div-curl问题”。解用矢量势（或流函数）${\mathbf A}\in{\mathbf H}^1(Ω)$表示，使得${\mathbf U}=\mathrm{curl}\,{\mathbf A}$。在讨论了解的存在唯一性和相应的矢势后，我们给出了一个适定性的流函数的构造。给出了一种基于该结构的数值方法，实验证明，所得到的近似结果比另一种常用方法具有更高的正则性。
2021-02-03 math.AP
Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions with conformally invariant dislocation energy
设$Ω\subset \mathbb{R}^3$是具有Lipschitz边界和向外单位正规$ν$的开有界集.对于$1<p<\infty$，我们建立了新Banach空间$$ W^{1,\,p,\,r}_0(\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb R^{3\times3}) = \{ P \in L^p(Ω,\mathbb R^{3\times3}) \mid \operatorname{dev} \operatorname{sym} \operatorname{Curl} P \in L^r(Ω,\mathbb R^{3\times3}),\ \operatorname{dev} \operatorname{sym} (P \times ν) = 0 \text{ on $\partial Ω$}\} $$中不相容张量场$P$的广义$L^p$不等式的一个改进形式，其中$$ r \in [1, \infty), \qquad \frac1r \le \frac1p + \frac13, \qquad r >1 \quad \text{if $p = \frac32$.}$$具体地说，存在一个常数$c=c(p,Ω,r)>0$，使得不等式\[ \|P \|_{L^p}\leq c\,\left(\…
2021-07-05 math.AP
A new div-curl result. Applications to the homogenization of elliptic systems and to the weak continuity of the Jacobian
本文在$\mathbb{R}^N$的开集$Ω$（$N\geq 2$）中，对分别在$L^p(Ω)^N$和$L^q(Ω)^N$中有界的两列向量值函数与${1/p}+{1/q}=1+{1/(N-1)}$的乘积，建立了一个新的div-curl结果.我们还假设乘积在$W^{-1,1}(Ω)$中弱收敛。证明的关键成分是一个紧凑的结果，有界序列在$W^{1,q}(Ω)$，基于嵌入$W^{1,q}(S\_{N-1})$到$L^{p'}(S\_{N-1})$（$S\_{N-1}$单位球的$\mathbb{R}^N$）通过适当选择的环上的梯度不是太高，在德乔治和曼弗雷迪的精神。将div-curl结果应用于等矫顽系统的均匀化，如果$N\textgreater{}2$，则对于某些$ρ\textgreater{}{N-1\over 2}$，其系数在$L^ρ(Ω)$中等有界，如果$N=2$，则在$L^1(Ω)$中等有界.它还允许我们证明一个弱连续性结果的雅可比矩阵的有界序列在$W^{1,N-1}(Ω)$满足一个替代假设的$L^\infty$强估计Brezis和阮。两个例子显示了结果的清晰度。
2015-01-09 math.AP
Generalized linking-type theorem with applications to strongly indefinite problems with sign-changing nonlinearities
我们展示了链接型的结果，它使我们能够研究强不确定的问题与符号变化的非线性。我们应用抽象理论的奇异薛定谔方程$$ -Δu + V(x)u + \frac{a}{r^2} u = f(u) - λg(u), \quad x = (y,z) \in \mathbb{R}^K \times \mathbb{R}^{N-K}, \ r = |y|, $$，其中$$ 0 \not\in σ\left( -Δ+ \frac{a}{r^2} + V(x) \right). $$作为一个结果，我们也获得了非线性卷曲卷曲问题的解的存在性。
2022-03-28 math.AP
The curl-Yamabe problem
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg（弗莱堡大学）；Wuhan University, School of Mathematics and Statistics（武汉大学数学与统计学院）
本文引入curl-Yamabe问题，定义共形不变常数，证明其上界及严格不等式条件，并得到极小元存在性。
2026-09-15 math.AP math.DG
Fractional Integration and Optimal Estimates for Elliptic Systems
在本文中，我们给一个肯定的答案，欧几里德模拟的问题布尔甘和Brezis有关的最佳洛伦兹估计的Div-Curl系统：函数$Z=\operatorname*{curl} (-Δ)^{-1} F$满足\begin{align*} \operatorname*{curl} Z = F \newline \operatorname*{div} Z = 0 \end{align*}，且存在一个常数$C>0$使得\begin{align*} \| Z\|_{L^{3/2,1}(\mathbb{R}^3;\mathbb{R}^3)} \leq C\| F\|_{L^{1}(\mathbb{R}^3;\mathbb{R}^3)}. \end{align*}我们的证明依赖于一个新的端点Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，该不等式是通过独立兴趣的结果得到的，这种物体的原子分解。
2021-11-20 math.AP math.FA
Bilinear Decomposition and Divergence-Curl Estimates on Products Related to Local Hardy Spaces and Their Dual Spaces
设$p\in(0,1)$，$α:=1/p-1$，对于任何$τ\in [0,\infty)$，设$Φ_{p}(τ):=τ/(1+τ^{1-p})$。设$H^p(\mathbb R^n)$、$h^p(\mathbb R^n)$和$Λ_{nα}(\mathbb{R}^n)$分别是$\mathbb{R}^n$上的Hardy空间、局部Hardy空间和非齐次Lipschitz空间.本文利用小波的非齐次重整化，建立了$h^p(\mathbb R^n)$ [或$H^p(\mathbb R^n)$ ]和$Λ_{nα}(\mathbb{R}^n)$中元素乘法的双线性分解，并证明了这些双线性分解在一定意义下是尖锐的.作为应用，作者还分别得到了局部Hardy空间$h^p(\mathbb R^n)$与$p\in(0,1]$及其对偶空间中$\lfloor nα\rfloor$ -非齐次旋度为零且散度为零的元素乘积的估计，其中$\lfloor nα\rfloor$表示不大于$nα$的最大整数.通过证明$h^{Φ_p}(\mathbb R^n)=h^1(\mathbb R^n)+h^p(\mathbb R^n)$和$H^{Φ_p}(\mathbb R^n)=H^1(\mathbb R^n)+H^p(\mathbb R^n)$具有等价的拟范数，得到了$h^{Φ_p}(\mathbb R^n)$和$H^{Φ_p}(\…
2020-07-05 math.AP math.CA math.FA
On a critical curl-curl system of Lane-Emden type
Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）；Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University（尼古拉·哥白尼大学数学与计算机科学系）；Department of Mathematics, Stockholm University（斯德哥尔摩大学数学系）
本文研究三维空间中临界双曲线$1/p+1/q=1/3$上的Lane-Emden型旋度-旋度系统，通过约化方程与集中紧性论证证明基态解存在，且最优Sobolev-旋度常数可达。
2026-10-16 math.AP
Cylindrically Symmetric Ground State Solutions for Curl-Curl Equations with Critical Exponent
研究了非线性临界旋度-旋度方程\begin{equation}\label{eq0.1}\nabla\times \nabla\times U +V(x)U=|U|^{p-2}U+ |U|^4U,\quad x\in \mathbb{R}^3,\end{equation}，其中带有$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$的$V(x)=V(r, x_3)$在$x_3$方向上是1-周期的，并且属于$L^\infty(\R^3)$ .当$0\not\in σ(-Δ+\frac{1}{r^2}+V)$和$p\in(4,6)$满足时，我们证明了（\ref{eq0.1}）的非平凡解的存在性，它确实是适当的柱对称空间中的基态解.特别地，如果$ σ(-Δ+\frac{1}{r^2}+V)>0$，则对于任何$p\in(2,6)$都获得基态解。
2017-12-14 math.AP math.FA
Optimal incompatible Korn-Maxwell-Sobolev inequalities in all dimensions
本文刻画了适用于任意维度且不相容矩阵场的最优 Korn-Maxwell-Sobolev 不等式，推广了线性弹性中的 Korn 型不等式，并特别对二维情形进行了精细分析。
2023-06-29 math.AP
On the sharp constants in curl-Sobolev inequalities on $\mathbb{S}^n$
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg（弗莱堡大学）；Wuhan University（武汉大学）
本文研究了$\mathbb{S}^n$上curl-Sobolev不等式中精确常数的问题，证明了$J_1$的局部稳定性及$J_2$的不稳定性，给出了精确常数的严格上界。
2026-07-22 math.AP math.DG math.SP
Curl-Free Ginzburg-Landau Vortices
对于某些二维非线性椭圆型偏微分方程问题，经典的等周不等式产生一个尖锐的不等式，除了径向对称的，递减的解决方案，违反Pohozaev恒等式.本文用这种方法的一个推广版本来证明无旋金-朗道涡旋的径向对称性。
1998-04-24 math-ph math.AP math.MP
An Optimal Sobolev Embedding for $L^1$
本文建立了里斯位势作用在无旋矢量上的最优Lorentz空间估计：存在一个常数$C=C(α,d)>0$使得\[ \|I_αF \|_{L^{d/(d-α),1}(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)} \leq C \|F\|_{L^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)} \]对所有场$F \in L^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$使得$\operatorname*{curl} F=0$在分布意义下.这是在这种空间尺度上可能的最佳估计，并且完成了$p>1$的公认结果的$p=1$体系中的图像。
2018-09-05 math.AP math.FA
Entire vortex solutions of negative degree for the anisotropic Ginzburg-Landau system
$u\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$和$δ\in (-1,1)$的各向异性Ginzburg-Landau系统\[ Δu+δ\, \nabla (\mathrm{div}\: u) +δ\, \mathrm{curl}^*(\mathrm{curl}\: u)=(|u|^2-1) u, \]模拟了液晶中涡旋的形成。我们证明了整个解决方案的存在性，使$|u(x)|\to 1$和$u$具有规定的拓扑度$d\leq -1$为$|x|\to\infty$，各向异性参数$|δ| < δ_0(d)$的小值。与各向同性情况$δ=0$不同，这不能简化为一维径向方程。我们得到这些解决方案，通过最小化各向异性的Ginzburg-Landau能量在适当的类的等变映射，相对于一个有限的对称子群。
2021-10-14 math.AP
Asymmetry of curl eigenfields solving Woltjer's variational problem
本文通过构造旋转对称环形区域，证明了 Woltjer 变分原理的最小化子及最低旋度特征场无需继承区域的对称性，反驳了相关传统观点。
2025-06-30 math-ph math.AP math.MP
On the minimality of the radial singularity in nematic liquid crystals
Univ Toulouse, CNRS, IMT（图卢兹大学，法国国家科学研究中心，数学研究所）；Institut Universitaire de France (IUF)（法兰西学院）
本文证明在向列液晶中，径向奇点映射在更广泛的各向异性能量参数下是极小元，主要工具是新的稳定性估计。
2026-09-30 math.AP
A generalisation of the Gagliardo--Nirenberg Inequality with applications to mass-critical and mass-subcritical elliptic equations
Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与机械学院）
本文通过新的Gagliardo-Nirenberg型不等式，研究了带分数阶Laplace算子和奇异项的椭圆方程在质量临界和亚临界情形下的解的存在性和非存在性，同时探讨了相关旋度方程的阈值问题。
2026-11-09 math.AP
Physical Space Proof of Bilinear Estimates and Applications to Nonlinear Dispersive Equations
本文通过物理空间中的新型div-curl引理和Strichartz估计，简化了修正KdV和修正BO方程在临界Sobolev空间中的局部适定性证明。
2025-01-21 math.AP
Modal bases of coaxial electromagnetic step index fibers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究电磁阶梯指数光纤的模基问题，证明在小扰动下，切向电场（磁场）构成Riesz基，适用于复频率和实频率情况，无反向模。
2026-10-19 math.AP
Weakly nonlinear surface waves on the plasma-vacuum interface
考虑理想不可压缩磁流体力学中等离子体-真空界面的自由边界问题。不同于经典的说法，真空磁场服从前麦克斯韦动力学的div-curl系统，我们不忽略真空区的位移电流，并考虑电场和磁场的麦克斯韦方程。我们的目标是构造弱非线性区域的高振荡表面波解，这个等离子体-真空界面问题。在背景状态为分段常数的充分必要稳定条件下，当初始间断出现高频振荡时，我们构造了三维空间中自由边界问题任意大精度阶的近似解.此外，这种近似表面波具有非平凡的剩余非振荡分量。
2022-02-16 math.AP
Existence, uniqueness and optimal regularity results for very weak solutions to nonlinear elliptic systems
建立了一类非线性椭圆型边值问题很弱解的存在唯一性和最优正则性结果。我们引入结构渐近假设的乌伦贝克型的非线性，这是足够的，在许多情况下，也有必要建立这样的理论。我们提供了一个统一的方法，导致定性相同的理论，可用于线性椭圆问题的连续coefficients，如泊松方程。结果是基于几个新的工具，是独立的利益：局部和全局估计（非）线性椭圆系统的加权Lebesgue空间与Muckenhoupt权重，一个推广的著名div{curl引理识别的弱极限在边界线空间和引进Lipschitz近似，是稳定的加权索伯列夫空间。
2016-01-30 math.AP
Ground and bound state solutions of semilinear time-harmonic Maxwell equations in a bounded domain
我们找到了问题\[ \left\{\begin{aligned} &\nabla\times(\nabla\times E) + λE = \partial_E F(x,E) &&\quad \text{in}Ω\\ &ν\times E = 0 &&\quad \text{on}\partialΩ\end{aligned} \right. \]的解$E:Ω\to\mathbb{R}^3$在一个单连通的，光滑的，有界的区域$Ω\subset\mathbb{R}^3$与连接的边界和外部正常的$ν:\partialΩ\to\mathbb{R}^3$。这里$\nabla\times$表示$\mathbb{R}^3$中的旋度算子，非线性$F:Ω\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$在$E$中是超二次和次临界的。模型非线性的形式为$F(x,E)=Γ(x)|E|^p$，其中$Γ\in L^\infty(Ω)$为正，部分为$2<p<6$。它不需要是径向的，甚至也不需要在$E$变量中。问题来源于时谐Maxwell方程组，边界条件是$Ω$被理想导体包围的边界条件。
2013-10-17 math.AP
Inviscid fluid interacting with a nonlinear two-dimensional plate
该研究针对无粘流体与二维非线性Koiter板相互作用的移动边界问题，采用ALE坐标固定定义域，推导了无粘弹性平滑条件下的多类先验估计以证明解的局部时间存在性，并拓展至分数阶Sobolev空间与归一化第二基本形式的情形。
2024-10-31 math.AP
Ground states of time-harmonic semilinear Maxwell equations in R^3 with vanishing permittivity
研究了时谐半线性Maxwell方程$$\nabla\times(\nabla\times E) + V(x) E = \partial_E F(x,E) \quad \text{in}\mathbb{R}^3,$$解$E:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$的存在性，其中$V:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$，$V(x)\leq 0$ a.e.在$\mathbb{R}^3$上，$\nabla\times$表示$\mathbb{R}^3$中的旋度算子，而$F:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$是$E$中的非线性函数。特别是，我们找到了一个基态的解决方案，提供了适当的增长条件$F$和$L^{3/2}$ -规范的$V$是小于最好的Sobolev常数。在应用中，$F$负责非线性极化和$V(x)=-μω^2\varepsilon(x)$，其中$μ>0$是磁导率，$ω$是时谐电场$\Re\{E(x)e^{iωt}\}$的频率，而$\varepsilon$是非均匀介质中介电常数的线性部分。
2017-10-19 math.AP
Global solutions of the 2D inhomogeneous incompressible viscoelastic system
Yunnan University（云南大学）；South China Normal University（华南师范大学）；Guizhou Normal University（贵州师范大学）
本文通过引入有效张量和新的分数时间加权能量框架，证明了二维不均匀不可压缩粘弹性系统强解的全局存在性，无需使用常规的``div-curl
2026-03-01 math.AP
On scattering for the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation on waveguide $\mathbb{R}^2\times \mathbb{T}$
在这篇文章中，我们将在$H^1$中证明立方离焦非线性薛定谔方程在波导$\mathbb{R}^2\times \mathbb{T}$上的整体适定性和散射。我们首先在$L^2(\mathbb{R}^2)$中建立了质量临界薛定谔方程的线性剖面分解的基础上，建立了$H^{ 1}(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{T})$中的线性剖面分解。然后用无限维矢量值共振非线性薛定谔系统的解来近似非线性轮廓，用浓度-紧性/刚性方法证明了$H^1$中的散射。
2017-05-02 math.AP
Meissner States of Type II Superconductors
本文研究了$I\!I$型块状超导体的迈斯纳态的数学理论，该超导体占据$\Bbb R^3$中的有界畴$Ω$，并受到低于临界场$H_{S}$的外加磁场的作用。Meissner态由称为Meissner系统的非线性偏微分系统的解$(f,\mathbf A)$来描述，其中$f$是$Ω$上的正函数，其等于序参数的模，而$\mathbf A$是定义在整个空间上的磁势，使得畴界$\partialΩ$上的法向分量的内迹为零。这样的解称为迈斯纳解。各种性质的迈斯纳解决方案进行检查，包括正则性，分类和渐近行为的大值的Ginzburg-Landau参数$κ$。结果表明，Meissner解在$Ω$内是光滑的，而在$Ω$外的磁势的规则性可能很差。这一观察导致的想法分解成两个问题的迈斯纳系统，边值问题在$Ω$和外部问题的$Ω$。我们证明了当$κ$趋于$\infty$时，具有固定边界数据的边值问题的解在$Ω$上一致收敛，其中磁位的极限场是一个非线性旋度系统的解.这表明，Meissner系统的解$(f,\mathbf A)$的磁位部分$\mathbf A$，在$\partialΩ$上具有与$curl \mathbf A$相同的切向分量，当$κ$增大到无穷大时，收敛到旋度系统的解，从而验证了旋度系统确实是三维情况下Meissner系统的正确极限.
2018-11-25 math.AP physics.app-ph
Global well-posedness for radial extremal hypersurface equation in $\left(1+3 \right)$-dimensional Minkowski space-time in critical Sobolev space
本文通过推导新的div-curl型引理并结合能量与“动量”平衡律获取非线性项时空估计，证明了（1+3）维Minkowski时空中径向类时极值超曲面方程在临界Sobolev空间中的整体适定性。
2023-09-17 math.AP
On the growth of high Sobolev norms of the cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{R}\times \mathbb{T}$
考虑乘积流形$\mathbb{R}\times \mathbb{T}$上的三次非线性薛定谔方程.本文得到了解的高Sobolev范数随时间增长的多项式界。证明的主要内容是建立一个迭代界，它是基于Bourgain在\cite{B1}中使用的思想。
2023-02-01 math.AP
Non-radial implosion for the defocusing nonlinear Schrödinger equation in $\mathbb{T}^d$ and $\mathbb{R}^d$
该研究针对散焦非线性薛定谔方程，构造出在周期域与全空间下均会发生有限时间内爆奇性的光滑非径向解，拓展了相关奇性解的研究范围。
2024-10-06 math.AP
Existence of positive solution for a nonlinear elliptic equation with saddle-like potential and nonlinearity with exponential critical growth in $\mathbb{R}^{2}$
本文利用变分方法证明了一类椭圆型方程$$ -ε^{2}Δ{u}+V(z)u=f(u) \,\,\, \mbox{in} \,\,\, \mathbb{R}^{2}, $$正解的存在性，其中$ε>0$为正参数，$V$为鞍形势，$f$具有指数临界增长.
2015-06-16 math.AP
Homogenization for the cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb R^2$
研究了在$L^2(\mathbb R^2)$中初始数据下，在$\mathbb R^2$ $$i u_t +Δu=g(nx) |u|^2 u$$上的非均匀散焦质量临界非线性薛定谔方程.我们得到了$g$上的充分条件，以确保$n$足够大的整体解的存在性和唯一性，以及均匀化。
2019-11-11 math.AP
Transverse instability for nonlinear Schrödinger equation with a linear potential
本文研究了$\mathbb{R} \times \mathbb{T}_L$上带线性势的非线性薛定谔方程的横向不稳定性，其中$2πL$是圆环$\mathbb{T}_L$的周期. Rose和Weinstein证明了具有线性势的非线性薛定谔方程存在稳定驻波。将$\mathbb{R}$上的非线性薛定谔方程的驻波看成是$\mathbb{R} \times \mathbb{T}_L$上的非线性薛定谔方程的线驻波。我们证明了所有$L>0$的线驻波的稳定性。
2015-10-09 math.AP
Global well-posedness for the derivative nonlinear Schrödinger equation in $H^{\frac 12} (\mathbb{R})$
证明了当初始数据的质量严格小于$4π$时，非线性薛定谔方程在$H^{\frac 12} (\mathbb{R})$中是整体适定的.
2016-06-24 math.AP
Local wellposedness for the critical nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{T}^3$
对于$p\geq 2$，我们证明了非线性薛定谔方程$(i\partial_t + Δ)u = \pm|u|^pu$在$H^{s_c}(\mathbb{T}^3)$上的局部适定性，其中$\mathbb{T}^3$是矩形无理$3$ -环面，$s_c = \frac{3}{2} - \frac{2}{p}$是标度临界正则性.这扩展了早期作者的工作本地柯西理论的NLS对$\mathbb{T}^3$与功率非线性，其中$p$是一个偶数。
2019-09-12 math.AP
Asymptotic stability of small solitary waves for nonlinear Schrödinger equations with electromagnetic potential in $ \mathbb{R}^3$
考虑$ u: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \to \mathbb{C} $的非线性磁薛定谔方程，\[ iu_t = (i \nabla + A)^2 u + V u + g(u), u(x,0) = u_0(x),\]其中$ A :\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $是磁势，$ V : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} $是电势，$ g = \pm | u |^2 u $是非线性项.我们表明，在适当的假设下的电和磁势，如果初始数据是足够小的$ H^1 $，然后上述方程的解决方案分解成一个驻波部分，它收敛为$t \to \infty$和色散的一部分，散射。
2010-12-01 math.AP
Existence theorem for geometrically nonlinear Cosserat micropolar model under uniform convexity requirements
我们重新考虑几何非线性Cosserat模型的一致凸弹性能量和写的平衡问题作为一个最小化问题。应用变分法的直接法证明了极小元的存在性。我们提出了一个明确的证明的基础上的弹性存储的能量密度和弱下半连续的总能量泛函的非线性。使用位错密度张量$\bar{\boldsymbol{K}}=\bar{\boldsymbol{R}}^T\,\mathrm{Curl}\,\bar{\boldsymbol{R}}$作为合适的Cosserat曲率测量。
2014-12-15 math-ph math.AP math.MP
Hyperbolic nonlinear Schrödinger equations on $\mathbb{R}\times \mathbb{T}$
ShanghaiTech University（上海科技大学）；CNRS Université Paris-Est Créteil Laboratoire d’Analyse et de Mathématiques appliquées UMR 8050 du CNRS（法国国家科学研究中心巴黎东克雷泰伊大学应用分析数学实验室）；Ecole Normale Supérieure de Lyon UMPA UMR CNRS-ENSL 5669（里昂高等师范学院）；School of Mathematics University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）
本文研究了双曲非线性薛定谔方程在 $\mathbb{R}\times \mathbb{T}$ 上的局部解和全局解的存在性，利用Strichartz估计证明了临界正则性下的解的全局存在性和散射性。
2026-03-10 math.AP
Probabilistic global well-posedness of the energy-critical defocusing quintic nonlinear wave equation on $\mathbb{R}^3$
在$ H^s(\mathbb{R}^3) \times H^{s-1}(\mathbb{R}^3)$ for $s > \frac 12$中证明了具有随机初始数据的能量临界五次非线性离焦波动方程在$\mathbb{R}^3$上的几乎几乎必然整体适定性。主要的新成分是一个统一的概率能量界近似随机解。
2015-10-21 math.AP
On the analyticity of the nonlinear Fourier transform of the Benjamin-Ono equation on $\mathbb{T}$
证明了Benjamin-Ono方程在$\mathbb{T}$上的非线性傅里叶变换，也称为Birkhoff映射，是从Sobolev空间$H^{s}_{0}(\mathbb{T},\mathbb{R})$，$s > -1/2$到加权$\ell^2-$序列空间$\mathfrak{h}^{s +1/2}_{r,0}(\mathbb{N},\mathbb{C})$，$s >-1/2$的实解析同态.作为一个应用，我们证明了对于任何$-1/2<s<0$，Benjamin-Ono方程$\mathcal{S}_0^t : H^{s}_{0}(\mathbb{T},\mathbb{R})\to H^{s}_{0}(\mathbb{T},\mathbb{R})$的流图在$H^{s}_{0}(\mathbb{T},\mathbb{R})$中是{ \em无处局部一致连续}的.
2021-09-18 math.AP
Semiclassical states for a magnetic nonlinear Schrödinger equation with exponential critical growth in $\mathbb{R}^{2}$
本文研究磁非线性薛定谔方程\[ \Big(\frac{\varepsilon}{i}\nabla-A(x)\Big)^{2}u+V(x)u=f(| u|^{2})u \text{ in } \mathbb{R}^{2}, \]，其中$\varepsilon>0$为参数，$V:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$和$A: \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$为连续函数，$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$为具有指数临界增长的$C^{1}$函数.在一个全局假设下，我们利用变分方法和Ljusternick-Schnirelmann理论证明了$\varepsilon>0$小的非平凡解的存在性、多重性、浓度和衰减性.
2021-06-10 math.AP
