关于向列液晶中径向奇点极小性的研究

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我们证明了映射 $u_*\colon B_1\subset\mathbb R^3\to\mathbb S^2$，$x\mapsto x/|x|$，在各向异性能量 \begin{align*} \int_{B_1} \Big( k_1(\mathrm{div}\\, u)^2+k_2 (u\cdot \mathrm{curl}\\, u)^2 +k_3 |u\times\mathrm{curl}\\, u|^2 \Big) \\, dx, \end{align*} 的边界值相同的 $\mathbb S^2$ 值映射中，对于 $k_1,k_2,k_3>0$ 且超出已知范围 $k_1\leq k_2$ 的参数，实现了极小化。我们的主要工具是 $u_*$ 作为极小球面调和映射的一个新的稳定性估计。

英文摘要

We show that the map $u_*\colon B_1\subset\mathbb R^3\to\mathbb S^2$, $x\mapsto x/|x|$, minimizes the anisotropic energy \begin{align*} \int_{B_1} \Big( k_1(\mathrm{div}\, u)^2+k_2 (u\cdot \mathrm{curl}\, u)^2 +k_3 |u\times\mathrm{curl}\, u|^2 \Big) \, dx, \end{align*} among $\mathbb S^2$-valued maps agreeing with it on the boundary, for values of $k_1,k_2,k_3>0$ beyond the known regime $k_1\leq k_2$. Our main tool is a new stability estimate for $u_*$ as a minimizing sphere-valued harmonic map.

发表机构

• Univ Toulouse, CNRS, IMT（图卢兹大学，法国国家科学研究中心，数学研究所）
• Institut Universitaire de France (IUF)（法兰西学院）

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