The div-curl lemma for sequences whose divergence and curl are compact in W^{-1,1}
证明了当序列$\Div u_k$和$\curl v_k$在$W^{1,\infty}_0$的对偶空间中是紧的且$u_k\cdot v_k$是等积的时，若$u_k\weakto u$在$L^p$中弱收敛，$v_k\weakly v$在$L^q$中弱收敛，且有$p, q\in (1,\infty)$，$1/p+1/q=1$.主要的一点是，我们只需要等积的标量积$u_k\cdot v_k$，而不是个别的序列。
2009-07-02 math.AP
Modal bases of coaxial electromagnetic step index fibers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究电磁阶梯指数光纤的模基问题，证明在小扰动下，切向电场（磁场）构成Riesz基，适用于复频率和实频率情况，无反向模。
2026-10-19 math.AP
Nonhomogeneous div-curl type estimates for system of complex vector fields on local Hardy spaces
本文在局部Hardy空间$h^1$上提出了常系数复向量场椭圆系统的非齐次div-curl型估计，并借此实现了局部$bmo$空间的向量场分解。
2025-04-30 math.AP
Explicit Formula of the Infinite Energy Solutions for the Exterior 2D Div-Curl Problem with Dirichlet Boundary Condition
Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）
本文推导了外部二维div-curl问题在狄利克雷边界条件下无穷能量解的显式公式。
2025-12-01 math.AP
Solvability of generalized div-curl system and Friedrichs inequalities
本文考虑两个广义div-curl系统的可解性。它们分别被称为静磁学和电学方程。充分描述了解存在的数据相容性必要条件，证明了$W^{m, p}$-解的存在性.此外，我们还对零空间作了一些描述。作为推论，我们在$L^p$-框架下利用广义${\rm div}$和${\rm curl}$给出了梯度的估计，这些估计可以看作是Friedrichs不等式.进一步给出了索伯列夫空间的两种分解。
2018-04-20 math.AP
On Div-Curl for Higher Order
我们提出了新的例子，复杂的微分算子的顺序$k$（任何给定的正整数），满足div-curl和/或$L^1$ -对偶估计。
2015-09-29 math.AP
Bounds and regularity of Solutions of Planar Div-curl Problems
给出了有界平面区域上的平面div-curl边值问题解的新的2-范数界。处理了指定通量、切向迹线和混合边界。谐波分解用于将由于源项而导致的解的分量与由于边界数据而导致的分量分离。得到了解的估计，并描述了一些正则性结果
2016-10-21 math.AP
The Three-Dimensional Divergence-Curl Problem with Homogeneous Boundary Conditions and Pseudo-Harmonic Fields
本文研究了多维散度-旋度问题的可解性，提出通过旋度函数与伪调和场的正交性条件来判断可解性，并给出了用于解决球体外三维问题的可数族伪调和场。
2026-10-15 math.AP
A Survey on the Div-Curl Lemma and Some Extensions to Fractional Sobolev Spaces
Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）
本文是一本待出版著作的章节，回顾Div-Curl引理的经典表述与证明，在Riesz分数阶梯度与散度框架下介绍该引理在分数阶Sobolev空间中的若干推广。
2025-09-15 math.AP
A measure-$L^\infty$ div-curl lemma
Sorbonne Université, CNRS, Université de Paris, Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL)（索邦大学，法国国家科学研究中心，巴黎大学，雅克-路易·利翁斯实验室）；Laboratoire de mathématiques d’Orsay, CNRS, Université Paris-Saclay（奥赛数学实验室，法国国家科学研究中心，巴黎萨克雷大学）
本文提出了一种在极限共轭情况下M-L^∞空间中简短证明分散-旋环引理的方法，并扩展至其他相关空间。
2025-12-19 math.AP
A Global div-curl-Lemma for Mixed Boundary Conditions in Weak Lipschitz Domains
我们证明了一个全球版本的所谓的div-curl-引理，补偿紧性和均匀化理论的一个重要结果，混合切向和正常的边界条件在有界弱Lipschitz域在3D和弱Lipschitz接口。关键的工具和我们的论点的核心是德拉姆复杂和韦克的选择定理，麦克斯韦方程组的基本紧凑嵌入结果。
2018-12-15 math.AP
Solvability and regularity for an elliptic system prescribing the curl, divergence, and partial trace of a vector field on Sobolev-class domains
给出了一类Hodge型椭圆方程组的可解性和正则性的完备证明，其中向量场的散度和旋度在开的有界Sobolev类区域中给定，且向量场的法向分量或切向分量在边界上给定.证明是基于Sobolev类域上具有Sobolev类系数的向量椭圆型方程的正则性理论。
2015-09-09 math.AP
Fourier series of the $\nabla\,div$ operator and Sobolev spaces II
本文研究了三维光滑边界空间的有界域$G $上模的平方可积的向量函数空间$\mathbf{L}_{2}(G)$的结构，以及散度梯度和旋度算子在构造其正交子空间$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的基中的作用。${\mathcal{A}}$和${\mathcal{B}}$包含子空间${\mathcal{A}_γ}(G)\subset{\mathcal{A}}$和$\mathbf{V}^{0}(G)\subset{\mathcal{B}}$。散度梯度算子和a旋度算子在这些子空间中有延拓，它们的展开式$\mathcal{N}_d$和$S$是自伴的和可转换的，它们的逆算子$\mathcal{N}_{d}^{-1}$和$S^{-1}$是紧的.在每个子空间中，我们建立ortonormal基。将这些基结合起来，我们得到了由散度梯度和旋度算子的本征函数构成的全空间$\mathbf{L}_{2}(G)$的完全正交基。在一种情况下，当域$G$是球$B$时，基本函数由初等函数定义。定义了空间$\mathcal{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$。证明了$ \mathbf{v}\in\mathcal{A}^{s}_{\mathcal {K}}(B)$是其傅里叶级数（关于散度梯度的特征函数）在Sobolev空间$ \mathbf{H}^{s}(B)$范数下收敛的充要条件.利用函…
2017-12-07 math-ph math.AP math.MP
On the boundary conditions in estimating $\nabla ω$ by div $ω$ and curl $ω.$
本文研究了不等式$$\|\nablaω\|_{L^2(Ω)}^2\leq C\left(\|{\rm curl}ω\|_{L^2(Ω)}^2+ \|{\rm div}ω\|_{L^2(Ω)}^2+\|ω\|_{L^2(Ω)}^2\right) $$在什么样的边界条件下成立。它是已知的，这样的估计持有，如果无论是切向或正常的$ω$组件消失的边界上$\partialω.$我们表明，消失的切向组件条件是一个更一般的一个特殊情况。在二维情况下，我们给出了这两个经典边界条件之间的插值结果。
2017-09-18 math.AP
Higher order div-curl type estimates for elliptic linear differential operators on localizable Hardy spaces
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
本文研究了在局部可定位Hardy空间上，针对椭圆线性微分算子的高阶div-curl型估计，并开发了新的光滑原子分解方法和Poincaré型不等式证明。
2026-01-23 math.AP
The Hölder regularity of div-curl system with anisotropic coefficients
该研究解决了Yin 2016年提出的具一个各向异性系数的散度-旋度系统赫尔德正则性的未解决问题，建立了具两个各向异性系数时解的赫尔德正则性，且解的正则度随系数正则度提升而提高。
2026-08-12 math.AP
Meissner States of Type II Superconductors
本文研究了$I\!I$型块状超导体的迈斯纳态的数学理论，该超导体占据$\Bbb R^3$中的有界畴$Ω$，并受到低于临界场$H_{S}$的外加磁场的作用。Meissner态由称为Meissner系统的非线性偏微分系统的解$(f,\mathbf A)$来描述，其中$f$是$Ω$上的正函数，其等于序参数的模，而$\mathbf A$是定义在整个空间上的磁势，使得畴界$\partialΩ$上的法向分量的内迹为零。这样的解称为迈斯纳解。各种性质的迈斯纳解决方案进行检查，包括正则性，分类和渐近行为的大值的Ginzburg-Landau参数$κ$。结果表明，Meissner解在$Ω$内是光滑的，而在$Ω$外的磁势的规则性可能很差。这一观察导致的想法分解成两个问题的迈斯纳系统，边值问题在$Ω$和外部问题的$Ω$。我们证明了当$κ$趋于$\infty$时，具有固定边界数据的边值问题的解在$Ω$上一致收敛，其中磁位的极限场是一个非线性旋度系统的解.这表明，Meissner系统的解$(f,\mathbf A)$的磁位部分$\mathbf A$，在$\partialΩ$上具有与$curl \mathbf A$相同的切向分量，当$κ$增大到无穷大时，收敛到旋度系统的解，从而验证了旋度系统确实是三维情况下Meissner系统的正确极限.
2018-11-25 math.AP physics.app-ph
Sharp Hardy-Leray and Rellich-Leray inequalities for curl-free vector fields
本文证明了具有锐常数的无旋向量场的Hardy-Leray和Rellich-Leray不等式。这补充了Costin-Maz'ya \cite{Costin-Mazya}关于轴对称无发散向量场的Hardy-Leray不等式的工作。
2018-08-29 math.AP
A new div-curl result. Applications to the homogenization of elliptic systems and to the weak continuity of the Jacobian
本文在$\mathbb{R}^N$的开集$Ω$（$N\geq 2$）中，对分别在$L^p(Ω)^N$和$L^q(Ω)^N$中有界的两列向量值函数与${1/p}+{1/q}=1+{1/(N-1)}$的乘积，建立了一个新的div-curl结果.我们还假设乘积在$W^{-1,1}(Ω)$中弱收敛。证明的关键成分是一个紧凑的结果，有界序列在$W^{1,q}(Ω)$，基于嵌入$W^{1,q}(S\_{N-1})$到$L^{p'}(S\_{N-1})$（$S\_{N-1}$单位球的$\mathbb{R}^N$）通过适当选择的环上的梯度不是太高，在德乔治和曼弗雷迪的精神。将div-curl结果应用于等矫顽系统的均匀化，如果$N\textgreater{}2$，则对于某些$ρ\textgreater{}{N-1\over 2}$，其系数在$L^ρ(Ω)$中等有界，如果$N=2$，则在$L^1(Ω)$中等有界.它还允许我们证明一个弱连续性结果的雅可比矩阵的有界序列在$W^{1,N-1}(Ω)$满足一个替代假设的$L^\infty$强估计Brezis和阮。两个例子显示了结果的清晰度。
2015-01-09 math.AP
The Div-Curl Lemma Revisited
Div-Curl引理是索伯列夫空间中补偿紧性理论的基本结果，由F. Murat（1978）给出了$L^2(Ω)$和$L^p(Ω)$，$p \neq 2$情形的不同证明。在本文中，我们提出了一个略有不同的证明，只依赖于格林-高斯积分公式和通常的Rellich-Kondrachov紧性。
2007-12-13 math.AP math.FA
A Functional Analytic Perspective to the div-curl Lemma
我们提出了F.~发现的著名$\dive$引理的抽象函数分析公式Murat和L.~鞑靼人本文的观点依赖于希尔伯特空间中的算子序列。因此，我们把div-curl引理与微分形式和其它序列，如最近由D.~发现的$\Grad\grad$ -序列，建立了泛函分析关系Pauly和W。Zulehner与双调和算子的关系。
2017-04-03 math-ph math.AP math.FA
Homogenization of a stationary periodic Maxwell system in a bounded domain in the case of constant magnetic permeability
在$C^{1,1}$类的有界区域$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$中，考虑了具有理想导电边界条件的稳态Maxwell系统。假设磁导率由常数正的$(3\times 3)$矩阵$μ_0$给出，并且介电常数具有$η({\mathbf x}/ \varepsilon)$的形式，其中$η({\mathbf x})$是具有实元素的$(3 \times 3)$矩阵值函数，相对于某些晶格是周期性的，有界的和正定的。这里$\varepsilon >0$是小参数。假设包含磁场强度旋度的方程是齐次方程，第二个方程的右侧$\mathbf r$是$L_2$类的无发散向量值函数。已知的是，作为$\varepsilon \to 0$，麦克斯韦系统的解，即电场强度${\mathbf u}_\varepsilon$、电位移矢量${\mathbf w}_\varepsilon$、磁场强度${\mathbf v}_\varepsilon$和磁位移矢量${\mathbf z}_\varepsilon$在$L_2$中弱收敛到对应的均匀化场${\mathbf u}_0$、${\mathbf w}_0$、${\mathbf v}_0$，${\mathbf z}_0$（具有有效系数的均匀化Maxwell系统的解）。我们改进了经典的结果。证明了${\mathbf v}_\varepsilon$和${\…
2018-10-26 math.AP
Nonlocal homogenisation theory for curl-div-systems
我们研究的卷曲-div系统与可变系数和非局部的均匀化问题与之相关联，使用，在部分精炼，技术从非局部$H$收敛封闭的希尔伯特复合体，我们定义了适当的拓扑结构可能非局部和非周期性系数的卷曲-div系统模型的系数在小尺度上的高振荡行为。我们在各种边界条件下处理卷曲-分裂系统，并分析了小尺度与大尺度之比趋于零的极限。已经为标准的Dirichlet边界条件和局部系数的极限系统是非平凡的和意想不到的。此外，我们提供了一个分析的高振荡的局部系数与阻抗型边界条件相关的散射理论的麦克斯韦方程组的卷曲-div系统，并与抽象的调查结果本地$H$ -收敛和弱$*$ -收敛的系数。
2020-08-21 math-ph math.AP math.FA
Non conforming vector finite elements for H(curl) intersected with H(div)
针对二维区域上 H(curl) ∩ H(div) 空间中的问题，提出一族任意阶的非协调向量有限元，证实了 Brenner 和 Sung 的猜想，并否定了该猜想在三维区域的推广。
2011-08-24 cs.NA math.AP math.NA
Fractional div-curl quantities and applications to nonlocal geometric equations
研究了梯度算子和散度算子的分数阶概念。我们推广的div-curl估计的Coifman-Lions-Meyer-Semmes分数div-curl数量，特别是获得一个非局部版本的温特引理。我们演示了这些数量如何自然地出现在非局部几何方程中，这可以用来获得类似于局部理论的分数阶调和映射理论。首先，对于球面上的分数次调和映射，我们得到了一个类似于Shatah的守恒律的守恒律，并给出了球面上的调和映射的一个类似于Hélein的正则性证明.其次，我们证明了具有非局部反对称势的临界系统解的正则性。由于到一般目标流形的半调和映射方程具有这种形式，作为推论，我们得到了到一般目标流形的半调和映射的正则性的一个新的证明，紧接着Rivière在局部情况下的著名论点。最后，分数div-curl量也提供了一个新的，更简单的，证明的Hölder连续性的$W^{s,n/s}$ -调和映射到球，我们扩展到一个参数$W^{s,n/s}$ -调和映射到齐次目标。这是一个类似的Strzelecki的和托罗王的证明$n$ -调和映射到球和齐次目标流形，分别。
2017-03-01 math.AP math.FA
A div-curl inequality for orthonormal functions
本文证明了关于无旋场与无散场乘积之和的一个界，在适当的正交性条件下，该界关于项数呈次线性缩放，其精神与 Lieb--Thirring 不等式相似。
2023-09-14 math-ph math.AP math.FA
Sharp rigidity estimates for incompatible fields as consequence of the Bourgain Brezis div-curl result
在这篇文章中，我们证明了一个尖锐的刚性估计和尖锐的Korn不等式的矩阵值字段的不相容性是一个有界的措施，可以得到一个Hodge分解的结果，由于临界可积Bourgain和Brezis。
2020-09-17 math-ph math.AP math.FA
Regularity of vector fields with piecewise regular curl and divergence
本文证明了在边界充分光滑的有界Lipschitz区域中，具有分段正则旋度和散度但在内部光滑曲面上可能不连续的向量场的分段Sobolev正则性，方法基于旋度算子parametrices和Poisson传输问题理论，并应用于带不同边界条件的异质时谐Maxwell方程给出波数显式估计。
2025-08-12 cs.NA math.AP math.NA
Spinorial Div-Curl Structure and Bilinear Null-Form Estimates for Dirac Equations
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
该研究揭示三维狄拉克方程双线性零形式的物理空间平衡律机制，结合角局域化得到频率局域化的$L^2$时空估计，在有、无质量情形下分别给出双线性零形式的改进估计并推广至三次旋量零形式。
2026-08-04 math.AP
A Global div-curl-Lemma for Mixed Boundary Conditions in Weak Lipschitz Domains and a Corresponding Generalized $\mathrm{A}_{0}^{*}$-$\mathrm{A}_{1}$-Lemma in Hilbert Spaces
我们证明了所谓的div-curl-lemma，在偏微分方程的均匀化理论中的一个重要结果，为混合边界条件有界弱Lipschitz域在3D弱Lipschitz接口的整体和局部版本。我们将推广我们的结果使用一个抽象的希尔伯特空间设置，这表明相应的结果，以保持在任意维以及各种微分算子。关键的工具和我们的论点的核心是希尔伯特复形和相关的紧嵌入。
2018-12-11 math-ph math.AP math.FA
A Compactness Result for the div-curl System with Inhomogeneous Mixed Boundary Conditions for Bounded Lipschitz Domains and Some Applications
本文证明有界 Lipschitz 区域上非齐次混合边界条件下 div-curl 向量场的 $L^2$ 紧性，并用于建立 Friedrichs/Poincaré 估计、div-curl 引理及 Maxwell 算子紧预解式。
2021-03-13 math.AP math.FA
Pointwise descriptions of nearly incompressible vector fields with bounded curl
对于在无穷远处几乎不可压缩的具有$|x|\log|x|$增长的向量场${\bf{v}}:{\mathbb{R}}^n\to{\mathbb{R}}^n$，我们给出了$\operatorname{curl}{\bf{v}}= D{\bf{v}}-D^t{\bf{v}}$属于$L^\infty$的近似不可压缩向量场的逐点刻画.当$n=2$时，我们可以更进一步，仍然以逐点方式描述$|\operatorname{div}{\bf{v}}|+|\operatorname{curl}{\bf{v}}|\in L^\infty$所针对的向量场${\bf{v}}:{\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}^2$。
2020-07-02 math.AP math.CA
Homogenization of nonstationary periodic Maxwell system in the case of constant permeability
在$L_2({\mathbb R}^3;{\mathbb C}^3)$中，我们考虑了由微分表达式$μ_0^{-1/2}\operatorname{curl} η(\mathbf{x}/\varepsilon)^{-1} \operatorname{curl} μ_0^{-1/2} - μ_0^{1/2}\nabla ν(\mathbf{x}/\varepsilon) \operatorname{div} μ_0^{1/2}$给出的自伴算子${\mathcal L}_\varepsilon$，$\varepsilon >0$，其中$μ_0$是常正定矩阵，矩阵值函数$η(\mathbf{x})$和实值函数$ν(\mathbf{x})$关于某个格是周期的，正定的和有界的.我们研究了算子值函数$\cos (τ{\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$和${\mathcal L}_\varepsilon^{-1/2} \sin (τ{\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$对于$τ\in {\mathbb R}$和小$\varepsilon$的行为。结果表明，这些算子收敛于算子${\mathcal L}^0$在Sobolev空间$H^s$（具有适当的$s$）到$L_2$的算子范数下的相应算子值函数.这里${\mathcal L}^0$是具有常系数的…
2020-08-07 math-ph math.AP math.MP
Vortex and the Gradient of Divergence in Sobolev Spaces
研究了$ \mathbf {L}_2 (G) $空间、具有光滑边界的有界区域$ G \subset \textrm {R}^3 $和索伯列夫空间：$ \mathbf{C}(2k, m)(G)\equiv \mathbf{A}^{2k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$中的涡旋算子和散度梯度算子（$ \text{rot}$和$\nabla \text{div}$）的性质. S.L. Sobolev研究了标量多调和方程$Δ^m\,u=ρ$在空间$W_2^m(Ω)$广义右手边的边值问题，奠定了这些空间的理论基础。它的结构有矩阵类似物，这里是其中的一些。类$ \mathcal {A} $和$ \mathcal {B} $中的空间${W}_2^{(m)}(G)$的类似物是$ 2k> 0 $和$ m> 0 $阶的空间$\mathbf{A}^{2k}(G)$和$\mathbf{W}^m(G)$，以及$ \mathbf {A}^{-2k} (G) $和它们的对偶空间$ \mathbf{W}^{- m}(G) $。空间对形成索伯列夫空间的网，其元素是类$ \mathbf{C}(2k, m)(G)\equiv \mathbf{A}^{2k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$ ;类$ \mathbf{C}(2k, 2k)$与索伯列夫空间$\mathbf{H}^{2…
2021-12-29 math.AP
Poincare-Friedrichs Type Constants for Operators Involving grad, curl, and div: Theory and Numerical Experiments
我们给出了拉普拉斯和麦克斯韦常数的一些理论和计算结果。除了经典的de Rham复形，我们还利用Hilbert复形的广义泛函分析概念研究了弹性复形和与双调和方程和广义相对论有关的复形。考虑任意拓扑的混合边界条件和有界Lipschitz域。我们的数值方面通过二维和三维de Rham复形的例子来展示，这不仅证实了我们的理论发现，而且还表明了一些有趣的猜想。
2020-01-12 cs.NA math.AP math.FA
A simple equilibration procedure leading to polynomial-degree-robust a posteriori error estimators for the curl-curl problem
我们介绍了两个后验误差估计Nédélec有限元离散的卷曲卷曲问题。这些估计属于一个新的Prager-Synge身份和相关的平衡过程。它们是可靠的和有效的，并且误差估计是多项式次数鲁棒的。此外，当区域是凸的，可靠性常数是完全可计算的。所提出的误差估计也是廉价和易于实现的，因为它们是通过求解边缘补丁上的发散约束最小化问题来计算的。数值例子突出了我们的主要发现，并表明这两个估计适合驱动自适应细化算法。此外，这些例子似乎表明即使在非凸区域中也可以实现有保证的上界。
2021-08-17 cs.NA math.AP math.NA
Comparing three possible hypoelliptic Laplacians on the 5-dimensional Cartan group via div-curl type estimates
本文在具有2个生成元的3步自由Carnot群（5维Cartan群）上提出三种亚椭圆Hodge-Laplacian定义，并比较它们在获得精确div-curl型不等式方面的适用性，以克服Rumin外微分非齐次性带来的困难。
2024-07-30 math.AP math.DG
Fractional Integration and Optimal Estimates for Elliptic Systems
在本文中，我们给一个肯定的答案，欧几里德模拟的问题布尔甘和Brezis有关的最佳洛伦兹估计的Div-Curl系统：函数$Z=\operatorname*{curl} (-Δ)^{-1} F$满足\begin{align*} \operatorname*{curl} Z = F \newline \operatorname*{div} Z = 0 \end{align*}，且存在一个常数$C>0$使得\begin{align*} \| Z\|_{L^{3/2,1}(\mathbb{R}^3;\mathbb{R}^3)} \leq C\| F\|_{L^{1}(\mathbb{R}^3;\mathbb{R}^3)}. \end{align*}我们的证明依赖于一个新的端点Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，该不等式是通过独立兴趣的结果得到的，这种物体的原子分解。
2021-11-20 math.AP math.FA
Dev-Div- and DevSym-DevCurl-inequalities for incompatible square tensor fields with mixed boundary conditions
本文推导了正方形张量场的不等式，通过迹自由部分、散度和张量来界定了Norm，展示了其在模型协照性证明中的应用。
2013-07-04 cs.NA math.AP math.FA
Operator gradient of divergencie in subspaces of $\mathbf{L}_{2}(G)$ space
本文研究了三维光滑边界空间的有界连通域$ G $中平方可积的向量值函数空间$ \mathbf {L} _ {2} (G) $的结构，以及梯度散度算子和转子在构造子空间$ {\mathcal {A}} $和$ {\mathcal {B}} $中的基中的作用.算子$ \nabla \mathrm {div} $的扩张$ \mathcal {N} _d $到子空间$ \mathcal {A} _ γ \subset {\mathcal {A}} $的自伴性及其自身函数的基本系。本文给出了球内谱问题的显式求解公式和傅里叶级数中向量函数在本征函数发散梯度中分解的条件。边界任务的可解性：$ \nabla \mathrm {div} \, \mathbf {u} + λ\, \mathbf {u} = \mathbf {f} $在$ G $中，$ (\mathbf {n} \cdot \mathbf {u}) | _ Γ = g $在Sobolev空间中，$ \mathbf {H} ^ {s} (G) $在$ s \geq 0 $阶和子空间中。顺便说一下，转子的算子及其对称扩展$ S $到$ \mathcal {B} $的结果类似。
2017-10-17 math-ph math.AP math.MP
