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arXiv 2006.03565math.AP
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柱对称 curl-curl 问题及带奇异位势的相关薛定谔方程的多解性

Multiple solutions to cylindrically symmetric curl-curl problems and related Schrödinger equations with singular potentials

Michał Gaczkowski, Jarosław Mederski, Jacopo Schino

发表信息：
SIAM J. Math. Anal. 55 (2023), no. 5, 4425-4444
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AI总结：

本文研究柱对称 curl-curl 问题及其对应的带奇异位势薛定谔方程，通过建立临界情形的新方法，证明了两个方程束缚态的多重性，并在次临界情形下发现无穷多个束缚态。

摘要：

我们研究 curl-curl 问题 ∇×∇×U=h(x,U)，x∈R^3 的多重解 U:R^3→R^3，其中非线性函数 h:R^3×R^3→R^3 在 R^3 中是临界的，即 h(x,U)=|U|^4U，或者在无穷远处具有次临界增长。如果 h 关于 U 是径向的且下文 a=1，则我们证明上述问题的解与下列薛定谔方程 -Δu+(a/r^2)u=f(x,u)，u:R^3→R 的解一一对应，其中 x=(y,z)∈R^2×R，r=|y| 且 a≥0。在临界情形下，后一方程的多重性问题仅在自治情形 a=0 中被研究过，而由于缺乏共形不变性，现有方法似乎不足以处理涉及奇异位势（即 a≠0）的问题。因此，我们发展了针对临界 curl-curl 问题的方法，并证明了两个方程束缚态的多重性。在次临界情形下，我们转而研究高维薛定谔方程，发现两个问题都存在无穷多个束缚态。

英文摘要：

We look for multiple solutions $\mathbf{U}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ to the curl-curl problem \[ \nabla\times\nabla\times\mathbf{U}=h(x,\mathbf{U}),\qquad x\in\mathbb{R}^3, \] with a nonlinear function $h\colon\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ which is critical in $\mathbb{R}^3$, i.e., $h(x,\mathbf{U})=|\mathbf{U}|^4\mathbf{U}$, or has subcritical growth at infinity. If $h$ is radial in $\mathbf{U}$ and $a=1$ below, then we show that the solutions to the problem above are in one-to-one correspondence with the solutions to the following Schrödinger equation \[ -Δu+\frac{a}{r^2}u=f(x,u),\qquad u\colon\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, \] where $x=(y,z)\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}$, $r=|y|$ and $a \ge 0$. In the critical case, the multiplicity problem for the latter equation has been studied only in the autonomous case $a=0$ and the available methods seem to be insufficient for the problem involving the singular potential, i.e., $a\neq 0$, due to the lack of conformal invariance. Therefore we develop methods for the critical curl-curl problem and show the multiplicity of bound states for both equations. In the subcritical case, instead, studying the Schrödinger equation in higher dimensions, we find infinitely many bound states for both problems.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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