arXiv 2106.043482021-06-08math.CO

多重集上的拟Stirling置换

Quasi-Stirling Permutations on Multisets

Sherry H. F. Yan, Lihong Yang, Yunwei Huang, Xue Zhu

摘要：

一个多重集的置换$π$称为{ \em quasi-Stirling }置换，如果不存在四个指标$i<j<k<\ell$使得$π_i=π_k$和$π_j=π_{\ell}$。定义$$ \overline{Q}_{\mathcal{M}}(t,u,v)=\sum_{π\in \overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}}}t^{des(π)}u^{asc(π)}v^{plat(π)},$$，其中$\overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}}$表示多集$\mathcal{M}$上的准斯特林置换的集合，并且$asc(π)$（分别为$des(π)$，$plat(π)$）表示上升次数（分别为下降，高原）的$π$。用$\mathcal{M}^σ$表示多集$\{1^{σ_1}, 2^{σ_2}, \ldots, n^{σ_n}\}$，其中$σ=(σ_1, σ_2, \ldots, σ_n)$是$K$的$n$ -合成，对于正整数$K$和$n$。在本文中，我们表明，$\overline{Q}_{\mathcal{M}^σ}(t,u,v)=\overline{Q}_{\mathcal{M}^τ}(t,u,v)$的任何两个$n$ -组合物$σ$和$τ$的$K$。这是通过在$\overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}^σ}$和$\overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}^τ}$之间建立$(asc, des, plat)$保持双射来实现的.作为应用，我们得到了Elizalde关于$\mathcal{M}=\{1^k,2^k, \ldots, n^k\}$上拟Stirling置换的几个结果的推广，并解决了Elizalde提出的一个公开问题.

英文摘要：

A permutation $π$ of a multiset is said to be a {\em quasi-Stirling } permutation if there does not exist four indices $i<j<k<\ell$ such that $π_i=π_k$ and $π_j=π_{\ell}$. Define $$ \overline{Q}_{\mathcal{M}}(t,u,v)=\sum_{π\in \overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}}}t^{des(π)}u^{asc(π)}v^{plat(π)},$$ where $\overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}}$ denotes the set of quasi-Stirling permutations on the multiset $\mathcal{M}$, and $asc(π)$ (resp. $des(π)$, $plat(π)$) denotes the number of ascents (resp. descents, plateaux) of $π$. Denote by $\mathcal{M}^σ$ the multiset $\{1^{σ_1}, 2^{σ_2}, \ldots, n^{σ_n}\}$, where $σ=(σ_1, σ_2, \ldots, σ_n)$ is an $n$-composition of $K$ for positive integers $K$ and $n$. In this paper, we show that $\overline{Q}_{\mathcal{M}^σ}(t,u,v)=\overline{Q}_{\mathcal{M}^τ}(t,u,v)$ for any two $n$-compositions $σ$ and $τ$ of $K$. This is accomplished by establishing an $(asc, des, plat)$-preserving bijection between $\overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}^σ}$ and $\overline{\mathcal{Q}}_{\mathcal{M}^τ}$. As applications, we obtain generalizations of several results for quasi-Stirling permutations on $\mathcal{M}=\{1^k,2^k, \ldots, n^k\}$ obtained by Elizalde and solve an open problem posed by Elizalde.

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摘要：

英文摘要：

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