Hamiltonian Cycle Parameterized by Treedepth in Single Exponential Time and Polynomial Space
对于树宽$t$图上的许多算法问题，标准动态规划方法给出了具有时间和空间复杂度的算法$2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。事实证明，当考虑更具限制性的参数treedepth时，通常情况下，可以使用该技术的变体将空间复杂度降低到多项式，同时保留$2^{\mathcal{O}(d)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$形式的时间复杂度，其中$d$是树深度。然而，这种方法的转移远非自动的。例如，对于具有连通性约束的问题，标准动态规划技术在树宽$t$的图上给出了具有时间和空间复杂度$2^{\mathcal{O}(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$的算法，但是对于低树深的图，如何将它们转换为时间有效的多项式空间算法还不清楚。Cygan等人（FOCS'11）介绍了Cut&Count技术，并表明具有连通性约束的某类问题可以在时间和空间复杂度$2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解。最近，Hegerfeld和Kratsch（STACS'20）表明，对于其中的一些问题，Cut&Count技术也可以应用于树深度的设置，并且它给出了具有运行时间$2^{\mathcal{O}(d)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$和多项式空间使用的算法。…
2020-07-10 cs.DS
An efficient dynamic programming algorithm for the generalized LCS problem with multiple substring inclusive constraints
本文考虑了一个具有多子串包含约束的广义最长公共子序列问题。对于长度为$n$和$m$的两个输入序列$X$和$Y$，以及总长度为$r$的一组$d$约束$P=\{P_1,\cdots,P_d\}$，问题是找到$X$和$Y$的公共子序列$Z$，其包括$P$中的每个约束串作为子串，并且$Z$的长度被最大化。本文提出了一种新的动态规划方法来解决这一问题。证明了新算法的正确性。算法的时间复杂度为$O(d2^dnmr)$。在约束串个数固定的情况下，本文提出的求解多子串包容约束广义最长公共子序列问题的新算法需要$O(nmr)$时间和空间.
2015-05-25 cs.DS
Max-sum diversity via convex programming
多样性最大化是信息检索、计算几何和运筹学中的一个重要概念。通常，它是以下问题的变体：给定基集，约束和测量子集多样性的函数$f(\cdot)$，任务是选择可行子集$S$，使得$f(S)$最大化。\emph{sum-dispersion}函数$f(S) = \sum_{x,y \in S} d(x,y)$是$S$中成对距离的总和，在这种情况下是一个突出的多样化措施。相应的分集最大化是\emph{max-sum}或\emph{sum-sum diversification}。最近的许多结果处理设计的常因子近似算法的多样化问题涉及和色散函数下的拟阵约束。在本文中，我们提出了一个PTAS的最大和多样化问题下的拟阵约束的距离$d(\cdot,\cdot)$ \emph{negative type}。负型距离例如是源自$\ell_2$和$\ell_1$范数的度量距离，以及余弦或球面或Jaccard距离，它们是web和图像搜索中流行的相似性度量。
2015-11-22 cs.CG cs.DM cs.DS
Faster quantum and classical SDP approximations for quadratic binary optimization
本文给出了求解二次优化正则半定规划松弛问题的量子加速算法。这类用于组合优化的松弛到目前为止还没有实现量子加速。我们的方法结合量子吉布斯采样和矩阵指数更新的想法。该算法的去量化也导致更快的经典求解器。对于一般的情况下，我们的量子求解器提供了一个接近二次的速度比国家的最先进的算法。这样的例子包括近似自旋玻璃的基态和埃尔德什-雷尼图上的MaxCut。我们还提供了一个有效的随机舍入过程，近似最优的SDP解决方案转化为近似的原始二次优化问题。
2022-01-10 cs.DS quant-ph
A Simple Algorithm for the Constrained Sequence Problems
在本文中，我们解决的约束最长公共子序列问题。给定两个序列$X$、$Y$和约束序列$P$，如果$Z$是$X$和$Y$的最长子序列，使得$P$是$Z$的子序列，则序列$Z$是$X$和$Y$相对于$P$的约束最长公共子序列。最近，Tsai \cite{Tsai}利用动态规划技术提出了一种解决该问题的$O(n^2 \cdot m^2 \cdot r)$时间算法，其中$n$、$m$和$r$分别是$X$、$Y$和$P$的长度。本文给出了一个在$O(n \cdot m \cdot r)$时间内求解约束最长公共子序列问题的简单算法，并证明了约束最长公共子序列问题等价于约束多序列比对问题的一个特例，该问题也是可解的.
2021-03-04 cs.DS
Deterministic counting Lovász local lemma beyond linear programming
给出了一个简单的组合算法来确定性地近似计算一般约束满足问题（CSP）的满意指派数。假设CSP具有域大小$q=O(1)$，每个约束包含至多$k=O(1)$变量，与至多$Δ=O(1)$约束共享变量，并且通过均匀随机分配以至多$p$的概率被违反。该算法在改进的局部引理机制中以多项式时间返回：\[ q^2\cdot k\cdot p\cdotΔ^5\le C_0\quad\text{for a suitably small absolute constant }C_0. \]这里的关键项$Δ^5$改进了以前最知名的一般CSP的$Δ^7$ [JPV 21 b]和$k$ -CNF的特殊情况的$Δ^{5.714}$ [JPV 21 a，HSW 21]。我们的确定性计数算法是[HWY 22]中最近的快速采样算法的去随机化。该算法与以往的基于线性规划的确定性计数Lovász局部引理算法有很大不同，给出了一种确定性近似计数算法，该算法直接去随机化了快速采样算法，从而将快速采样和确定性近似计数统一在同一算法框架中.为了获得改进的制度，在我们的分析中，我们开发了一个细化的$\{2,3\}$ -树，在以前的分析中使用的计数/采样LLL。类似的技术可以应用到以前的基于LP的算法，以获得相同的改进制度，并可能是独立的利益。
2022-12-30 cs.DM cs.DS math.PR
Optimal Extended Formulations from Optimal Dynamic Programming Algorithms
Informatics Institute, University of Bergen（卑尔根大学信息学研究所）；Department of Computer and Systems Sciences (DSV), Stockholm University（斯德哥尔摩大学计算机与系统科学系）
本文通过建立动态规划算法与扩展形式化之间的联系，证明了最优动态规划算法可产生最优扩展形式化，同时揭示了扩展形式化理论对动态规划算法复杂度的限制。
2026-01-13 cs.DS
Generalized Cuts and Grothendieck Covers: a Primal-Dual Approximation Framework Extending the Goemans--Williamson Algorithm
提出一个基于半定规划松弛的原始-对偶随机近似框架，将已知 APX 完全问题与新提出的对偶问题配对，通过求解单个 SDP 松弛同时为两者生成互为最优性证书的近似解。
2024-06-26 cs.DM cs.DS math.OC
Correlation Clustering in Data Streams
聚类是分析大型数据集的基本工具。大量的工作致力于设计数据流算法的相关优化问题，如$k$ -中心，$k$ -中位数，和$k$ -手段。这样的算法需要在时间和空间上都有效。本文研究了动态数据流模型中的相关聚类问题。该流包括对$n$节点上的图的边权重的更新，并且目标是找到节点分区，使得负权重边的端点通常在不同的集群中，而正权重边的端点通常在相同的集群中。我们提出了多项式时间，$O(n\cdot \ \mbox{polylog}~n)$空间近似算法自然出现的问题。我们首先开发基于线性草图的数据结构，它允许测量给定节点分区的“质量”。然后，我们结合这些数据结构与凸规划和采样技术来解决相关的近似问题。不幸的是，标准的LP和SDP公式在$O(n\cdot \mbox{polylog}~n)$ -空间中显然是不可解的。我们的工作提出了空间有效的算法所需的凸规划，以及方法来减少采样的自适应性。
2018-12-05 cs.DS
On Directed Feedback Vertex Set parameterized by treewidth
研究了以输入图的树宽为参数的定向反馈顶点集问题。我们证明了，除非指数时间假设失败，问题不能解决的时间$2^{o(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$一般有向图，其中$t$是树的底层无向图的宽度。这与运行时间为$2^{\mathcal{O}(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$的动态规划算法相匹配。另一方面，我们表明，如果输入的有向图是平面的，那么运行时间可以提高到$2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。
2017-09-13 cs.CC cs.DS
Positive Semidefinite Programming: Mixed, Parallel, and Width-Independent
本文给出了对宽度具有多对数依赖性的混合填充和覆盖半定规划的第一近似算法。混合包装和覆盖SDP构成了一个基本的算法原语，最近的应用在组合优化，鲁棒学习和量子复杂性。目前的半正定规划近似求解器只能处理纯包装的情况下，和技术障碍，防止他们推广到更广泛的一类正的情况。对于一个给定的乘法精度的$ε$，我们的算法采取$O(\log^3(ndρ) \cdot ε^{-3})$并行迭代，其中$n$，$d$是尺寸的问题和$ρ$是一个宽度参数的实例，推广或改进所有以前的并行算法在正线性和半定规划文献。当专门用于纯包装SDP时，我们的算法的迭代复杂度是$O(\log^2 (nd) \cdot ε^{-2})$，这是对现有技术的轻微改进和去随机化（Allen-Zhu et. 16，Peng et. 16，Wang et. 15）。对于应用程序中常见的各种结构化实例，我们的算法的迭代在近似线性的时间内运行。在这样做时，我们给矩阵分析技术，克服障碍，阻碍了以前的方法，这个开放的问题，如在过去的作品（彭等。'16，Mahoney et. 16）。我们的分析是至关重要的是现有的混合正线性规划算法的简化，实现通过删除修改覆盖约束所造成的不对称性，和一套矩阵不等式的证明是基于分析Schur补充矩阵在更高的维度。我们希望我们的算法和技术打开大门，以改善求解器的半正定规划，以及它的应用。
2021-07-12 cs.DS math.OC
Approximating Unique Games Using Low Diameter Graph Decomposition
当约束图允许良好的低直径图分解时，我们设计了唯一博弈的近似算法。对于$K_r$ -minor free graphs中的${\sf Max2Lin}_k$问题，当存在满足$1-\varepsilon$分数约束的指派时，我们提出了一个算法，该算法产生满足$1-O(r\varepsilon)$分数约束的指派，其近似比与字母表大小无关.一个推论是一个改进的近似算法的${\sf MaxCut}$问题的$K_r$ -小自由图。对于$K_r$ -未成年人自由图中的一般唯一游戏，我们提供了另一种算法，产生一个分配满足$1-O(r \sqrt{\varepsilon})$分数的约束。我们的方法是四舍五入的线性规划松弛找到一个最小子集的边缘相交的所有不一致的循环。我们表明，它是可以直接应用的约束图的低直径图分解技术，而不是在以前的独特的游戏算法的标签扩展图的工作。当约束图是亏格$g$时，同样的方法也适用，并且我们在${\sf Max2Lin}_k$问题中用$\log g$代替$r$，在一般问题中用$\sqrt{\log g}$代替$\sqrt{\log g}$，得到了类似的结果。前一个结果推广了Gupta-Talwar关于${\sf Max2Lin}_k$情形下唯一对策的结果，后一个结果推广了Trevisan关于一般唯一对策的结果.
2017-11-29 cs.DS
Efficient sequential and parallel algorithms for multistage stochastic integer programming using proximity
我们考虑求解$\min \{\,c^\intercal x\ \colon\ Ax=b, x\geq 0\}$形式的整数规划问题，其中$A$是以下意义下的多级随机矩阵：$A$的原始树深度由参数$d$限定，这意味着$A$的列可以被组织到深度至多为$d$的有根森林中，使得森林中未被祖先/后代关系绑定的列不具有非同一行中的零个条目。我们给出了一个算法，解决这个问题的固定参数时间$f(d,\|A\|_{\infty})\cdot n\log^{O(2^d)} n$，其中$f$是一个可计算的功能和$n$是行的数量$A$。该算法在强模型中工作，其中运行时间仅测量对输入数字的单元算术运算，而不依赖于它们的位长。这是求解多阶段随机整数规划问题的第一个在强意义下实现几乎线性运行时间的FPT算法。对于两阶段随机整数规划问题，我们的算法在时间上是$2^{(2\|A\|_\infty)^{O(r(r+s))}}\cdot n\log^{O(rs)} n$。该算法也可以并行化：我们给出了一个实现在PRAM模型，实现运行时间$f(d,\|A\|_{\infty})\cdot \log^{O(2^d)} n$使用$n$处理器。在我们的算法中的主要概念成分是一个新的多阶段随机整数规划的邻近结果。我们证明，如果我们考虑一个整数规划$P$，说与约束矩阵$A$，那么对于每一个最优解的线性松弛的$P$存在一个最佳（积分）…
2020-12-21 cs.CC cs.DS math.OC
A Fixed-Parameter Algorithm for 4-Block Integer Programming
Kiel University（基尔大学）
本文提出一个固定参数算法，以块维度和最大矩阵元素为参数，解决4-块整数规划，并肯定回答Eisenbrand-Rothvoss猜想，影响多种块结构模型。
2026-09-22 cs.CC cs.DS
Approximating Sparse Quadratic Programs
给定一个矩阵$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$，我们考虑在约束$x \in \{-1,1\}^n$下最大化$x^TAx$的问题.这个问题，称为MaxQP的Charikar和Wirth [FOCS'04]，概括了MaxCut，并在数据聚类和无序磁相的物质的研究中有自然的应用。Charikar和Wirth表明，这个问题允许通过半定规划的$Ω(1/\lg n)$近似，而Alon，Makarychev，Makarychev和Naor [STOC'05]表明，当$A$对应于有界色数的图时，同样的方法会产生$Ω(1)$近似。这两个结果都依赖于求解MaxQP的半定松弛，MaxQP的当前最佳运行时间是$\tilde{O}(n^{1.5}\cdot \min\{N,n^{1.5}\})$，其中$N$是$A$中非零条目的数量，而$\tilde{O}$忽略多对数因子。在这个续集中，我们放弃了半定方法，并为MaxQP的特殊情况设计了纯粹的组合近似算法，其中$A$是稀疏的（即，具有$O(n)$非零条目）。我们的算法是优于半定的方法在运行时间方面，但仍然有竞争力的近似保证。更具体地说，我们表明：- MaxQP承认$(1/2Δ)$ -近似在$O(n \lg n)$时间，其中$Δ$是相应的图的最大程度。- UnitMaxQP，其中$A \in \{-1,0,1\}^{n\times n}…
2020-12-15 cs.DS
Quantum-inspired sublinear algorithm for solving low-rank semidefinite programming
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；University of Maryland（马里兰大学）
半定规划问题是数学优化领域的一个重要课题，其有效求解方法的研究也越来越多。在本文中，我们提出了一个证明的原则的次线性时间算法求解SDP与低秩约束，具体地说，给定一个SDP与$m$约束矩阵，每个维度$n$和秩$r$，我们的算法可以计算任何条目和有效的描述的谱分解的解决方案矩阵。该算法运行在时间$O(m\cdot\mathrm{poly}(\log n,r,1/\varepsilon))$给定访问基于采样的低开销数据结构的约束矩阵，其中$\varepsilon$是解决方案的精度。此外，我们将我们的算法应用于量子态学习任务作为应用。从技术上讲，我们的方法与1）基于Arora和Kale [TOC '12]的矩阵乘性权重（MMW）框架的SDP求解器一致; 2）Tang [STOC '19]开创的基于采样的反量化框架。为了计算矩阵指数所需的毫米波框架中，我们引入了两种新的技术，可能是独立的兴趣：$\bullet$加权采样：假设采样访问每个单独的约束矩阵$A_{1},\ldots,A_τ$，我们提出了一个程序，给出了一个很好的近似$A=A_{1}+\cdots+A_τ$。$\bullet$对称近似：我们提出了一个采样过程，给出了一个低秩厄米矩阵$A$的\emph{spectral decomposition}。据我们所知，这是第一个基于采样的谱分解算法，因为以前的作品只给出奇异值和向量。
2020-08-05 cs.DS cs.LG math.OC
Polynomial Time Algorithms for Integer Programming and Unbounded Subset Sum in the Total Regime
该研究针对无界子集和与带等式整数规划的全问题场景，基于Frobenius数及对角Frobenius数相关条件，提出多项式时间求解算法，其所得界接近近年的存在性界结果。
2024-07-11 cs.DS
Scheduling with Communication Delays via LP Hierarchies and Clustering
我们考虑了经典的问题调度作业的优先约束相同的机器上，以最大限度地减少完工时间，在通信延迟的存在。在此设置中，由$\mathsf{P} \mid \mathsf{prec}, c \mid C_{\mathsf{max}}$表示，如果在不同的计算机上调度两个相关作业，则它们的执行之间必须至少经过$c$时间单位。尽管它的相关性，许多应用程序，该模型仍然是最了解调度理论之一。即使对于一个特殊的情况下，无限数量的机器是可用的，最好的已知近似比是$2/3 \cdot (c+1)$，而格雷厄姆的贪婪列表调度算法已经给出了一个$(c+1)$ -近似在该设置。Schuurman和Woeginger的前10名列表中的一个突出的开放问题及其最近由Bansal更新的问题是，是否存在常数因子近似算法。在这项工作中，我们给出了一个多项式时间的$O(\log c \cdot \log m)$ -近似算法为这个问题，其中$m$是机器的数量和$c$是通信延迟。我们的方法是基于一个Sherali-Adams电梯的线性规划松弛和随机聚类的半度量空间引起的这个电梯。
2020-04-21 cs.DS
The Subspace Flatness Conjecture and Faster Integer Programming
University of Washington, Seattle（华盛顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）
本文解决了子空间平坦性猜想，证明了覆盖半径与KL量之间的关系，并给出了求解整数规划的高效随机算法。
2026-03-27 cs.CC cs.DM cs.DS
A Constant-Factor Approximation for Quasi-bipartite Directed Steiner Tree on Minor-Free Graphs
给出了不含固定子式的图上有向Steiner树的拟二部实例的第一个常数因子近似算法。特别是，对于$K_r$ -小自由图，我们的近似保证是$O(r\cdot\sqrt{\log r})$，并且进一步地，对于平面图，我们的近似保证是20。我们的算法使用原始对偶方案。我们采用了一个更复杂的方法来确定何时购买边，同时提高对偶变量，因为，正如我们所示，自然的原始对偶方案未能提高足够的对偶值来支付购买的解决方案。因此，我们也证明了完整性差距上界的标准切割为基础的线性规划放松有向斯坦纳树的情况下，我们认为。
2022-11-05 cs.DS
From approximate to exact integer programming
本文提出两种基于近似整数规划求解精确整数规划的方法，分别在给定模余数时达到 $2^{O(n)}$ 复杂度，并改进多项式范围背包和子集和问题至 $(\log n)^{O(n)}$。
2024-04-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Submodular Maximization through the Lens of Linear Programming
线性规划的单纯形算法是基于这样一个事实，即关于多面体邻域的任何局部最优也是全局最优。我们表明，一个类似的结果结转到子模最大化。特别是，每一个局部最优的约束单调子模极大化问题产生一个$1/2$ -近似，我们还提出了一个适当的扩展的非单调设置。然而，快速达到局部最优是一项重要的任务。此外，我们描述了一个快速和非常一般的本地搜索程序，适用于广泛的约束家庭，以及统一和扩展以前的方法。在我们的框架中，我们匹配已知的近似保证，同时解开和简化以前的方法。此外，尽管它的一般性，我们能够表明，我们的本地搜索过程比以前的专门方法稍快。此外，我们解决了一个悬而未决的问题，线性优化和次模最大化之间的关系，即，是否线性优化预言可能足以获得强近似算法次模最大化。我们表明，这是不是这样的情况下，通过提供一个例子的约束家庭的地面集的大小$n$的，如果只给定一个线性优化的预言，任何算法的子模块最大化与多项式数量的调用线性优化预言将有一个近似比只有$O ( \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\log n}{\log\log n} )$。
2017-11-30 cs.DM cs.DS
Approximation Algorithms for Finding Maximum Induced Expanders
我们开始研究在一个给定的图$G$中近似最大的诱导扩张。给定一个$Δ$ -具有$n$顶点的正则图$G$，目标是找到具有至少$δ\cdot n$的最大诱导扩展大小的集合。我们设计了一个双标准近似算法，这个问题，如果最佳诱导频谱扩展$λ$我们的算法返回一个$\fracλ{\log^2δ\exp(Δ/λ)}$ -（频谱）扩展器的大小至少$δn$（常数）。我们的证明引入并采用了一种新的半定规划松弛的最大诱导膨胀问题。我们希望看到我们的SDP松弛在图划分问题的进一步应用。特别是，由于与小集合扩张问题的密切联系，人们可能能够获得新的见解独特的游戏问题。
2015-11-09 cs.DS
Linear Programming Bounds for Randomly Sampling Colorings
本文研究了有界度图的随机真染色的抽样问题。令$k$为颜色的数量，令$d$为最大程度。1999年，Vigoda证明了Glauber动力学对于任何$k > \frac{11}{6} d$都是快速混合的。事实证明，在$\frac{11}{6}$处存在一个天然屏障，低于该屏障，即使对于翻转动力学，也不存在收缩的一步耦合。我们使用线性规划和对偶参数来指导我们构建更好的耦合。我们充分描述了超越$\frac{11}{6}$的障碍。这些例子是相当脆弱的，即使从一个开始，它们也可能在翻转动态改变两个相邻颜色之间的距离之前分开。我们利用这种直觉来设计可变长度耦合，该耦合表明Glauber动力学对于任何$k\ge \left(\frac{11}{6} - ε_0\right)d$（其中$ε_0 \geq 9.4 \cdot 10^{-5}$）都在快速混合。这是对Vigoda的分析的第一次改进，适用于一般图形。
2018-06-07 cs.DM cs.DS math-ph
Fast Approximation Algorithms for Balanced Edge and Vertex Separators
Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）
本文提出了一种快速伪近似算法，用于解决图中的最小平衡顶点分割问题，通过SDP松弛和MMWU框架，在近线性时间内获得近似解。
2026-10-23 cs.DS
Anti-Factor is FPT Parameterized by Treewidth and List Size (but Counting is Hard)
在一般的反因子问题中，给定一个图$G$，它的每个顶点$v$都有一个禁止度集$X_v\subseteq \mathbb{N}$，任务是找到一个边集$S$，使得$S$中的$v$的度不在集$X_v$中.标准技术（动态编程+快速卷积）可以用来表明，如果$M$是最大的禁止度，那么如果给出宽度$k$的树分解，则可以在时间$(M+2)^k\cdot n^{O(1)}$中解决问题。然而，如果集合$X_v$是稀疏的，则可能有更快的算法：我们的主要算法结果表明，如果每个顶点最多有$x$禁止度（我们称这种特殊情况为AntiFactor $_x$），则问题可以在时间上解决$(x+1)^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$。也就是说，反因子$_x$是由树宽$k$和排除度的最大数目$x$参数化的固定参数易处理的。我们的算法使用的技术代表集，可以推广到优化版本，但（如预期的那样）不计数版本的问题。事实上，我们证明了#AntiFactor $_1$已经是#W[1]-hard参数化的给定分解的宽度。此外，我们表明，与决策版本，标准的动态规划算法基本上是最佳的计数版本。形式上，对于一个固定的非空集$X$，我们用$X$ -AntiFactor表示特殊情况，其中每个顶点$v$具有相同的禁止度集$X_v=X$。对于每个固定集合$X$，我们给出了以下下界：如果存在一个$ε>0$，使得# $X$ -AntiFactor可…
2023-02-07 cs.CC cs.DS
Geometric Rescaling Algorithms for Submodular Function Minimization
提出了一类新的次模函数最小化的多项式时间算法，并给出了得到强多项式次模函数最小化算法的统一框架。我们的算法是基于简单的迭代方法的最小范数问题，如条件梯度和Fujishige-Wolfe算法。我们展示了两种技术，把简单的迭代方法到多项式时间算法。首先，我们适应的几何缩放技术，这是最近在线性规划中得到关注，SFM和得到一个弱多项式界$O(({n}^4\cdot \textrm{EO} + {n}^5)\log ({n} L))$。其次，我们展示了一个通用的组合黑箱方法，把$\varepsilon L$ -近似SFM神谕到强多项式精确SFM算法。这个框架可以应用到广泛的组合和连续算法，包括伪多项式的。特别地，我们可以通过重复应用条件梯度或Fujishige-Wolfe算法来获得强多项式算法。结合几何缩放技术，黑盒方法提供了一个$O(({n}^5\cdot \textrm{EO} +{n}^6)\log^2{n})$算法。最后，我们表明，我们在本文中开发的技术之一，也可以结合割平面法李，Sidford和黄\cite{LSW}，产生一个简化的变种，他们的$O(n^3 \log^2 n \cdot \textrm{EO} + n^4\log^{O(1)} n)$算法。
2020-02-13 cs.DS math.OC
Universal Algorithms for Clustering Problems
本文提出了聚类问题的通用算法，包括广泛研究的$k$ -median，$k$ -means和$k$ -center目标。输入是包含所有潜在客户端位置的度量空间。该算法必须选择$k$集群中心，以便它们对于实际实现的任何客户端子集都是一个很好的解决方案。具体来说，我们的目标是低后悔，定义为算法的解决方案和最优解决方案的成本之间的差异的所有子集的最大值。如果对于所有客户端$C'$子集，它满足$SOL(C') \leq α\cdot OPT(C') + β\cdot MR$，则用于聚类问题的通用算法的解决方案$SOL$被称为$(α, β)$近似，其中$OPT(C')$是客户端$C'$的最优解决方案的成本，并且$MR$是任何解决方案可实现的最小遗憾。我们的主要结果是通用算法的标准聚类目标的$k$ -中位数，$k$ -手段，和$k$ -中心，实现$(O(1), O(1))$ -近似。这些结果是通过一个新的框架，通用算法使用线性规划（LP）松弛。这些结果推广到其他$\ell_p$ -目标和设置的一些子集的客户端是固定的。我们还给出了一些困难的结果，证明了即使对于广泛研究的欧氏度量空间的特殊情况，如果$α$或$β$至多为某个常数，则$(α, β)$ -逼近也是NP-困难的.这表明，在某种意义上，$(O(1), O(1))$ -近似是最强的类型的保证可获得的通用聚类。
2021-07-14 cs.DS
Rounding Semidefinite Programming Hierarchies via Global Correlation
我们展示了一种新的方法，轮向量解决方案的半定规划（SDP）层次到积分的解决方案，这些层次之间的连接和输入图的频谱的基础上。我们证明了我们的方法的实用性，提供了一个新的SDP层次为基础的算法的约束满足问题的2变量约束（2-CSP的）。更具体地说，我们为每个2-CSP实例I示出了对于I的Lasserre SDP层次的r轮的舍入算法，其获得至多比松弛值差的\eps的积分解（归一化为位于[0，1]中），只要r > k \cdot \rank_{\geq θ}（\Ins）/ \poly（\e）\;其中k是I，$θ=\poly(\e/k)$的字母大小，并且$\rank_{\geq θ}(\Ins)$表示$\Ins$的约束图的归一化邻接矩阵中大于$θ$的特征值的数目。在$\Ins$是\uniquegames实例的情况下，阈值$θ$仅是$\e$中的多项式，并且与字母表大小无关。同样在这种情况下，我们可以给出\emph{every}实例的轮数的非平凡界。特别是，我们的结果产生了一个基于SDP层次的算法，在最坏的情况下，该算法与Arora，Barak和Steurer（FOCS 2010）最近的次指数算法的性能相匹配，但在自然的实例家族上运行得更快，从而进一步限制了Khot唯一游戏猜想的可能硬实例集。我们的算法实际上需要的$n^{O(r)}$的Lasserre层次结构的$r^{th}$级别指定的约束，并…
2011-04-25 cs.CC cs.DS
Space-Efficient Parameterized Algorithms on Graphs of Low Shrubdepth
本文研究了低灌木深度图上的参数化算法，证明了在深度受限的树模型分解下，独立集、最大割和支配集问题可在多项式空间内高效求解，并给出了时间复杂度下界。
2023-07-03 cs.DS
Parameterized complexity of isometric path partition: treewidth and diameter
本文证明等距路径划分问题在树宽参数化下是W[1]-难的，并给出运行时间为n^{O(tw)}的动态规划算法，同时基于Randomized-ETH排除显著更快算法的可能性。
2025-09-22 cs.DM cs.DS math.CO
Congestion bounds via Laplacian eigenvalues and their application to tensor networks with arbitrary geometry
The University of Tokyo（东京大学）；University of Tsukuba（筑波大学）
本文研究了将任意图顶点嵌入树中的拥堵问题，利用图的拉普拉斯特征值给出拥堵界限，并应用于张量网络，对超立方体、晶格图等进行了精确分析，提出高效的收缩方法。
2026-05-12 cs.DS math.CO quant-ph
An $\mathcal{O}(\log N)$ Time Algorithm for the Generalized Egg Dropping Problem
本文提出一种O(log N)时间算法，通过限制二分搜索范围并利用增量遍历，解决通用蛋下落问题中的优化决策树构建问题。
2026-05-15 cs.DS
Packing Diverse Shortest Cycles
Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文证明边不相交最短环打包在参数k下是W[1]-难的，并引入更一般的多样最短环覆盖框架，在平面图上给出单指数算法，同时解决打包与多样性问题。
2026-10-08 cs.DS
Multipass Linear Sketches for Geometric LP-Type Problems
针对低维高精度几何LP型问题，提出多趟线性草图算法，在多趟模型下实现空间复杂度指数级改进，并证明了单趟算法的下界。
2025-07-16 cs.DS
Quantum speedups for linear programming via interior point methods
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF研究所）；Tilburg University（蒂尔堡大学）
本文提出了一种基于内点法的量子算法，用于加速线性规划问题，通过高效近似Hessian和梯度实现亚线性时间复杂度。
2026-01-30 cs.DS math.OC quant-ph
On Minimizing Tardy Processing Time, Max-Min Skewed Convolution, and Triangular Structured ILPs
本文的出发点是在单机上调度具有加工时间和交货期的$n$工件，使拖期工件的总加工时间最小化的问题，即，$1||\sum p_j U_j$。这个问题被Bringmann等人（Bringmica 2022）确定为经典$1||\sum w_j U_j$问题的自然次二次时间特殊情况，由于细粒度下限，该问题可能需要总处理时间$P$中的时间二次。Bringmann等人~通过一种新的卷积变体获得他们的$\tilde{O}(P^{7/4})$时间调度算法，称为Max-Min Skewed Convolution，他们在$\tilde{O}(n^{7/4})$时间内解决。我们的主要技术贡献是在$\tilde{O}(n^{5/3})$时间内运行的更快、更简单的卷积算法。它意味着$1||\sum p_j U_j$的$\tilde{O}(P^{5/3})$时间算法，但也可能是独立的兴趣。受子集和问题和背包问题的启发，我们研究了以最大作业处理时间$p_{\max}$为参数的$1||\sum p_j U_j$.与邻近技术借用整数线性规划（ILP），我们显示的问题的结构特性，再加上一个新的动态规划制定，导致一个$\tilde{O}(n+p_{\max}^3)$时间算法。此外，在多机环境下，我们使用类似的技术得到了$Pm||\sum p_j U_j$的$n \cdot p_{\max}^{O(m)}$时间算法。最后…
2022-11-10 cs.DS
A Nearly-Linear Time Algorithm for Linear Programs with Small Treewidth: A Multiscale Representation of Robust Central Path
针对小树宽线性规划问题，本文结合内点法、sketching及多尺度基下的解表示，提出近线性时间算法，证明了Fom等人的猜想，运行时间几乎匹配求解子问题的最快速度。
2023-09-13 cs.DS math.OC
An improved algorithm for the vertex cover $P_3$ problem on graphs of bounded treewidth
针对有界树宽图上的顶点覆盖P_3问题，提出改进的动态规划算法，将时间复杂度从4^p·n^{O(1)}降至3^p·n^{O(1)}，并利用Cut&Count技术给出连通变体的随机算法。
2019-10-24 cs.DS math.CO
Maximum Entropy Interval Aggregations
给定一个概率分布${\bf p} = (p_1, \dots, p_n)$和一个整数$1\leq m < n$，如果存在指数$0=i_0 < i_1 < \cdots < i_{m-1} < i_m = n$，使得对于每个$j = 1, \dots, m$，它保持$q_j = \sum_{k=i_{j-1}+1}^{i_j} p_k.$，则我们说${\bf q} = (q_1, \dots, q_m)$是${\bf p}$的连续$m$ -聚合。在本文中，我们考虑了有效地找到最大熵的连续$m$ -聚合的问题。我们设计了一个动态规划算法来精确地解决这个问题，以及两个时间效率更高的贪心算法来提供稍微次优的解决方案。我们还讨论了几个场景，其中我们的问题很重要。
2018-05-14 cs.DS cs.IT math.IT
Structured Semidefinite Programming for Recovering Structured Preconditioners
Simons Institute（西蒙斯研究所）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Washington（华盛顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）；New York University（纽约大学）；Broad Institute of MIT and Harvard（麻省理工学院和哈佛大学布罗德研究所）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出结构化半定规划框架，用于快速恢复结构化预条件子，将对角预条件时间从 Ω(d^{3.5}) 改进到近线性于非零元数，并将相关线性系统求解时间改进到 Õ(d^2)。
2023-10-27 cs.DS cs.LG math.OC
Hitting minors on bounded treewidth graphs. IV. An optimal algorithm
对于图${\cal F}$的固定有限集合，${\cal F}$ -M-DELETION问题要求，给定$n$ -顶点输入图$G,$，求与${\cal F}$中的图的$G$中的所有次模型相交的顶点的最小数目。对于依赖于${\cal F}$的某些函数$f_{\cal F}$，通过Courcelle定理，这个问题可以在时间$f_{\cal F}(tw)\cdot n^{O(1)},$中求解，其中$tw$是$G$的树宽。在最近的一系列文章中，我们已经开始了渐近优化函数$f_{\cal F}$的程序。在这里，我们提供了一个算法，显示$f_{\cal F}(tw) = 2^{O(tw\cdot \log tw)}$为每个集合${\cal F}$。在这项工作之前，最著名的函数$f_{\cal F}$是$tw$中的双指数函数。特别是，我们的算法极大地扩展了Jansen等人的结果。[SODA 2014]对于特定情况${\cal F}=\{K_5,K_{3,3}\}$和Kociumaka和Pilipczuk [Komica 2019]对于有界亏格的图，并回答了Cygan等人提出的一个开放问题。[Inf Comput 2017]。我们结合了几个成分，如机械的boundaried图在动态规划通过代表，平壁定理，二维性，无关顶点技术，树宽调制器，和突出更换。结合我们之前的结果，为特定集合${\cal F}$ …
2021-03-11 cs.CC cs.DS math.CO
A Note on Clustering Aggregation for Binary Clusterings
本文研究二元聚类聚合问题，通过多项式时间多一归约强化了其NP难性结论，推导了下界，同时证明该问题关于输入聚类数是固定参数可处理的，并给出整数线性规划表述。
2023-11-09 cs.CC cs.DS
Convolution and Knapsack in Higher Dimensions
本文将背包问题与$(\max,+)$-卷积的联系推广至高维，证明了多维卷积变体的次平方算法等价性，并基于一维凹序列卷积归约提出了高效的高维背包及带上界整数线性规划参数化求解算法。
2025-08-10 cs.DS
Approximate Max-Flow Min-Multicut Theorem for Graphs of Bounded Treewidth
证明了有界树宽图的一个近似的最大多流最小多割定理。特别是，我们证明了以下几点：给定一个树宽$r$图，存在一个（分数）多商品流的价值$f$，和一个多割的能力$c$，使$ f \leq c \leq \mathcal{O}(\ln (r+1)) \cdot f$。众所周知，$r$ -顶点（常度）扩张图上的多流-多割间隙可以是$Ω(\ln r)$，因此我们的结果紧到常数因子。我们的证明是建设性的，我们也得到了一个多项式时间的$\mathcal{O}(\ln (r+1))$ -近似算法的树宽- $r$图的最小多割问题。我们的算法收益四舍五入的最佳分数的解决方案，自然的线性规划松弛的多割问题。我们引入新的修改著名的区域生长算法，以方便舍入，同时保证在树宽的对数因子损失。
2022-11-11 cs.DM cs.DS
Approximation Algorithms for the Weighted Nash Social Welfare via Convex and Non-Convex Programs
本文研究加权Nash社会福利问题，通过推广凸规划松弛提出一种基于凸与非凸规划目标值差异的近似算法。
2024-01-05 cs.DS cs.GT
Efficient FPT algorithms for (strict) compatibility of unrooted phylogenetic trees
在系统发生学中，一个中心问题是推断一组物种$X$之间的进化关系;这些关系通常通过系统发生树来描述-一棵树，其叶子被$X$的元素唯一地标记，并且没有2度节点-称为“物种树”。重建物种树的一种常见方法是首先从原始数据（例如源自$X$中某些物种的DNA序列）构建几个系统发生树，然后构建一个系统发生树，最大限度地提高与输入树的“一致性”。这样得到的树是我们对物种树的估计，当输入树被定义在重叠但不相同的标签集上时，被称为“超树”。在本文中，我们专注于两个问题，是中央时，结合系统发育树到一个超树：无根系统发育树的兼容性和严格兼容性问题。这些问题是密切相关的，分别是“包含作为一个未成年人”和“包含作为一个拓扑未成年人”在图形社区的概念。这两个问题是已知的固定参数易处理的输入树$k$的数量，通过使用它们的表达在一元二阶逻辑和减少到图形的有界树宽。出于这样一个事实，这些算法的$k$的依赖性是过大的，我们给出了第一个明确的动态规划算法来解决这些问题，都运行在时间$2^{O(k^2)} \cdot n$，其中$n$是输入的总大小。
2016-04-11 cs.DS
Tighter Connections Between Formula-SAT and Shaving Logs
在过去的几十年里，一个引人注目的分数算法论文提高了运行时间的著名算法的基本问题的对数因子。例如，最长公共子序列问题（LCS）的$O(n^2)$动态编程解决方案通过几种方式并使用各种巧妙的技巧改进为$O(n^2/\log^2 n)$。这一系列的研究，也被称为“剃对数因子的艺术”，缺乏证明负面结果的工具。具体地说，我们如何证明LCS不太可能在时间$O(n^2/\log^3 n)$内求解？也许唯一的方法，这样的结果是建议在最近的论文Abboud，汉森，Vassilevska W。和威廉姆斯（STOC'16）。作者将剃除日志的困难归咎于解决布尔公式（公式SAT）的可满足性比穷举搜索更快的困难。他们表明，一个$O(n^2/\log^{1000} n)$算法的LCS将意味着一个重大的进步，电路下限。这种做法是否会导致更严格的壁垒尚不清楚。在本文中，我们把这种方法的限制，特别是，证明了一个众所周知的复杂性理论的障碍站在方式剃须五个额外的日志因素的基本组合问题。对于LCS，正则表达式模式匹配，以及计算几何的Fréchet距离问题，我们表明，一个$O(n^2/\log^{7+\varepsilon} n)$运行时将意味着新的公式SAT算法。我们的主要结果是减少从SAT的公式的大小$s$的$n$变量LCS序列的长度$N=2^{n/2} \cdot s^{1+o(1)}$。我们的减少基本上是尽可能有效的…
2018-04-30 cs.CC cs.DS
Exact Algorithms for Weighted and Unweighted Borda Manipulation Problems
加权和非加权Borda操作问题都被证明是$\mathcal{NP}$ -困难的。然而，没有确切的组合算法已知这些问题。在本文中，我们开始研究的精确组合算法的加权和非加权Borda操作问题。更准确地说，我们提出了$O^*((m\cdot 2^m)^{t+1})$时间和$O^*(t^{2m})$时间\footnote{$O^*()$ is the $O()$ notation with suppressed factors polynomial in the size of the input.}组合算法的加权和未加权的Borda操作问题，分别，其中$t$是机械手的数量和$m$是候选人的数量。因此，对于$t=2$，我们解决了Betzler等人[IJCAI 2011]提出的一个未决问题。作为我们的结果的副产品，我们表明，{未加权Borda操作}问题承认运行时间的算法$O^*(2^{9m^2\log{m}})$，基于整数线性规划技术。最后，我们研究了{unweighted Borda操纵}问题下的单峰选举和目前的多项式时间算法的问题的情况下，两个机械手，在对比$\mathcal{NP}$ -硬度的情况下，在一般设置。
2013-04-10 cs.DS cs.GT
Delta-modular ILP Problems of Bounded Codimension, Discrepancy, and Convolution (new version)
该研究针对两类基本整数线性规划问题，提出了以k和Δ为参数的改进算法，给出优化与可行性问题的复杂度界，还研究了k取0、1的特殊场景，并提出热带卷积新算法及广义DFT误差分析。
2025-06-14 cs.CC cs.DS math.AC
Efficient Density Estimation via Piecewise Polynomial Approximation
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）
我们给出了一个高效的“半不可知”算法学习单变量概率分布，以及近似分段多项式密度函数。令$p$为区间$I$上的任意分布，其$τ$接近（在总变化距离上）未知概率分布$q$，该未知概率分布$q$由将$I$未知划分为$t$区间和指定每个区间上的$q$的$t$未知次数- $d$多项式定义。我们给出了一个算法，从$p$中抽取$\tilde{O}(t\new{(d+1)}/\eps^2)$样本，在时间上运行$\poly(t,d,1/\eps)$，并以高概率输出一个分段多项式假设分布$h$，即$(O(τ)+\eps)$ -接近（在总变化距离上）$p$。这个样本的复杂性基本上是最佳的，我们表明，即使是$τ=0$，任何算法，学习一个未知的$t$ -分段度$d$概率分布在$I$准确$\eps$必须使用$Ω({\frac {t(d+1)} {\poly(1 + \log(d+1))}} \cdot {\frac 1 {\eps^2}})$样本的分布，无论其运行时间。我们的算法结合了近似理论，一致收敛，线性规划和动态规划的工具。我们应用这个一般的算法，以获得广泛的结果，许多自然问题的密度估计在连续和离散域。这些包括用于学习对数凹分布的混合物的最新结果; $t$ -模态分布的混合物;单调风险率分布的混合物;泊松二项分布的混合物;高斯的混合物;以及$k$ -单调密度的混合物。我们的一般技术产生计算效率高的算法，…
2013-05-14 cs.DS cs.LG stat.ML
A polynomial time algorithm to compute the connected tree-width of a series-parallel graph
图$G$的树宽对应于一队警察追捕一个懒惰的、可见的、能够通过无保护路径以无限速度移动的强盗时的节点搜索数，近年来的一些文献也考虑了连通节点搜索策略.一个搜索策略是连通的，如果在每一步中，由一组警察所占据的顶点的集合诱导出$G$的连通子图。图$G$的连通搜索数可以表示为连通树宽度，记为$\mathbf{ctw}(G),$，其定义为有根树分解$({{\cal X},T,r})$的最小宽度，使得与包含根$r$的$T$的路径的节点相对应的袋的并集是连通的。显然我们有那个$\mathbf{tw}(G)\leqslant \mathbf{ctw}(G)$。本文主要是对连通树宽度的算法进行研究。我们设计了一个$O(n^2\cdot\log n)$ -时间动态规划算法来计算双连通串并行图的连通树宽度。在运行时间中增加一个额外的$n$因子的代价下，我们的算法最多生成树宽为$2$的图。
2021-01-27 cs.DM cs.DS
Fine-grained complexity of the graph homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的\emph{homomorphism}是从$G$的顶点集到$H$的顶点集的保边映射。对于一个固定的图$H$，我们用\textsc{Hom($H$)}表示一个计算问题，该问题询问给定的图$G$是否允许一个同态到$H$。如果$H$是一个具有$k$顶点的完全图，则\textsc{Hom($H$)}等价于$k$ - \textsc{Coloring}问题，因此图同态可以看作是着色的推广。众所周知，如果$H$是二分的或有一个带环的顶点，则\textsc{Hom($H$)}是多项式时间可解的，否则是NP-完全的[Hell和Nešethabil，JCTB 1990]。在本文中，我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的树宽度的输入图$G$。如果$G$具有$n$顶点并且连同其宽度$\mathrm{tw}(G)$的树分解一起给出，则可以使用直接的动态规划在时间$|V(H)|^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$上求解该问题。我们探讨是否可以提高这个界限。我们表明，如果$H$是一个\emph{projective core}，那么存在这样一个更快的算法是不可能的：假设强指数时间假设（SETH），\textsc{Hom($H$)}问题不能解决的时间$(|V(H)|-ε)^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\…
2020-02-18 cs.CC cs.DM cs.DS
Faster Space-Efficient Algorithms for Subset Sum, k-Sum and Related Problems
我们提出了空间有效的Monte Carlo算法，解决子集和背包实例与$n$项目使用$O^*(2^{0.86n})$时间和多项式空间，其中$O^*(\cdot)$符号抑制因素多项式的输入大小。这两种算法都假定对随机位的随机只读访问。模这个温和的假设，这解决了一个长期存在的开放问题，在精确算法的NP难问题。这些结果可以推广到求解$n$变量上的二元线性规划问题，在相似的运行时间内，约束条件较少。我们还表明，对于任何恒定的$k\geq 2$，$k$ -Sum的随机实例可以解决使用$O(n^{k-0.5}polylog(n))$时间和$O(\log n)$空间，而不需要随机访问随机位的假设。这些结果的基础是一个算法，该算法确定两个给定的列表的长度$n$与整数由一个多项式在$n$共享一个共同的值。假设随机只读访问随机位，我们表明，这个问题可以解决使用$O(\log n)$空间显着快于平凡的$O(n^2)$时间算法，如果没有值经常出现在同一列表中。
2017-06-24 cs.CC cs.CR cs.DS
