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Orlicz-Lorentz 规范泛函不等式：正积分算子（修订版）

Orlicz-Lorentz Gauge Functional Inequalities for Positive Integral Operators. Revised Version

Susanna Spektor, Ron Kerman

备注：
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AI总结：

本文研究正积分算子在 Orlicz-Lorentz 规范泛函下的不等式，给出了算子作用后函数的递减重排与输入函数之间范数比较的条件，核心贡献是建立了此类泛函不等式的充分条件。

摘要：

设 $f \in M_+(\R_+)$，其中 $M_+(\R_+)$ 表示定义在 $\R_+=(0, \infty)$ 上的非负 Lebesgue 可测函数类。我们考虑如下形式的积分算子 \\[(T_Kf)(x)=\int_{\R_+}K(x,y)f(y)\\, dy, \quad x \in \R_+,\\] 其中 $K \in M_+(\R_+^2)$。我们关注不等式 \\[\rho_{1}((T_Kf)^*)\leq C\rho_2(f^*),\\] 其中 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 是定义在函数 $h \in M_+(\R_+)$ 上的泛函，且 \\[h^*(t)=\mu_h^{-1}(t), \quad t \in \R_+,\\] 这里 \\[\mu_h(\lambda)=|\{x \in \R_+: \\, h(x)> \lambda\}|, \lambda\in \R_+。\\] 具体地，$\rho_1$ 和 $\rho_2$ 是所谓的 Orlicz-Lorentz 规范泛函，形式为 \\[\rho(h)=\rho_{\Phi, u}(h)=\inf\left\{\lambda>0:\\, \int_{\R_+}\Phi\left(\frac{h(x)}{\lambda}\right)u(x)\\, dx \leq 1\right\}, \quad h \in M_+(\R_+);\\] 其中 $\Phi(x)=\int_0^x\phi(y)\\, dy$，$\phi$ 是从 $\R_+$ 到自身的递增函数，且 $u\in M_+(\R_+)$。

英文摘要：

Let $f \in M_+(\R_+)$, the class of nonnegative, Lebesgure-measurable functions on $\R_+=(0, \infty)$. We deal with integral operators of the form \[ (T_Kf)(x)=\int_{\R_+}K(x,y)f(y)\, dy, \quad x \in \R_+, \] with $K \in M_+(\R_+^2)$. We are interested in inequalities \[ ρ_{1}((T_Kf)^*)\leq Cρ_2(f^*), \] in which $ρ_1$ and $ρ_2$ are functionals on functions $h \in M_+(\R_+)$, and \[ h^*(t)=μ_h^{-1}(t), \quad t \in \R_+, \] where \[ μ_h(λ)=|\{x \in \R_+: \, h(x)> λ\}|, λ\in \R_+. \] Specifically, $ρ_1$ and $ρ_2$ are so-called Orlicz-Lorentz gauge functionals of the type \[ ρ(h)=ρ_{Φ, u}(h)=\inf\left\{λ>0:\, \int_{\R_+}Φ\left(\frac{h(x)}λ\right)u(x)\, dx \leq 1\right\}, \quad h \in M_+(\R_+); \] here $Φ(x)=\int_0^xϕ(y)\, dy$, $ϕ$ an increasing function mapping $\R_+$ onto itself and $u\in M_+(\R_+)$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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