Orlicz-Lorentz质心体

质心体与对数拉普拉斯变换的统一方法

Centroid Bodies and the Logarithmic Laplace Transform - A Unified Approach

我们统一和略有改善的几个边界上的各向同性常数的高维凸体，特别是，一个线性依赖于身体的psi-2常数。在此基础上，我们给出了L_p-质心体体积的一些新的界，并给出了Bourgain超平面猜想的另一个等价形式。我们的方法是Paouris的L_p质心体技术和第一作者的对数拉普拉斯变换技术的结合。

On the Musielak-Orlicz-Gauss image problem

In the present paper we initiate the study of the Musielak-Orlicz-Brunn-Minkowski theory for convex bodies. In particular, we develop the Musielak-Orlicz-Gauss image problem aiming to characterize the Musielak-Orlicz-Gauss image measure of convex bodies. For a convex body $K$, its Musielak-Orlicz-Gauss image measure, denoted by $\widetilde{C}_Θ(K, \cdot)$, involves a triple $Θ=(G, Ψ, λ)$ where $G$ and $Ψ$ are two Musielak-Orlicz functions defined on $S^{n-1}\times (0, \infty)$ and $λ$ is a nonzero finite Lebesgue measure on the unit sphere $S^{n-1}$. Such a measure can be produced by a variati…

凸体截面的重心与Lusternik-Schnirelmann范畴

Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category

本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。

一般双极Orlicz-Minkowski问题

The general dual-polar Orlicz-Minkowski problem

本文系统地研究了一般双极Orlicz-Minkowski问题（例如，问题\ref{general-dual-polar}）。这个问题涉及到最近在\cite{GHWXY, GHXY}中为了研究一般对偶Orlicz-Minkowski问题而提出的一般对偶体积$\widetilde{V}_G(\cdot)$。由于$\widetilde{V}_G(\cdot)$扩展了体积和$q$的对偶体积，一般双极Orlicz-Minkowski问题与最近提出的\cite{GHWXY, GHXY}中的一般对偶Orlicz-Minkowski问题是“极”的，与\cite{LuoYeZhu}中新提出的极Orlicz-Minkowski问题是“对偶”的.证明了一般双极Orlicz-Minkowski问题解的存在性、连续性和唯一性。多面体解决方案和/或反例一般双极Orlicz-Minkowski问题的离散措施也提供。一般双极Orlicz-Minkowski问题的几个变化进行了讨论，以及，特别是一个导致一般Orlicz-Petty机构。

多胞形的对偶$L_{p}$ -质心体逼近

On the approximation of a polytope by its dual $L_{p}$-centroid bodies

证明了凸对称多胞形P在R^n中用其对偶L_{p$-质心体逼近其体积收敛速率与P的几何无关.特别地，我们证明了如果P的体积为1，则lim_{p\rightarrow \infty} \frac{p}{\log{p}}（\frac{|Z_{p}^{\circ}(P)|}{|P^{\circ}|} -1）= n^{2}.我们提供了一个应用程序的一致凸集的多面体的近似。

复$L_p$-交体

Complex $L_p$-Intersection Bodies

本文引入了范围扩展至$p>-2$的复$L_p$-交体，证明了$\mathbb{S}^1$-不变凸体在不同$p$值下的伪凸性与凸性，并推导出Busemann--Petty型交不等式。

锥测度与$L_p$质心体的相对熵

Relative entropy of cone measures and $L_p$ centroid bodies

设$K$是$\mathbb R^n$中的凸体。我们引入了一个新的仿射不变量，我们称之为$Ω_K$，可以发现在三种不同的方式：作为一个限制的归一化$L_p$-仿射表面积，作为相对熵的锥测量的$K$和锥测量的$K^\circ$，作为限制的体积差的$K$和$L_p$-质心机构。我们研究了$Ω_K$和相关的新不变量的性质。特别地，我们证明了新的仿射等周不等式和凸体的"信息不等式"。

高阶投影体与质心体的仿射等周不等式

Affine Isoperimetric Inequalities for Higher-Order Projection and Centroid Bodies

本文将Schneider的m阶差分体思想推广至投影体、质心体和径向平均体，证明多类仿射等周不等式，并给出有界变差函数的m阶仿射Sobolev不等式。

各向同性凸体及其$L_q$ -质心体的$M$ -估计

$M$-estimates for isotropic convex bodies and their $L_q$-centroid bodies

设$K$是$\mathbb{R}^n$中的中心对称凸体，$\|\cdot\|$是它在${\mathbb R}^n$上的诱导范数.我们表明，如果$K \supseteq r B_2^n$然后：\[ \sqrt{n} M(K) \leqslant C \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \min\left(\frac{1}{r} , \frac{n}{k} \log\Big(e + \frac{n}{k}\Big) \frac{1}{v_{k}^{-}(K)}\right) . \]其中$M(K)=\int_{S^{n-1}} \|x\|\, dσ(x)$是平均范数，$C>0$是一个通用的常数，和$v^{-}_k(K)$表示$K$的$k$维正交投影的最小体积半径。我们应用这一结果研究了各向同性凸体$K$在${\mathbb R}^n$及其$L_q$ -质心体中的平均范数。特别是，我们表明，如果$K$具有各向同性常数$L_K$，则：\[ M(K) \leqslant \frac{C\log^{2/5}(e+ n)}{\sqrt[10]{n}L_K} . \]

仿射对称测度的极值凸体

Extremal convex bodies for affine measures of symmetry

本文研究了基于质心到John椭球和Lowner椭球中心之一的距离的对称性度量。作者证明了所考虑的对称性测度的导出的上界的准确性。

Orlicz-Brunn-Minkowski理论的一般卷和一个相关的Minkowski问题I

General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem I

引入了星形体的广义体积概念，它包括通常体积、$q$第二对偶体积以及许多先前类型的对偶混合体积。针对Lutwak，Yang和Zhang最近提出的$(p,q)$ -对偶曲率测度，定义了一个相应的新的广义对偶Orlicz曲率测度.建立了两类Orlicz线性组合的一般体积的一般变分公式。其中之一是适用于闵可夫斯基问题的新的一般对偶Orlicz曲率措施，特别是解决闵可夫斯基问题所提出的Lutwak，杨，张为$(p,q)$ -对偶曲率措施时，$p>0$和$q<0$。得到了一般体积的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，以及星体的对偶Orlicz-Minkowski型不等式和唯一性结果.最后，一个非常普遍的Minkowski型不等式，涉及两个Orlicz功能，两个凸体，和一个星体，证明，其中包括作为特殊情况下，其他几个在文献中，特别是一个由于Lutwak，杨，张$(p,q)$ -混合体积。

关于各向同性凸体及其伴随的$L_p$ -质心体的平均宽度

On the mean-width of isotropic convex bodies and their associated $L_p$-centroid bodies

对于$\mathbb{R}^n$中任意原点对称凸体$K$，在各向同性位置，我们得到：\[ M^*(K) \leq C \sqrt{n} \log(n)^2 L_K ~, \]其中$M^*(K)$表示$K$的平均宽度的一半，$L_K$是$K$的各向同性常数，$C>0$是普适常数.这改进了先前最著名的估计值$M^*(K) \leq C n^{3/4} L_K$。直到$\log(n)$项和$L_K$项的幂，改进的边界是最好的可能，并且意味着各向同性位置是（直到$L_K$项）几乎$2$ -正则$M$ -位置。该界限扩展到任意位置，取决于协方差矩阵的特征值的某个加权平均。此外，该界限适用于$L_p$质心体的平均宽度，将$1 \leq p \leq \sqrt{n}$的Paouris的尖锐上限扩展到任意$p \geq \sqrt{n}$的几乎尖锐的界限。是否可以从新的边界中删除$L_K$项的问题本质上等同于$n$中对数因子内的切片问题。

伪锥的Orlicz-Gauss图像问题及其相关球面最优传输

The Orlicz-Gauss image problem for pseudo-cones and its associated spherical optimal transport

本文研究伪锥的Orlicz-Gauss图像问题，提出存在解的充要条件，并将其与球面最优传输联系起来，结合变分法和新限制技术，强化了Schneider的原始结果。

凸体的相对熵

Relative entropies for convex bodies

我们介绍了一类新的（不一定是凸的）机构，并显示，除其他事项外，这些机构提供了另一个凸几何分析和信息论之间的联系。也就是说，它们给出了凸体的锥测度的相对熵及其极量和相关量的几何解释。这种解释首先由保里斯和维尔纳在$L_p$-质心体的背景下对对称凸体给出。在那里，相对熵在对某些表达式进行二阶展开后出现。现在，不需要对称性假设。此外，使用新的身体，已经一阶展开使相对熵出现。因此，这些物体比$L_p$-质心物体"更快"地检测凸体边界的细节。

一般Lp仿射等周不等式

General Lp affine isoperimetric inequalities

建立了全类Lp投影体和全类Lp质心体的Sharp Lp仿射等周不等式.这些新的不等式加强了Lp Petty投影和Lp Busemann-Petty质心不等式.

矩比较、Sudakov不等式与质心体的熵

Moment comparisons, Sudakov inequalities and entropy of centroid bodies

本文针对迷向对数凹随机向量与标准高斯向量，推导任意矩阶的规范函数矩比较估计，得到$L_p$-Sudakov相关结果与质心体的熵、范数等多类几何估计。

关于凸体上线性泛函的次高斯估计的注记

A note on subgaussian estimates for linear functionals on convex bodies

本文给出了Klartag关于凸体上几乎亚高斯线性泛函存在性的一个结果的另一种证明。如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，体积为1，质心在原点，则存在$x\neq 0$使得对于所有$t\gr 1$都有$$|\{y\in K: |< y,x> |\gr t\|<\cdot, x>\|_1\}|\ls\exp (-ct^2/\log^2(t+1))$$，其中$c>0$是绝对常数。证明是基于对$L_q$ --$K$的质心体的研究。类似的结果适用于一般的对数凹措施。

Orlicz-Brunn-Minkowski理论的一般体积和一个相关的Minkowski问题II

General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem II

最近，对于内部含有原点的函数$G: (0, \infty)\times \sphere\rightarrow (0, \infty)$和$\R^n$中的凸体$K$，引入了广义对偶体积$\dveV(K)$和广义对偶Orlicz曲率测度$\deV(K, \cdot)$.我们扩展$\dveV(K)$和$\deV(K, \cdot)$更一般的功能$G: [0, \infty)\times \sphere\rightarrow [0, \infty)$和紧凑的凸集$K$包含的起源（但不一定在其内部）。给出了一般对偶体积和对偶Orlicz曲率测度的一些基本性质，如对基础集的连续依赖性。这些都需要研究闵可夫斯基型问题的对偶Orlicz曲率措施。我们主要研究了当$G$和$ψ$都增加时的情形，从而补充了我们以前的工作。Minkowski问题要求刻画$\sphere$上的Borel测度$μ$，其中$\R^n$中有一个凸体$K$，包含原点，使得$μ$等于$\deV(K, \cdot)$，直到一个常数。分析中的一个主要步骤涉及离散措施$μ$，我们证明了凸多面体的存在性，包含在其内部解决闵可夫斯基问题的起源。对于一般（不一定是离散的）测量$μ$，我们使用近似参数。这种方法也适用于$G$减少和$ψ$增加的情况，因此增加了我们以前的工作。当测度$μ$为偶数时，在较弱的条件下，给出了$G$和$ψ$上的原点对称凸体…

平面Busemann-Petty质心不等式及其稳定性

The planar Busemann-Petty centroid inequality and its stability

在[光滑凸体的中心仿射不变量，Int. Math. Res. Notices.土井：10.1093/imrn/rnr 110，2011] Stancu为$1\leq p<\infty.$引入了一族中心仿射法线流，即$p$ -流。在这里，我们研究了光滑、原点对称的凸体类中$p=\infty$的平面$p$ -流的渐近行为。首先，我们证明了$\infty$流的发展适当规范化的源对称的解决方案的单位磁盘的Hausdorff度量，模$SL(2).$其次，使用$\infty$流和Harnack估计，这个流，我们证明了一个稳定的版本的平面Busemann-Petty质心不等式的Banach-Mazur距离。第三，我们证明了正规化解在Hausdorff度量下的收敛性可以改进为在$\mathcal{C}^{\infty}$拓扑下的收敛性。

On the sine polarity and the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality

This paper is dedicated to study the sine version of polar bodies and establish the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality for the $L_p$-sine centroid body. The $L_p$-sine centroid body $Λ_p K$ for a star body $K\subset\mathbb{R}^n$ is a convex body based on the $L_p$-sine transform, and its associated Blaschke-Santaló inequality provides an upper bound for the volume of $Λ_p^{\circ}K$, the polar body of $Λ_p K$, in terms of the volume of $K$. Thus, this inequality can be viewed as the "sine cousin" of the $L_p$ Blaschke-Santaló inequality established by Lutwak and Zhang. As $p\rightarrow \inf…

Grünbaum 与 Loewner 问题的解答

Answers to questions of Grünbaum and Loewner

该研究在 $n\geq 5$ 维空间中构造了具有唯一质心超平面性质的凸体，解决了 Grünbaum 与 Loewner 的公开问题，证明依赖非相交体的存在性。

关于圆锥截凸体的体积

On the volume of sections of a convex body by cones

设$K$是$\mathbb R^n$中的一个凸体。证明了在小余维情况下，凸体通过形心的截面关于体积是相当对称的。作为我们估计的结果，我们给出了一个肯定的答案所提出的问题M。Meyer和S. Reisner关于凸相交机构。

各向同性凸体随机截面的几何

Geometry of random sections of isotropic convex bodies

设$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性对称凸体。我们证明了余维$k=γn$的子空间$F\in G_{n,n-k}$，其中$γ\in (1/\sqrt{n},1)$满足$$K\cap F\subseteq \frac{c}{γ}\sqrt{n}L_K (B_2^n\cap F)$$的概率大于$1-\exp (-\sqrt{n})$。使用不同的方法，我们研究了同样的问题的$L_q$ -质心机构$Z_q(μ)$的各向同性对数凹概率测度$μ$ ${\mathbb R}^n$。对于每个$1\leq q\leq n$和$γ\in (0,1)$，我们证明了随机子空间$F\in G_{n,(1-γ)n}$满足$Z_q(μ)\cap F\subseteq c_2(γ)\sqrt{q}\,B_2^n\cap F$。我们还给出了$Z_q(μ)$的随机投影直径的界，并利用它们推导出，如果$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性凸体，则对于$(\log n)^4$维的随机子空间$F$，$F$中的所有方向都是次高斯，且$O(\log^2n)$为常数。

再论仿射不变量

Some Affine Invariants Revisited

我们提出了几个尖锐的SL（n）不变量$Ω_{2,n}(K)$在我们的早期工作的中心仿射不变量光滑凸体包含原点。一个连接出现与保里斯-沃纳不变$Ω_K$定义的凸体$K$的质心是在原点。当$Ω_K$。所采用的技术促使我们推测，具有连续且正的中心仿射曲率函数的凸体的任何SL（n）不变量都可以作为凸体的归一化$p$仿射表面积的极限来获得。

广义Orlicz球的KLS等周猜想

The KLS Isoperimetric Conjecture for Generalized Orlicz Balls

将欧氏空间$(\mathbb{R}^n,|\cdot|)$中的凸有界域$K$切割成等体积的两半，使两半之间的界面具有最小表面积的最佳方法是什么？Kannan、Lovász和Simonovits的一个猜想断言，如果人们不介意在表面积中获得一个通用的数值因子（与$n$无关），那么人们也可以使用超平面来分解$K$。在过去的二十年中，人们已经证明了前一个非线性等周不等式与后一个非线性等周不等式的线性松弛之间的这种严格的本质等价性，它对于理解凸域的体积和谱性质具有重要意义.在这项工作中，我们解决的猜想的子类广义Orlicz球\[ K = \left \{x \in \mathbb{R}^n \; ; \; \sum_{i=1}^n V_i(x_i) \leq E \right \} , \]确认其有效性的某些水平$E \in \mathbb{R}$下，一个温和的技术假设的增长凸函数$V_i$在无穷大（没有我们确认的猜想高达$\log(1+n)$因素）。与以前解决KLS猜想的方法形成鲜明对比，我们强调$K$不需要对称性。这显着扩大了子类的凸体的猜想得到证实。

Grünbaum 不等式的一个一般函数版本

A general functional version of Grünbaum's inequality

本文将 Grünbaum 凸体截体体积比不等式推广为经过任意 $r$ 次质心的情形，并通过凹函数的一般函数结果统一恢复 Minkowski–Radon 及凸体截面等相关不等式。

高阶Lp等周不等式与Sobolev不等式

Higher-Order Lp Isoperimetric and Sobolev Inequalities

本研究将凸几何中的维数间算子推广至$L^p$情形，把单纯形拓展为任意含原点的m维凸体，建立了多类m阶$L^p$等周与仿射Sobolev不等式，并给出了线性泛函算子范数体积的等周不等式应用。

凸体中随机点对分布的Brunn-Minkowski理论

A Brunn-Minkowski Theory for the Distribution of Random Pairs of Points in Convex Bodies

本文为凸体中随机点对距离分布建立Brunn-Minkowski理论，证明泛函满足不等式并刻画Wulff微分测度，进而得到球的刚性与Minkowski方程的联系。