Relative entropies for convex bodies
我们介绍了一类新的（不一定是凸的）机构，并显示，除其他事项外，这些机构提供了另一个凸几何分析和信息论之间的联系。也就是说，它们给出了凸体的锥测度的相对熵及其极量和相关量的几何解释。这种解释首先由保里斯和维尔纳在$L_p$-质心体的背景下对对称凸体给出。在那里，相对熵在对某些表达式进行二阶展开后出现。现在，不需要对称性假设。此外，使用新的身体，已经一阶展开使相对熵出现。因此，这些物体比$L_p$-质心物体"更快"地检测凸体边界的细节。
2011-05-13 math.FA
Geometry of the $L_q$-centroid bodies of an isotropic log-concave measure
研究了${\mathbb R}^n$上各向同性对数凹测度$μ$的质心体$L_q$-$Z_q(μ)$的几何性质。对于任何$2\ls q\ls\sqrt{n}$和$\varepsilon \in (\varepsilon_0(q,n),1)$，我们确定了$Z_q(μ)$的随机$(1-\varepsilon)n$维投影的内半径，直到一个多项式依赖于$\varepsilon $的常数。利用这一事实，我们得到的覆盖数$N(\sqrt{\smash[b]{q}}B_2^n,tZ_q(μ))$，$t\gr 1$的估计，从而表明，$Z_q(μ)$是一个$β$ -正则凸体。作为结果，我们也得到了一个上界为$M(Z_q(μ))$。
2013-06-02 math.FA math.MG
Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category
本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。
2025-11-27 math.FA math.GT math.MG
Affine Isoperimetric Inequalities for Higher-Order Projection and Centroid Bodies
本文将Schneider的m阶差分体思想推广至投影体、质心体和径向平均体，证明多类仿射等周不等式，并给出有界变差函数的m阶仿射Sobolev不等式。
2025-08-30 math.CA math.FA math.MG
Complex $L_p$-Intersection Bodies
本文引入了范围扩展至$p>-2$的复$L_p$-交体，证明了$\mathbb{S}^1$-不变凸体在不同$p$值下的伪凸性与凸性，并推导出Busemann--Petty型交不等式。
2023-07-30 math.FA math.MG
General Lp affine isoperimetric inequalities
建立了全类Lp投影体和全类Lp质心体的Sharp Lp仿射等周不等式.这些新的不等式加强了Lp Petty投影和Lp Busemann-Petty质心不等式.
2008-09-11 math.DG math.FA
The planar Busemann-Petty centroid inequality and its stability
在[光滑凸体的中心仿射不变量，Int. Math. Res. Notices.土井：10.1093/imrn/rnr 110，2011] Stancu为$1\leq p<\infty.$引入了一族中心仿射法线流，即$p$ -流。在这里，我们研究了光滑、原点对称的凸体类中$p=\infty$的平面$p$ -流的渐近行为。首先，我们证明了$\infty$流的发展适当规范化的源对称的解决方案的单位磁盘的Hausdorff度量，模$SL(2).$其次，使用$\infty$流和Harnack估计，这个流，我们证明了一个稳定的版本的平面Busemann-Petty质心不等式的Banach-Mazur距离。第三，我们证明了正规化解在Hausdorff度量下的收敛性可以改进为在$\mathcal{C}^{\infty}$拓扑下的收敛性。
2015-05-02 math.DG math.FA
Extremal convex bodies for affine measures of symmetry
本文研究了基于质心到John椭球和Lowner椭球中心之一的距离的对称性度量。作者证明了所考虑的对称性测度的导出的上界的准确性。
2019-07-31 math.FA math.MG
Some Affine Invariants Revisited
我们提出了几个尖锐的SL（n）不变量$Ω_{2,n}(K)$在我们的早期工作的中心仿射不变量光滑凸体包含原点。一个连接出现与保里斯-沃纳不变$Ω_K$定义的凸体$K$的质心是在原点。当$Ω_K$。所采用的技术促使我们推测，具有连续且正的中心仿射曲率函数的凸体的任何SL（n）不变量都可以作为凸体的归一化$p$仿射表面积的极限来获得。
2012-08-03 math.FA
Moment comparisons, Sudakov inequalities and entropy of centroid bodies
本文针对迷向对数凹随机向量与标准高斯向量，推导任意矩阶的规范函数矩比较估计，得到$L_p$-Sudakov相关结果与质心体的熵、范数等多类几何估计。
2026-08-12 math.FA math.MG math.PR
On volume distribution in 2-convex bodies
我们考虑凸性的凸性模是一致二次的凸集。首先，我们观察到几个有趣的关系不同的位置之间的这种“2凸”的机构，特别是，各向同性的位置是一个有限的体积比的位置，这些机构。其次，我们证明了高维2-凸体近似高斯的一维边缘。第三，我们改进了Schatten类空间L_p和S_p^m的子空间的迷向常数的某些界，其中1<p<=2。
2006-04-27 math.FA math.MG
Geometry of random sections of isotropic convex bodies
设$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性对称凸体。我们证明了余维$k=γn$的子空间$F\in G_{n,n-k}$，其中$γ\in (1/\sqrt{n},1)$满足$$K\cap F\subseteq \frac{c}{γ}\sqrt{n}L_K (B_2^n\cap F)$$的概率大于$1-\exp (-\sqrt{n})$。使用不同的方法，我们研究了同样的问题的$L_q$ -质心机构$Z_q(μ)$的各向同性对数凹概率测度$μ$ ${\mathbb R}^n$。对于每个$1\leq q\leq n$和$γ\in (0,1)$，我们证明了随机子空间$F\in G_{n,(1-γ)n}$满足$Z_q(μ)\cap F\subseteq c_2(γ)\sqrt{q}\,B_2^n\cap F$。我们还给出了$Z_q(μ)$的随机投影直径的界，并利用它们推导出，如果$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性凸体，则对于$(\log n)^4$维的随机子空间$F$，$F$中的所有方向都是次高斯，且$O(\log^2n)$为常数。
2016-09-28 math.FA math.MG
Lower bounds on non-central sections of isotropic convex bodies
University of Warsaw（华沙大学）
针对固定距离 t0，给出对称各向同性凸体 K 的 L_K 乘以超平面截面的体积的渐近锐利下界。
2026-06-26 math.FA math.MG math.PR
A simplicial polytope that maximizes the isotropic constant must be a simplex
各向同性常数$L_K$是凸体$K$的展度的仿射不变测度。对于$d$维凸体$K$，$L_K$可以定义为$L_K^{2d} = \det(A(K))/(\mathrm{vol}(K))^2$，其中$A(K)$是$K$上均匀分布的协方差阵.寻找各向同性常数随维数变化的渐近上界是一个突出的公开问题。已经证明存在一个普适的常数上界。已知该猜想对几类物体都成立，特别是高度对称的物体，如具有无条件基的物体。我们也知道最大化者不可能是光滑的。在这项工作中，我们研究了光滑的机构和高度对称的机构之间的差距，显示减少到一个高度对称的情况下，非光滑机构的进展。更准确地说，我们研究了一组单纯多面体之间的极大化，我们表明，如果一个单纯多面体$K$是一个最大化的各向同性常数之间的$d$维凸体，那么当$K$是放在各向同性的位置，它是对称的任何超平面由$(d-2)$维面和原点。根据Campi，Colesanti和Gronchi的结果，这意味着使迷向常数最大化的单纯多面体必须是单纯形。
2014-05-28 math.FA math.MG math.PR
A note on subgaussian estimates for linear functionals on convex bodies
本文给出了Klartag关于凸体上几乎亚高斯线性泛函存在性的一个结果的另一种证明。如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，体积为1，质心在原点，则存在$x\neq 0$使得对于所有$t\gr 1$都有$$|\{y\in K: |< y,x> |\gr t\|<\cdot, x>\|_1\}|\ls\exp (-ct^2/\log^2(t+1))$$，其中$c>0$是绝对常数。证明是基于对$L_q$ --$K$的质心体的研究。类似的结果适用于一般的对数凹措施。
2006-04-12 math.FA math.MG
Isotropic constants and Mahler volumes
本文给出了与凸体的射影扰动体积和凸锥上的拉普拉斯变换有关的若干结果。首先，它表明，一个尖锐的版本Bourgain的切片猜想意味着马勒猜想的凸体，不一定是中心对称的。其次，我们发现，通过稍微平移一个中心凸体的极坐标，我们可以得到另一个具有有界各向同性常数的凸体。第三，我们提供了一个反例Kuperberg猜想的体积分布在一个机构，并在其极。
2018-03-01 math.FA math.MG
Negative moments of the support function and applications to isotropic convex bodies
本文通过支撑函数的负矩估计和球冠论证，研究各向同性凸体的随机投影内半径等几何量，得到多项式偏差估计并证明立方体在无条件类中的极值性，同时给出混合旋转-投影定理和体积剖面的尖锐结果。
2026-09-24 math.FA math.MG math.PR
A note on the reduction of the slicing problem to centrally symmetric convex bodies
本文给出了绝对常数$C$的最佳可能值，使得对每个各向同性凸体$K \subseteq \mathbb{R}^n$，（由Klartag证明并将超平面猜想简化为中心对称的凸体）满足：$$ L_K\leq CL_{K_{n+2}(g_K)}. $$这里$L_K$表示$K$的各向同性常数，$g_K$表示其协方差函数，其是对数凹的，并且，对于任何对数凹函数$g$，$K_{n+2}(g)$是与对数凹函数$g$相关联的凸体，它属于Ball引入的单参数族。为了得到这个不等式，只要$g$满足比对数型更好的凸型，就可以得到这个族中的凸体之间的尖锐包含结果，因为$g_K$确实是$\frac{1}{n}$ -凹的。
2022-10-17 math.FA math.MG
A Generalized Central Limit Conjecture for Convex Bodies
凸体的中心极限定理指出，在很高的概率下，沿随机方向的各向同性对数凹分布的边缘接近高斯分布，其数量差异由Cheeger/Poincare/KLS常数渐近确定。在这里，我们提出了一个广义CLT的边缘沿随机方向绘制从任何各向同性的对数凹分布，即$x,y$绘制独立于各向同性的对数凹密度$p,q$，随机变量$\langle x,y\rangle$接近高斯。我们的主要结果是，这个广义CLT是定量等价的（一个小的因素）KLS猜想。在$\mathbb{R}^n$中，$n^{1/4}$的当前KLS界的任何多项式改进都意味着广义CLT，反之亦然。这种紧密的联系表明，广义CLT可能会提供洞察基本的开放问题，在渐近凸几何。
2019-09-28 math.FA math.MG math.PR
On the sine polarity and the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality
研究了正弦形式的极体，建立了$L_p$ -正弦质心体的$L_p$ -正弦Blaschke-Santaló不等式.恒星体$K\subset\mathbb{R}^n$的$L_p$ -正弦质心体$Λ_p K$是基于$L_p$ -正弦变换的凸体，其相关的Blaschke-Santaló不等式提供了$K$的体积的上界，$Λ_p^{\circ}K$是$Λ_p K$的极体。因此，这个不等式可以看作是Lutwak和Zhang建立的$L_p$ Blaschke-Santaló不等式的“正弦表亲”。作为$p\rightarrow \infty$，$Λ_p^{\circ} K$的极限成为正弦极体$K^{\diamond}$，因此$L_p$ -正弦Blaschke-Santaló不等式简化为正弦极体的正弦Blaschke-Santaló不等式。正弦极性自然地导致一类新的凸体$\mathcal{C}_{e}^n$，它由原点对称的闭合实心圆柱相交生成的所有原点对称凸体组成。提出了$\mathcal{C}_{e}^n$中的柱支撑函数、支撑柱、柱高斯像和柱壳等概念。基于这些新概念，解决了正弦Blaschke-Santaló不等式的等式条件.
2022-06-01 math.FA math.MG
Answers to questions of Grünbaum and Loewner
该研究在 $n\geq 5$ 维空间中构造了具有唯一质心超平面性质的凸体，解决了 Grünbaum 与 Loewner 的公开问题，证明依赖非相交体的存在性。
2024-11-07 math.FA math.MG
Pointwise Estimates for Marginals of Convex Bodies
证明了凸体的多维中心极限定理的一个逐点形式。也就是说，设X是R^n中具有对数凹密度的各向同性随机向量。对于R^n中维数为n^c的典型子空间E，考虑X在E上投影的概率密度。我们证明了在E的大部分中，这个概率密度与E中的标准高斯密度之比非常接近于1。这里c > 0是一个普适常数。这补充了第二位作者最近的一个结果，其中考虑了密度之间的总变差度量。
2007-08-18 math.FA math.MG
A Rényi entropy interpretation of anti-concentration and noncentral sections of convex bodies
Centro de Investigacion en matemáticas (CIMAT)（墨西哥数学研究中心）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Leeds（利兹大学）
本文通过雷尼熵解释了反集中现象，并给出了各向同性凸体非中心截面体积的精确界。
2025-01-25 math.FA math.MG math.PR
Optimal MM* bounds for convex bodies
本文证明各向同性位置凸体的最优平均宽度界，结合热流几何不等式与现有比较方法，推广 Pisier 的 MM* 估计至非对称情形。
2026-09-18 math.FA math.MG math.PR
On Gaussian Marginals of Uniformly Convex Bodies
最近，Bo'az Klartag证明了任意凸体在大多数方向上都有高斯边缘。我们表明，Klartag的定量估计可能会改善许多一致凸体。这些包括幂类型为2的一致凸体和幂类型为$p>2$且具有某些附加类型条件的一致凸体。特别是，我们的结果适用于所有单位球的子空间的子空间的$L_p$为$1<p<\infty$。当$L_p$被$S_p^m$（$l_p$ -Schatten类空间）替换时，情况也是如此。我们还将所得结果推广到任意幂型$p$的一致凸体上，对于$2 \leq p < 4$ .这些结果是通过把身体（令人惊讶的）非各向同性的位置，并通过一个新的浓度的体积观察均匀凸体。
2008-04-05 math.FA math.MG math.PR
Distances between non-symmetric convex bodies: optimal bounds up to polylog
本文确定了无对称假设的n维凸体Banach-Mazur紧集直径的多对数因子最优上界，并研究了部分包含距离，证明其具有对数上界，核心依赖于各向同性对数凹测度与高斯测度的规范序双向比较。
2026-07-03 math.FA math.MG math.PR
A general functional version of Grünbaum's inequality
本文将 Grünbaum 凸体截体体积比不等式推广为经过任意 $r$ 次质心的情形，并通过凹函数的一般函数结果统一恢复 Minkowski–Radon 及凸体截面等相关不等式。
2024-04-12 math.FA math.MG
A Brunn-Minkowski Theory for the Distribution of Random Pairs of Points in Convex Bodies
Institute of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学研究所）
本文为凸体中随机点对距离分布建立Brunn-Minkowski理论，证明泛函满足不等式并刻画Wulff微分测度，进而得到球的刚性与Minkowski方程的联系。
2026-10-02 math.AP math.FA
Estimates for measures of lower dimensional sections of convex bodies
本文对Koldobsky关于对称凸体截面测度的一些结果提出了另一种方法，使我们能够将它们推广到不一定对称的情形.本文证明了：如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，且$0\in {\rm int}(K)$是${\mathbb R}^n$上的凸体，且$μ$是${\mathbb R}^n$上的测度，且$g$在${\mathbb R}^n$上局部可积，则对每个$1\leq k\leq n-1$都有\begin{equation*}μ(K)\leq \left (c\sqrt{n-k}\right )^k\max_{F\in G_{n,n-k}}μ(K\cap F)\cdot |K|^{\frac{k}{n}}\end{equation*}.此外，如果$μ$是偶数和对数凹的，并且如果$K$是${\mathbb R}^n$中的对称凸体，并且$D$是${\mathbb R}^n$的紧致子集，使得对于所有$F\in G_{n,n-k}$，$μ(K\cap F)\leq μ(D\cap F)$，则为\begin{equation*}μ(K)\leq \left (ckL_{n-k}\right )^{k}μ(D),\end{equation*}，其中$L_s$是${\mathbb R}^s$中凸体的最大各向同性常数。我们的方法采用了广义Blaschke-Petkantschin公式和估…
2015-12-30 math.FA math.MG
An Improved Volume Ratio Bound via Isotropic Positions
Universidad Torcuato Di Tella（托尔夸托·迪泰拉大学）；IMAS–CONICET（阿根廷国家科学研究委员会马德普拉塔数学与统计研究所）；Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学理学院）
该研究针对凸体的体积比界问题，通过将凸体置于各向同性位置并结合相关估计与新的无维界，改进了已沿用近二十五年的通用体积比上界。
2026-08-11 math.FA math.MG
On the maximal perimeter of isotropic log-concave probability measures
该研究证明了各向同性对数凹概率测度的最大周长常数$Γ_n$不超过$Cn^{3/2}$，并给出了在附加结构假设下的线性界。
2026-02-03 math.FA math.MG math.PR
Higher-Order Lp Isoperimetric and Sobolev Inequalities
本研究将凸几何中的维数间算子推广至$L^p$情形，把单纯形拓展为任意含原点的m维凸体，建立了多类m阶$L^p$等周与仿射Sobolev不等式，并给出了线性泛函算子范数体积的等周不等式应用。
2024-11-02 math.DG math.FA math.MG
Regular ellipsoids and a Blaschke-Santaló-type inequality for projections of non-symmetric convex bodies
本文将 Pisier 关于覆盖数正则递减的定理推广至非对称凸体，通过引入关于 Santaló 点位于原点的凸体投影的 Blaschke-Santaló 型不等式作为关键新方法，并探讨了其在各向同性凸体平均范数中的应用。
2023-04-03 math.FA math.MG
On a multi-integral norm defined by weighted sums of log-concave random vectors
设$C$和$K$是${\mathbb R}^n$中的中心对称凸体.我们证明了如果$C$是各向同性的，那么对于每个$s\geq 1$和${\bf t}=(t_1,\ldots ,t_s)\in {\mathbb R}^s$，都有\begin{equation*}\|{\bf t}\|_{C^s,K}=\int_{C}\cdots\int_{C}\Big\|\sum_{j=1}^st_jx_j\Big\|_K\,dx_1\cdots dx_s \leq c_1L_C(\log n)^5\,\sqrt{n}M(K)\|{\bf t}\|_2\end{equation*}，其中$L_C$是$C$和$M(K):=\int_{S^{n-1}}\|ξ\|_Kdσ(ξ)$的各向同性常数。这就减少了一个关于V的问题。Milman的方法应用于从上面估计各向同性凸体的参数$M(K)$的问题。证明是基于一个观察，结合结果Eldan，Lehec和Klartag的切片问题：如果$μ$是一个各向同性的日志凹概率测度${\mathbb R}^n$然后，对于任何中心对称凸体$K$在${\mathbb R}^n$我们有，$$I_1(μ,K):=\int_{{\mathbb R}^n}\|x\|_K\,dμ(x)\leq c_2\sqrt{n}(\log n)^5\,M(K).$$我们说明使用这个不等式与进一步的应用。
2022-08-12 math.FA math.MG
On the Fourier Mean Bodies of a Convex Body
本文引入凸体K的傅里叶p次平均体F_pK，通过傅里叶变换连接径向p次平均体R_pK，证明傅里叶反演公式，并研究其仿射几何性质、凸性范围及与相交体的关系。
2026-07-02 math.FA math.MG math.PR
Norms of weighted sums of log-concave random vectors
设$C$和$K$是${\mathbb R}^n$中体积$1$的中心对称凸体。在$C$是各向同性的情况下，我们给出了多重整式\begin{equation*}\|{\bf t}\|_{C^s,K}=\int_{C}\cdots\int_{C}\Big\|\sum_{j=1}^st_jx_j\Big\|_K\,dx_1\cdots dx_s\end{equation*}的上界.我们的方法提供了另一种证明，由于Gluskin和V.Milman，这个量的尖锐的下界。我们还提出了一些应用程序的“随机”向量平衡问题。
2019-06-09 math.FA math.MG math.PR
