Covering numbers and ``low $M^{*}$-estimate'' for quasi-convex bodies
本文给出了$\mathbb R$中对称拟凸体的随机比例截面和投影的覆盖数和直径的估计。这些结果是已知的凸的情况下，并发挥了重要作用的理论发展。由于对偶关系不能应用于拟凸情形，引入了新的成分，对凸情形也有了新的理解。
1996-05-20 math.FA math.MG
Valuations on Convex Bodies and Functions
本文介绍几何赋值理论，聚焦凸体与凸函数上的SL(n)不变及刚体运动不变赋值的分类结果。
2023-02-01 math.FA math.MG
The isotropy constant and boundary properties of convex bodies
令${\cal K}^n$是$\mathbb R^n$中所有凸体的集合，赋予Hausdorff距离。证明了若$K\in {\cal K}^n$在其边界的某点具有正的广义Gauss曲率，则$K$不是各向同性常数$L_K$的局部极大化算子.
2015-12-20 math.FA math.MG
Slicing inequalities for measures of convex bodies
我们考虑一个推广的超平面问题，以任意措施，而不是体积和部分的低维。我们证明了这一推广的无条件凸体和有界体积比的机构。对于任意对称凸体，在截面维数小于$λn$的条件下，证明了对于某些$λ\in (0,1).$，该常数仅依赖于$λ.$。最后，我们证明了对于某些测度，极小截面的行为可能不同于体积的情况。
2015-03-23 math.FA math.MG
Extremal convex bodies for affine measures of symmetry
本文研究了基于质心到John椭球和Lowner椭球中心之一的距离的对称性度量。作者证明了所考虑的对称性测度的导出的上界的准确性。
2019-07-31 math.FA math.MG
On the complexity of the set of unconditional convex bodies
我们证明了对任何$t>1$，$\mathbb{R}^n$中的无条件凸体集合包含一个$t$分离的基数子集至少为$\exp \exp (C(t) n)$ .这意味着在$\mathbb{R}^n$中存在一个无条件凸体，除非$N > \exp(c(d)n)$，否则该凸体不能在距离$d$内通过具有$N$面的多面体的投影来近似。我们还表明，$t>2$，$\mathbb{R}^n$中的完全对称体的$t$分离集的基数不超过$\exp \exp (c(t) \log^2 n)$。
2015-08-20 math.FA math.MG
Shadow systems and volume of polar convex bodies
证明了凸体$K_t$的{ \em阴影系统}关于Santaló点的极体体积的倒数是$t$的凸函数.从而将Campi和Gronchi的结果推广到非对称情形。研究了体积的倒数是$t$的仿射函数的情况，并在一定条件下给出了其特征.我们应用这些结果证明了$\rd{d}$中至多有$d+3$顶点的多面体的精确逆Santaló不等式.
2008-07-14 math.FA math.MG
Stability of the reverse Blaschke-Santalo inequality for unconditional convex bodies
马勒猜想的问题是，在R^n中的对称凸体类中，立方体是否是一个物体与其极坐标的体积积的极小化子。与该猜想对应的不等式有时被称为逆Blaschke-Santalo不等式。该猜想是已知的二维和在几个特殊情况下。在类的无条件凸体，圣雷蒙德证实了猜想，和迈耶和赖斯纳，独立，特点的平等情况。本文给出了这些结果的一个稳定性版本，并证明了任意对称凸体只要充分接近于无条件体，就满足逆Blaschke-Santalo不等式.
2013-02-22 math.FA math.MG
From valuations on convex bodies to convex functions
本文建立凸体赋值与凸函数赋值之间的几何框架，利用 McMullen 经典结果重新证明已知的 n-外延齐次赋值刻画，并给出 1-外延齐次赋值的新刻画。
2023-04-14 math.FA math.MG
A note on subgaussian estimates for linear functionals on convex bodies
本文给出了Klartag关于凸体上几乎亚高斯线性泛函存在性的一个结果的另一种证明。如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，体积为1，质心在原点，则存在$x\neq 0$使得对于所有$t\gr 1$都有$$|\{y\in K: |< y,x> |\gr t\|<\cdot, x>\|_1\}|\ls\exp (-ct^2/\log^2(t+1))$$，其中$c>0$是绝对常数。证明是基于对$L_q$ --$K$的质心体的研究。类似的结果适用于一般的对数凹措施。
2006-04-12 math.FA math.MG
Inequalities for the derivatives of the Radon transform on convex bodies
证明了在体积为1的原点对称凸体上任意概率密度的Radon变换的上范数由一个仅与维数有关的正常数从下有界。本文将这一结果推广到Radon变换的导数。我们还证明了这些衍生物的比较定理。
2020-10-18 math.FA math.MG
Volume inequalities and additive maps of convex bodies
推广了凸体旋转缠绕可加映射的Brunn-Minkowski理论中经典不等式的类似结果。类比也证明了不等式的对偶Brunn-Minkowski理论的交织加性映射的星体。这些不等式推广了投影体和相交体的结果。作为推论，得到了极投影体体积的一个新的Brunn-Minkowski不等式。
2012-07-31 math.DG math.FA math.MG
On Gaussian Marginals of Uniformly Convex Bodies
最近，Bo'az Klartag证明了任意凸体在大多数方向上都有高斯边缘。我们表明，Klartag的定量估计可能会改善许多一致凸体。这些包括幂类型为2的一致凸体和幂类型为$p>2$且具有某些附加类型条件的一致凸体。特别是，我们的结果适用于所有单位球的子空间的子空间的$L_p$为$1<p<\infty$。当$L_p$被$S_p^m$（$l_p$ -Schatten类空间）替换时，情况也是如此。我们还将所得结果推广到任意幂型$p$的一致凸体上，对于$2 \leq p < 4$ .这些结果是通过把身体（令人惊讶的）非各向同性的位置，并通过一个新的浓度的体积观察均匀凸体。
2008-04-05 math.FA math.MG math.PR
Non-uniqueness of convex bodies with prescribed volumes of sections and projections
我们表明，如果$d\ge 4$是均匀的，那么可以找到两个本质上不同的凸体，使其最大部分，中心部分，和投影的体积一致的所有方向。
2011-12-16 math.CA math.FA math.MG
Convex Bodies of Constant Width and Constant Brightness
1926年S. Nakajima（= A. Matsumura）证明了$\R^3$中任何具有恒定宽度、恒定亮度和$C^2$类边界的凸体都是球。我们证明了边界上的正则性假设是不必要的，因此球是唯一具有恒定宽度和亮度的凸体。
2003-06-30 math.DG math.FA math.MG
Relative entropies for convex bodies
我们介绍了一类新的（不一定是凸的）机构，并显示，除其他事项外，这些机构提供了另一个凸几何分析和信息论之间的联系。也就是说，它们给出了凸体的锥测度的相对熵及其极量和相关量的几何解释。这种解释首先由保里斯和维尔纳在$L_p$-质心体的背景下对对称凸体给出。在那里，相对熵在对某些表达式进行二阶展开后出现。现在，不需要对称性假设。此外，使用新的身体，已经一阶展开使相对熵出现。因此，这些物体比$L_p$-质心物体"更快"地检测凸体边界的细节。
2011-05-13 math.FA
Rotation invariant Minkowski classes of convex bodies
Minkowski类是欧几里得空间Rn中的凸体空间的闭子集，它在Minkowski加法和非负变换下是闭的。Rn中的凸体是万有的，如果其支撑函数的球谐展开式包含所有阶的非零谐波。如果K是泛的，则稠密的凸体类M具有以下性质。存在凸体T1，T2使得M + T1 = T2，且T1，T2属于由K生成的旋转不变Minkowski类.证明了非中心对称的凸体K都有一个线性象，它任意接近于K，且是泛象。对中心对称凸体的结果作了修正。这样，S.阿列斯克是加强，并在同一时间给予更基本的证明。
2012-07-31 math.DG math.FA math.MG
Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category
本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。
2025-11-27 math.FA math.GT math.MG
On random intersections of two convex bodies. Appendix to: "Isoperimetry of waists and local versus global asymptotic convex geometries" by R.Vershynin
在“Isoperimetry of waists and local versus global asymptomatic convex geometries”一文中，证明了两个对称凸体K和L的良有界截面的存在性意味着随机旋转的K和L的交是良有界的.在本附录中，我们实现了该交点直径的多项式界限（截面尺寸的比率）。
2004-04-27 math.FA
Coverings by convex bodies and inscribed balls
设$H$是希尔伯特空间。对于闭凸体$A$，用$r(A)$表示包含在$A$中的球的半径的上确界。本文证明了，对于凸闭体$A \subset H$的每一个由凸闭体序列$A_n$，$n \in \N$构成的覆盖，有$\sum_{n=1}^\infty r(A_n) \ge r(A)$.看起来这个事实即使对于二维空间中的三角形也是新的。
2003-12-05 math.FA
Convex Bodies Associated to Tensor Norms
本文确定了$\mathbb{R}^d$中的凸体何时是$\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots\otimes\mathbb{R}^{d_l},$ $d=d_1\cdots d_l.$上合理交叉范数的闭单位球。我们称这些凸体为“张量体”。证明了其中唯一的椭球是欧几里得空间的Hilbert张量积的闭单位球。证明了$\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots \otimes \mathbb{R}^{d_l}$上保可分解向量的线性同构将张量体映射成张量体。这导致我们在它们之间定义一个Banach-Mazur型距离，并证明存在一个张量体的Banach-Mazur型紧。
2018-07-15 math.FA
The modified complex Busemann-Petty problem on sections of convex bodies
由于复杂的Busemann-Petty问题的答案在大多数维度上是否定的，很自然地会问，具有复杂超平面的复杂凸体的中心截面的（n-1）维体积上的条件允许比较n维体积。本文给出了截面函数的必要条件，以便在所有维数下得到肯定的答案。
2008-07-04 math.FA
Modified Busemann-Petty problem on sections of convex bodies
Busemann-Petty问题是关于具有较小中心超平面截面的$\mathbb{R}^n$中的原点对称凸体是否一定具有较小的$n$维体积。已知如果为$n\le 4$，则答案为肯定，如果为$n\ge 5$，则答案为否定。在这篇文章中，我们修改了原来的Busemann-Petty问题的假设，以保证在所有方面的肯定答案。
2004-10-22 math.FA
The geometry of p-convex intersection bodies
Busemann定理指出原点对称的凸体的交体也是凸的。本文给出了p-凸体的Busemann定理的一个版本。证明了p-凸体的交体对一定的q是q-凸的。此外，我们通过构造一个适当的例子讨论了上述结果的尖锐性。这个例子也用来说明K的相交体IK可以比K离欧几里得球远得多。最后，我们将这些定理推广到具有对数凹测度和$s$ -凹测度的一般测度空间
2011-01-07 math.FA
A remark on the diameter of random sections of convex bodies
得到了具有iid行的随机矩阵的核与给定凸体的交的欧氏直径的一个新的上估计。证明是基于一个小球的论点，而不是浓度，因此估计持有相对一般的矩阵合奏。
2013-12-12 math.FA
On uniform continuity of convex bodies with respect to measures in Banach spaces
设$μ$是可分巴拿赫空间$X$上的概率测度.如果$μ(\partial U)=0$，则子集$U\subset X$是$μ$ -连续的.本文研究了$X$中凸体的$μ$ -连续性和一致$μ$ -连续性，特别是球和半空间的$μ$ -连续性。$μ$ -连续性是研究巴拿赫空间中Glivenko-Cantelli定理的一个有趣的结果。回答一个问题F。Topsøe是给定的。
2012-08-31 math.FA
On Klee's problem of convex bodies in Banach spaces
本文解决了Klee于1959年提出的无限维Banach空间中凸体一致逼近问题，给出了严格凸逼近的充要条件，并证明了可分或自反空间中的严格凸且光滑逼近，通过建立局部Lipschitz同构实现。
2025-10-08 math.CO math.FA
A note on the spectral gap for log-concave probability measures on convex bodies
本文研究了凸体上对数凹概率测度的谱隙问题，提出了基于分布参数、维度、域几何特征和原点位置等量的显式下界，并通过经典与非经典例子验证了结果。
2024-03-26 math.FA math.PR
Measure comparison and distance inequalities for convex bodies
我们证明了新版本的同构Busemann-Petty问题的两种不同的措施，并显示这些结果可以用来恢复切片和距离不等式。我们还证明了从任意凸体到$L_p$的子空间的单位球的外体积比距离的一个尖锐的上估计。
2019-12-02 math.CA math.FA
f-Divergence for convex bodies
我们引入了来自信息论和统计学的f-散度概念，用于R^n中的凸体。证明了f-发散是SL（n）不变赋值，并建立了这些量的仿射等周不等式.我们证明了广义仿射表面积，特别是L_p Brunn-Minkowski理论的L_p仿射表面积是f-发散的特例。
2012-05-15 cs.IT math.FA math.IT
