On the mean-width of isotropic convex bodies and their associated $L_p$-centroid bodies
对于$\mathbb{R}^n$中任意原点对称凸体$K$，在各向同性位置，我们得到：\[ M^*(K) \leq C \sqrt{n} \log(n)^2 L_K ~, \]其中$M^*(K)$表示$K$的平均宽度的一半，$L_K$是$K$的各向同性常数，$C>0$是普适常数.这改进了先前最著名的估计值$M^*(K) \leq C n^{3/4} L_K$。直到$\log(n)$项和$L_K$项的幂，改进的边界是最好的可能，并且意味着各向同性位置是（直到$L_K$项）几乎$2$ -正则$M$ -位置。该界限扩展到任意位置，取决于协方差矩阵的特征值的某个加权平均。此外，该界限适用于$L_p$质心体的平均宽度，将$1 \leq p \leq \sqrt{n}$的Paouris的尖锐上限扩展到任意$p \geq \sqrt{n}$的几乎尖锐的界限。是否可以从新的边界中删除$L_K$项的问题本质上等同于$n$中对数因子内的切片问题。
2014-05-08 math.FA
Relative entropies for convex bodies
我们介绍了一类新的（不一定是凸的）机构，并显示，除其他事项外，这些机构提供了另一个凸几何分析和信息论之间的联系。也就是说，它们给出了凸体的锥测度的相对熵及其极量和相关量的几何解释。这种解释首先由保里斯和维尔纳在$L_p$-质心体的背景下对对称凸体给出。在那里，相对熵在对某些表达式进行二阶展开后出现。现在，不需要对称性假设。此外，使用新的身体，已经一阶展开使相对熵出现。因此，这些物体比$L_p$-质心物体"更快"地检测凸体边界的细节。
2011-05-13 math.FA
Floating and Illumination Bodies for Polytopes: Duality Results
我们考虑的问题如何以及一个浮动的身体可以近似的极性的照明机构的极性。我们建立精确的收敛结果的情况下，中心对称多面体。这导致了一个新的仿射不变量，这是有关的锥测度的多面体。
2019-06-18 math.FA math.MG
Geometry of the $L_q$-centroid bodies of an isotropic log-concave measure
研究了${\mathbb R}^n$上各向同性对数凹测度$μ$的质心体$L_q$-$Z_q(μ)$的几何性质。对于任何$2\ls q\ls\sqrt{n}$和$\varepsilon \in (\varepsilon_0(q,n),1)$，我们确定了$Z_q(μ)$的随机$(1-\varepsilon)n$维投影的内半径，直到一个多项式依赖于$\varepsilon $的常数。利用这一事实，我们得到的覆盖数$N(\sqrt{\smash[b]{q}}B_2^n,tZ_q(μ))$，$t\gr 1$的估计，从而表明，$Z_q(μ)$是一个$β$ -正则凸体。作为结果，我们也得到了一个上界为$M(Z_q(μ))$。
2013-06-02 math.FA math.MG
Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category
本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。
2025-11-27 math.FA math.GT math.MG
Hardness of approximation of centered convex bodies by polytopes
University of Missouri（密苏里大学）；University of Michigan（密歇根大学）
研究通过多面体近似中心凸体的难度，证明对称情况和一般情况在顶点数需求上有显著差异。
2026-02-26 math.FA
Affine Isoperimetric Inequalities for Higher-Order Projection and Centroid Bodies
本文将Schneider的m阶差分体思想推广至投影体、质心体和径向平均体，证明多类仿射等周不等式，并给出有界变差函数的m阶仿射Sobolev不等式。
2025-08-30 math.CA math.FA math.MG
Minimal volume product near Hanner polytopes
马勒猜想的问题是，在一个固定维数的对称凸体类中，立方体是否是一个物体与其极坐标的体积积的极小化子。已知每一个Hanner多面体都有与立方体或交叉多面体相同的体积积。本文证明了在具有Banach-Mazur距离的对称凸体类中，每一个Hanner多面体都是体积积的严格局部极小元.
2012-12-11 math.FA math.MG
Complex $L_p$-Intersection Bodies
本文引入了范围扩展至$p>-2$的复$L_p$-交体，证明了$\mathbb{S}^1$-不变凸体在不同$p$值下的伪凸性与凸性，并推导出Busemann--Petty型交不等式。
2023-07-30 math.FA math.MG
General Lp affine isoperimetric inequalities
建立了全类Lp投影体和全类Lp质心体的Sharp Lp仿射等周不等式.这些新的不等式加强了Lp Petty投影和Lp Busemann-Petty质心不等式.
2008-09-11 math.DG math.FA
Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra
本文证明了对R^d中的任一紧集B和对任意n>0，存在B的有限子集X，其点为|X| =d^{O（1/epsilon ^2）}，使得X上的任一线性函数ell：R^d --> R的最大绝对值在λ sqrt{d}的因子内逼近B上的ell的最大绝对值.本文还讨论了用谱面投影逼近凸体，即用正半定矩阵的锥的截面在仿射子空间上的投影逼近凸体。
2012-04-12 math.FA math.MG math.OC
Small perturbations of polytopes
本文研究凸体无穷小扰动的泛函分析刻画，完整描述了多胞体情形下的可实现扰动集合，并由此给出迷向常数多胞体极大化子的必要条件。
2024-09-05 math.FA math.MG
A simplicial polytope that maximizes the isotropic constant must be a simplex
各向同性常数$L_K$是凸体$K$的展度的仿射不变测度。对于$d$维凸体$K$，$L_K$可以定义为$L_K^{2d} = \det(A(K))/(\mathrm{vol}(K))^2$，其中$A(K)$是$K$上均匀分布的协方差阵.寻找各向同性常数随维数变化的渐近上界是一个突出的公开问题。已经证明存在一个普适的常数上界。已知该猜想对几类物体都成立，特别是高度对称的物体，如具有无条件基的物体。我们也知道最大化者不可能是光滑的。在这项工作中，我们研究了光滑的机构和高度对称的机构之间的差距，显示减少到一个高度对称的情况下，非光滑机构的进展。更准确地说，我们研究了一组单纯多面体之间的极大化，我们表明，如果一个单纯多面体$K$是一个最大化的各向同性常数之间的$d$维凸体，那么当$K$是放在各向同性的位置，它是对称的任何超平面由$(d-2)$维面和原点。根据Campi，Colesanti和Gronchi的结果，这意味着使迷向常数最大化的单纯多面体必须是单纯形。
2014-05-28 math.FA math.MG math.PR
Thrifty approximations of convex bodies by polytopes
给定R^d中的一个凸体C，其内部包含原点，并且实数τ> 1，我们试图在C中构造一个多胞形P，其顶点尽可能少，使得C在τ P中。特别地，我们证明了如果C=-C，则对于任何1> τ>0和τ =1+ τ，可以选择具有大约d ^{-d/2}个顶点的P，并且对于τ =sqrt{τ d}，可以选择具有大约d^{1/2}个顶点的P。类似地，我们证明了如果R^d中的C是一个凸体，使得-C在μ C中，对于某些μ> 1，那么可以选择具有大致（（mu+1）/（tau-1））^{d/2}个顶点的P，只要（tau-1）/（mu+1）<< 1。
2012-07-06 math.CO math.FA math.MG
The planar Busemann-Petty centroid inequality and its stability
在[光滑凸体的中心仿射不变量，Int. Math. Res. Notices.土井：10.1093/imrn/rnr 110，2011] Stancu为$1\leq p<\infty.$引入了一族中心仿射法线流，即$p$ -流。在这里，我们研究了光滑、原点对称的凸体类中$p=\infty$的平面$p$ -流的渐近行为。首先，我们证明了$\infty$流的发展适当规范化的源对称的解决方案的单位磁盘的Hausdorff度量，模$SL(2).$其次，使用$\infty$流和Harnack估计，这个流，我们证明了一个稳定的版本的平面Busemann-Petty质心不等式的Banach-Mazur距离。第三，我们证明了正规化解在Hausdorff度量下的收敛性可以改进为在$\mathcal{C}^{\infty}$拓扑下的收敛性。
2015-05-02 math.DG math.FA
Extremal convex bodies for affine measures of symmetry
本文研究了基于质心到John椭球和Lowner椭球中心之一的距离的对称性度量。作者证明了所考虑的对称性测度的导出的上界的准确性。
2019-07-31 math.FA math.MG
Random polytopes and affine surface area
设K是$R^d$中的凸体。随机多胞形是K中随机选取的100个点的凸包$[x_1,...,x_n]$。$\Bbb E(K,n)$是n个随机选择的点的随机多面体的体积的期望。I. Bárány表明，我们有凸体与$C^3$边界和无处不在的正曲率$$ c(d)\lim_{n \to \infty} \frac {vol_d(K)-\Bbb E(K,n)}{(\frac{vol_d(K)}{n})^{\frac{2}{d+1}}} =\int_{\partial K} κ(x)^{\frac{1}{d+1}}dμ(x) $$其中$κ(x)$表示Gaujiang-克罗内克曲率。证明了当$κ(x)$表示广义Gaussian-Kronecker曲率时，同样的公式对所有凸体都成立.
1993-02-04 math.FA math.MG
Concentration of random polytopes around the expected convex hull
本文对凸体空间（在固定或高维情形下）内随机多面体的浓度的弱多元Gnedenko大数定律，以及相应的强大数律，给出了一个简化的证明和改进的估计.
2014-03-10 math.FA math.PR
Some Affine Invariants Revisited
我们提出了几个尖锐的SL（n）不变量$Ω_{2,n}(K)$在我们的早期工作的中心仿射不变量光滑凸体包含原点。一个连接出现与保里斯-沃纳不变$Ω_K$定义的凸体$K$的质心是在原点。当$Ω_K$。所采用的技术促使我们推测，具有连续且正的中心仿射曲率函数的凸体的任何SL（n）不变量都可以作为凸体的归一化$p$仿射表面积的极限来获得。
2012-08-03 math.FA
Best and random approximation of a convex body by a polytope
本文综述了多面体对凸体的最佳逼近和随机逼近的一些结果。我们解释了两者是如何联系在一起的，并看到随机近似几乎和最佳逼近一样好。
2021-11-14 math.FA math.MG math.PR
Moment comparisons, Sudakov inequalities and entropy of centroid bodies
本文针对迷向对数凹随机向量与标准高斯向量，推导任意矩阶的规范函数矩比较估计，得到$L_p$-Sudakov相关结果与质心体的熵、范数等多类几何估计。
2026-08-12 math.FA math.MG math.PR
A note on subgaussian estimates for linear functionals on convex bodies
本文给出了Klartag关于凸体上几乎亚高斯线性泛函存在性的一个结果的另一种证明。如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，体积为1，质心在原点，则存在$x\neq 0$使得对于所有$t\gr 1$都有$$|\{y\in K: |< y,x> |\gr t\|<\cdot, x>\|_1\}|\ls\exp (-ct^2/\log^2(t+1))$$，其中$c>0$是绝对常数。证明是基于对$L_q$ --$K$的质心体的研究。类似的结果适用于一般的对数凹措施。
2006-04-12 math.FA math.MG
Fourier analytic techniques for lattice point discrepancy
在具有包含孤立平坦点的光滑边界的大凸体中计数整数点通常是球（或具有处处具有正曲率的光滑边界的凸体）和立方体（或凸多胞体）之间的中间情况。在本文中，我们提供了一个详细的描述，在特定的平面的情况下，边界局部重合的功能$\mathbb{R\ni}t\mapsto\left\vert t\right\vert ^γ$，与$γ>2$的图形的几个差异问题。我们考虑\textit{integer points}问题和\textit{irregularities of distribution}问题。上述\textquotedblleft对特定凸体族的限制\textquotedblright \被许多证明是初等的事实所补偿。该文件是完全独立的。
2019-09-08 math.FA
Floating body, illumination body, and polytopal approximation
设$K$是$\Bbb R^{d}$中的凸体，而$K_{t}$是它的浮体。有一个至多有$n$顶点的多面体满足$$ K_{t} \subset P_{n} \subset K $$，其中$$ n \leq e^{16d} \frac{vol_{d}(K \setminus K_{t})}{t\ vol_{d}(B_{2}^{d})} $$设$K^{t}$是$K$的照明体，$Q_{n}$是一个包含$K$且至多有$n$ $d-1$维面的多面体。然后是$$ vol_{d}(K^{t} \setminus K) \leq cd^{4} vol_{d}(Q_{n} \setminus K) $$，其中$$ n \leq \frac{c}{dt} \ vol_{d}(K^{t} \setminus K) $$
1996-09-05 math.FA math.MG
On the complexity of the set of unconditional convex bodies
我们证明了对任何$t>1$，$\mathbb{R}^n$中的无条件凸体集合包含一个$t$分离的基数子集至少为$\exp \exp (C(t) n)$ .这意味着在$\mathbb{R}^n$中存在一个无条件凸体，除非$N > \exp(c(d)n)$，否则该凸体不能在距离$d$内通过具有$N$面的多面体的投影来近似。我们还表明，$t>2$，$\mathbb{R}^n$中的完全对称体的$t$分离集的基数不超过$\exp \exp (c(t) \log^2 n)$。
2015-08-20 math.FA math.MG
Shadow systems and volume of polar convex bodies
证明了凸体$K_t$的{ \em阴影系统}关于Santaló点的极体体积的倒数是$t$的凸函数.从而将Campi和Gronchi的结果推广到非对称情形。研究了体积的倒数是$t$的仿射函数的情况，并在一定条件下给出了其特征.我们应用这些结果证明了$\rd{d}$中至多有$d+3$顶点的多面体的精确逆Santaló不等式.
2008-07-14 math.FA math.MG
The support of mixed area measures involving a new class of convex bodies
本文研究混合面积测度支集的几何刻画，将 Shenfeld–van Handel 的等号情形结果推广到 polyoid，并证实 Schneider 关于 zonoid 等情形的长期猜想。
2023-09-28 math.FA math.MG
Convolutions and multiplier transformations of convex bodies
研究了Rn中凸体集到自身的旋转交织映射，这些映射是关于Minkowski和Blaschke加法的连续线性算子.主要关注的是Blaschke-Minkowski同态。我们证明了这样的映射是由一个球面卷积算子表示的。这种表示的一个应用是一个完整的分类，所有甚至Blaschke-Minkowski同态表明，这些地图的行为在许多方面类似于著名的投影体算子。在进一步的应用中有以下结果：如果一个偶Blaschke-Minkowski同态映射一个凸体到一个多面体，那么它是投影体算子的常数倍。
2012-07-31 math.DG math.FA math.MG
A New Excluding Condition towards the Soprunov-Zvavitch conjecture on Bezout-type inequalities
2015年，我Soprunov和A. Zvavitch已经展示了如何使用Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理来导出定义在（对）凸体上的某个双线性型$F_Δ$的非负性。与C. Saroglou，他们证明了非负性的$F_K$特点单纯，在所有的多面体。进一步证明了这一刻画在所有凸体中均成立。针对这一猜想，导出了关于$K$（$F_K$的非负性）的几个必要条件。本文给出了一个新的必要条件，用等周比表示，这为进一步刻画某类凸体中的单形提供了一个新的途径。
2023-02-04 math.FA math.MG
On the sine polarity and the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality
研究了正弦形式的极体，建立了$L_p$ -正弦质心体的$L_p$ -正弦Blaschke-Santaló不等式.恒星体$K\subset\mathbb{R}^n$的$L_p$ -正弦质心体$Λ_p K$是基于$L_p$ -正弦变换的凸体，其相关的Blaschke-Santaló不等式提供了$K$的体积的上界，$Λ_p^{\circ}K$是$Λ_p K$的极体。因此，这个不等式可以看作是Lutwak和Zhang建立的$L_p$ Blaschke-Santaló不等式的“正弦表亲”。作为$p\rightarrow \infty$，$Λ_p^{\circ} K$的极限成为正弦极体$K^{\diamond}$，因此$L_p$ -正弦Blaschke-Santaló不等式简化为正弦极体的正弦Blaschke-Santaló不等式。正弦极性自然地导致一类新的凸体$\mathcal{C}_{e}^n$，它由原点对称的闭合实心圆柱相交生成的所有原点对称凸体组成。提出了$\mathcal{C}_{e}^n$中的柱支撑函数、支撑柱、柱高斯像和柱壳等概念。基于这些新概念，解决了正弦Blaschke-Santaló不等式的等式条件.
2022-06-01 math.FA math.MG
