锥测度与$L_p$质心体的相对熵

凸体的相对熵

Relative entropies for convex bodies

我们介绍了一类新的（不一定是凸的）机构，并显示，除其他事项外，这些机构提供了另一个凸几何分析和信息论之间的联系。也就是说，它们给出了凸体的锥测度的相对熵及其极量和相关量的几何解释。这种解释首先由保里斯和维尔纳在$L_p$-质心体的背景下对对称凸体给出。在那里，相对熵在对某些表达式进行二阶展开后出现。现在，不需要对称性假设。此外，使用新的身体，已经一阶展开使相对熵出现。因此，这些物体比$L_p$-质心物体"更快"地检测凸体边界的细节。

各向同性对数凹测度的$L_q$ -质心体的几何

Geometry of the $L_q$-centroid bodies of an isotropic log-concave measure

研究了${\mathbb R}^n$上各向同性对数凹测度$μ$的质心体$L_q$-$Z_q(μ)$的几何性质。对于任何$2\ls q\ls\sqrt{n}$和$\varepsilon \in (\varepsilon_0(q,n),1)$，我们确定了$Z_q(μ)$的随机$(1-\varepsilon)n$维投影的内半径，直到一个多项式依赖于$\varepsilon $的常数。利用这一事实，我们得到的覆盖数$N(\sqrt{\smash[b]{q}}B_2^n,tZ_q(μ))$，$t\gr 1$的估计，从而表明，$Z_q(μ)$是一个$β$ -正则凸体。作为结果，我们也得到了一个上界为$M(Z_q(μ))$。

凸体截面的重心与Lusternik-Schnirelmann范畴

Centroids of sections of convex bodies and Lusternik-Schnirelmann category

本文利用Lusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了在特定条件下凸体截面的质心属于边界。

高阶投影体与质心体的仿射等周不等式

Affine Isoperimetric Inequalities for Higher-Order Projection and Centroid Bodies

本文将Schneider的m阶差分体思想推广至投影体、质心体和径向平均体，证明多类仿射等周不等式，并给出有界变差函数的m阶仿射Sobolev不等式。

复$L_p$-交体

Complex $L_p$-Intersection Bodies

本文引入了范围扩展至$p>-2$的复$L_p$-交体，证明了$\mathbb{S}^1$-不变凸体在不同$p$值下的伪凸性与凸性，并推导出Busemann--Petty型交不等式。

一般Lp仿射等周不等式

General Lp affine isoperimetric inequalities

建立了全类Lp投影体和全类Lp质心体的Sharp Lp仿射等周不等式.这些新的不等式加强了Lp Petty投影和Lp Busemann-Petty质心不等式.

平面Busemann-Petty质心不等式及其稳定性

The planar Busemann-Petty centroid inequality and its stability

在[光滑凸体的中心仿射不变量，Int. Math. Res. Notices.土井：10.1093/imrn/rnr 110，2011] Stancu为$1\leq p<\infty.$引入了一族中心仿射法线流，即$p$ -流。在这里，我们研究了光滑、原点对称的凸体类中$p=\infty$的平面$p$ -流的渐近行为。首先，我们证明了$\infty$流的发展适当规范化的源对称的解决方案的单位磁盘的Hausdorff度量，模$SL(2).$其次，使用$\infty$流和Harnack估计，这个流，我们证明了一个稳定的版本的平面Busemann-Petty质心不等式的Banach-Mazur距离。第三，我们证明了正规化解在Hausdorff度量下的收敛性可以改进为在$\mathcal{C}^{\infty}$拓扑下的收敛性。

仿射对称测度的极值凸体

Extremal convex bodies for affine measures of symmetry

本文研究了基于质心到John椭球和Lowner椭球中心之一的距离的对称性度量。作者证明了所考虑的对称性测度的导出的上界的准确性。

再论仿射不变量

Some Affine Invariants Revisited

我们提出了几个尖锐的SL（n）不变量$Ω_{2,n}(K)$在我们的早期工作的中心仿射不变量光滑凸体包含原点。一个连接出现与保里斯-沃纳不变$Ω_K$定义的凸体$K$的质心是在原点。当$Ω_K$。所采用的技术促使我们推测，具有连续且正的中心仿射曲率函数的凸体的任何SL（n）不变量都可以作为凸体的归一化$p$仿射表面积的极限来获得。

矩比较、Sudakov不等式与质心体的熵

Moment comparisons, Sudakov inequalities and entropy of centroid bodies

本文针对迷向对数凹随机向量与标准高斯向量，推导任意矩阶的规范函数矩比较估计，得到$L_p$-Sudakov相关结果与质心体的熵、范数等多类几何估计。

关于凸体上线性泛函的次高斯估计的注记

A note on subgaussian estimates for linear functionals on convex bodies

本文给出了Klartag关于凸体上几乎亚高斯线性泛函存在性的一个结果的另一种证明。如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，体积为1，质心在原点，则存在$x\neq 0$使得对于所有$t\gr 1$都有$$|\{y\in K: |< y,x> |\gr t\|<\cdot, x>\|_1\}|\ls\exp (-ct^2/\log^2(t+1))$$，其中$c>0$是绝对常数。证明是基于对$L_q$ --$K$的质心体的研究。类似的结果适用于一般的对数凹措施。

关于圆锥截凸体的体积

On the volume of sections of a convex body by cones

设$K$是$\mathbb R^n$中的一个凸体。证明了在小余维情况下，凸体通过形心的截面关于体积是相当对称的。作为我们估计的结果，我们给出了一个肯定的答案所提出的问题M。Meyer和S. Reisner关于凸相交机构。

伪锥的Orlicz-Gauss图像问题及其相关球面最优传输

The Orlicz-Gauss image problem for pseudo-cones and its associated spherical optimal transport

本文研究伪锥的Orlicz-Gauss图像问题，提出存在解的充要条件，并将其与球面最优传输联系起来，结合变分法和新限制技术，强化了Schneider的原始结果。

凸体的Rényi发散和$L_p$ -仿射表面积

Rényi Divergence and $L_p$-affine surface area for convex bodies

我们证明了$L_p$ -Brunn-Minkowski理论的基本对象，即凸体的$L_p$ -仿射表面积，与信息论密切相关：它们是凸体的锥测度及其极函数的Rényi发散的指数.我们给几何解释的所有雷尼分歧$D_α$，而不仅仅是以前处理的特殊情况下的相对熵的情况$α=1$。现在，不需要对称性假设，如果需要的话，只需要非常弱的正则性假设。以前，相对熵仅在对某些表达式进行二阶展开后才出现。现在一阶展开已经使它们出现了。因此，在新的方法中，我们检测“更快”的细节边界的凸体。

On the sine polarity and the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality

This paper is dedicated to study the sine version of polar bodies and establish the $L_p$-sine Blaschke-Santaló inequality for the $L_p$-sine centroid body. The $L_p$-sine centroid body $Λ_p K$ for a star body $K\subset\mathbb{R}^n$ is a convex body based on the $L_p$-sine transform, and its associated Blaschke-Santaló inequality provides an upper bound for the volume of $Λ_p^{\circ}K$, the polar body of $Λ_p K$, in terms of the volume of $K$. Thus, this inequality can be viewed as the "sine cousin" of the $L_p$ Blaschke-Santaló inequality established by Lutwak and Zhang. As $p\rightarrow \inf…

Grünbaum 与 Loewner 问题的解答

Answers to questions of Grünbaum and Loewner

该研究在 $n\geq 5$ 维空间中构造了具有唯一质心超平面性质的凸体，解决了 Grünbaum 与 Loewner 的公开问题，证明依赖非相交体的存在性。

各向同性凸体随机截面的几何

Geometry of random sections of isotropic convex bodies

设$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性对称凸体。我们证明了余维$k=γn$的子空间$F\in G_{n,n-k}$，其中$γ\in (1/\sqrt{n},1)$满足$$K\cap F\subseteq \frac{c}{γ}\sqrt{n}L_K (B_2^n\cap F)$$的概率大于$1-\exp (-\sqrt{n})$。使用不同的方法，我们研究了同样的问题的$L_q$ -质心机构$Z_q(μ)$的各向同性对数凹概率测度$μ$ ${\mathbb R}^n$。对于每个$1\leq q\leq n$和$γ\in (0,1)$，我们证明了随机子空间$F\in G_{n,(1-γ)n}$满足$Z_q(μ)\cap F\subseteq c_2(γ)\sqrt{q}\,B_2^n\cap F$。我们还给出了$Z_q(μ)$的随机投影直径的界，并利用它们推导出，如果$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性凸体，则对于$(\log n)^4$维的随机子空间$F$，$F$中的所有方向都是次高斯，且$O(\log^2n)$为常数。

用多面体和谱面投影逼近凸体

Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra

本文证明了对R^d中的任一紧集B和对任意n>0，存在B的有限子集X，其点为|X| =d^{O（1/epsilon ^2）}，使得X上的任一线性函数ell：R^d --> R的最大绝对值在λ sqrt{d}的因子内逼近B上的ell的最大绝对值.本文还讨论了用谱面投影逼近凸体，即用正半定矩阵的锥的截面在仿射子空间上的投影逼近凸体。

凸体的极值体积椭球及其对称性和特殊情况下的确定

The extremal volume ellipsoids of convex bodies, their symmetry properties, and their determination in some special cases

一个凸体K具有唯一的最小体积的外切椭球CE（K）和唯一的最大体积的内接椭球IE（K）。我们首先给出了一个统一的，现代的阐述这些极值椭球的基本理论，使用的半无限规划的方法开创了弗里茨约翰在他的开创性的1948年的文件。然后，我们研究了凸体及其极值椭球的自同构群。证明了如果凸体K的自同构群足够大，则可以用半无限规划或非线性规划精确地确定极值椭球CE（K）和IE（K）.作为例子，我们计算了当凸体K是给定椭球在两个平行超平面之间的部分时，以及当K是截头二阶锥或椭球柱时的极值椭球。

各向同性常数和马勒体积

Isotropic constants and Mahler volumes

本文给出了与凸体的射影扰动体积和凸锥上的拉普拉斯变换有关的若干结果。首先，它表明，一个尖锐的版本Bourgain的切片猜想意味着马勒猜想的凸体，不一定是中心对称的。其次，我们发现，通过稍微平移一个中心凸体的极坐标，我们可以得到另一个具有有界各向同性常数的凸体。第三，我们提供了一个反例Kuperberg猜想的体积分布在一个机构，并在其极。

分数仿射面积测度的平稳性方程：椭球刚性与多面体解

Stationarity equations for fractional affine area measures: ellipsoid rigidity and polytopal solutions

Xi与Zhao提出分数仿射面积测度平稳性方程的两个几何问题，本文证明q>-1且q≠0,n时严格凸解为椭球，同时给出无穷多非椭球多面体解，否定了第一个问题的答案。

Grünbaum 不等式的一个一般函数版本

A general functional version of Grünbaum's inequality

本文将 Grünbaum 凸体截体体积比不等式推广为经过任意 $r$ 次质心的情形，并通过凹函数的一般函数结果统一恢复 Minkowski–Radon 及凸体截面等相关不等式。

凸体中随机点对分布的Brunn-Minkowski理论

A Brunn-Minkowski Theory for the Distribution of Random Pairs of Points in Convex Bodies

本文为凸体中随机点对距离分布建立Brunn-Minkowski理论，证明泛函满足不等式并刻画Wulff微分测度，进而得到球的刚性与Minkowski方程的联系。

高阶Lp等周不等式与Sobolev不等式

Higher-Order Lp Isoperimetric and Sobolev Inequalities

本研究将凸几何中的维数间算子推广至$L^p$情形，把单纯形拓展为任意含原点的m维凸体，建立了多类m阶$L^p$等周与仿射Sobolev不等式，并给出了线性泛函算子范数体积的等周不等式应用。

The support of dually epi-translation invariant valuations on convex functions

We study dually epi-translation invariant valuations on cones of convex functions containing the space of finite-valued convex functions. The existence of a homogeneous decomposition is used to associate a distribution to every valuation of this type similar to the Goodey-Weil embedding for translation invariant valuations on convex bodies. The relation between the valuation and its associated distribution is used to establish a notion of support for valuations. As an application, we show that there are no $\mathrm{SL}(n)$ or translation invariant valuations except constant valuations in this …