On the p-affine surface area
我们给出了凸体的某些仿射不变量的几何解释。仿射不变量是由Lutwak引入的p-仿射表面积。几何解释涉及推广的Santaló机构介绍了作者在以前的文件。
1997-12-11 math.FA math.MG
General Lp affine isoperimetric inequalities
建立了全类Lp投影体和全类Lp质心体的Sharp Lp仿射等周不等式.这些新的不等式加强了Lp Petty投影和Lp Busemann-Petty质心不等式.
2008-09-11 math.DG math.FA
The Orlicz-Petty bodies
这篇论文是专门为Orlicz-Petty机构。首先提出了齐次Orlicz仿射和几何面积，建立了它们的齐次性、仿射不变性和仿射等周不等式等基本性质。证明了在一定条件下，齐次几何曲面面积在凸体集合上按Hausdorff距离连续。我们的证明依赖于Orlicz-Petty体的存在性和凸体的收敛序列的Orlicz-Petty体的一致有界性。对于非齐次Orlicz几何观测表面积也证明了类似的结果。
2016-11-14 math.DG math.FA math.MG
f-Divergence for convex bodies
我们引入了来自信息论和统计学的f-散度概念，用于R^n中的凸体。证明了f-发散是SL（n）不变赋值，并建立了这些量的仿射等周不等式.我们证明了广义仿射表面积，特别是L_p Brunn-Minkowski理论的L_p仿射表面积是f-发散的特例。
2012-05-15 cs.IT math.FA math.IT
New approach to affine Moser-Trudinger inequalities via Besov polar projection bodies
本文利用 Besov 极投影体的仿射不变量，将 $W^{s,p}$ 函数的仿射不等式推广至 $p\geq n/s$，得到更强的 Moser-Trudinger 与 Morrey 型结果，并建立相应 BBM 不等式。
2024-05-12 math.FA math.MG
Stability results for some geometric inequalities and their functional versions
BlaschkeSantaló不等式和$L_p$仿射等周不等式是凸几何中的重要不等式，有着广泛的应用. Blaschke Santaló不等式的函数版本在过去几年中已经通过许多贡献建立起来。最近和正在进行的，这样的功能版本已经建立了$L_p$仿射等周不等式以及。这些功能版本涉及信息论的概念，如熵和发散。我们列出稳定版本的几何不等式，以及为他们的功能对应。两人都以Blaschke Santaló不等式而闻名。在凸体情形下的$L_p$仿射等周不等式的稳定性版本仅在平面上的所有维度上对于$p=1$和对于$p > 1$仅对于凸体是已知的。在这里，我们证明了几乎最优的稳定性结果的$L_p$仿射等周不等式，对所有的$p$，所有的凸体，所有的尺寸。此外，我们还给出了$L_p$仿射等周不等式的相应泛函形式，即反对数Sobolev不等式、对数凹函数的$L_p$仿射等周不等式和某些散度不等式的稳定性形式.
2016-06-27 math.FA
Affine Isoperimetric Inequalities for Higher-Order Projection and Centroid Bodies
本文将Schneider的m阶差分体思想推广至投影体、质心体和径向平均体，证明多类仿射等周不等式，并给出有界变差函数的m阶仿射Sobolev不等式。
2025-08-30 math.CA math.FA math.MG
John-type decompositions for affinely-optimal positions of convex bodies
本文提出了一种约翰型分解，用于确定凸体在仿射最优位置下的必要条件，并应用于Banach-Mazur距离的优化问题。
2026-02-16 math.FA math.MG
New Orlicz Affine Isoperimetric Inequalities
Orlicz-Brunn-Minkowski理论最近受到了相当大的关注，并且$L_p$ -Brunn-Minkowski理论中的许多结果已被推广到Orlicz理论中。本文的目的是推广$L_ϕ$-Brunn-Minkowski理论中的基本概念--$L_p$（混合）仿射表面积和几何表面积。我们的扩展不同于Ludwig（在Adv.Math.224（2010））的一般仿射表面积。此外，我们的定义Orlicz $L_ϕ$仿射和几何表面积揭示，这些仿射不变量本质上是下确界/上确界的$V_ϕ(K, L^\circ)$，Orlicz $ϕ$ -混合体积的$K$和极性体的$L$，其中$L$运行在所有的明星机构和所有的凸体，分别与体积的$L$等于体积的单位欧几里德球$B_2^n$。证明了Orlicz $L_ϕ$仿射曲面和几何曲面的仿射不变性和单调性等性质。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式.
2014-04-24 math.DG math.FA math.MG
Functional versions of L_p-affine surface area and entropy inequalities
在当代凸几何中，迅速发展起来的L_p-Brunn Minkowski理论是经典Brunn Minkowski理论的现代类比。该理论的基石是凸体的L_p-仿射表面积。在这里，我们介绍了这个概念的函数形式，对数凹函数和s-凹函数。我们证明了新的泛函形式是原L_p-仿射表面积的推广。证明了对数凹函数和s-凹函数的对偶关系和仿射等周不等式。这导致了一个新的逆log-Sobolev不等式的s-凹密度。
2014-02-13 math.FA
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: dual Orlicz $L_ϕ$ affine and geominimal surface areas
本文旨在发展对偶Orlicz $L_ϕ$仿射和天体几何表面积的基本理论，它属于最近的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski天体理论。这些新的仿射不变量的基本属性将提供。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式、循环不等式、Santaló型不等式和Alexander-Fenchel型不等式.
2014-08-03 math.DG math.FA math.MG
Stationarity equations for fractional affine area measures: ellipsoid rigidity and polytopal solutions
Guangxi University（广西大学）
Xi与Zhao提出分数仿射面积测度平稳性方程的两个几何问题，本文证明q>-1且q≠0,n时严格凸解为椭球，同时给出无穷多非椭球多面体解，否定了第一个问题的答案。
2026-10-16 math.FA
Dual Affine invariant points
R^n中凸体类上的一个仿射不变点，被赋予Hausdorff度量，是一个连续映射p，它在R^n上的一对一仿射变换A下不变，即p（A（K））=A（p（K））。本文通过对每个凸体K的公式q（K^{p（K）}）=p（K）定义仿射不变点p的对偶仿射点q的新概念，其中K^{p（K）}表示K关于p（K）的极。我们调查仿射不变点有一个对偶点，是否这个对偶点是唯一的，有自己的对偶点。我们定义了一个产品上的仿射不变点的集合，与对偶。最后，给出了一些例子，展示了仿射不变点集的丰富结构。
2013-10-01 math.FA
Orlicz--Lorentz centroid bodies
本文将质心体算子的定义推广到$\mathbb R^n$中的星体上的Orlicz-Lorentz质心体算子，并建立了一个尖锐的仿射等周不等式，该不等式将任何内部含有原点的凸体的Orlicz-Lorentz质心体的体积（从下面）限定为该凸体的体积.
2017-07-08 math.FA math.MG
Floating and Illumination Bodies for Polytopes: Duality Results
我们考虑的问题如何以及一个浮动的身体可以近似的极性的照明机构的极性。我们建立精确的收敛结果的情况下，中心对称多面体。这导致了一个新的仿射不变量，这是有关的锥测度的多面体。
2019-06-18 math.FA math.MG
Random polytopes and affine surface area
设K是$R^d$中的凸体。随机多胞形是K中随机选取的100个点的凸包$[x_1,...,x_n]$。$\Bbb E(K,n)$是n个随机选择的点的随机多面体的体积的期望。I. Bárány表明，我们有凸体与$C^3$边界和无处不在的正曲率$$ c(d)\lim_{n \to \infty} \frac {vol_d(K)-\Bbb E(K,n)}{(\frac{vol_d(K)}{n})^{\frac{2}{d+1}}} =\int_{\partial K} κ(x)^{\frac{1}{d+1}}dμ(x) $$其中$κ(x)$表示Gaujiang-克罗内克曲率。证明了当$κ(x)$表示广义Gaussian-Kronecker曲率时，同样的公式对所有凸体都成立.
1993-02-04 math.FA math.MG
Floating functions
我们引入浮动机构的凸，不一定有界子集的$\mathbb{R}^n$。这允许我们定义凸函数和对数凹函数以及对数凹测度的浮动函数。建立了对数凹函数及其浮动函数的积分差分的渐近性质。这就产生了一个新的仿射不变量承担惊人的相似之处，欧几里德仿射表面积。
2018-08-06 math.FA
Shadows of convex bodies
证明了如果$C$是${\Bbb R}^n$中的凸体，则$C$具有仿射像$\widetilde C$（非零体积），使得如果$P$是任何1-余维正交投影，则$$|P\widetilde C| \ge |\widetilde C|^{n-1\over n}.$$也证明了存在一个病理体$K$，其正交投影的体积约为$|K|^{n-1\over n}$的$\sqrt{n}$倍。
1989-10-26 math.FA math.MG
Shadow systems and volume of polar convex bodies
证明了凸体$K_t$的{ \em阴影系统}关于Santaló点的极体体积的倒数是$t$的凸函数.从而将Campi和Gronchi的结果推广到非对称情形。研究了体积的倒数是$t$的仿射函数的情况，并在一定条件下给出了其特征.我们应用这些结果证明了$\rd{d}$中至多有$d+3$顶点的多面体的精确逆Santaló不等式.
2008-07-14 math.FA math.MG
Extremal general affine surface areas
对于$\mathbb{R}^n$中的凸体$K$，我们引入并研究了由\[ {\rm IS}_φ(K):=\sup_{K^\prime\subset K}{\rm as}_φ(K),\quad {\rm os}_ψ(K):=\inf_{K^\prime\supset K}{\rm as}_ψ(K) \]定义的极值广义仿射表面积，其中${\rm as}_φ(K)$和${\rm as}_ψ(K)$分别是$K$的$L_φ$和$L_ψ$的仿射表面积.我们证明了存在达到上确界和下确界的极值凸体，并且泛函${\rm IS}_φ$和${\rm os}_ψ$是连续的.在我们的主要结果中，我们证明了极值一般仿射曲面面积的Blaschke-Santaló型不等式和逆Santaló型不等式。这篇文章可以被认为是Giladi，Huang，Schütt和Werner（2020）最近工作的Orlicz扩展，他们引入并研究了极值$L_p$仿射曲面面积。
2021-07-23 math.FA
On the stability of the $p$-affine isoperimetric inequality
利用仿射法线流，证明了原点对称凸体类中关于$\mathbb{R}^2$的$p$ -仿射等周不等式的稳定性.也就是说，如果$K$是$\mathbb{R}^2$中的原点对称凸体，使得它具有面积$π$，并且它的$p$仿射周长足够接近具有相同面积的椭圆的周长，则在应用特殊线性变换之后，$K$接近Hausdorff距离中的椭圆。
2013-03-27 math.DG math.FA
Sharp Isoperimetric Inequalities for Affine Quermassintegrals
$\mathbb{R}^n$中与凸体相关联的仿射quermassintegrals是Brunn-Minkowski理论中经典内禀体积的仿射不变类似物，因此构成仿射凸几何的中心支柱。它们是在20世纪80年代由E. Lutwak，他证明了在给定体积的所有凸体中，第$k$次仿射quermassintegral在椭球族上精确地最小化。已知的情形$k=1$和$k=n-1$分别对应于经典的Blaschke-Santaló和Petty投影不等式。在这项工作中，我们确认Lutwak的猜想，包括表征的平等的情况下，所有值的$k=1,\ldots,n-1$，在一个统一的框架。事实上，事实证明椭球是关于豪斯多夫拓扑的唯一局部极小点。为了证明，我们引入了一些新的成分，包括一个新的建设的凸体的投影Rolodex。特别地，从这个新的观点，Petty不等式被解释为一个广义的Blaschke-Santaló不等式的集成形式的一个新的家庭的极体编码的投影Rolodex。我们将这些结果推广到更一般的$L^p$-矩quermassintegrals，并解释的情况下$p=0$作为一个尖锐的平均Loomis-Whitney等周不等式.
2022-08-19 math.FA math.MG
Weighted floating functions and weighted functional affine surface areas
本文提出与对数凹或$s$-凹函数相关的加权浮动函数，并据此定义加权泛函仿射表面积，阐明其与已有泛函及经典仿射表面积的联系。
2024-03-05 math.DG math.FA math.MG
A general geometric construction for affine surface area
设$K$是${\bf R}^n$中的凸体，$B$是${\bf R}^n$中的欧氏单位球.证明了$$\mbox{lim}_{t\rightarrow 0} \frac{|K| -|K_t|}{|B| - |B_t|}= \frac{as(K)}{as(B)},$$，其中$as(K)$和$as(B)$分别是$K$和$\{K_t\}_{t\geq 0}$的仿射表面积，$\{B_t\}_{t\geq 0}$是由满足一定条件的$K$，$B$构造的凸体的一般族.作为推论，我们得到了[M-W]，[Schm]，[S-W]和[W]中的结果。
1997-06-30 math.FA math.MG
Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra
本文证明了对R^d中的任一紧集B和对任意n>0，存在B的有限子集X，其点为|X| =d^{O（1/epsilon ^2）}，使得X上的任一线性函数ell：R^d --> R的最大绝对值在λ sqrt{d}的因子内逼近B上的ell的最大绝对值.本文还讨论了用谱面投影逼近凸体，即用正半定矩阵的锥的截面在仿射子空间上的投影逼近凸体。
2012-04-12 math.FA math.MG math.OC
On the Fourier Mean Bodies of a Convex Body
本文引入凸体K的傅里叶p次平均体F_pK，通过傅里叶变换连接径向p次平均体R_pK，证明傅里叶反演公式，并研究其仿射几何性质、凸性范围及与相交体的关系。
2026-07-02 math.FA math.MG math.PR
The planar Busemann-Petty centroid inequality and its stability
在[光滑凸体的中心仿射不变量，Int. Math. Res. Notices.土井：10.1093/imrn/rnr 110，2011] Stancu为$1\leq p<\infty.$引入了一族中心仿射法线流，即$p$ -流。在这里，我们研究了光滑、原点对称的凸体类中$p=\infty$的平面$p$ -流的渐近行为。首先，我们证明了$\infty$流的发展适当规范化的源对称的解决方案的单位磁盘的Hausdorff度量，模$SL(2).$其次，使用$\infty$流和Harnack估计，这个流，我们证明了一个稳定的版本的平面Busemann-Petty质心不等式的Banach-Mazur距离。第三，我们证明了正规化解在Hausdorff度量下的收敛性可以改进为在$\mathcal{C}^{\infty}$拓扑下的收敛性。
2015-05-02 math.DG math.FA
Extremal affine surface areas in a functional setting
本文在函数空间中引入极值仿射表面积，建立其对偶公式，证明其与函数积分幂成正比，从而推广并改进了凸体情形的相关结果。
2024-02-25 math.FA math.MG
Regular ellipsoids and a Blaschke-Santaló-type inequality for projections of non-symmetric convex bodies
本文将 Pisier 关于覆盖数正则递减的定理推广至非对称凸体，通过引入关于 Santaló 点位于原点的凸体投影的 Blaschke-Santaló 型不等式作为关键新方法，并探讨了其在各向同性凸体平均范数中的应用。
2023-04-03 math.FA math.MG
Zhang's inequality for log-concave functions
Zhang的逆仿射等周不等式指出，在所有凸体$K\subseteq\mathbb{R}^n$中，仿射不变量$|K|^{n-1}|Π^*(K)|$（其中$Π^*(K)$表示$K$的极投影体）最小当且仅当$K$是单形。本文在可积对数凹函数的情形下证明了张氏不等式的一个推广，并刻划了等式的情形。
2018-10-17 math.FA math.MG
Ulam floating functions
我们将乌拉姆浮动集的概念从凸体扩展到乌拉姆浮动函数。利用Ulam浮动函数导出了对数凹函数仿射表面积的一个新的变分公式。
2022-03-17 math.FA math.MG
Stability result for the extremal Grünbaum distance between convex bodies
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
研究极值Grünbaum距离的稳定性，证明当距离接近n时，凸体接近简单形。
2026-03-30 math.FA
Estimates for measures of lower dimensional sections of convex bodies
本文对Koldobsky关于对称凸体截面测度的一些结果提出了另一种方法，使我们能够将它们推广到不一定对称的情形.本文证明了：如果$K$是${\mathbb R}^n$中的凸体，且$0\in {\rm int}(K)$是${\mathbb R}^n$上的凸体，且$μ$是${\mathbb R}^n$上的测度，且$g$在${\mathbb R}^n$上局部可积，则对每个$1\leq k\leq n-1$都有\begin{equation*}μ(K)\leq \left (c\sqrt{n-k}\right )^k\max_{F\in G_{n,n-k}}μ(K\cap F)\cdot |K|^{\frac{k}{n}}\end{equation*}.此外，如果$μ$是偶数和对数凹的，并且如果$K$是${\mathbb R}^n$中的对称凸体，并且$D$是${\mathbb R}^n$的紧致子集，使得对于所有$F\in G_{n,n-k}$，$μ(K\cap F)\leq μ(D\cap F)$，则为\begin{equation*}μ(K)\leq \left (ckL_{n-k}\right )^{k}μ(D),\end{equation*}，其中$L_s$是${\mathbb R}^s$中凸体的最大各向同性常数。我们的方法采用了广义Blaschke-Petkantschin公式和估…
2015-12-30 math.FA math.MG
General Measure Extensions of Projection Bodies
本文将 Petty–Zhang 仿射等周型不等式推广到任意测度，并扩张投影体算子至任意测度与函数，建立相应 Zhang 型不等式，最后应用于标准高斯测度。
2022-09-14 math.DG math.FA math.MG
The Nazarov proof of the non-symmetric Bourgain--Milman inequality
本文实现 Nazarov 证明向一般非对称凸体的推广，借助管域 Bergman 核的仿射不变量，给出无需对称化的 Bourgain–Milman 定理首个复分析证明。
2022-06-13 math.CV math.FA
A simplicial polytope that maximizes the isotropic constant must be a simplex
各向同性常数$L_K$是凸体$K$的展度的仿射不变测度。对于$d$维凸体$K$，$L_K$可以定义为$L_K^{2d} = \det(A(K))/(\mathrm{vol}(K))^2$，其中$A(K)$是$K$上均匀分布的协方差阵.寻找各向同性常数随维数变化的渐近上界是一个突出的公开问题。已经证明存在一个普适的常数上界。已知该猜想对几类物体都成立，特别是高度对称的物体，如具有无条件基的物体。我们也知道最大化者不可能是光滑的。在这项工作中，我们研究了光滑的机构和高度对称的机构之间的差距，显示减少到一个高度对称的情况下，非光滑机构的进展。更准确地说，我们研究了一组单纯多面体之间的极大化，我们表明，如果一个单纯多面体$K$是一个最大化的各向同性常数之间的$d$维凸体，那么当$K$是放在各向同性的位置，它是对称的任何超平面由$(d-2)$维面和原点。根据Campi，Colesanti和Gronchi的结果，这意味着使迷向常数最大化的单纯多面体必须是单纯形。
2014-05-28 math.FA math.MG math.PR
Centro-Affine Differential Geometry and the Log-Minkowski Problem
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
该论文将对数-布伦-闵可夫斯基猜想转化为中心仿射微分几何的谱问题，证明相关算子与中心仿射拉普拉斯算子一致，给出布伦-闵可夫斯基不等式新证明，解决对数-闵可夫斯基问题的同构版本并获全局唯一性结果。
2026-10-30 math.AP math.DG math.FA
On general versions of the Petty projection inequality
本文将Petty投影不等式从$(L_p,Q)$框架进一步推广到具有$γ$-凹密度的旋转不变测度上，并在$p=1$时探索其经验类比，拓展了凸体仿射几何的理论边界。
2025-08-28 math.FA math.MG
Distances between non-symmetric convex bodies: optimal bounds up to polylog
本文确定了无对称假设的n维凸体Banach-Mazur紧集直径的多对数因子最优上界，并研究了部分包含距离，证明其具有对数上界，核心依赖于各向同性对数凹测度与高斯测度的规范序双向比较。
2026-07-03 math.FA math.MG math.PR
Higher-Order Lp Isoperimetric and Sobolev Inequalities
本研究将凸几何中的维数间算子推广至$L^p$情形，把单纯形拓展为任意含原点的m维凸体，建立了多类m阶$L^p$等周与仿射Sobolev不等式，并给出了线性泛函算子范数体积的等周不等式应用。
2024-11-02 math.DG math.FA math.MG
