凸体的最优 MM* 界
Optimal MM* bounds for convex bodies
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文证明各向同性位置凸体的最优平均宽度界，结合热流几何不等式与现有比较方法，推广 Pisier 的 MM* 估计至非对称情形。
中文摘要 AI 辅助
设 $K\subset\R^n$ 为处于各向同性位置的凸体。我们证明了最优的平均宽度估计 \\[ M^*(K)\leq C\sqrt{n\log n}. \\] 主要的新工具是一个几何不等式，通过热流论证，将支撑函数的高斯均值与其在 $K$ 上均匀测度下的均值联系起来。结合 Eldan 和 Lehec 的高斯-对数凹比较以及新近可用的第三矩参数 $\kappa_n$ 的无维数界，我们得到了该结果。$\kappa_n$ 的有界性也使得 Bizeul 和 Klartag 的平均范数估计成为锐界。将两个估计结合得到 \\[ M(K)M^*(K)\leq C\log n, \\] 将 Pisier 的 $MM^*$ 估计推广到非对称凸体及各向同性位置。
英文摘要
Let $K\subset\R^n$ be a convex body in isotropic position. We prove the optimal mean-width estimate \[ M^*(K)\leq C\sqrt{n\log n}. \] The main new ingredient is a geometric inequality relating the Gaussian mean of the support function to its mean under the uniform measure on $K$, obtained through a heat-flow argument. Combined with the Gaussian-log-concave comparison of Eldan and Lehec and the newly available dimension-free bound on the third-moment parameter $κ_n$, this yields the result. The boundedness of $κ_n$ also makes the mean-norm estimate of Bizeul and Klartag sharp. Combining both estimates yields \[ M(K)M^*(K)\leq C\log n, \] extending Pisier's $MM^*$ estimate to non-symmetric convex bodies and to the isotropic position.
