arXiv 2104.006652021-04math.PR

用独立游走覆盖图

Covering a graph with independent walks

Jonathan Hermon, Perla Sousi

备注：: 25 pages

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AI总结：

该研究针对有限状态空间上不可约可逆马尔可夫链的多链覆盖问题，证明了覆盖时间期望的上界$t_{\rm{cov}}(k)\lesssim t_{\rm{cov}}/k$，并分别在谱隙、混合时间相关的参数条件下给出了界的紧性与等价刻画。

摘要：

设$P$是有限状态空间$V$上不可约且可逆的转移矩阵，其平稳分布为$\pi$。我们启动$k$条马尔可夫链，初始位置独立地服从$\pi$分布，随后各链按$P$独立演化。令$\tau_{\mathrm{cov}}(k)$为至少一条链至少访问过$V$中每个顶点一次的首次时间，记$t_{\rm{cov}}(k)=\mathbb{E}[\tau_{\mathrm{cov}}(k)]$，且$t_{\rm{cov}}=t_{\rm{cov}}(1)$。我们证明$t_{\rm{cov}}(k)\lesssim t_{\rm{cov}}/k$。当$k\leq t_{\mathrm{cov}}/t_{\rm{rel}}$（其中$t_{\rm{rel}}$为谱隙的倒数）时，我们证明该界是紧的。当$k\leq t_{\mathrm{cov}}/t_{\rm{mix}}$（其中$t_{\rm{mix}}$为$(P+I)/2$的全变差混合时间）时，我们证明$k \cdot \max_{x_1,\ldots,x_k}\mathbb{E}_{x_1,\ldots,x_k}[\tau_{\rm{cov}}(k)] \asymp t_{\rm{cov}}$。

英文摘要：

Let $P$ be an irreducible and reversible transition matrix on a finite state space $V$ with invariant distribution $π$. We let $k$ chains start by choosing independent locations distributed according to $π$ and then they evolve independently according to $P$. Let $τ_{\mathrm{cov}}(k)$ be the first time that every vertex of $V$ has been visited at least once by at least one chain and let $t_{\rm{cov}}(k)=\mathbb{E}[τ_{\mathrm{cov}}(k)]$ with $t_{\rm{cov}}=t_{\rm{cov}}(1)$. We prove that $t_{\rm{cov}}(k)\lesssim t_{\rm{cov}}/k$. When $k\leq t_{\mathrm{cov}}/t_{\rm{rel}}$, where $t_{\rm{rel}}$ is the inverse of the spectral gap, we show that this bound is sharp. For $k\leq t_{\mathrm{cov}}/t_{\rm{mix}}$ with $t_{\rm{mix}}$ the total variation mixing time of $(P+I)/2$ we prove that $k \cdot \max_{x_1,\ldots,x_k}\mathbb{E}_{x_1,\ldots,x_k}[τ_{\rm{cov}}(k)] \asymp t_{\rm{cov}}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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