Commutators and pronilpotent subgroups in profinite groups
设G是一个投射有限群，其中所有由算子生成的幂零子群都是周期的.我们证明了G'是局部有限的。
2013-05-23 math.GR
Commutators of elements of coprime orders in finite groups
本文试图找出有限群G的哪些性质可以用互质阶元的交换子来表示。得到了G在这类分解子中的溶解度判据。我们还猜想非交换单群的每个元素都是互素阶元素的交换子，并对交错群证实了这一猜想。
2012-08-16 math.GR
On soluble groups in which commutators have prime power order
针对换位子阶均为素数幂的有限CPPO群，论文证明可解情形下其换位子子群G'的阶至多含两个素因子。
2024-08-04 math.GR
Commutators in groups of order $p^7$
给出了阶为$p^7$，$p$素数的群$G$的一个刻画，其中$G$的换位子群$γ_2(G)$的元素并非都是$G$的交换子.在此过程中，我们获得了关于$p^7$阶群的几个结构结果。
2021-06-14 math.GR
Groups with Finiteness Conditions on commutator subgroups
本文研究了特定换位子群集合为有限的群的结构，重点分析了这类群与具有有限导出子群的群之间的关系。
2025-07-11 math.GR
A note on stable commutator length in braided Ptolemy-Thompson groups
本文证明了辫子Ptolemy-Thompson群中所有稳定换位子长的集合都等于非负有理数。
2020-02-28 math.GR
Commutators as Powers in Free Products of Groups
证明了一个非平凡交换子在群的自由积中是真幂的方法。
1993-10-15 math.GR
Commutator width of Chevalley groups over rings of stable rank 1
给出了稳定秩为1的环上Chevalley群的交换子宽度的一个估计，并给出了一般方法，该方法适用于其它小维数环.
2014-10-13 math.GR
Conciseness of coprime commutators in finite groups
设$G$是一个有限群.我们证明了互质$γ_k$ -生成子（分别为$δ_k$ -生成子）生成的子群的阶是有界的，其大小取决于互质$γ_k$ -生成子（分别为$δ_k$ -生成子）的集合的大小.这与特纳-史密斯的经典定理并行，即$γ_k$和$δ_k$是简洁的。
2013-03-07 math.GR
Residual properties of groups defined by basic commutators
本文研究了由基本算子定义的群的剩余零值。我们证明了所谓的Hydra群以及它们的某些推广和等价群，主要是剩余无挠幂零群。作为对比，我们给出了一个由两个基本算子定义的群不是剩余无挠幂零的例子。
2013-08-28 math.GR
Enumerating fibres of commutator words over p-groups
本文列举了幂零类小于p且指数为p的p-群上的交换子字映射的纤维，并给出了幂零类2且指数为p的p-群上的交换子字映射的纤维大小.
2016-02-12 math.GR
On profinite groups with commutators covered by nilpotent subgroups
设G是一个投射有限群.证明了以下结果。换位子群G'是有限的当且仅当G被可数个阿贝尔子群覆盖。群G是幂零有限的当且仅当G被可数个幂零子群覆盖。主要结果是：换位子群G'是有限幂零的当且仅当G中的换位子集被可数个幂零子群覆盖。
2015-01-12 math.GR
Multilinear commutators in residually finite groups
设w是多线性交换子，n是正整数.设G是一个剩余有限群，其中每个至多896个w-值的乘积都有除n的阶.则动词子群w（G）是局部有限的。
2010-12-13 math.GR
On finite capable $p$-groups of class 2 with cyclic commutator subgroups
研究幂零类2的有限能力$p$ -群$G$，使得$G$的换位子群$γ_2(G)$是循环的，且$G$的中心包含在$G$的弗拉蒂尼子群中.
2010-01-21 math.GR
Procyclic coverings of commutators in profinite groups
考虑一类投射有限群，其中所有的投射子都包含在一个100个原循环子群的并中。证明了若G是一个投射有限群，其中所有的算子都被m个原循环子群覆盖，则G有一个包含在G'中的有限特征子群M，使得M的阶是m-有界的，且G'/M是原循环的.若G是一个pro-p群，使得G中的所有算子都被m个原循环子群覆盖，则G'是m-有界阶有限群或原循环群.
2014-05-21 math.GR
Products of Commutators and Products of Squares in a Free Group
给出了自由群的元素可表示为乘子的乘积或平方的乘积的方法的分类。然后将其应用于某些特定类别的元素。最后，一个问题表示的交换子作为一个产品的平方。
1993-10-15 math.GR
Commutator lengths in general linear group over a skew-field
本文研究斜域上一般线性群初等子群中非中心元素的极大换位子长度，利用斜域乘法群的极大换位子长度给出其上界和下界估计。
2022-02-03 math.GR
The commutator and centralizer description of Sylow 2-subgroups of alternating and symmetric groups
给定素数阶循环群的置换环积序列，研究了这类群的换位子宽及其换位子群的一些性质。建立了交替群$A_{2^{k}}$、置换群$S_{2^k}$和$C_p \wr B$的Sylow 2-子群的交换子宽度.将研究结果扩展到$(Syl_2 {A_{2^k}})'$、$p>2$亚组。给出了对称交错群的Sylow 2-子群的换位子群的一个构造.并建立了$A_{2^k}$的Sylow 2-子群的极小通格集.研究了$(Syl_2 {A_{2^k}})'$、$(Syl_2 {S_{2^k}})'$的元素表示。证明了循环群的离散圈积$C_p$的任意元素的换位子宽度\cite {Mur}为1.关键词：群的圈积，PDMATHAMV-Sylow子群的换位子宽度，换位子群，中心化子群，半直积.
2017-12-24 math.GR
Centralizers of commutators in finite groups
设$G$是一个有限群。$G$中的互质换位子是可以被写为合适的$x,y\in G$的换位子$[x,y]$的任何元素，使得$π(x)\capπ(y)=\emptyset$。这里$π(g)$表示元素$g\in G$阶的素因子的集合。反互质交换子是可以被写为交换子$[x,y]$的元素，其中$π(x)=π(y)$。本文的主要结果如下。--若$|x^G|\leq n$当$x$是互质交换子时，则$G$有$n$ -有界指数的幂零子群. --若对每个反互质交换子$x\in G$有$|x^G|\leq n$，则$G$有一个幂零类至多为$4$的子群$H$，使得$[G : H]$和$|γ_4 (H)|$都是$n$ -有界的.我们还考虑了有限群，其中互质或反互质的中心化子，交换子是有界阶的。
2022-05-04 math.GR
Commutator subgroup of the Hecke group $G_5$ is not congruence
证明了Hecke群$G_5$的幂子群$G_5^5$与换位子群$G_5'$不同余.
2014-01-16 math.GR
Probability that a given element of a group is a commutator of any two randomly chosen group elements
我们研究的概率，一个给定的元素，在换位子群的一个组，是等于一个交换子的两个随机选择的组元素，并计算明确的公式计算这种概率为一些有趣的类组只有两个不同的共轭类大小。重新证明了如下事实：如果$G$是一个有限群，使得它的共轭类大小的集合是$\{1, p\}$，其中$p$是一个素数，那么$G$是一个超特殊$p$ -群的等倾（在P. Hall的意义下）.
2012-12-18 math.GR
Commutators in finite $p$-groups with $2$-generator derived subgroup
设$G$是一个有限的$p$ -群，其导出子群$G'$可由$2$元生成.如果$G'$是阿贝尔的，Guralnick证明了$G'$的每个元素都是交换子。本文证明了$G'$是阿贝尔的条件是不必要的。进一步证明了对于固定的$x\in G$，$G'$的每个元素都是$[x,g]$形式的交换子.
2018-04-09 math.GR
On the probability distribution associated to commutator word map in finite groups \rom{2}
令$P(G)$表示交换子词映射的非平凡交换子的纤维的大小的集合。本文证明了对于幂零类$3$的任意有限群$G$，当其共轭类大小恰好为两个时，有$|P(G)|=1$.我们还证明了对于给定的$n\geq 1$，存在幂零类$2$的有限群$G$，其共轭类大小正好为两个，使得$|P(G)|=n$ .
2018-09-24 math.GR
Automorphism group of the commutator subgroup of the braid group
本文研究辫子群交换子子群$B'_n$的自同构群，证明$n\ge4$时其自同构群等于$B_n$的自同构群，解决了Vladimir Lin的问题。
2016-06-05 math.GR
Products and commutators of classes in algebraic groups
本文对几乎单代数群中的共轭类对进行分类，其乘积由多个类组成。这导致了几个有趣的家庭的例子，这是有关的推广贝尔-铃木定理的有限群。我们还回答了一个问题的帕维尔舒米亚茨基对单代数群的共轭类的分解。事实证明，所得到的例子正是那些产品也只包含1000个类的例子。
2013-02-20 math.GR
Stable commutator length on free $\mathbb{Q}$-groups
本文研究自由有理群上的稳定交换子长度，证明非单位元具有正长度，并展示自由有理群包含非定向曲面群的等距嵌入。
2025-11-30 math.GR
Associativity of the Commutator Operation in Groups
对群中换位子运算的结合性的研究可以追溯到Levi在1942年的一些工作。在20世纪60年代，Richard J. Thompson创建了一个群F，其元素是任意二元运算的广义结合律的代表。在2006年，Geoghegan和Guzman证明了群G是可解的当且仅当G中的换位子运算最终满足结合律的所有实例，并且还证明了许多不可可解群不满足广义结合律的任何实例。我们将讨论这样一个问题：是否存在满足广义结合律某些实例的不可可解群？对于有限群，我们证明了答案是否定的。
2008-05-30 math.GR
Power commutator groups
本文考虑一类关系子是生成元的关系子的幂的有限生成群。这个类包含一个小的子类图群（也称为RAAG），即如果所有的权力是一个。图群是该类中唯一的无挠群。生成元是无限阶的，但我们也可以通过给生成元分配任意阶来增加挠率。则上述小子类包含部分交换的Shephard群。我们证明了这些群嵌入到Coxeter群中作为有限指数子群，从而建立了这些群的线性。非常简短的证明只需要组合群论中的初等方法。
2015-10-08 math.GR
Profinite groups with restricted centralizers of commutators
群G有限制中心化子，如果对G中的每个g，中心化子CG（g）在G中是有限的或有有限的指数. Shalev的一个定理指出，具有限制中心化子的投射有限群是有限阿贝尔群。本文讨论了具有字值限制中心化子的投射有限群。证明了如果w是多线性换位子字，G是具有w-值的限制中心化子的投射有限群，则动词子群w（G）是abelian-by-finite的.
2019-01-15 math.GR
Strong conciseness of coprime and anti-coprime commutators
在投射有限群$G$中的互质交换子是$[x,y]$形式的元素，其中$x$和$y$具有互质阶，反互质交换子是交换子$[x,y]$，使得$x$和$y$的阶可被相同的素数整除。本文证明了一个投射有限群$G$是有限的，如果$G$中互质算子集的基数小于$2^{\aleph_0}$ .此外，若$G$中的反互质交换子集合的基数小于$2^{\aleph_0}$，则一个投射有限群$G$有有限换位子群$G'$.
2021-03-06 math.GR
Finitely generated infinite simple groups of infinite commutator width
证明了存在一个换位子宽度为无穷大的有限生成的无限单群，并且有限生成的无限有界单群的换位子宽度可以是任意大的.此外，这类群可以用可判定字和共轭问题来构造。
2009-09-12 math.GR
Bounded generation and commutator width of Chevalley groups: function case
证明了多项式环$\mathbb F_q[t]$和Laurent多项式$\mathbb F_q[t,t^{-1}]$环上的Chevalley群是有界初等生成的，其中$\mathbb F_q$是有限域.利用这一点，我们产生明确的界限，这些群体的换向器宽度。在一些额外的假设下，我们证明了正特征的算术环的Dedekind环上的其他类Chevalley群的类似结果.作为推论，我们给出了有限域上仿射Kac-Moody群的交换子宽度的明确估计。本文还包含了更广泛的讨论有界生成问题的群体的李型，一些应用和一个列表中未解决的问题领域。
2022-05-09 math.GR
Groups with Boundedly Finite Conjugacy Classes of Commutators
1954年B. H.诺依曼发现，如果G是一个群，其中所有共轭类都是有限的，且大小有界，则导出群G'是有限的。后来（1957年）Wiegold发现了一个明确的限制秩序的G '。我们研究群，其中共轭类包含有界的大小有限。我们得到以下结果。设G是群，n是正整数.如果|x^G| <n，则第二导群G”是有限的，阶为n-有界。如果|x^{G'}|<n，则γ_3（G '）的阶是有限的且$n$ -有界的.这里γ_3（G '）是G'的下中心序列的第三项。
2018-02-15 math.GR
On Generalized Commutator
本文研究了有限群中的广义换位子方程，证明了这类方程的解的个数是该群的特征。考虑方程$[\cdots[[[x_1,x_2],x_3],$ $x_4],\cdots, x_n] = g$，对于某些著名的有限群类，我们也得到了这个特征的显式公式，它是关于群的阶，它的中心和它的换位子群.本文是Pournaki和Sobhani在[22]中工作的推广。
2016-05-04 math.GR
Commutators cannot be proper powers in metric small-cancellation torsion-free groups
在满足C '（λ）小消去条件且λ足够小的无挠无挠的群中，非平凡交换子不可能是真幂.
2013-09-13 math.GR
Computing commutator length is hard
群$G$的换位子群中的元素$g \in [G,G]$的换位子长$cl_G(g)$是将$g$表示为它们的乘积所需的最少换位子数。如果$G$是一个非阿贝尔自由群，则给定一个整数$n \in \mathbb{N}$和一个元素$g \in [G,G]$，判定$cl_G(g) \leq n$是否NP完全的判定问题。因此，除非P=NP，否则不存在根据$g$的字长$|g|$在多项式时间内计算$cl_G(g)$的算法。这一陈述对于具有非阿贝尔自由群的收缩的群仍然成立，例如非阿贝尔直角阿廷群。我们将通过将交换子长度与字的\emph{cyclic block interchange distance}联系起来来证明这些陈述，我们也证明了它是NP完全的。
2020-01-28 math.GR
Applications of Commutator-Type Operators to $p$-Groups
对于p-群G，若G中存在$p^n$阶的自同构$ϕ$，且$ϕ$具有恰$p^m$不动点，使得$ϕ^{p^{n-1}}$具有恰$p^k$不动点，则证明了G中存在m-有界幂零类的全不变子群，且其指数为$(p,n,m,k)$ -有界.我们还建立了李p-环的类似物。证明利用的理论的construcator-type运营商。
2001-11-02 math.GR
Finitely generated infinite simple groups of infinite square width and vanishing stable commutator length
证明了存在无穷交换子宽度和无穷平方宽度的双生成无穷单群，其上不存在稳定无界共轭不变范数，特别是稳定交换子长度为零.此外，构造了具有可判定字和共轭问题的群的递归表示。
2010-09-07 math.GR
Quasiperiodic and mixed commutator factorizations in free products of groups
众所周知，自由群中的非平凡交换子绝不是真幂。我们证明了一个定理，概括了这一事实，并有几个有价值的推论。例如，方程$[ x_1, y_1] \ldots [ x_k, y_k] = z^n$，其中$n \ge 2k$，在没有$\le n$阶非平凡元素的群的自由积$\mathcal{F}$中，意味着$z$与$\mathcal{F}$的自由因子的元素共轭。如果一个自由群中的非平凡交换子分解为彼此共轭的元素的乘积，则所有这些元素都是不同的。
2018-05-23 math.GR
On commutator length in free groups
设$F$是一个自由群。对于任意$g\in\mathbb{N}$，我们提出了一个LogSpace（以及多项式时间）算法，该算法确定给定的$w\in F$是否是至多$g$乘法器的乘积;更一般地，我们提出了一个算法，该算法确定给定的$w\in F$的最小$g$，使得$w$可以被写为$g$乘法器的乘积（如果不存在这样的$g$，则返回$\infty$）。该算法还返回字$x_1,y_1,\dots,x_g,y_g$，使得$w=[x_1,y_1]\cdots[x_g,y_g]$。我们提出的算法在实践中也是有效的。使用它们，我们产生了第一个例子，一个字在自由群的交换子长度减少下采取平方。这在很强的意义上反驳了巴尔达科夫的一个猜想。
2021-11-02 math.GR
The Table of the Structure Constants for the Complex Simple Lie Algebra of Type E_6 and Chevalley Commutator Formulas in the Chevalley Group of Type E_6 over a Field
本文为系列第三篇，计算E_6型复单李代数结构常数及Chevalley换位公式。
2024-03-15 math.GR
Algebraic irrational stable commutator length in finitely presented groups
我们提供了第一个例子的一个random提出的（事实上，类型$F_\infty$）组的元素，其稳定的换向器长度是代数和不合理的，回答一个问题的Calegari。我们的例子是提升到\emph{golden ratio Thompson group} $T_τ$的实数线：作用于区间的克利里黄金比例汤普森群$F_τ$的圆形模拟。
2021-11-16 math.GR
Commutators and squares in free groups
设F_2是由x和y生成的自由群。本文证明了x^m和y^n的换位子是两个平方的乘积当且仅当mn是偶数。我们还用拓扑方法证明了F_2中的一个元素要成为两个平方的乘积存在无穷多个障碍。
2004-09-06 math.GR
The stable commutator length of a relator is not a one-relator group invariant
Université de Genève（日内瓦大学）
该研究通过构造两个同构的单关系群，证明关系子的稳定换位子长度并非单关系群不变量，否定了Heuer与Löh提出的相关问题。
2026-08-25 math.GR
On finite groups with bounded conjugacy classes of commutators
University of Brasilia（巴西利亚大学）
本文研究有限群中交换子的共轭类大小有界时，第二导出群的有界性。
2025-02-06 math.GR
Powers with minimal commutator length in free products of groups
该研究针对群自由积中不与自由因子元素共轭的元素的n次幂的极小换位子长度问题展开探究，并给出了详尽的解答。
2023-04-03 math.GR
On finite groups in which commutators are covered by Engel subgroups
设$m,n$为正整数，$w$为多线性换位子字.假设$G$是一个有限群，它有子群$G_1,\ldots,G_m$，子群的并集包含$G$中的所有$w$ -值。进一步假设子组$G_1,\ldots,G_m$的所有元素是$G$中的$n$ -Engel。证明了对于某些$\{m,n,w\}$ -有界数$s$，动词子群$w(G)$是$s$ -Engel.
2019-01-03 math.GR
Commutators, centralizers, and strong conciseness in profinite groups
如果对于每个$g \in G$，中心化器$C_G(g)$是有限的或者在$G$中具有有限的索引，则称群$G$具有受限中心化器。Shalev证明了具有限制中心化子的profinite群实际上是阿贝尔群。我们感兴趣的投射有限群的限制中心化子的一致的扩张，即，元素的形式$[x_1,\dots,x_k]$，其中$π(x_1)=π(x_2)=\dots=π(x_k)$。这里$π(x)$表示$x\in G$阶的素因子集合。证明了这样的群必然有一个开幂零子群。我们利用这个结果推导出$γ_k(G)$是有限的当且仅当$G$中的一致$k$ -步算子集的基数小于$2^{\aleph_0}$
2022-12-19 math.GR
The ranks of central factor and commutator groups
舒尔定理说，如果$G$是一个群，其中心$Z(G)$具有有限的指数$n$，则导出群$G'$的阶是有限的，并且由仅依赖于$n$的数限定。本文证明了：若$G$是有限群，使得$G/Z(G)$有秩$r$，则$G'$的秩是$r$ -有界的.我们还证明了一个类似的结果适用于一个大类的无限群。
2012-04-25 math.GR
Compact groups in which commutators have finite right Engel sinks
该群论研究证明，满足k重换位子均有有限右Engel沉的紧群存在局部幂零开子群，且当右Engel沉基数不超过m时，该子群的有限指数仅由m界定。
2024-10-08 math.GR
Commutators in finite p-groups with 3-generator derived subgroup
众所周知，一般来说，群$G$的一组群可能不是一个子群。Guralnick证明了，如果$G$是一个有限的$p$ -群，有$p\ge 5$，使得$G'$是阿贝尔的，并且是$3$ -生成元，那么它的导出子群的所有元素都是分解子.本文推广了Guralnick的结果，证明了不需要$G'$是阿贝尔的条件.这样，我们就完成了有限$p$ -群中关于导出子群的生成元个数的这一性质的研究。我们还将看到，当$G$对$G'$的作用是模$(G')^p$的唯一性且$|G':(G')^p|$不超过$p^{p-1}$时，同样的结果也成立。最后，我们将证明类似的结果是满意的，当工作与亲$p$集团。
2019-03-14 math.GR
On a reformulation of the commutator subgroup
对于半群$S$，在“两个可消去交换同余和群图”，半群论坛（2011）82：338-353中引入了$S$上的交换同余$σ_{orient}$和$S$的可定向子半群（$S$）。证明了当半群实际上是一个群$G$时，可定向（$G$）是换位子群$[G,G]$，$ G / σ_{orient}$是交换商群$G / [G,G]$ .
2022-11-09 math.GR
Stable commutator length in word-hyperbolic groups
本文获得了字双曲群和作用于双曲空间的某些群（即作用于曲线复形的映射类群和作用于Bass-Serre树的合并自由积）中稳定换位子长度的一致正下界。若G是一个关于对称生成集S为δ双曲的字双曲群，则存在一个仅依赖于δ和|S|的正常数C，使得G的每个元素或者有一个与其逆共轭的幂，或者稳定换位子长度至少等于C.由Bavard定理，这些稳定的换向器长度的下界意味着存在的拟同构与统一控制的缺陷，但是，我们展示了如何直接构建这样的拟同构。我们还证明了各种分离定理，建设齐次拟同构（再次统一估计），这是积极的一些规定的元素，而消失的一些家庭的独立元素的平移长度是一致有界的。最后证明了无挠字双曲群中稳定换位子长的第一聚点包含在1/12和1/2之间。这给出了双曲群中的共轭类具有小的稳定换位子长度的普遍意义，并且可以被认为是一种“同调马古利斯引理”。
2009-06-26 math.GR
Central quotient versus commutator subgroup of groups
1904年，Issai Schur证明了以下结果。如果$G$是一个任意群，使得$G/\Z(G)$是有限的，其中$\Z(G)$表示群$G$的中心，则$G$的换位子群是有限的。B. H. 1951年的诺依曼。他证明了如果$G$是一个具有有限换位子群有限生成群，那么$G/\Z(G)$是有限的。在这篇短文中，我们展示了Neumann的一些论点，这些论点提供了Schur的上述结果的逆的进一步推广。我们对所有有限群$G$进行分类，使得$|G/\Z(G)| = |γ_2(G)|^d$，其中$d$表示$G/\Z(G)$的最小生成集中的元素个数。并提出了一些问题和疑问。
2016-03-10 math.GR
