Commutators and commutator subgroups of finite $p$-groups
Rahul Kaushik, Manoj K. Yadav
给出了有限$p$ -群$G$的一个分类，其中$G$的换位子群$γ_2(G)$的阶为$p^4$，指数为$p$，使得$γ_2(G)$中的元素并非都是换位子.
We present a classification of finite $p$-groups $G$ with $γ_2(G)$, the commutator subgroup of $G$, of order $p^4$ and exponent $p$ such that not all elements of $γ_2(G)$ are commutators.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Commutators and commutator subgroups in profinite groups
设$G$是一个投射有限群.证明了换位子群$G'$是有限的原循环的当且仅当$G$的所有换位子的集合包含在可数个原循环子群的并中.
Commutators and commutator subgroups of the Riordan group
我们计算Riordan群的导出列。为了做到这一点，我们研究了一个嵌套序列的子群，这里表示为$\mathcal G_k$。利用这个序列，我们首先得到了伴随子群的第n个换位子群。这一事实使我们能够得到关于某些形式幂级数群的相关结果，并完成本文的主要目的--定理1的证明。
Minimal generating set of Sylow 2-subgroups commutator subgroup of alternating group. Commutator width in Sylow $p$-subgroups of alternating, symmetric groups and in the wreath product of groups
给出了交错群的Sylow 2-子群的换位子的最小生成集的大小，证明了有限循环群序列的置换圈积的换位子宽度为1，并研究了它的换位子群的一些性质.结果表明，$(Syl_2 A_{2^k})^2 = Syl'_2 (A_{2^k}), \, k>2$ .给出了交替群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的一种新的表示方法。从而得到了交错群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群、置换群${S_{2^{k}}}$和$Syl_2 A_{p^k}$（$Syl_2 S_{p^k}$）的Sylow $p$ -子群的交换子宽度等于1的简短证明.研究了置换圈积$B \wr C_n$的换向器宽度。证明了循环群$C_{p_i}, \, p_i\in \mathbb{N} $的圈积的换位子的任意元素的换位子长度等于1。给出了循环群的圈积的正极限的换位子宽度，作为推论，证明了对称$S_{p^{k}}$的Sylows $p$ -子群$Syl_2(S_{p^{k}})$和交错群$A_{p^{k}}$ $p \geq 2$的换位子宽度也等于1.给出了$A_{2^{k}}$的Sylows $2$ -子群$Syl_2(A_{2^{k}})$的递归表示.研究了对称群和交错群的Sylows $2$ -交换子的结构.对于任意的$B$群，给出了$C_p \wr B$的换位子宽度的上界。
On profinite groups with commutators covered by nilpotent subgroups
设G是一个投射有限群.证明了以下结果。换位子群G'是有限的当且仅当G被可数个阿贝尔子群覆盖。群G是幂零有限的当且仅当G被可数个幂零子群覆盖。主要结果是：换位子群G'是有限幂零的当且仅当G中的换位子集被可数个幂零子群覆盖。
Commutators and pronilpotent subgroups in profinite groups
设G是一个投射有限群，其中所有由算子生成的幂零子群都是周期的.我们证明了G'是局部有限的。
Groups with Finiteness Conditions on commutator subgroups
本文研究了特定换位子群集合为有限的群的结构，重点分析了这类群与具有有限导出子群的群之间的关系。
On finite capable $p$-groups of class 2 with cyclic commutator subgroups
研究幂零类2的有限能力$p$ -群$G$，使得$G$的换位子群$γ_2(G)$是循环的，且$G$的中心包含在$G$的弗拉蒂尼子群中.
Commutators of Sylow subgroups of alternating and symmetric groups, commutator width in the wreath product of groups
本文研究了两个群的圈积的换位子宽度\cite {Mur}的界.给出了循环群的圈积的正极限的换位子宽度，对给定的循环群的置换圈积序列，研究了它的换位子宽度及其换位子群的一些性质.证明了循环群$C_{p_i}, \, p_i\in \mathbb{N} $的圈积的任意元素的换位子宽度等于1。作为推论，证明了对称和交错群$p \geq 2$的Sylows $p$ -子群的换位子宽度也等于1.研究了对称群和交错群的SylowsPDMATHABMQ-子群的换位子和第二换位子的结构。对于任意群$B$，建立了$C_p \wr B$的换位子宽度的上界.对于任意群，得到了换位子宽度为$C_p \wr B$的$B$换位子.并建立了交错群${A_{2^{k}}}$、置换群${S_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的交换子宽度.将研究结果推广到子群$(Syl_2 {A_{2^{k}}})'$，$p\geq2$上.研究了对称交错群的Sylow 2-子群的换位子群的结构。研究了$(Syl_2 {A_{2^{k}}})'$、$(Syl_2 {S_{2^{k}}})'$的纵向表征。
The commutator and centralizer description of Sylow 2-subgroups of alternating and symmetric groups
给定素数阶循环群的置换环积序列，研究了这类群的换位子宽及其换位子群的一些性质。建立了交替群$A_{2^{k}}$、置换群$S_{2^k}$和$C_p \wr B$的Sylow 2-子群的交换子宽度.将研究结果扩展到$(Syl_2 {A_{2^k}})'$、$p>2$亚组。给出了对称交错群的Sylow 2-子群的换位子群的一个构造.并建立了$A_{2^k}$的Sylow 2-子群的极小通格集.研究了$(Syl_2 {A_{2^k}})'$、$(Syl_2 {S_{2^k}})'$的元素表示。证明了循环群的离散圈积$C_p$的任意元素的换位子宽度\cite {Mur}为1.关键词：群的圈积，PDMATHAMV-Sylow子群的换位子宽度，换位子群，中心化子群，半直积.
Commutator subgroup of the Hecke group $G_5$ is not congruence
证明了Hecke群$G_5$的幂子群$G_5^5$与换位子群$G_5'$不同余.
A Sufficient Condition for Nilpotency of the Commutator Subgroup
设$G$是有限群，若$a,b$是互质阶的扩张子，则$|ab|=|a||b|$ .证明了$G'$是幂零的.
Bounded conjugacy classes, commutators, and approximate subgroups
给定一个群$G$，我们将包含元素$g$的$G$的共轭类写成$g^G$。B.的一个定理H.诺依曼指出，如果$G$是一个群，其中所有的共轭类是有限的有界大小，那么交换子群$G'$是有限的。我们建立了以下结果。设$K,n$为正整数，$G$为具有$K$ -近似子群$A$的群.若对每个$a\in A$都有$|a^G|\leq n$，则$\langle A^G\rangle$的换位子群有有限的$(K,n)$ -有界阶.若对所有的$g\in G$和$a\in A$都有$|[g,a]^G|\leq n$，则$[G,A]$的换位子群有有限的$(K,n)$ -有界阶.
Commutators in finite $p$-groups with $2$-generator derived subgroup
设$G$是一个有限的$p$ -群，其导出子群$G'$可由$2$元生成.如果$G'$是阿贝尔的，Guralnick证明了$G'$的每个元素都是交换子。本文证明了$G'$是阿贝尔的条件是不必要的。进一步证明了对于固定的$x\in G$，$G'$的每个元素都是$[x,g]$形式的交换子.
On finite groups in which commutators are covered by Engel subgroups
设$m,n$为正整数，$w$为多线性换位子字.假设$G$是一个有限群，它有子群$G_1,\ldots,G_m$，子群的并集包含$G$中的所有$w$ -值。进一步假设子组$G_1,\ldots,G_m$的所有元素是$G$中的$n$ -Engel。证明了对于某些$\{m,n,w\}$ -有界数$s$，动词子群$w(G)$是$s$ -Engel.
On a reformulation of the commutator subgroup
对于半群$S$，在“两个可消去交换同余和群图”，半群论坛（2011）82：338-353中引入了$S$上的交换同余$σ_{orient}$和$S$的可定向子半群（$S$）。证明了当半群实际上是一个群$G$时，可定向（$G$）是换位子群$[G,G]$，$ G / σ_{orient}$是交换商群$G / [G,G]$ .
A focal subgroup theorem for outer commutator words
设$G$是一个$p^am$阶有限群，其中$p$是素数，且$m$不能被$p$整除，又设$P$是$G$的Sylow $p$ -子群.如果$w$是一个外换位子字，我们证明了$P\cap w(G)$是由$P$与$G$中$w$的所有值的$m$次幂的集合的交集生成的
On finite groups in which coprime commutators are covered by few cyclic subgroups
互质分解子$γ_j^*$和$δ_j^*$是最近引入的一种研究有限群的性质的工具，这些有限群可以用互质阶元素的分解子来表示。它们的定义如下。设$G$是一个有限群。$G$的每个元素既是$γ_1^*$ -换向器又是$δ_0^*$ -换向器.现在让PDMATHAMR和PDMATHAMS是PDMATHAMO的所有元素的集合，这些元素是$γ_{j-1}^*$ -幂的幂。如果存在$a\in X$和$b\in G$使得$g=[a,b]$和$(|a|,|b|)=1$，则元素$g$是$γ_j^*$ -交换子。对于$j\geq 1$，令$Y$是$G$的所有元素的集合，这些元素是$δ_{j-1}^*$ -乘法器的幂。如果存在$a,b\in Y$使得$g=[a,b]$和$(|a|,|b|)=1$，则元素$g$是$δ_j^*$ -交换子。由所有$γ_j^*$ -分解器和所有$δ_j^*$ -分解器生成的$G$的子群分别用$γ_j^*(G)$和$δ_j^*(G)$表示.对于每一个$j\geq2$的子群$γ_j^*(G)$正是最后一项的低中心系列的$G$（这在整个文件中表示为$γ_\infty(G)$），而对于每一个$j\geq1$的子群$δ_j^*(G)$正是最后一项的低中心系列的$δ_{j-1}^*(G)$，即$δ_j^*(G)=γ_\infty(δ_{j-1}^*(G))$。本文证明了：若$G$有$m$循环…
Procyclic coverings of commutators in profinite groups
考虑一类投射有限群，其中所有的投射子都包含在一个100个原循环子群的并中。证明了若G是一个投射有限群，其中所有的算子都被m个原循环子群覆盖，则G有一个包含在G'中的有限特征子群M，使得M的阶是m-有界的，且G'/M是原循环的.若G是一个pro-p群，使得G中的所有算子都被m个原循环子群覆盖，则G'是m-有界阶有限群或原循环群.
Automorphism group of the commutator subgroup of the braid group
本文研究辫子群交换子子群$B'_n$的自同构群，证明$n\ge4$时其自同构群等于$B_n$的自同构群，解决了Vladimir Lin的问题。
Commutators in finite p-groups with 3-generator derived subgroup
众所周知，一般来说，群$G$的一组群可能不是一个子群。Guralnick证明了，如果$G$是一个有限的$p$ -群，有$p\ge 5$，使得$G'$是阿贝尔的，并且是$3$ -生成元，那么它的导出子群的所有元素都是分解子.本文推广了Guralnick的结果，证明了不需要$G'$是阿贝尔的条件.这样，我们就完成了有限$p$ -群中关于导出子群的生成元个数的这一性质的研究。我们还将看到，当$G$对$G'$的作用是模$(G')^p$的唯一性且$|G':(G')^p|$不超过$p^{p-1}$时，同样的结果也成立。最后，我们将证明类似的结果是满意的，当工作与亲$p$集团。
On nilpotency of higher commutator subgroups of a finite soluble group
设$G$是有限可解群，$G^{(k)}$是$G$的导级数的第$k$项.我们证明了$G^{(k)}$是幂零的当且仅当对任意互质序的$δ_k$ -值$a,b\in G$有$|ab|=|a||b|$.在证明过程中，我们建立了以下独立有趣的结果：设$P$是$G$的Sylow $p$ -子群.然后由$P$中包含的$δ_k$值生成$P\cap G^{(k)}$。这与所谓的焦点子群定理有关。
Special subgroups of gyrogroups: Commutators, nuclei and radical
回转群是一种非结合的类群结构，它是在相对论容许速度空间上建模的，具有爱因斯坦速度加法定律给出的二元运算。在这篇文章中，我们给出了几个位于回转群$G$中的群，包括交换子回转群，左核和$G$的根。换位子回转群的正规闭包、左核和$G$的根都是$G$的正规子群。然后给出了有限回转群$G$的子回转群$H$在$G$中正规的判别准则，其中指标$[G\colon H]$是除$|G|$的最小素数.
Central quotient versus commutator subgroup of groups
1904年，Issai Schur证明了以下结果。如果$G$是一个任意群，使得$G/\Z(G)$是有限的，其中$\Z(G)$表示群$G$的中心，则$G$的换位子群是有限的。B. H. 1951年的诺依曼。他证明了如果$G$是一个具有有限换位子群有限生成群，那么$G/\Z(G)$是有限的。在这篇短文中，我们展示了Neumann的一些论点，这些论点提供了Schur的上述结果的逆的进一步推广。我们对所有有限群$G$进行分类，使得$|G/\Z(G)| = |γ_2(G)|^d$，其中$d$表示$G/\Z(G)$的最小生成集中的元素个数。并提出了一些问题和疑问。
Bireflectionality in the commutator subgroup of a finite orthogonal group
该研究针对特征非2的有限域上正交群换位子群，分类了其中的双反射与可逆元素，明确了可逆元为双反射的判定条件及例外情形。
Local indicability and commutator subgroups of Artin groups
我们确定的有限型Artin群是局部可指示的，并计算其换位子群的介绍。
On profinite groups with commutators covered by countably many cosets
设w为一组词。设投射有限群G中所有w-值的集合包含在可数个子群陪集的并中。我们关心的问题是动词子群w（G）的结构在多大程度上取决于子群的性质。我们证明了下面的定理。设C是一类在取子群，子群，且使得在任何群中，n个正规C-子群的乘积又是C-子群下闭的群。若w是多线性交换子，G是投射有限群，使得所有w-值的集合包含在可数陪集g_iG_i的并中，其中每个G_i都在C中，则动词子群w（G）是虚-C.这加强了几个已知的结果。
Bireflections of the commutator subgroup of an orthogonal group over the reals
本文研究实数域上符号为$(p,q)$的正交群$O(p,q)$的换位子群$O(p,q)'$，证明其中元素为双反射元当且仅当可逆，并对双反射元素进行了分类。
On the commutator subgroup of a right-angled Artin group
利用多面体乘积模型分析了直角Artin群的换位子群的结构。特别是，我们提供了一个最小的换位子群，由特殊的迭代正则生成子的生成元集。
Coverings of commutators in profinite groups
设$w$为组字。投射有限群$G$中所有$w$ -值的集合包含在可数子群的并中.人们自然会问，动词子群$w(G)$的结构是如何依赖于覆盖子群的性质的。本文综述了与此问题有关的最新研究成果。特别是，我们调查结果有限和可数覆盖的字值（主要是recruitors）的procyclic，阿贝尔，幂零，可溶性子群，以及子群的有限性条件。本文的最后一部分是专门的关系所描述的结果与霍尔的问题的简洁性的组字。
BFC-theorems for higher commutator subgroups
BFC-群是一个群，其中所有共轭类都是有限的，具有有界大小。1954年B. H.诺依曼发现，如果G是一个BFC-群，那么导出群G'是有限的。设w=w（x_1，\dots，x_n）是多线性交换子.我们研究了包含w-值的共轭类是有界阶有限的群。设G是一个群，w（G）是G的由所有w-值生成的动词子群.我们证明了：如果对每个w-值x，x^G的大小至多为m，则w（G）的导子群是有限的，其阶由m和n的函数有界.若x^{w（G）}对每个w-值x的大小至多为m，则[w（w（G）），w（G）]是由m和n的函数有界的阶有限的.
Stable commutator length in subgroups of PL(I)
设G是PL（I）的子群.则[G，G]中每个元素的稳定换位子长度为零。
Permutation representations of the braid group commutator subgroup
研究了r次对称群中n股辫群的换位子群的表示。受一些实验结果的启发，我们猜想对于n>r，每个这样的表示都是平凡的。
On profinite groups in which commutators are covered by finitely many subgroups
对于一族群字$w$，我们证明了：如果$G$是一个profinite群，其中所有的$w$ -值都包含在一个具有规定性质的多个子群的并集中，则$w(G)$也具有相同的性质.特别是，我们证明了这一点的情况下，子群是定期或有限秩。若$G$包含有限指数$e$的2/3子群$G_1,G_2,...,G_s$，且其并集包含$G$中的所有$γ_k$ -值，则证明了$γ_k(G)$具有有限的$(e,k,s)$ -有界指数.若$G$包含有限秩$r$的2/3子群$G_1,G_2,...,G_s$，且其并集包含所有$γ_k$ -值，则证明了$γ_k(G)$有有限$(k,r,s)$ -有界秩.
Polyhedral products and commutator subgroups of right-angled Artin and Coxeter groups
本文构造并研究了直角Artin群、Coxeter群、一般图积群及其换位子群空间的多面体积模型。作为应用，我们给出了图积群的换位子群自由的一个判别准则，并给出了直角Coxeter群的换位子群的一个显式极小生成元集.
The commutator subgroups of free groups and surface groups
Tomaszewski构造了自由群的换位子群的一个漂亮的简单的自由生成集。给出了该定理的一个新的几何证明，并说明了如何给出曲面群的换位子群的一个相似自由生成集。我们也给出了这些换位子群的阿贝尔化的结构的一个简单的表示论描述，并计算了它们的同调。
Commutator Subgroups of Welded Braid Groups
令$WB_n$为n股上的焊接（或环）辫群$n \geq 3$。研究了$WB_n$的换位子群.我们证明了换位子群$WB_n'$是双生成的，是Hopfian的.我们证明了$WB_n'$是完美的当且仅当$n \geq 5$ .我们还计算了$FWB_n'$的有限表示，平焊辫群$FWB_n$的换位子群。一路上，我们调查这些群体的可爱性。
Smallest nontrivial quotients of the commutator subgroup of braid groups
证明了辫群的换位子群的最小非平凡子是交错群，从而证明了Chudnovsky-Kordek-Li-Partin的一个猜想.此外，我们证明了任何极小商映射都是标准投影，由交错群的一个自同构构成。
Words and pronilpotent subgroups in profinite groups
设$w$是一个多线性换位子字，即在$n$不同的群变量中具有权值$n$的换位子。证明了如果$G$是一个投射有限群，且其中所有由$w$ -值生成的幂零子群都是周期的，则其动词子群$w(G)$是局部有限的.
A commutator lemma for confined subgroups and applications to groups acting on rooted trees
本文证明受限子群的交换子引理，并据此刻画弱分支群的 URS 结构，进而证明有限生成分支群作用增长最小、嵌入强有界型同胚群必空间实现以及不嵌入 IET 群等结论。
Conjugation-invariant norms on the commutator subgroup of the infinite braid group
本文证明了Brandenbursky和Kendendra关于无限辫群的换位子群容许稳定无界范数的结果。此外，我们观察到我们所构造的范数等价于Brandenbursky和Kendendra所研究的双不变词范数。
Commutator Subgroups of Virtual and Welded Braid Groups
分别让$VB_n$，$WB_n$表示虚拟，$n$股线上的焊接编织组。我们分别研究了它们的换位子群$VB_n' = [VB_n, VB_n]$和，$WB_n' = [WB_n, WB_n]$.我们得到了一组生成元和定义这些换位子群的关系。特别地，我们证明了$VB_n'$是逆生成的当且仅当$n \geq 4$，和$WB_n'$是逆生成的$n \geq 3$。证明了$VB_3'/VB_3'' =\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3 \oplus\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}^{\infty}$，$VB_4' / VB_4'' = \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3$，$WB_3'/WB_3'' = \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3 \oplus\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z},$ $WB_4'/WB_4'' = \mathbb{Z}_3,$和对于$n \geq 5$，换位子群$VB_n'$和$WB_n'$是完全的，即换位子群等于第二换位子群.
The commutator subgroup of the braid group is generated by two elements
对于$n$至少为7且$n$等于5，我们给出了$n$股上辫群的换位子群的大小为2的生成集.这些生成集具有最小可能的基数。对于$n$等于4或6，我们给出大小为3的生成集。我们还证明了四股辫群的换位子群不能由少于三个元素生成。
On symmetric commutator subgroups, braids, links and homotopy groups
本文研究了换位子群在同伦群和几何群中的一些应用。特别地，我们证明了某些环群中某些典型子群的交子群模其对称换位子群同构于（高）同伦群。这给出了链路和同伦群之间的联系。编织物和表面组的结果相似。
Large scale geometry of commutator subgroups
设G是一个群，G'是它的换位子群.设C是G'的Cayley图，G中的所有扩张子都是生成元.则C是大尺度单连通的。此外，如果G是一个挠自由的非初等字双曲群，则C是单端的。因此（在这种情况下），C的渐近维数至少为2。
Characters, Commutators and Centers of Sylow Subgroups
一个有限群G的特征标表决定了|P：P'|=p^2，且|P：Z（P）|=p^2，其中P是G的Sylow p-子群。为了证明后者，我们给出了一个详细的分类，这些群体的广义Fitting子群。
Structure and minimal generating sets of Sylow 2-subgroups of alternating groups, properties of its commutator subgroup
本文研究了${{A}_{n}}$和${{S}_{n}}$的Sylows p-子群，这一研究工作始于U. Dmitruk，V. Suschansky“对称交错群的2-sylow子群的结构”和R.~ Skuratovskii“群S_n的Sylow p-子群的余表示”\cite{Dm, Sk, Paw}的推广.设$Syl_2{A_{2^k}}$和$Syl_2{A_{n}}$是相应的交错群$A_{2^k}$和$A_{n}$的Sylow 2-子群.我们找到了这样的子群$Sy{{l}_{2}}{{A}_{{{2}^{k}}}}$和$Syl_2{A_{n}}$的最小生成集和结构以及$Syl_2{A_{2^k}}$ \cite{Mur}的换位子宽度. \cite{Dm, Paw}的作者没有证明对$A_n$的Sylow 2-子群的生成元系的极小性，只是初步建立了生成元系的结构。本文研究了Sylow 2-子群的结构，并构造了这类子群的极小生成系。换句话说，问题不仅仅是证明$2^k $次交错群的Sylow 2-子群的元素生成集的存在性和证明其极小性。主要结果是证明了上述子群的生成集的极小性，并描述了它们的结构。
Conciseness on normal subgroups and new concise words from outer commutator words
本文通过研究外交换子词在正规子群上的取值，证明了当各变量集互不相交的非交换子词代入外交换子词时所得词是简洁的，并推广到幂次形式，同时建立了正规子群上取值集有限则生成子群有限的结果。
Commutators in groups of piecewise projective homeomorphisms
2012年，莫诺引入了不服从且不包含自由子群的分段投射同胚群的例子，后来洛达和摩尔引入了具有相同性质的有限表现群的例子。本文研究了这类群的正规子群结构。我们的结果的两个重要情况是$H$和$G_0$组。证明了$\mathbb{R}$的分段投射同胚群$H$具有$H"$是单的和$H$的每一真商是亚阿贝尔的性质.我们建立了群$G_0$的换位子群的简单性，它允许用$3$生成元和$9$关系表示.进一步证明了$G_0$的每一个真商都是阿贝尔的.由此得出，这些群的正规子群与其交换（或亚交换）商的正规子群是双射对应的。
Homomorphisms of commutator subgroups of braid groups
当$n$至少为7时，给出了从$n$链上辫群的换位子群到$n$链上辫群的同态的完全分类.特别是，我们证明了每个非平凡同态扩展到一个自同构的辫群上$n$股。这回答了弗拉基米尔·林的四个问题。我们主要的新工具是完全对称集理论。
Inclusion among commutators of elementary subgroups
本文继续研究初等换位子群$[E(n,A),E(n,B)]$，其中$A$和$B$是结合环$R$，$n\ge 3$的双边理想.首先，我们改进和扩展了一些辅助结果，这两个结果都是经典的，由于Bass，Stein，Mason，Stothers，Tits，Vaserstein，van der Kallen，Stepanov，以及我们与Hazrat的联合工作中的一些中间结果，以及我们自己最近的论文[40，41]。本文的技巧是给出了初等算子$[t_{ij}(ab),t_{ji}(c)]$的显式三重同余，其中$a,b,c$属于$R$的三个理想$A,B,C$.特别是，它提供了一个更清晰的对应的三个子群引理在理想的水平。我们得到了一些进一步的引人注目的推论，如交换子群$[E(n,I^r),E(n,I^s)]$的类属格的完全描述，多个基本换位子群之间的新包含等.
Polyhedral products, and relations in the commutator subgroup of a right-angled Coxeter group
本文给出了直角Coxeter群$RC_{\mathscr{K}}$的换位子群$RC_{\mathscr{K}}'$存在单关系表示的一个判别准则.也就是说，我们证明了$RC_{\mathscr{K}}'$是一个单关系群当且仅当$\mathscr{K}$是一个$p$ -圈与$p\geqslant4$或有形式（$p$ -圈）$*Δ^q$与$p\geqslant4$和$g\geqslant0$，其中$Δ^q$是一个$q$ -单形。
Centralizers of commutators in finite groups
设$G$是一个有限群。$G$中的互质换位子是可以被写为合适的$x,y\in G$的换位子$[x,y]$的任何元素，使得$π(x)\capπ(y)=\emptyset$。这里$π(g)$表示元素$g\in G$阶的素因子的集合。反互质交换子是可以被写为交换子$[x,y]$的元素，其中$π(x)=π(y)$。本文的主要结果如下。--若$|x^G|\leq n$当$x$是互质交换子时，则$G$有$n$ -有界指数的幂零子群. --若对每个反互质交换子$x\in G$有$|x^G|\leq n$，则$G$有一个幂零类至多为$4$的子群$H$，使得$[G : H]$和$|γ_4 (H)|$都是$n$ -有界的.我们还考虑了有限群，其中互质或反互质的中心化子，交换子是有界阶的。
Homomorphisms of commutator subgroups of braid groups with small number of strings
本文刻画任意股数辫子群 $B_n$ 及其换位子群 $B'_n$ 的自同态与相关同态，补足小股数情形，并对 $n=4$ 与 $n\ge5$ 使用不同方法。
Multilinear commutators in residually finite groups
设w是多线性交换子，n是正整数.设G是一个剩余有限群，其中每个至多896个w-值的乘积都有除n的阶.则动词子群w（G）是局部有限的。
Stable commutator length on big mapping class groups
研究了一类无限型曲面的映射类群上的稳定换位子长。特别是，我们证明了稳定的交换子长度定义了一个连续函数，这样的无限型映射类群的交换子群。进一步证明了换位子群是开子群和闭子群，并且在许多情况下交换子化是可交换生成的。我们的结果适用于许多流行的无限型表面与局部粗有界的映射类群。
Algebraic commutators with respect to subnormal subgroups in division rings
设$D$是一个除法环，$K$是$D$的一个子域，它不一定包含在$D$的中心$F$中。本文在$K$上的$D$的某些子集左代数性的条件下，研究了$D$的结构.其中，证明了若$D^*$包含一个非中心正规子群，且该子群是$d$有界度的$K$上的左代数子群，则$[D:F]\le d^2$ .在$K=F$情形下，所得结果表明：如果关于$D^*$的非中心次正规子群的所有加法算子或所有乘法算子是$F$上有界次数的代数$d$，则$[D:F]\le d^2$ .
Commutators in groups of order $p^7$
给出了阶为$p^7$，$p$素数的群$G$的一个刻画，其中$G$的换位子群$γ_2(G)$的元素并非都是$G$的交换子.在此过程中，我们获得了关于$p^7$阶群的几个结构结果。
Irreducible Bases and Subgroups of a Wreath Product in Applying to Diffeomorphism Groups acting on the Möbius Band
给出了循环群的置换圈积序列，研究了它的最小生成元集、换位子的最小生成元集以及它的换位子群的一些性质。本文加强了作者\cite{SkVC, SkMal, SkAr}的结果，构造了有限循环群与无限循环群的圈积和圈积的极小生成元集。由于考虑了环积为正则圈积和非正则环积（其中活动群$\mathcal{A}$可以不忠实地作用），推广了Meldrum关于圈积\cite{Meld}的换位子群的结果.也讨论了这类群的交换子及其极小生成集.并对这类产品的中心进行了调查。我们还研究了Mebius带$M$上Morse函数$f:M\to \mathbb{R}$关于其同态群$\mathcal{D}(M)$的右作用的基本轨道群.本文描述了$π_1 O(f)$群的精确代数结构。找到了函数${{π}_{1}}({{O}_{f}},f)$在稳定函数$f$和稳定函数$\partial M$的同胚群作用下的轨道群的生成元的极小集，Morse函数$f$具有一个鞍点的临界集.给出了限制环积与其交换子的商群，研究了限制圈积的交换子的通有集。这篇论文是继2019年\cite{SkArM, SkArM3}的Arxiv版本之后发表的，之前的标题是“Minimal generating set and structure of圈积of groups with non-faithful action，comutator subgrou…
On soluble groups in which commutators have prime power order
针对换位子阶均为素数幂的有限CPPO群，论文证明可解情形下其换位子子群G'的阶至多含两个素因子。
Commutator subgroups of Sylow 2-subgroups of alternating group and Miller-Moreno groups as bases of new Key Exchange Protocol
本文研究的目标是基于非交换群$G$的有效密钥交换方法。本文改进和推广了Ko等的\cite{kolee}的结果。给出了交错群的Sylow 2-子群的换位子群的最小生成集的大小，研究了交错群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的换位子群的结构，并将其应用于基于非交换群的密钥交换协议中.在Miller-Moreno型亚循环群（极小非阿贝尔群）的基础上考虑CDH问题\cite{gu2013new, bohli2006towards}的非交换推广.我们证明了这个群中的共轭问题是难处理的。由于通过模$n$使用了残基组，因此提供了计算的连续性。构造了两个子群相互交换的非交换群的公共密钥生成（设计）算法。
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