受限子群的交换子引理及其在作用于根树上的群中的应用
A commutator lemma for confined subgroups and applications to groups acting on rooted trees
AI总结：
本文证明受限子群的交换子引理，并据此刻画弱分支群的 URS 结构，进而证明有限生成分支群作用增长最小、嵌入强有界型同胚群必空间实现以及不嵌入 IET 群等结论。
摘要：
群 $G$ 的子群 $H$ 称为受限子群，如果在 $G$ 的子群空间 $\operatorname{Sub}(G)$ 中，$H$ 在共轭作用下的 $G$-轨道远离平凡子群。我们证明了受限子群的一个交换子引理。对于同胚群，这给出了正规子群经典交换子引理对受限子群（因此特别是对 URS）的精确类比：如果 $G$ 是 Hausdorff 空间 $X$ 的同胚群，且 $H$ 是 $G$ 的受限子群，则 $H$ 包含 $X$ 的某个开子集的刚性稳定化子的导子群。我们将该交换子引理应用于作用于根树上的群的情形。我们证明了一个定理，描述了弱分支群的 URS 及其非拓扑自由极小作用的结构。在这些结果的应用中，我们证明：1）如果 $G$ 是有限生成的分支群，则 $G$ 在 $\partial T$ 上的作用在所有忠实 $G$-作用中具有最小可能的增长；2）如果 $G$ 是有限生成的分支群，则从 $G$ 到强有界型同胚群（例如有界自动机群）的每个嵌入都必须是空间实现的；3）如果 $G$ 是有限生成的弱分支群，则 $G$ 不嵌入区间交换变换群 IET。
英文摘要：
A subgroup $H$ of a group $G$ is confined if the $G$-orbit of $H$ under conjugation is bounded away from the trivial subgroup in the space $\operatorname{Sub}(G)$ of subgroups of $G$. We prove a commutator lemma for confined subgroups. For groups of homeomorphisms, this provides the exact analogue for confined subgroups (hence in particular for URSs) of the classical commutator lemma for normal subgroups: if $G$ is a group of homeomorphisms of a Hausdorff space $X$ and $H$ is a confined subgroup of $G$, then $H$ contains the derived subgroup of the rigid stabilizer of some open subset of $X$. We apply this commutator lemma in the setting of groups acting on rooted trees. We prove a theorem describing the structure of URSs of weakly branch groups and of their non-topologically free minimal actions. Among the applications of these results, we show: 1) if $G$ is a finitely generated branch group, the $G$-action on $\partial T$ has the smallest possible growth among all faithful $G$-actions; 2) if $G$ is a finitely generated branch group, then every embedding from $G$ into a group of homeomorphisms of strongly bounded type (e.g. a bounded automaton group) must be spatially realized; 3) if $G$ is a finitely generated weakly branch group, then $G$ does not embed into the group IET of interval exchange transformations.
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