On commutator length in free groups
设$F$是一个自由群。对于任意$g\in\mathbb{N}$，我们提出了一个LogSpace（以及多项式时间）算法，该算法确定给定的$w\in F$是否是至多$g$乘法器的乘积;更一般地，我们提出了一个算法，该算法确定给定的$w\in F$的最小$g$，使得$w$可以被写为$g$乘法器的乘积（如果不存在这样的$g$，则返回$\infty$）。该算法还返回字$x_1,y_1,\dots,x_g,y_g$，使得$w=[x_1,y_1]\cdots[x_g,y_g]$。我们提出的算法在实践中也是有效的。使用它们，我们产生了第一个例子，一个字在自由群的交换子长度减少下采取平方。这在很强的意义上反驳了巴尔达科夫的一个猜想。
2021-11-02 math.GR
The stable commutator length of a relator is not a one-relator group invariant
Université de Genève（日内瓦大学）
该研究通过构造两个同构的单关系群，证明关系子的稳定换位子长度并非单关系群不变量，否定了Heuer与Löh提出的相关问题。
2026-08-25 math.GR
Stable commutator length in word-hyperbolic groups
本文获得了字双曲群和作用于双曲空间的某些群（即作用于曲线复形的映射类群和作用于Bass-Serre树的合并自由积）中稳定换位子长度的一致正下界。若G是一个关于对称生成集S为δ双曲的字双曲群，则存在一个仅依赖于δ和|S|的正常数C，使得G的每个元素或者有一个与其逆共轭的幂，或者稳定换位子长度至少等于C.由Bavard定理，这些稳定的换向器长度的下界意味着存在的拟同构与统一控制的缺陷，但是，我们展示了如何直接构建这样的拟同构。我们还证明了各种分离定理，建设齐次拟同构（再次统一估计），这是积极的一些规定的元素，而消失的一些家庭的独立元素的平移长度是一致有界的。最后证明了无挠字双曲群中稳定换位子长的第一聚点包含在1/12和1/2之间。这给出了双曲群中的共轭类具有小的稳定换位子长度的普遍意义，并且可以被认为是一种“同调马古利斯引理”。
2009-06-26 math.GR
Algebraic irrational stable commutator length in finitely presented groups
我们提供了第一个例子的一个random提出的（事实上，类型$F_\infty$）组的元素，其稳定的换向器长度是代数和不合理的，回答一个问题的Calegari。我们的例子是提升到\emph{golden ratio Thompson group} $T_τ$的实数线：作用于区间的克利里黄金比例汤普森群$F_τ$的圆形模拟。
2021-11-16 math.GR
Commutator length of powers in free products of groups
给定群$A$和$B$，不与自由因子的元素共轭的元素$g\in A*B$的2020次幂（例如）的最小换位子长度是多少？这个问题的详尽答案仍然是未知的，但我们可以给出一个几乎答案：这个最小值是两个数字之一（简单地取决于$A$和$B$）。还考虑了其他类似的问题。
2021-12-27 math.GR
Stable commutator length in subgroups of PL(I)
设G是PL（I）的子群.则[G，G]中每个元素的稳定换位子长度为零。
2006-08-16 math.DS math.GR
Stable commutator length on big mapping class groups
研究了一类无限型曲面的映射类群上的稳定换位子长。特别是，我们证明了稳定的交换子长度定义了一个连续函数，这样的无限型映射类群的交换子群。进一步证明了换位子群是开子群和闭子群，并且在许多情况下交换子化是可交换生成的。我们的结果适用于许多流行的无限型表面与局部粗有界的映射类群。
2022-06-09 math.GR math.GT
Stable commutator length in free products of cyclic groups
本文给出了计算循环群的自由积的稳定交换子长度的一个算法，该算法在输入长度、因子个数和有限因子的阶上都是多项式时间的.我们还描述了一些实验和理论应用该算法。
2013-04-23 math.GR math.GT
On upper bounds on stable commutator lengths in mapping class groups
给出了映射类群中Dehn扭的稳定交换子长度的新的上界和超椭圆映射类群中Dehn扭的稳定交换子长度的新的下界.特别地，我们证明了在亏格为2的定向闭曲面上，Dehn twists关于非分离曲线和分离曲线的稳定换位子长度是不相等的.
2011-06-03 math.GR math.GT
On stable commutator lengths of Dehn twists along separating curves
给出了定向闭曲面的映射类群中Dehn twist沿分离曲线的稳定换位子长度的新的上界。这些上界的估计是$O(1/g)$，其中$g$是曲面的亏格。
2016-06-28 math.GR math.GT
On stable commutator length in hyperelliptic mapping class groups
给出了超椭圆映射类群中Dehn扭的稳定换位子长度的一个新的上界，并确定了某些元素的稳定换位子长度。我们还计算了由ω-签名导出的齐次拟同构的值和亏损，并证明了当点数较少时，它们在点2-球面的映射类群中是线性无关的.
2012-12-26 math.GR math.GT
Stable Commutator Length in Amalgamated Free Products
我们证明了稳定的交换子长度是合理的自由积的自由阿尔贝群合并在$\mathbb{Z}^k$，一类群包含的基本群的所有环面结补。我们考虑这些群体的几何模型和参数化的所有表面指定的边界映射到这个空间。利用这些工作，我们提供了一个拓扑算法来计算稳定的交换子长度在这些群体。此外，我们使用的方法表明，在自由积的循环群的稳定的交换子长度的变化准合理的顺序的自由因素。
2014-05-12 math.GR math.GT
Stable commutator length is rational in free groups
对于任何群，在实（群）1-边界的向量空间B1上有一个自然（伪）范数，称为稳定交换子长度范数。这个范数与（普通）同调的格罗莫夫（伪）范数密切相关，并且可以被认为是它的相对版本。我们证明了对于一个自由群，这个伪范数的单位球是一个有理多面体。由此可见，自由群中的稳定换位子长度只取有理数。此外，自由群的换位子群的每个元素都有理性地界定曲面群的内射。这些事实的证明产生一个算法来计算稳定的交换子长度在自由群。使用该算法，我们以否定的方式回答了Bavard的一个著名问题，构造了稳定换位子长度不是半整数的自由群中元素的显式示例。
2009-03-14 math.GR math.GT
Commutator length of symplectomorphisms
群的换位子群的每个元素都可以表示为换位子的乘积。这种乘积中的最小因子数称为元素的换位子长度。一个群的换位子长被定义为它的换位子群的元素的换位子长的上确界。我们证明了对于某些闭辛流形，包括复射影空间和Grassmannian，流形的Hamilton辛同胚群的泛覆盖具有无穷大的换位子长.特别是，我们提出了明确的例子，在该组中的元素，有任意大的换向器长度-估计其换向器长度依赖于乘法结构的量子上同调的辛流形。用另一种方法证明了当流形的第一Chern类为零时，Hamilton辛同胚群的泛覆盖和所有辛同胚群的单位连通区的泛覆盖都具有无穷换位子长.
2003-08-05 math.DG math.GR math.GT
Nonsoluble Length Of Finite Groups with Commutators of Small Order
本文证明，当 p 为奇素数且多重线性换位子 w 的取值阶一致有界时，Sylow p-子群满足该条件的有限群的非-p-可解长度存在统一上界。
2015-01-12 math.GR
Stable commutator length of a Dehn twist
证明了映射类群中Dehn扭的稳定换位子长度为正，且关于非分离简单闭曲线的Dehn扭的10次方是两个换位子的乘积.作为应用，给出了德恩捻增长率是线性增长的新证明。
2003-07-09 math.GR math.GT
Stable commutator length on mapping class groups
设$Γ$是闭可定向曲面$Σ$的映射类群$MCG(Σ)$的有限指数子群，可能具有穿孔。利用Nielsen-Thurston分解给出了元素$g\inΓ$具有正稳定交换子长度的精确条件.此外，我们表明，在这些情况下，稳定的换向器长度，如果非零，是一致有界远离0。该方法适用于某些子群的无穷指数，以及我们证明了$scl$是一致正的非平凡元素的Torelli群。证明使用了我们在“Constructing group actions on quasi-trees and applications to映射类群“of群作用on quasi-trees中的早期构造。
2013-06-11 math.GR math.GT
On the commutator length of compact Lie groups
本文证明紧李群导出子群的单位连通分支仅由换位子组成，并应用此结果于交换性分类空间的同伦型研究。
2023-09-05 math.AT math.GR
On stable commutator length of non-filling curves in surfaces
本文用新方法证明了曲面群中非填充曲线及更一般非填充 1-链的稳定交换子长度具有有理值，并证明其极值曲面存在。
2023-11-15 math.GR math.GT
Concordance group and stable commutator length in braid groups
我们定义了一个从辫群到结的和谐群的拟同态，并研究了它的性质和存在的后果。特别地，我们给出了和谐群中稳定的四球亏格与辫群中稳定的换位子长度之间的关系，并给出了具有一致有界的四球亏格的和谐类纽结的无限族的例子.我们还提供了无限辫群几何的应用。特别地，我们证明了它的换位子群存在一个稳定无界的共轭不变范数。这回答了Burago，Ivanov和Polterovich提出的一个开放问题。
2014-08-21 math.GR math.GT
Involution and Commutator Length in PU(n,1)
School of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学数学学院）
本文证明复双曲等距群 PU(n,1)（n≥2）的对合长度为 4，且每个元素均为单换位子，验证了 Djoković 猜想 A。
2026-09-17 math.GR
Groups with finitely many long commutators of maximal order
本文研究仅含有限多个极大阶长交换子的群，证明剩余有限群含有限指数子群使$\gamma_\ell(M)=1$，有限生成时$\gamma_\ell(G)$有限；还给出$r$-生成群中$\gamma_\ell(G)$阶数和子群指数的有界性条件。
2025-04-14 math.GR
Mixed commutator lengths, wreath products and general ranks
本文对群$G$及其正规子群$N$的对$(G,N)$，研究了混合换位子群$[G,N]$上的混合换位子长$\mathrm{cl}_{G,N}$.我们专注于圈积产品的设置：$ (G,N)=(\mathbb{Z}\wr Γ, \bigoplus_Γ\mathbb{Z})$。然后，我们确定混合交换子长度的一般秩的意义下的Malcev。作为副产品，当阿贝尔群$Γ$不是局部循环的时，对于上述对，普通换位子长度$\mathrm{cl}_G$与$[G,N]$上的$\mathrm{cl}_{G,N}$不一致。另一方面，我们证明了如果$Γ$是局部循环的，那么对于每一对$(G,N)$使得$1\to N\to G\to Γ\to 1$是精确的，$\mathrm{cl}_{G}$和$\mathrm{cl}_{G,N}$在$[G,N]$上重合。我们还研究了置换圈积的情况下，当组$Γ$属于某一类有关的曲面群。
2023-01-11 math.GR math.GT
On closed leaves of foliations, multisections and stable commutator lengths
我们给出的例子叶理，回答了两个问题所提出的Mitsumatsu和Vogt的属最小化性质的闭叶的2维叶理4流形。通过研究某些稳定映射类群中的稳定换位子长，我们还回答了他们关于曲面丛中多截自相交数的界的另一个问题的渐近形式.
2011-05-23 math.AT math.GR math.GT
Surface groups, infinite generating sets, and stable commutator length
给出了D. Calegari的一个定理，即曲面群关于位于任意多个映射类群轨道上的生成元集的Cayley图具有无穷大直径。例如，这适用于由所有简单闭曲线组成的生成组。
2019-03-19 math.GR math.GT
Length and stable length
本文证明了双曲流形上稳定长度谱的缺口的存在性。若M是双曲n-流形，对每个正的e，有一个仅依赖于n和e的正的d，使得pi_1（M）中稳定换位子长度小于d的元素可用长度小于e的测地线表示.此外，对于任何这样的M，共轭类上稳定交换子长度的第一聚点至少是1/12。相反，双曲三维流形中的“大多数”短测地线具有任意小的稳定换位子长度。因此，稳定的换位子长度通常很好地检测M的厚-薄分解，并且1/12可以被认为是一种同调的马古利斯常数。
2007-06-06 math.GR math.GT
Profinite isomorphisms, stable commutator length, and fixed point properties
本文通过构造Grothendieck对，证明稳定交换子长度、准同态等不是有限群不变量，并结合Rips构造与Dehn填充方法进行研究。
2026-10-16 math.GR math.GT
Isometric endomorphisms of free groups
群之间的任意同态对于稳定换位子长度是不增的，而自由群之间存在无穷多个（内射）同态严格地减少了某些元素的稳定换位子长度.然而，在本文中，我们表明，自由群之间的随机同态几乎肯定是一个等距稳定的交换子长度的每个元素，特别是，单位球的scl规范的自由群承认大量的外来等距。使用类似的方法，我们证明了一个自由群中的随机胖图是极值（即相对格罗莫夫范数的绝对极小），它的边界;这意味着，例如，一个自由群的随机元的换向器长度最多为n的换向器长度正好为n和稳定的换向器长度正好为n-1/2。我们的方法也让我们构建明确的（和可计算的）准同构证明这些事实。
2011-10-27 math.GR math.GT
Coarse geometry of stable mixed commutator length I: duality and functional analysis on chains
Hokkaido University（北海道大学）；Osaka Dental University（大阪齿科大学）；Kanazawa University（金泽大学）；Shinshu University（信州大学）；Tohoku University（东北大学）
本文研究了稳定混合交换子长度与普通稳定交换子长度之间的双利普希茨等价性问题，通过分析与不变拟同态相关的实线性空间W(G,N)的消失性，建立了泛函分析和链空间完成的理论框架。
2026-05-19 math.FA math.GR math.MG
Bavard's duality theorem for mixed commutator length
设$N$是群$G$的正规子群。$N$上的拟同构$f$是$G$不变的，如果对每个$x \in N$和每个$g \in G$都有$f(gxg^{-1}) = f(x)$.本文的目的是建立$G$ -不变拟同构的Bavard对偶定理，这是Kawasaki和Kimura在$N = [G,N]$的情况下证明的。我们的对偶定理提供了$G$ -不变拟同构和$(G,N)$ -换位子长度之间的联系.这里对于$x \in [G,N]$，$x$的$(G,N)$ -换向器长度$\mathrm{cl}_{G,N}(x)$是最小数$n$，使得$x$是被写为$[g,x]$的$n$换向器与$g \in G$和$h \in N$的乘积。在证明中，我们给出了$(G,N)$ -换位子长度的几何解释。作为Bavard对偶的应用，我们得到了$(G,N)$对上$\mathrm{scl}_G$与$\mathrm{scl}_{G,N}$在$[G,N]$上双Lipschitzly等价的一个充分条件.
2022-03-22 math.AT math.GR math.GT
Commutator-central maps, brace blocks, and {H}opf-{G}alois structures on {G}alois extensions
设$G$是一个非交换群。我们展示了如何收集兼容的自同态$ψ_i:G\to G$，使$ψ_i([G,G])\le Z(G)$的所有$i$允许我们构建一个家庭的双斜括号称为括号块。我们将这种结构与其他支撑块结构，并解释我们的结果在伽罗瓦扩展的霍普夫伽罗瓦结构。我们特别考虑的情况下，$G$是幂零类2，我们提供了几个例子，包括找到最大的支撑块包含组的四元数。
2022-06-15 math.GR math.NT math.RA
Simplicial volume of one-relator groups and stable commutator length
一个单关系者群是一个允许具有单个关系$r$的表示$\langle S \mid r \rangle$的群$G_r$。单关系子群在几何群论中形成了一类丰富的经典研究群。如果$r \in F(S)'$是$F(S)$的换位子群，则引入$\| G_r \|$的单纯体积。我们把这个不变量与元素$r \in F(S)$的稳定换位子长度$\textrm{scl}_S(r)$联系起来。我们表明，经常（但不总是）的线性关系$\| G_r \| = 4 \cdot \textrm{scl}_S(r) - 2$举行，每一个有理数模$1$是一个单关系组的单纯体积。此外，我们表明，这种关系保持适当的权力和满足小取消条件$C'(1/N)$的元素，与$O(1/N)$的乘法误差。这使我们能够证明随机元素的$F(S)'$的长度$n$的$\| G_r \|$是$2 \log(2 |S| - 1)/3 \cdot n / \log(n) + o(n/\log(n))$具有很高的概率，使用类似的结果Calegari-Walker稳定的换向器长度。
2021-04-20 math.GR math.GT
Stable commutator length in right-angled Artin and Coxeter groups
建立了直角Artin群中整链的稳定换位子长度的谱隙。我们表明，这种差距是不均匀的，即有RAAGs和积分链与SCL任意接近零。我们确定的大小，这个差距的乘法常数的定义图的相反的路径长度。该结果与已知的RAAG中元件的均匀间隙1/2形成鲜明对比。我们证明了直角Coxeter群的一个类似结果。在本文的第二部分中，我们涉及到某些积分链RAAGs的分数稳定数的图。这有几个后果：首先，我们证明了每一个有理数q>=1都是某个RAAG中整链的稳定换位子长。其次，我们证明了计算RAAGs中元素和链的scl是NP难的。最后，我们将自由群中随机元的scl分布与随机图的分数稳定数分布联系起来。我们证明了我们所有的结果在一般的设置图产品。特别是所有上述结果保持逐字直角Coxeter组。
2022-08-10 math.GR math.GT
Signatures of surface bundles and stable commutator lengths of Dehn twists
本文的第一个目的是给出四类非零特征曲面上的曲面丛的例子。第一个示例是基本亏格2、规定的签名、0-部分和纤维亏格大于某个数字，该数字取决于签名。这提供了一个新的上界的最小基亏格固定签名和纤维亏格。第二个定理在纤维亏格为奇数的情况下给出了这个数的一个新的渐近上界。第三种是小欧拉示性数。最后是一个非全纯的例子。第二个目的是通过将Dehn扭的幂分解为交换子的乘积来改进Dehn扭的稳定交换子长度的上界。其中的一个因子分解被用来构造曲面丛的第二个例子。作为推论，当曲面的亏格大于或等于8时，在映射类群中与在超椭圆映射类群中沿非分离曲线的Dehn扭的稳定交换子长度之间存在着差距.
2018-04-05 math.GR math.GT math.SG
Survey on invariant quasimorphisms and stable mixed commutator length
本文综述不变拟态射与稳定混合交换子长度的理论及进展，涵盖实例、Bavard 对偶、Aut-不变情形、不可延拓空间维数和部分拟态射延拓。
2024-01-28 math.GR math.GT math.SG
Stable commutator length in Baumslag-Solitar groups and quasimorphisms for tree actions
本文分为两部分，关于Baumslag-Solitar群和一般G-树。在第一部分中，我们建立了Baumslag-Solitar群中稳定交换子长度（scl）的界。对于某类元素，我们进一步证明了scl是可计算的，并且取有理数值。我们还确定正是这些元素承认极值曲面。在第二部分中，我们建立了任意群的合适元作用于树的scl的一个泛下界为1/12。这是通过构造有效的拟同构来实现的。在群BS（2，3）中的计算表明，这是最好的可能的泛界，从而回答了Calegari和Fujiwara的一个问题。我们还建立了acyllinobutter树行动的scl界限。回到Baumslag-Solitar群，我们证明了它们的scl谱有一个均匀的间隙：没有元素有scl在区间（0，1/12）。
2014-07-14 math.GR math.GT
Stable W-length
本文研究了群的稳定W-长度，特别是当W等于n重交换子gamma_n：=[x_1，[x_2，. . . [ x_{n-1}，x_n]]。. . ].证明了在任何完满群中，对任意n ≥ 2和任意元素g，g的稳定换位子长度至少是g的稳定gamma_n-长度的2^{2-n}倍.我们还建立了字gamma_n和beta_2：=[[x，y]，[z，w]]的Bavard对偶的类似物。我们的证明利用了关于双不变度量的动词子群的渐近锥面的几何性质。特别是，我们表明，适当的W，这些渐近锥面包含一定的子群，赋范向量空间。
2011-03-28 math.GR
Ideals and Solvability in Skew Braces
University of Cagliari（卡利亚里大学）；Middle East Technical University（中东技术大学）
研究有限斜括号乘法群幂零性对其理想结构和可解性的影响，证明相关结论，探讨双边斜括号可解性，得出有限双边斜括号可解性与加或乘法群可解性的关系及无限情况下的相关结论。
2026-07-23 math.GR
On Quasi-homomorphisms and Commutators in the Special Linear Group over a Euclidean Ring
证明了对任意n ≥ 6的欧氏环R，Gamma=SL_n（R）不存在无界拟同态.根据Bavard的对偶定理，这意味着稳定的交换子长度在Gamma上为零。这个结果对于R = F[x]对于某个域F（例如复数的域C）特别有趣，因为在这种情况下，Gamma上的换位子长度是无界的。这回答了M. Abért和N. Monod，n至少为6。
2010-02-16 math.GR math.GT
Fine projection complex and subsurface homeomorphisms with positive stable commutator length
受[BBF15]启发，构造一族无界拟树，使得连通闭可定向曲面$S_g$（亏格$g\geq 2$）的同胚群$ \mathrm{Homeo}_0(S_g)$通过等距作用在其上有界轨道，并证明保持非零星本质子曲面或同胚于一次边界环面的本质子曲面的某些曲面同胚在$ \mathrm{Homeo}_0(S_g)$中具有正稳定换位子长度，同时给出无需有限性条件的投影复形版本。
2026-05-22 math.DS math.GR math.GT
Minimal generating set of Sylow 2-subgroups commutator subgroup of alternating group. Commutator width in Sylow $p$-subgroups of alternating, symmetric groups and in the wreath product of groups
给出了交错群的Sylow 2-子群的换位子的最小生成集的大小，证明了有限循环群序列的置换圈积的换位子宽度为1，并研究了它的换位子群的一些性质.结果表明，$(Syl_2 A_{2^k})^2 = Syl'_2 (A_{2^k}), \, k>2$ .给出了交替群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的一种新的表示方法。从而得到了交错群${A_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群、置换群${S_{2^{k}}}$和$Syl_2 A_{p^k}$（$Syl_2 S_{p^k}$）的Sylow $p$ -子群的交换子宽度等于1的简短证明.研究了置换圈积$B \wr C_n$的换向器宽度。证明了循环群$C_{p_i}, \, p_i\in \mathbb{N} $的圈积的换位子的任意元素的换位子长度等于1。给出了循环群的圈积的正极限的换位子宽度，作为推论，证明了对称$S_{p^{k}}$的Sylows $p$ -子群$Syl_2(S_{p^{k}})$和交错群$A_{p^{k}}$ $p \geq 2$的换位子宽度也等于1.给出了$A_{2^{k}}$的Sylows $2$ -子群$Syl_2(A_{2^{k}})$的递归表示.研究了对称群和交错群的Sylows $2$ -交换子的结构.对于任意的$B$群，给出了$C_p \wr B$的换位子宽度的上界。
2020-01-07 math.GR
On the derived length of Dyer groups
Institute of Mathematics, University of Münster（明斯特大学数学研究所）
本文通过分析Dyer图的性质，描述了拟完美Dyer群的导出长度特征。
2025-12-18 math.GR
Stable reflection length in Coxeter groups
本文在Coxeter群中引入稳定反射长度以研究反射长度的渐近行为，建立其与稳定换位子长度和稳定挠长度的联系，并完整刻画了反射长度在幂次上无界的元素。
2025-03-31 math.GR
Generators and commutators in finite groups; abstract quotients of compact groups
设N是有限群G的正规子群.本文证明了在一定的（不可避免的）条件下，子群[N，G]是长度为d（G）和|Y|的函数所限定的算子[N，y]的乘积.这有几个应用：1.关于G^n在任意有限生成的投射有限群G中闭（因而开）的一个新证明2.一个紧Hausdorff群的一个生成的抽象商必须是有限的。3.设G是拓扑生成的紧Hausdorff群.则G有可数无穷抽象商当且仅当G有无穷虚阿贝尔连续商。
2011-12-13 math.GR
Conjugacy growth of commutators
对于$r>1$生成元上的自由群$F_r$（分别是两个非平凡有限群$G_1$和$G_2$的自由积$G_1 * G_2$），我们得到了在一个固定的自由生成元集合（分别是由$G_2$和$G_1$的非平凡元素所给出的生成元集合）中，$F_r$（分别是$G_1 * G_2$）中具有给定字长的共轭类数的渐近性.我们的结果被证明使用的分类的自由群和自由积的Wicks，并建立在Rivin和Sharp的工作，谁渐近计数共轭类的$F_r$与给定的字长的分解子群元素。
2019-02-11 math.CO math.DS math.GR
Word Measures on Unitary Groups
我们将随机矩阵理论和自由概率的概念与群中的换位子长度理论和曲面映射的思想相结合，并在两者之间建立了新的联系。更具体地说，我们研究了单式群$U(n)$上自由词诱导的测量。$r$生成器上自由组$F_r$中的每个词$w$确定从$U(n)^r$到$U(n)$的词映射，由替换定义。$U(n)$上的$w$-测度被定义为通过$U(n)^r$上的Haar测度的这个词映射的前推。令$Tr_w(n)$表示根据$w$-测度从$U(n)$采样的随机酉矩阵的期望迹。Voiculescu [Voic 91 ']表明，对于$w \ne 1$，该预期迹线在$n$中是渐进的$o(n)$。我们将数$Tr_w(n)$与换位子字长理论联系起来，得到一个更强的命题：$Tr_w(n)=O(n^{1-2g})$，其中$g$是$w$的换位子长度。此外，我们分析了数$\lim_{n\to\infty}n^{2g-1} \cdot Tr_w(n)$，并表明它是一个整数，粗略地说，计数的数量（等价类）的方程$[u_1,v_1]...[u_g,v_g]=w$与$u_i,v_i \in F_r$。类似的结果得到有限集的话，他们的换向器长度，我们推断，一个人可以“听到”稳定的换向器长度的一个字“听”其单一的措施。
2016-02-01 math.GR math.GT
Quasimorphisms and laws
稳定的交换子长度在任何服从定律的群中为零。
2010-01-11 math.GR
Orientable and non-orientable genus $n$ Wicks forms over hyperbolic groups
在1962年M.J.威克斯给出了一个精确的描述形式的一个换向器可以采取一个自由群或一个自由积，并在1973年扩大这一描述，以涵盖产品的两个平方。随后，Culler、Vdogs和其他作者发现了自由群和自由积中的任意积的“Wicks形式”列表。在这里，我们构造Wicks形式的产品的双曲群的平方和。作为应用程序，我们给出了明确的列表形式的一个换向器和一个广场，并找到界限的长度共轭元素所需的表达一个二次元组的元素的双曲组作为一个威克斯形式。
2015-09-24 math.GR
The full spectrum of scl on recursively presented groups
我们证明了递归群上稳定换位子长度的集合$SCL^{rp}$等于非负右可计算数的集合。因此，所有非负代数数或可计算数都在$SCL^{rp}$中，并且$SCL^{rp}$在减法下不闭合。我们还证明了每个非负实数都是某个无穷表示的小消去群中元素的稳定换位子长。
2019-09-03 math.GR math.GT
Uniform perfectness for Interval Exchange Transformations with or without Flips
设$\mathcal G$为所有间隔交换转换的组。Arnoux-Fathi（[Arn 81 b]），Sah（[Sah 81]）和Vorobets（[Vor 17]）的结果表明，$\mathcal G_0$是$\mathcal G$的分解子所生成的子群，它是简单的. Arnoux在[Arn 81 b]中证明了所有带翻转的区间交换变换的群$\overline{\mathcal G}$是单的。我们建立了$\overline{\mathcal G}$的每个元素的交换子长度不超过$6$。此外，我们给出的条件$\mathcal G$，保证$\mathcal G_0$的元素的换向器长度是一致有界的，在这种情况下，对于任何$g\in \mathcal G_0$这个长度是最多$5$。由于类似的论点工作的对合长度在$\overline{\mathcal G}$，我们增加了一个附录，其目的是证明每个元素的$\overline{\mathcal G}$有一个对合长度不超过$12$。
2021-09-16 math.DS math.GR
Analysis of a certain polycyclic-group-based cryptosystem
我们研究的Anshel-Anshel-Goldfeld换向器密钥建立协议使用某些多环组的安全性。我们发现，尽管基于长度的攻击的成功率低，该协议可以被打破的确定性多项式时间算法。
2015-04-20 math.GR
Genus bounds in right-angled Artin groups
证明了在任意定义图的色数为$k$的直角Artin群中，每个非平凡元的稳定交换子长度至少为$1/(6k)$ .其次，如果定义图中不含三角形，则每个非平凡元素至少有$1/20$稳定的交换子长度。这些结果是通过一个基本的几何参数的基础上早期的工作卡勒。
2018-03-08 math.GR math.GT
Bicyclic commutator quotients with one non-elementary component
对任意具有非初等3类群Cl（3，K）= C（3 ^e）x C（3），e ≥ 2的数域K，K在其非分歧循环三次扩张Li，1 ≤ i ≤ 4中的穿孔投降型kappa（K）是S3 x S3作用下的轨道.利用Artin互反律，将算术不变量kappa（K）转化为K的第二类Hilbert 3-类域的自同构群G2 = Gal（F（3，2，K）/K）的删余转移核kappa（G2）.对具有低阶双圈交换子商G/G' = C（3 ^e）x C（3），2 <= e <= 6的有限3-群G，根据代数不变式kappa（G）的分类，给出了虚二次数域K的Hilbert 3-类域塔F（3，infty，K）的长度的结论.
2021-08-22 math.GR math.NT
Invariant quasimorphisms for groups acting on the circle and non-equivalence of SCL
我们构造了作用在圆上的群的不变拟同构。此外，我们提供了一个标准的不可扩展的拟同构和一个明确的公式，我们的拟同构的值的庞加莱平移数。利用它们，我们证明了对于亏格至少为$2$的面群$G=π_1(Σ_{\ell})$及其换位子群$N = [π_1(Σ_{\ell}), π_1(Σ_{\ell})]$，稳定换位子长$\mathrm{scl}_G$与稳定混合换位子长$\mathrm{scl}_{G,N}$不是双Lipschitz等价的.我们还证明了一对$(G,N)$的不等价性，使得$G$是一个$3$维闭双曲映射环面的基本群。这些对用作这种$(G,N)$的第一族示例，其中$G$是并行生成的。
2023-02-07 math.GR math.GT
