On one-sided interval edge colorings of biregular bipartite graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。如果图$x$的谱是区间图，则称图$G$的正常边$t$ -染色是点$x$的区间图.如果对任意的$x\in R_0$，$φ$是$x$中的区间，则称图$G$的正常边$t$ -染色$φ$是$G$的顶点子集$R_0$上的区间.我们称$G$的顶点子集$R$具有$i$ -性质，如果存在$R$上的区间$G$的真边$t$ -染色.若$G$是一个图，且其顶点的子集$R$具有$i$ -性质，则$R$上的$G$区间的$t$ -染色为真边的$t$的最小值记为$w_R(G)$ .本文对某些二部图，在$R$与图的一部分的所有顶点的集合重合的情况下，估计了这个参数的值。
2012-05-01 cs.DM math.CO
Strong edge coloring of subcubic bipartite graphs
图$G$的强边染色是每一个色类都是$G$的导出匹配的真边染色. 1993年Brualdi和Quinn Massey提出了一个猜想，即不含$4$ -圈且两个部集$2$和$Δ$的度最大的二部图存在至多$Δ+2$色的强边染色.我们证明了这个猜想对具有$Δ=3$的图成立。我们还证实了Faudree等人提出的关于次立方二部图的猜想。
2013-12-06 math.CO
An on-line competitive algorithm for coloring bipartite graphs without long induced paths
二部图着色的在线竞争算法的存在性仍然是一个诱人的开放问题。对于以某些小的禁止图为导出子图的二部图，迄今为止只有部分肯定的结果。针对无$P_9$的二部图，提出了一种新的在线竞争着色算法。
2015-02-03 cs.DS math.CO
Equitable coloring of large bipartite graphs
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究二部图均衡色数的上界，证明当最大度足够大且顶点数至少为41/2倍最大度时，均衡色数不超过⌈Δ/2⌉+1，并给出O(|V|^2)时间算法。
2026-06-29 cs.DM math.CO
On Acyclic Edge-Coloring of Complete Bipartite Graphs
图的无圈边染色是指不含双色圈的正常边染色。图$G$的无圈色指数，记为$a'(G)$，是使得$G$允许用$k$颜色进行无圈边染色的最小整数。设$Δ= Δ(G)$表示图$G$中顶点的最大度。每边都有$n$顶点的完全二部图记为$K_{n,n}$。Basavaraju，Kumran和Kummini证明了当$n$是奇数时，$a'(K_{n,n}) \ge n+2 = Δ+ 2$是奇数。Basavaraju和Rumran使用$p+2$颜色给出了$K_{p,p}$的非循环边着色，从而当$p$是奇素数时建立了$a'(K_{p,p}) = p+2 = Δ+ 2$。他们的方法中的主要工具是完美的$1$-$K_{p,p}$的因子分解。最近，Venkateswarlu和Sarkar遵循他们的方法证明了$K_{2p-1,2p-1}$允许使用$2p+1$颜色的非循环边着色，这意味着$a'(K_{2p-1,2p-1}) = 2p+1 = Δ+ 2$，其中$p$是奇素数。在本文中，我们推广了这种方法，并提出了一个一般的框架，可能得到一个非循环边着色的$K_{n,n}$，具有一个完美的$1$ -因子分解使用$n+2 = Δ+2$颜色。在这个一般的框架中，我们表明，$K_{p^2,p^2}$承认一个非循环边着色使用$p^2+2$颜色，从而建立$a'(K_{p^2,p^2}) = p^2+2 = Δ+ 2$时，$p\g…
2015-03-11 cs.DM math.CO
On List k-Coloring Convex Bipartite Graphs
列表k-着色（Li k-Col）是一个判定问题，它询问给定的图是否允许一个与给定的列表分配相容的适当着色，其顶点的颜色在{1，2，. k}。已知该问题是NP-困难的，即使对于k=3的3-正则平面二部图类和对于k=4的弦二部图类。2015年，Huang，Johnson和Paulusma在弦二部图类中要求Li 3-Col的复杂性。在本文中，我们给出了一个部分的答案，这个问题表明，李k-Col是多项式的凸二部图类。我们首先证明了双凸二部图允许多链序，扩展了Enright，Stewart和Tardos（2014）的多项式算法可以应用于该问题的图类。本文提出了一个求解凸二部图类中李k-圈的动态规划算法。最后，我们展示了如何修改我们的算法，以解决更一般的李H-Col问题的凸二部图。
2020-02-07 cs.CC cs.DM math.CO
A note on one-sided interval edge colorings of bipartite graphs
对于由$X$和$Y$组成的二部图$G$，$X$ -区间染色是指$G$的整数真边染色，使得与$X$中任意顶点关联的边上的颜色形成区间.用$χ'_{int}(G,X)$表示最小$k$，使得$G$具有带$k$颜色的$X$ -区间着色。作者和托夫特证明[离散数学339（2016），2628--2639]存在多项式$P(x)$，使得如果$G$在至多$Δ$处具有最大次数，则$χ'_{int}(G,X) \leq P(Δ)$。在这个简短的说明中，我们证明了这个猜想;事实上，我们证明了一个三次多项式就足够了。对于最大度较小的二部图，我们也给出了$χ'_{int}(G,X)$的一些改进的上界。
2021-06-26 math.CO
Vertex-Coloring Edge-Weighting of Bipartite Graphs with Two Edge Weights
设$G$是一个图，$\mathcal {S}$是$Z$的一个子集. $G$的顶点着色$\mathcal {S}$ -边加权是由$\mathcal {S}$的元素向$G$的每条边分配权重$s$，使得相邻顶点具有不同的关联边权重和。证明了每个3-连通二部图都有一个点着色$\{1,2\}$ -边加权（Lu，Yu and Zhang，（2011）\cite{LYZ}）.本文证明了如下结果：如果一个具有最小度$δ$的3-边连通二部图$G$包含一个点$u\in V(G)$，使得$d_G(u)=δ$和$G-u$连通，则$G$允许$\mathcal {S}\in \{\{0,1\},\{1,2\}\}$的点着色$\mathcal {S}$ -边权.特别地，我们证明了每一个2-连通和3-边连通的二部图都允许$\mathcal {S}\in \{\{0,1\},\{1,2\}\}$的点着色$\mathcal {S}$ -边加权。由于存在一类2-连通且不允许点着色$\{1,2\}$ -边权或点着色$\{0,1\}$ -边权的无限二部图，所以该界是尖锐的.
2013-07-07 math.CO
Kempe equivalence of almost bipartite graphs
本文研究几乎二部图的Kempe等价性问题，提出相关猜想并证明若干部分结果，同时指出该猜想后被Cranston和Feghali证明在一般情况下不成立。
2023-07-06 cs.DM math.CO
Coloring bipartite graphs with semi-small list size
本研究针对二部图非对称列表着色问题，通过固定完全二部图一部列表规模研究渐近行为，发现决定可选性的关键不变量，结合超图独立集问题改进列表规模为2时的界，并提出统一已有三个猜想的一般二部图猜想。
2023-08-13 math.CO
Examples of cyclically-interval non-colorable bipartite graphs
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对于任何$t\in \mathbb{N}$，令$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，令$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$构造了不属于类$\mathfrak{M}$的二部图的例子。
2013-05-29 cs.DM math.CO
Unavoidable patterns in $2$-colorings of the complete bipartite graph
该研究确定了完全二部图$K_{n,n}$2-边着色中的不可避免模式，证明了阈值$z_2$的存在并给出其上界与部分紧性结果，定义了二部$r$-调性、二部全调性及二部平衡数，刻画了二部$r$-调图并得到路径和星图的精确二部平衡数。
2024-07-11 math.CO
FirstFit coloring process of random bipartite graphs and an online coloring lower bound in the random order model
Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术大学）
该研究针对随机二分图的FirstFit着色过程，证明其在随机顺序模型下对二分图的颜色需求为n^Ω(1)，反驳了相关多对数期望颜色数的猜想，强化了FirstFit在低色数图上的不良表现结论。
2026-10-14 cs.DM cs.DS math.CO
Strong Edge-Coloring of Cubic Bipartite Graphs: A Counterexample
图$G$的强边着色$φ$为$G$的边分配颜色，使得每当$e_1$和$e_2$的距离不大于1时，$φ(e_1)\ne φ(e_2)$。它等价于$G$的线图的正方形的一个适当的点染色。1990年Faudree，Schelp，Gyárfás，and Tuza证明了：如果$G$是一个最大度为3且围长足够大的二部图，则$G$有最多5种颜色的强边染色。在2021年，这个猜想被卢扎尔、马恰约娃、什科维耶拉和索塔克推翻。在这里，我们给出了一个替代的建设，以反驳猜想。
2022-05-26 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Torpid Mixing of Local Markov Chains on 3-Colorings of the Discrete Torus
本文研究离散环面$T_{L,d}={0,..., L-1}^d$的3-着色抽样的局部马尔可夫链。证明了存在一个常数$ρ\approx .22$，使得对于所有足够大的偶数$L \geq 4$和$d$，某些局部马尔可夫链需要指数时间才能收敛到平衡点.更准确地说，如果$\cM$是$T_{L,d}$的真3-着色集上的马尔可夫链，在每一步更新至多$ρL^d$顶点的颜色，并且其平稳分布是均匀的，则$\cM$在$L^{d-1}$中收敛到平稳性是指数的。我们的证明是基于电导参数，建立在敏感的新组合枚举技术。
2012-06-14 cs.DM math.CO
Coloring Random Non-Uniform Bipartite Hypergraphs
设$H_{n,(p_m)_{m=2,\ldots,M}}$是维数为$M$且顶点为$2n$的随机非均匀超图，其中顶点被分成两个大小为$n$的不相交集合，并被两种不同的颜色着色.每个大小为$m=2,\ldots,M$的非单色边缘以概率$p_m$独立地相加。我们证明了如果$p_2,\ldots,p_M$是这样的，在超图中的预期的边缘数至少是$dn\ln n$，对于一些$d>0$足够大，那么概率$(1-o(1))$，可以找到一个适当的2-染色的$H_{n,(p_m)_{m=2,\ldots,M}}$在多项式时间。给出了超图2-着色的一个多项式时间算法，并讨论了非均匀超图$k$ -着色方法的推广。
2015-11-17 math.CO
Switching 3-edge-colorings of cubic graphs
一个三次图的色指数是3或4。边-Kempe转换，它可以用来转换边染色，在这里考虑的3-边染色的三次图。计算结果的边Kempe开关的三次图的顺序高达30和二部三次图的顺序高达36制成表格。给出了具有$2^n$边-Kempe等价类的阶为$4n+2$和$4n+4$的三次图族，证明了不存在具有更多边-Kempe等价类的三次图.另外还得到了一类新的具有一个边Kempe等价类的非平面二部三次图。边Kempe切换进一步连接到Steiner三元系的循环切换，其中建立的分类算法的改进。
2021-05-04 cs.DM math.CO
Total Dominator Total Chromatic Numbers of Wheels, Complete bipartite graphs and Complete graphs
图的全支配全染色是指图的全染色使得图的每个对象与某个颜色类的每个对象相邻或关联。图的全控制全染色的色类的最小个数称为图的全控制全色数色数。在这里，我们将求出轮图、完全二部图和完全图的全支配色数。
2020-02-26 math.CO
Defective incidence coloring of graphs
定义了图的$d$ -亏损关联色数，推广了关联色数的概念，并确定了树、完全二部图、完全图和外平面图的关联色数.给出了构造这些图的最优$d$ -亏损关联着色的快速算法。
2022-02-08 cs.DM math.CO
List 3-Coloring on Comb-Convex and Caterpillar-Convex Bipartite Graphs
针对梳状凸二部图上列表3着色复杂度的开放问题，提出了求解其超类毛虫凸二部图列表3着色的多项式时间算法，同时给出该类图的多项式时间识别算法。
2023-12-13 cs.DS math.CO
Cooperative colorings of trees and of bipartite graphs
给定一个图的系统$(G_1, \ldots ,G_m)$，其顶点集$V$是相同的，合作着色是顶点集$I_1, \ldots ,I_m$的选择，使得$I_j$在$G_j$和$\bigcup_{j=1}^{m}I_j = V$中是独立的。对于一类图的$\mathcal{G}$，设$m_{\mathcal{G}}(d)$是最小$m$，使得从具有最大度$d$的$\mathcal{G}$得到的每个$m$图都有合作着色.本文证明了$Ω(\log\log d) \le m_\mathcal{T}(d) \le O(\log d)$和$Ω(\log d)\le m_\mathcal{B}(d) \le O(d/\log d)$，其中$\mathcal{T}$是树类，$\mathcal{B}$是二部图类。
2020-01-23 math.CO
The strong equitable vertex 2-arboricity of complete bipartite and tripartite graphs
图$G$的$(q,r)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是最大度至多为$r.$的森林图$G$的\emph{equitable $(q, r)$-tree-coloring}是$(q,r)$ -树着色使得任何两个颜色类的大小至多相差1。设\emph{strong equitable vertex $r$-arboricity}是最小$p$，使得$G$对每个$q\geq p.$都有一个公平的$(q, r)$ -树着色。本文给出了每个$va^\equiv_2(K_{m,n})$和$va^\equiv_2(K_{l,m,n}).$的精确值
2015-06-12 math.CO
Sampling Colorings and Independent Sets of Random Regular Bipartite Graphs in the Non-Uniqueness Region
对于自旋系统，例如$q$着色和独立集模型，在所谓的非唯一性区域中近似配分函数，其中模型表现出长程相关性，对于有界度图通常在计算上是困难的。我们提出了新的算法的结果，近似的分区函数和抽样的吉布斯分布的自旋系统的非唯一性区域的随机规则二分图。本文给出了几乎所有$Δ$ -正则二部图上偶$q=O\big(\tfracΔ{\logΔ}\big)$的$q$ -染色的一个$\mathsf{FPRAS}$.这是在唯一性区域中的一般图的采样算法的因子$O(\logΔ)$内，并且在Jenssen、Keevash和Perkins（SODA'19）的$q=O\big(\tfrac{\sqrtΔ}{(\logΔ)^2}\big)$的先前最佳界上显著改进。类似地，对于$λ>0$加权的独立集上的硬核模型，我们提出了一个$\mathsf{FPRAS}$来估计当$λ=Ω\big(\tfrac{\logΔ}Δ\big)$时的配分函数，它通过一个$Ω(\log Δ)$因子改进了以前的结果。我们的着色和硬核模型的结果遵循适用于任意自旋系统的一般结果。我们的主要贡献是展示如何提升概率/分析边界上的边缘概率的典型结构的阶段随机二分规则图到有效的算法，使用聚合物的方法。我们进一步证明，我们的结果着色是在一个恒定的因素，最好的使用目前的聚合物方法的方法。
2021-05-04 cs.DM cs.DS math.CO
Coloring Problems on Bipartite Graphs of Small Diameter
本文研究了直径有界的二部图的一些着色问题。首先，我们研究了直径至多为$d$的二部图上的$k$ -列表着色、列表$k$ -着色和$k$ -预着色扩展问题，证明了在大多数情况下是NP-完全的，并且当$d=3$时，只留下列表$3$ -着色和$3$ -预着色扩展问题。其中一些结果是通过证明满射$C_6$ -同态问题在直径不超过4的二部图上是NP-完全的而得到的。虽然后一个结果已经被证明[Vikas，2017]，我们提出了一个更简单的替代方案。作为副产品，我们还得到了$3$ -Biclique划分是NP完全的。[Fleischner，Mujuni，Paulusma，and Szeider，2009]中提出了证明这个结果的尝试，但是他们的证明中有一个缺陷，我们在这里识别和讨论。最后，我们证明了直径不超过4的二部图上的$3$ -Fall着色问题是NP-完全的，并且证明了直径为3的NP-完全性也意味着直径为3的$3$ -预着色扩张的NP-完全性，从而封闭了前面提到的开放情况.这也将回答[Kratochvíl，Tuza，and Voigt，2002]中提出的一个问题。
2021-04-28 cs.CC cs.DS math.CO
Wild number for spanning trees in complete and complete bipartite graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Villanova University（维拉诺瓦大学）；San Diego State University（圣地亚哥州立大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
该文研究完全图与完全二部图的野生数，确定均衡2-着色、最小真着色下的野生数范围与精确值，推导结构条件并分析贪心算法，还将结果应用于图笛卡尔积以得到相关下界。
2026-10-16 math.CO
List colorings with distinct list sizes, the case of complete bipartite graphs
设$f:V \rightarrow \mathbb{N}$是图$G=(V,E)$的顶点集上的函数。图$G$是{ \em $f$ -choosable}，如果对于具有由$f$指定的列表大小的列表的每个集合，存在使用来自列表的颜色的适当着色。总和选择数$χ_{sc}(G)$是所有函数$f$上的$\sum f(v)$的最小值，使得$G$是$f$可选择的。已知（Alon 1993，2000），如果$G$具有平均度$d$，则通常的选择数$χ_\ell(G)$至少为$Ω(\log d)$，因此它们同时增长。本文证明了当最小度$χ_{sc}(G)/|V(G)|$.我们的主要工具是给出不平衡完全二部图$K_{a,q}$的和选择数的紧估计。
2011-11-01 math.CO
Extremal bipartite independence number and balanced coloring
本文研究二分图极值问题，得到两个算法性的最优（差2倍内）结果：大平均度二分图的平衡独立集大小下界，以及最大度有界平衡二分图的平衡着色划分数上界，分别改进了已有定理。
2023-05-22 math.CO
The proper conflict-free $k$-coloring problem and the odd $k$-coloring problem are NP-complete on bipartite graphs
本文研究了图的正常着色问题，证明了对于任意整数 $k\geq3$，PCF $k$-Coloring 和 Odd $k$-Coloring 问题在二部图上均为 NP 完全的，且 PCF $4$-Coloring 问题在平面图上也是 NP 完全的。
2022-08-17 cs.CC math.CO
Bipartite graphs whose squares are not chromatic-choosable
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_{\ell}(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_{\ell} (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。受列表全着色猜想的启发，Kostochka和Woodall（2001）提出了列表平方着色猜想，该猜想指出$G^2$对每个图$G$都是色可选择的。最近，Kim和Park证明了列表平方着色猜想一般不成立，他们找到了一个图族，其平方是完全多部图，其部集的大小是无界的。对于特殊的二部图类，如果列表平方着色猜想成立，则列表全着色猜想成立。另一方面，列表平方着色猜想的反例不是二部图。因此，一个自然的问题是，$G^2$是否是色选择或不是每一个二部图$G$。本文给出了一个二部图$G$，使得$χ_{\ell} (G^2) \neq χ(G^2)$ .此外，我们还证明了$χ_{\ell}(G^2) - χ(G^2)$的值可以任意大。
2014-05-07 math.CO
Signed bipartite circular cliques and a bipartite analogue of Grötzsch's theorem
符号图的循环染色是一个新的概念，它同时推广了图的循环染色和符号图的$0$ -free染色的概念。符号图$(G, σ)$的圆形$r$ -着色是将圆周$r$的圆的点$r\geq 2$分配给$G$的顶点，使得由正边连接的顶点的圆形距离至少为$1$，并且由负边连接的顶点的圆形距离至多为$\frac{r}{2}-1$。所有$(G, σ)$容许圆$r$ -着色的$r$的下确界称为$(G, σ)$的圆色数，记为$χ_c(G, σ)$。对于任意有理数$r=\frac{p}{q}$，给出了对应于边符号保持同态和切换同态的两个循环团的概念。它还表明，限制的循环色数的研究，一类的签署二部简单的图已经捕获的循环色数的研究，通过基本的图形操作，即使每个签署二部图的循环色数是有界以上的$4$。在这项工作中，我们考虑限制的循环色数，这类签署的图和构造签署的二部循环集团就这两个概念的同态。然后，我们提出了重新制定的$4$ -颜色定理和Grötzsch定理。作为Grötzsch定理的一个二部类比，我们证明了每一个负围长至少为$6$的带符号二部平面图的圆色数至多为$3$ .
2021-09-26 math.CO
On two-coloring bipartite uniform hypergraphs
本文研究固定阶 $k$-一致二部超图的二部划分构造，证明在所有 $n$ 顶点二部 $k$-图上可平均以 $O(n^k)$ 时间完成，并给出两种证明。
2025-05-14 math.CO
A Connected Version of the Graph Coloring Game
图着色游戏是一个两人游戏，其中，给定图G和一组k种颜色，两个玩家Alice和Bob轮流对G的未着色顶点进行适当着色，Alice采取第一步行动。爱丽丝赢得游戏当且仅当G的所有顶点最终都着色。然后定义图G的博弈色数为Alice在G上进行k种颜色的图着色博弈时具有获胜策略的最小整数k。在本文中，我们介绍和研究了一个新的版本的图着色游戏，要求，在每个玩家的回合后，由一组着色顶点诱导的子图是连通的。图G的连通对策色数是指Alice在G上进行k种颜色的连通图着色对策时，能使Alice获胜的最小整数k。证明了每一个外平面图的连通对策色数至多为5，并且存在连通对策色数为4的外平面图。此外，我们证明了对于每个整数k $\ge$ 3，存在二部图，其中Bob在每个二部图上赢得了k种颜色的连通着色游戏，而Alice在每个二部图上赢得了两种颜色的连通着色游戏。
2020-03-16 cs.DM math.CO
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
Indian Institute of Technology (ISM), Dhanbad（印度理工学院（ISMT））
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
2026-08-13 cs.DM math.CO
The strong chromatic index of $(3,Δ)$-bipartite graphs
图$G=(V,E)$的强边染色是将图的边集$E$划分为诱导匹配。研究了一部分最大度至多为$3$，另一部分最大度为$Δ$的二部图.我们证明了每一个这样的图有一个强边染色使用最多$3 Δ$颜色。我们的结果证实了Brualdi和Quinn Massey ~ \cite{[BQ]}关于这类二部图的一个猜想。
2018-06-19 math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
On the parameter $μ_{21}$ of a complete bipartite graph
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。假设图$G$的所有边在角色不对称分布的Alice和Bob博弈中都是着色的。Alice确定$G$的未来正确边着色中的颜色数$t$，并期望最小化其中具有区间谱的顶点的数量。Bob用$t$颜色对$G$的边进行着色，并期望最大化该数量。$μ_{21}(G)$等于在博弈结束时具有区间谱的$G$的顶点数，假设双方都选择了他们的最佳策略。本文对任意正整数$m$和$n$，求出了参数$μ_{21}(K_{m,n})$的精确值.
2012-05-01 cs.DM math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Some Results on Cyclic Interval Edge Colorings of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边都被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$是连续的，则称图$G$的一个正常边着色为\emph{cyclic interval $t$-coloring}.证明了具有偶最大度$Δ(G)\geq 4$的二部图$G$允许循环区间$Δ(G)$ -染色，如果对每个顶点$v$，度$d_G(v)$满足$d_G(v)\geq Δ(G)-2$或$d_G(v)\leq 2$ .我们还证明了每一个最大度至多为$8$的欧拉二部图$G$都有循环区间染色。对于$(a,b)$ -双正则图，即一部分顶点的度均为$a$，另一部分顶点的度均为$b$的二部图，得到了一些结果，并证明了它们都有循环区间着色.我们证明了所有的$(4,7)$ -双正则图以及所有的$(2r-2,2r)$ -双正则（$r\geq 2$）图都有循环区间着色。最后，我们证明了所有完全多部图承认循环区间着色，这解决了肯定的，一个猜想的Petrosyan和Mkhitaryan。
2017-03-29 math.CO
Conflict-free chromatic index of bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文证明了双色图无冲突色数不超过3，验证了Kamyczura等人关于无孤立顶点双色图的猜想。
2026-04-27 math.CO
Winding number and circular 4-coloring of signed graphs
本文构造两类具有 2k²-k+1 个顶点、最短负环长 2k 且循环色数为 4 的符号二部图，并以此给出广义 Mycielski 图循环色数为 4 的初等证明。
2024-03-01 cs.DM math.CO
Edge-colorings of $K_{m,n}$ which Forbid Multicolored Cycles
边着色图中的一个子图是多色的，如果它的所有边都有不同的颜色.本文研究了完全二部图$K_{m,n}$的不允许多色圈的正常边染色。主要证明了：（1）对任意整数$k\geq 2$，若有$n\geq 5k-6$，则任意正$n$ -边着色的$K_{k,n}$包含一个多色$C_{2k}$;（2）确定了禁止多色$C_6$的正边着色完全二部图的阶.
2014-06-30 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Coloring, sparseness, and girth
一个$r$扩充树是一个有根树加上从每个叶子到祖先添加的$r$边。对于$d,g,r\in\mathbb{N}$，我们构造了一棵围长至少为$g$的二分$r$ -增广完全$d$ -二叉树.这种树的高度必须以极快的速度增长。利用所得到的图，我们构造了稀疏的非$k$ -可选的二部图，证明了最大平均度至多为$2(k-1)$是二部图中$k$ -可选的一个尖锐的充分条件，即使在要求大围长的情况下也是如此.我们还给出了具有任意围长$g$的非$k$ -可着色图和超图的一个新的简单构造.
2015-04-30 math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Uniquely restricted matchings and edge colorings
如果没有其他匹配覆盖完全相同的顶点集，则图中的匹配是唯一受限的。这个概念是由Golumbic，赫斯特和Lewenstein定义的，并在许多文章中进行了研究。我们的贡献是双重的。本文给出了计算某些二部图的最大尺寸唯一限制匹配的近似算法。特别是，我们实现了$9/5$的比率为亚立方二部图，改进了Mishra提出的$2$近似算法。此外，我们还研究了图的唯一限制色指数，定义为图的边集可划分的唯一限制匹配的最小数目。我们提供了严格的上界的最大程度和特征的极值图。我们的建设性证明产生了有效的算法来确定相应的边缘着色。
2016-11-21 cs.DM cs.DS math.CO
The $k$-proper index of complete bipartite and complete multipartite graphs
设$G$是一个具有边着色$c:E(G)\rightarrow\{1,2,\dots,t\}$，$t\in\mathbb{N}$的$n$阶非平凡连通图，其中相邻的边可以用相同的颜色着色. $G$中的树$T$是一棵\emph{proper tree}，如果它的两个相邻边没有被指定相同的颜色。设$k$是一个固定整数，其中有$2\leq k\leq n$。对于顶点子集$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，如果树连接$G$中的$S$，则称为\emph{$S$-tree}。$G$的一个\emph{$k$-proper coloring}是$G$的一个边着色，它具有这样的性质：对于$G$的$k$顶点的每一个集合$S$，在$G$中存在一个适当的$S$树$T$。$k$中所需的最小颜色数-$G$的适当着色被定义为$G$的\emph{$k$-proper index}，由$px_k(G)$表示。本文确定了所有完全二部图和完全多部图的3-真指数，并部分地确定了它们对于$k\geq 4$的$k$ -真指数。
2016-12-06 math.CO
Vertex-Coloring 2-Edge-Weighting of Graphs
图$G$的$k$ -{ \it edge-weighting} $w$是将整数权重$w(e)\in \{1,\dots, k\}$分配给每个边$e$。通过为每个$u \in V(G)$定义$c(u)=\sum_{u\sim e} w(e)$，边加权自然地诱导顶点着色$c$。图$G$的$k$ -边加权是\emph{vertex-coloring}，如果诱导着色$c$是适当的，即，$c(u) \neq c(v)$用于任何边$uv \in E(G)$。给定一个图$G$和一个顶点着色$c_0$，是否存在一个边权使得导出的顶点着色是$c_0$？我们研究这个问题，考虑边加权定义的阿贝尔群。证明了每个3-可着色图都有一个点着色$3$ -边权\cite{KLT} .是否每个2-可着色图（即，二部图）允许顶点着色2-边加权吗？得到了图是点着色2-边赋权图的几个简单的充分条件。特别地，我们证明了3-连通二部图允许顶点着色2-边加权。
2010-07-12 math.CO
A Note on the Equitable Choosability of Complete Bipartite Graphs
2003年，Kostochka、Pelsmajer和West提出了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。图$G$的$k$分配$L$将$k$可用颜色的列表$L(v)$分配给每个$v \in V(G)$，并且$G$的公平$L$着色是$G$的适当着色$f$，使得每个$v \in V(G)$和$f$的每个颜色类的$f(v) \in L(v)$具有至多$\lceil |V(G)|/k \rceil$的大小.图$G$被称为是公平$k$ -可选择的，如果当$L$是$G$的$k$ -赋值时，存在$G$的公平$L$ -着色.本文研究完全二部图的公平可选性。Kostochka、Pelsmajer和West的结果表明，如果$k \geq \max \{n,m\}$提供了$K_{n,m} \neq K_{2l+1, 2l+1}$，则$K_{n,m}$是公平的$k$可选择的。我们证明了$K_{n,m}$是公平$k$ -可选择的，如果给出$K_{n,m}$的$m \leq \left\lceil (m+n)/k \right \rceil(k-n)$对于满足$k < \max \{n,m\}$的某些$k$是公平$k$ -可选择的.我们还给出了完全二部图的公平可选择性的一个完整的特征，有一个部集的大小至多为2。
2019-01-10 math.CO
A Note on the DP-Chromatic Number of Complete Bipartite Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。图$G$的列表色数$χ_\ell(G)$的几个已知界也适用于$G$的DP-色数$χ_{DP}(G)$ .另一方面，DP-色数有几个性质表明它与列表色数不同。在本文中，我们展示了一个这样的性质。众所周知，$χ_\ell (K_{k,t}) = k+1$当且仅当$t \geq k^k$。我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) = k+1$如果$t \geq 1 + (k^k/k!)(\log(k!)+1)$，我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) < k+1$如果$t < k^k/k!$。
2018-03-24 math.CO
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
2019-05-28 math.CO
On Star Coloring of Splitting Graphs
本文研究了星的着色问题。在一般情况下，问题是NP完全的。建立了完全二部图完全二部图的分裂图的星色数，以及路和圈的分裂图的星色数。我们的证明是建设性的，所以他们导致适当的星着色的图正在考虑中。
2017-05-25 math.CO
Sidorenko's conjecture, colorings and independent sets
令$\hom(H,G)$表示从图$H$到图$G$的同态的数目。Sidorenko猜想断言，对于任何二分图$H$和图$G$，我们有$$\hom(H,G)\geq v(G)^{v(H)}\left(\frac{\hom(K_2,G)}{v(G)^2}\right)^{e(H)},$$，其中$v(H),v(G)$和$e(H),e(G)$分别表示图$H$和$G$的顶点和边的数目。本文对某些特殊图$G$证明了Sidorenko猜想：对$q$顶点上的完全图$K_q$，对$K_2$的一个端点上加了一个环，对$3$顶点上的一条路的每个顶点上加了一个环.这些情形对应于图$H$的计数着色、独立集和Widom-Rowlinson着色。例如，对于一个二分图$H$，$q$ -着色数$\textrm{ch}(H,q)$满足$$\textrm{ch}(H,q)\geq q^{v(H)}\left(\frac{q-1}{q}\right)^{e(H)}.$$事实上，我们将证明在后两种情况下（独立集和Widom-Rowlinson着色），图$H$不需要是二分的。在所有情况下，我们首先证明了一定的相关不等式，这意味着Sidorenko猜想在一个更强的形式。
2017-02-02 math.CO
b-coloring is NP-hard on co-bipartite graphs and polytime solvable on tree-cographs
本文研究了稳定性数为2的图的b-chromatic number，通过无增广路径的匹配刻画其b-coloring，证明了co-bipartite graph上该问题是NP-complete的，并给出了tree-cographs上的多项式时间动态规划求解算法。
2014-01-10 cs.CC cs.DM math.CO
