Unavoidable patterns in $2$-colorings of the complete bipartite graph
该研究确定了完全二部图$K_{n,n}$2-边着色中的不可避免模式，证明了阈值$z_2$的存在并给出其上界与部分紧性结果，定义了二部$r$-调性、二部全调性及二部平衡数，刻画了二部$r$-调图并得到路径和星图的精确二部平衡数。
2024-07-11 math.CO
An on-line competitive algorithm for coloring bipartite graphs without long induced paths
二部图着色的在线竞争算法的存在性仍然是一个诱人的开放问题。对于以某些小的禁止图为导出子图的二部图，迄今为止只有部分肯定的结果。针对无$P_9$的二部图，提出了一种新的在线竞争着色算法。
2015-02-03 cs.DS math.CO
Strong Edge-Coloring of Cubic Bipartite Graphs: A Counterexample
图$G$的强边着色$φ$为$G$的边分配颜色，使得每当$e_1$和$e_2$的距离不大于1时，$φ(e_1)\ne φ(e_2)$。它等价于$G$的线图的正方形的一个适当的点染色。1990年Faudree，Schelp，Gyárfás，and Tuza证明了：如果$G$是一个最大度为3且围长足够大的二部图，则$G$有最多5种颜色的强边染色。在2021年，这个猜想被卢扎尔、马恰约娃、什科维耶拉和索塔克推翻。在这里，我们给出了一个替代的建设，以反驳猜想。
2022-05-26 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Coloring Random Non-Uniform Bipartite Hypergraphs
设$H_{n,(p_m)_{m=2,\ldots,M}}$是维数为$M$且顶点为$2n$的随机非均匀超图，其中顶点被分成两个大小为$n$的不相交集合，并被两种不同的颜色着色.每个大小为$m=2,\ldots,M$的非单色边缘以概率$p_m$独立地相加。我们证明了如果$p_2,\ldots,p_M$是这样的，在超图中的预期的边缘数至少是$dn\ln n$，对于一些$d>0$足够大，那么概率$(1-o(1))$，可以找到一个适当的2-染色的$H_{n,(p_m)_{m=2,\ldots,M}}$在多项式时间。给出了超图2-着色的一个多项式时间算法，并讨论了非均匀超图$k$ -着色方法的推广。
2015-11-17 math.CO
Total Dominator Total Chromatic Numbers of Wheels, Complete bipartite graphs and Complete graphs
图的全支配全染色是指图的全染色使得图的每个对象与某个颜色类的每个对象相邻或关联。图的全控制全染色的色类的最小个数称为图的全控制全色数色数。在这里，我们将求出轮图、完全二部图和完全图的全支配色数。
2020-02-26 math.CO
The strong equitable vertex 2-arboricity of complete bipartite and tripartite graphs
图$G$的$(q,r)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是最大度至多为$r.$的森林图$G$的\emph{equitable $(q, r)$-tree-coloring}是$(q,r)$ -树着色使得任何两个颜色类的大小至多相差1。设\emph{strong equitable vertex $r$-arboricity}是最小$p$，使得$G$对每个$q\geq p.$都有一个公平的$(q, r)$ -树着色。本文给出了每个$va^\equiv_2(K_{m,n})$和$va^\equiv_2(K_{l,m,n}).$的精确值
2015-06-12 math.CO
Wild number for spanning trees in complete and complete bipartite graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Villanova University（维拉诺瓦大学）；San Diego State University（圣地亚哥州立大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
该文研究完全图与完全二部图的野生数，确定均衡2-着色、最小真着色下的野生数范围与精确值，推导结构条件并分析贪心算法，还将结果应用于图笛卡尔积以得到相关下界。
2026-10-16 math.CO
On interval edge-colorings of bipartite graphs of small order
如果使用所有颜色，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成整数区间，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的边染色是区间$t$ -染色。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.判定一个二部图是否是区间可着色的问题是NP-完全的。区间不可着色二部图的最小已知例子有$19$顶点。另一方面，已知在至多$14$顶点上的二部图是区间可着色的。在这项工作中，我们观察到几类小阶二部图具有区间着色。特别地，我们证明了所有在$15$顶点上的二部图都是区间可着色的。
2015-08-12 cs.DM math.CO
List colorings with distinct list sizes, the case of complete bipartite graphs
设$f:V \rightarrow \mathbb{N}$是图$G=(V,E)$的顶点集上的函数。图$G$是{ \em $f$ -choosable}，如果对于具有由$f$指定的列表大小的列表的每个集合，存在使用来自列表的颜色的适当着色。总和选择数$χ_{sc}(G)$是所有函数$f$上的$\sum f(v)$的最小值，使得$G$是$f$可选择的。已知（Alon 1993，2000），如果$G$具有平均度$d$，则通常的选择数$χ_\ell(G)$至少为$Ω(\log d)$，因此它们同时增长。本文证明了当最小度$χ_{sc}(G)/|V(G)|$.我们的主要工具是给出不平衡完全二部图$K_{a,q}$的和选择数的紧估计。
2011-11-01 math.CO
Extremal bipartite independence number and balanced coloring
本文研究二分图极值问题，得到两个算法性的最优（差2倍内）结果：大平均度二分图的平衡独立集大小下界，以及最大度有界平衡二分图的平衡着色划分数上界，分别改进了已有定理。
2023-05-22 math.CO
Bipartite graphs whose squares are not chromatic-choosable
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_{\ell}(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_{\ell} (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。受列表全着色猜想的启发，Kostochka和Woodall（2001）提出了列表平方着色猜想，该猜想指出$G^2$对每个图$G$都是色可选择的。最近，Kim和Park证明了列表平方着色猜想一般不成立，他们找到了一个图族，其平方是完全多部图，其部集的大小是无界的。对于特殊的二部图类，如果列表平方着色猜想成立，则列表全着色猜想成立。另一方面，列表平方着色猜想的反例不是二部图。因此，一个自然的问题是，$G^2$是否是色选择或不是每一个二部图$G$。本文给出了一个二部图$G$，使得$χ_{\ell} (G^2) \neq χ(G^2)$ .此外，我们还证明了$χ_{\ell}(G^2) - χ(G^2)$的值可以任意大。
2014-05-07 math.CO
Cooperative colorings of hypergraphs
本文研究超图类的合作着色问题，证明四类k一致圈与路的合作色数恰为二，并给出k部k一致超图合作色数的上下界。
2024-08-07 math.CO
Signed bipartite circular cliques and a bipartite analogue of Grötzsch's theorem
符号图的循环染色是一个新的概念，它同时推广了图的循环染色和符号图的$0$ -free染色的概念。符号图$(G, σ)$的圆形$r$ -着色是将圆周$r$的圆的点$r\geq 2$分配给$G$的顶点，使得由正边连接的顶点的圆形距离至少为$1$，并且由负边连接的顶点的圆形距离至多为$\frac{r}{2}-1$。所有$(G, σ)$容许圆$r$ -着色的$r$的下确界称为$(G, σ)$的圆色数，记为$χ_c(G, σ)$。对于任意有理数$r=\frac{p}{q}$，给出了对应于边符号保持同态和切换同态的两个循环团的概念。它还表明，限制的循环色数的研究，一类的签署二部简单的图已经捕获的循环色数的研究，通过基本的图形操作，即使每个签署二部图的循环色数是有界以上的$4$。在这项工作中，我们考虑限制的循环色数，这类签署的图和构造签署的二部循环集团就这两个概念的同态。然后，我们提出了重新制定的$4$ -颜色定理和Grötzsch定理。作为Grötzsch定理的一个二部类比，我们证明了每一个负围长至少为$6$的带符号二部平面图的圆色数至多为$3$ .
2021-09-26 math.CO
On two-coloring bipartite uniform hypergraphs
本文研究固定阶 $k$-一致二部超图的二部划分构造，证明在所有 $n$ 顶点二部 $k$-图上可平均以 $O(n^k)$ 时间完成，并给出两种证明。
2025-05-14 math.CO
Strong edge-coloring of $(3, Δ)$-bipartite graphs
图$G$的强边染色是指图的边的颜色分配使得每个颜色类都诱导一个匹配。我们在这里集中在二部图的一部分是最大程度的最多$3$和其他部分是最大程度的$Δ$。对每一个这样的图，我们证明了强$4Δ$ -边染色总是可以得到的。这个结果与Steger和Yu的一个结果一起证实了Faudree，Gyárfás，Schelp和Tuza关于这类图的一个猜想.
2015-08-18 cs.DM math.CO
The strong chromatic index of $(3,Δ)$-bipartite graphs
图$G=(V,E)$的强边染色是将图的边集$E$划分为诱导匹配。研究了一部分最大度至多为$3$，另一部分最大度为$Δ$的二部图.我们证明了每一个这样的图有一个强边染色使用最多$3 Δ$颜色。我们的结果证实了Brualdi和Quinn Massey ~ \cite{[BQ]}关于这类二部图的一个猜想。
2018-06-19 math.CO
Interval colorings of complete bipartite graphs and trees
从俄语翻译的工作R.R. Kamalian“Interval colorings of complete bipartite graphs and trees”，Preprint of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenia，Yerevan，1989。(Was亚美尼亚苏维埃社会主义共和国科学院计算中心学术委员会和埃里温国立大学决定于1989年9月7日公布）。
2013-08-12 cs.DM math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Some Results on Cyclic Interval Edge Colorings of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边都被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$是连续的，则称图$G$的一个正常边着色为\emph{cyclic interval $t$-coloring}.证明了具有偶最大度$Δ(G)\geq 4$的二部图$G$允许循环区间$Δ(G)$ -染色，如果对每个顶点$v$，度$d_G(v)$满足$d_G(v)\geq Δ(G)-2$或$d_G(v)\leq 2$ .我们还证明了每一个最大度至多为$8$的欧拉二部图$G$都有循环区间染色。对于$(a,b)$ -双正则图，即一部分顶点的度均为$a$，另一部分顶点的度均为$b$的二部图，得到了一些结果，并证明了它们都有循环区间着色.我们证明了所有的$(4,7)$ -双正则图以及所有的$(2r-2,2r)$ -双正则（$r\geq 2$）图都有循环区间着色。最后，我们证明了所有完全多部图承认循环区间着色，这解决了肯定的，一个猜想的Petrosyan和Mkhitaryan。
2017-03-29 math.CO
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
2013-01-18 cs.DM math.CO
A Markov chain on the solution space of edge-colorings of bipartite graphs
本文利用解空间的某些性质，证明了二部图的边$k$ -染色上的不可约马尔可夫链$M$。我们证明了这个马尔可夫链的直径与图中的边数线性增长。我们还证明了一个多项式上界的接受率的倒数的Metropolis-Hastings算法时，该算法应用于$M$与所有可能的边$k$均匀分布的$G$着色。我们的结果的一个特殊情况是拉丁矩形的可能完成的解空间。
2021-03-22 cs.DM math.CO
Conflict-free chromatic index of bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文证明了双色图无冲突色数不超过3，验证了Kamyczura等人关于无孤立顶点双色图的猜想。
2026-04-27 math.CO
List 3-Coloring on Comb-Convex and Caterpillar-Convex Bipartite Graphs
针对梳状凸二部图上列表3着色复杂度的开放问题，提出了求解其超类毛虫凸二部图列表3着色的多项式时间算法，同时给出该类图的多项式时间识别算法。
2023-12-13 cs.DS math.CO
Edge-colorings of $K_{m,n}$ which Forbid Multicolored Cycles
边着色图中的一个子图是多色的，如果它的所有边都有不同的颜色.本文研究了完全二部图$K_{m,n}$的不允许多色圈的正常边染色。主要证明了：（1）对任意整数$k\geq 2$，若有$n\geq 5k-6$，则任意正$n$ -边着色的$K_{k,n}$包含一个多色$C_{2k}$;（2）确定了禁止多色$C_6$的正边着色完全二部图的阶.
2014-06-30 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Coloring graphs with forbidden bipartite subgraphs
Alon，Krivelevich和Sudakov的一个猜想指出，对于任何图$F$，存在一个常数$c_F > 0$使得如果$G$是一个最大度$Δ$的无$F$图，则有$χ(G) \leq c_F Δ/ \logΔ$ . Alon、Krivelevich和Sudakov对一类包含所有二分图的图$F$验证了这个猜想。此外，从Davies、Kang、Pirot和Sereni最近的工作可以得出，如果$G$不含$K_{t,t}$，则$χ(G) \leq (t + o(1)) Δ/ \logΔ$为$Δ\to \infty$。我们改进了这个绑定到$(1+o(1)) Δ/\log Δ$，使常数因子独立于$t$。我们进一步将我们的结果扩展到DP着色设置（也称为对应着色），由Dvotelák和Postle介绍。
2022-01-21 cs.DM math.CO
Coloring, sparseness, and girth
一个$r$扩充树是一个有根树加上从每个叶子到祖先添加的$r$边。对于$d,g,r\in\mathbb{N}$，我们构造了一棵围长至少为$g$的二分$r$ -增广完全$d$ -二叉树.这种树的高度必须以极快的速度增长。利用所得到的图，我们构造了稀疏的非$k$ -可选的二部图，证明了最大平均度至多为$2(k-1)$是二部图中$k$ -可选的一个尖锐的充分条件，即使在要求大围长的情况下也是如此.我们还给出了具有任意围长$g$的非$k$ -可着色图和超图的一个新的简单构造.
2015-04-30 math.CO
On sum edge-coloring of regular, bipartite and split graphs
一个自然数图$G$的边染色称为和边染色，如果与$G$的任一顶点关联的边的颜色是不同的，并且$G$的边的颜色之和是最小的.图$G$的边色和是图$G$的和边色中边的颜色之和。已知求$r$ -正则（$r\geq 3$）图的边色和问题是$NP$ -完全的.本文对$r\geq 3$的$r$ -正则图的边色和问题给出了一个多项式时间的$(1+\frac{2r}{(r+1)^{2}})$ -近似算法。另外，我们还知道求最大度为3的二部图的边色和问题是$NP$ -完全的。我们发现，即使对于最大度为3的某些受限的二部图类，该问题仍然是$NP$ -完全的。最后，我们给出了一些分裂图的边色和的上界。
2012-11-22 cs.DM math.CO
The $k$-proper index of complete bipartite and complete multipartite graphs
设$G$是一个具有边着色$c:E(G)\rightarrow\{1,2,\dots,t\}$，$t\in\mathbb{N}$的$n$阶非平凡连通图，其中相邻的边可以用相同的颜色着色. $G$中的树$T$是一棵\emph{proper tree}，如果它的两个相邻边没有被指定相同的颜色。设$k$是一个固定整数，其中有$2\leq k\leq n$。对于顶点子集$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，如果树连接$G$中的$S$，则称为\emph{$S$-tree}。$G$的一个\emph{$k$-proper coloring}是$G$的一个边着色，它具有这样的性质：对于$G$的$k$顶点的每一个集合$S$，在$G$中存在一个适当的$S$树$T$。$k$中所需的最小颜色数-$G$的适当着色被定义为$G$的\emph{$k$-proper index}，由$px_k(G)$表示。本文确定了所有完全二部图和完全多部图的3-真指数，并部分地确定了它们对于$k\geq 4$的$k$ -真指数。
2016-12-06 math.CO
The proper conflict-free $k$-coloring problem and the odd $k$-coloring problem are NP-complete on bipartite graphs
本文研究了图的正常着色问题，证明了对于任意整数 $k\geq3$，PCF $k$-Coloring 和 Odd $k$-Coloring 问题在二部图上均为 NP 完全的，且 PCF $4$-Coloring 问题在平面图上也是 NP 完全的。
2022-08-17 cs.CC math.CO
Vertex-Coloring 2-Edge-Weighting of Graphs
图$G$的$k$ -{ \it edge-weighting} $w$是将整数权重$w(e)\in \{1,\dots, k\}$分配给每个边$e$。通过为每个$u \in V(G)$定义$c(u)=\sum_{u\sim e} w(e)$，边加权自然地诱导顶点着色$c$。图$G$的$k$ -边加权是\emph{vertex-coloring}，如果诱导着色$c$是适当的，即，$c(u) \neq c(v)$用于任何边$uv \in E(G)$。给定一个图$G$和一个顶点着色$c_0$，是否存在一个边权使得导出的顶点着色是$c_0$？我们研究这个问题，考虑边加权定义的阿贝尔群。证明了每个3-可着色图都有一个点着色$3$ -边权\cite{KLT} .是否每个2-可着色图（即，二部图）允许顶点着色2-边加权吗？得到了图是点着色2-边赋权图的几个简单的充分条件。特别地，我们证明了3-连通二部图允许顶点着色2-边加权。
2010-07-12 math.CO
A Note on the Equitable Choosability of Complete Bipartite Graphs
2003年，Kostochka、Pelsmajer和West提出了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。图$G$的$k$分配$L$将$k$可用颜色的列表$L(v)$分配给每个$v \in V(G)$，并且$G$的公平$L$着色是$G$的适当着色$f$，使得每个$v \in V(G)$和$f$的每个颜色类的$f(v) \in L(v)$具有至多$\lceil |V(G)|/k \rceil$的大小.图$G$被称为是公平$k$ -可选择的，如果当$L$是$G$的$k$ -赋值时，存在$G$的公平$L$ -着色.本文研究完全二部图的公平可选性。Kostochka、Pelsmajer和West的结果表明，如果$k \geq \max \{n,m\}$提供了$K_{n,m} \neq K_{2l+1, 2l+1}$，则$K_{n,m}$是公平的$k$可选择的。我们证明了$K_{n,m}$是公平$k$ -可选择的，如果给出$K_{n,m}$的$m \leq \left\lceil (m+n)/k \right \rceil(k-n)$对于满足$k < \max \{n,m\}$的某些$k$是公平$k$ -可选择的.我们还给出了完全二部图的公平可选择性的一个完整的特征，有一个部集的大小至多为2。
2019-01-10 math.CO
A Note on the DP-Chromatic Number of Complete Bipartite Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。图$G$的列表色数$χ_\ell(G)$的几个已知界也适用于$G$的DP-色数$χ_{DP}(G)$ .另一方面，DP-色数有几个性质表明它与列表色数不同。在本文中，我们展示了一个这样的性质。众所周知，$χ_\ell (K_{k,t}) = k+1$当且仅当$t \geq k^k$。我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) = k+1$如果$t \geq 1 + (k^k/k!)(\log(k!)+1)$，我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) < k+1$如果$t < k^k/k!$。
2018-03-24 math.CO
On List k-Coloring Convex Bipartite Graphs
列表k-着色（Li k-Col）是一个判定问题，它询问给定的图是否允许一个与给定的列表分配相容的适当着色，其顶点的颜色在{1，2，. k}。已知该问题是NP-困难的，即使对于k=3的3-正则平面二部图类和对于k=4的弦二部图类。2015年，Huang，Johnson和Paulusma在弦二部图类中要求Li 3-Col的复杂性。在本文中，我们给出了一个部分的答案，这个问题表明，李k-Col是多项式的凸二部图类。我们首先证明了双凸二部图允许多链序，扩展了Enright，Stewart和Tardos（2014）的多项式算法可以应用于该问题的图类。本文提出了一个求解凸二部图类中李k-圈的动态规划算法。最后，我们展示了如何修改我们的算法，以解决更一般的李H-Col问题的凸二部图。
2020-02-07 cs.CC cs.DM math.CO
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
2019-05-28 math.CO
Cooperative coloring of some graph families
本文研究了共享顶点集的图族协作着色问题，确定了树和轮图类所需的最小图数，并证明了平衡完全二分图与广义theta图类的最小图数上界。
2024-02-16 math.CO
Coloring Problems on Bipartite Graphs of Small Diameter
本文研究了直径有界的二部图的一些着色问题。首先，我们研究了直径至多为$d$的二部图上的$k$ -列表着色、列表$k$ -着色和$k$ -预着色扩展问题，证明了在大多数情况下是NP-完全的，并且当$d=3$时，只留下列表$3$ -着色和$3$ -预着色扩展问题。其中一些结果是通过证明满射$C_6$ -同态问题在直径不超过4的二部图上是NP-完全的而得到的。虽然后一个结果已经被证明[Vikas，2017]，我们提出了一个更简单的替代方案。作为副产品，我们还得到了$3$ -Biclique划分是NP完全的。[Fleischner，Mujuni，Paulusma，and Szeider，2009]中提出了证明这个结果的尝试，但是他们的证明中有一个缺陷，我们在这里识别和讨论。最后，我们证明了直径不超过4的二部图上的$3$ -Fall着色问题是NP-完全的，并且证明了直径为3的NP-完全性也意味着直径为3的$3$ -预着色扩张的NP-完全性，从而封闭了前面提到的开放情况.这也将回答[Kratochvíl，Tuza，and Voigt，2002]中提出的一个问题。
2021-04-28 cs.CC cs.DS math.CO
On Star Coloring of Splitting Graphs
本文研究了星的着色问题。在一般情况下，问题是NP完全的。建立了完全二部图完全二部图的分裂图的星色数，以及路和圈的分裂图的星色数。我们的证明是建设性的，所以他们导致适当的星着色的图正在考虑中。
2017-05-25 math.CO
Sidorenko's conjecture, colorings and independent sets
令$\hom(H,G)$表示从图$H$到图$G$的同态的数目。Sidorenko猜想断言，对于任何二分图$H$和图$G$，我们有$$\hom(H,G)\geq v(G)^{v(H)}\left(\frac{\hom(K_2,G)}{v(G)^2}\right)^{e(H)},$$，其中$v(H),v(G)$和$e(H),e(G)$分别表示图$H$和$G$的顶点和边的数目。本文对某些特殊图$G$证明了Sidorenko猜想：对$q$顶点上的完全图$K_q$，对$K_2$的一个端点上加了一个环，对$3$顶点上的一条路的每个顶点上加了一个环.这些情形对应于图$H$的计数着色、独立集和Widom-Rowlinson着色。例如，对于一个二分图$H$，$q$ -着色数$\textrm{ch}(H,q)$满足$$\textrm{ch}(H,q)\geq q^{v(H)}\left(\frac{q-1}{q}\right)^{e(H)}.$$事实上，我们将证明在后两种情况下（独立集和Widom-Rowlinson着色），图$H$不需要是二分的。在所有情况下，我们首先证明了一定的相关不等式，这意味着Sidorenko猜想在一个更强的形式。
2017-02-02 math.CO
Bipartite and Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文研究二部图与欧几里得空间的两类Gallai-Ramsey问题，证明二部图情形答案关于色数线性并给出s=2时的精确界，还通过图着色与空间着色的对应得到一类构型的欧氏Gallai-Ramsey数新上界。
2024-10-10 math.CO
Coloring graphs with forbidden almost bipartite subgraphs
本文针对禁用近二部子图的图着色问题，将 Alon 等人猜想中的常数上界改进为与 F 无关的统一常数 c(F)≤4，并推广到 DP-着色情形。
2025-05-12 math.CO
Large monochromatic components in almost complete graphs and bipartite graphs
Gyárfas证明了每一个着色的边缘$K_n$与$t+1$颜色包含一个单色连通组件的大小至少$n/t$。后来，Gyárfás和Sárközy询问了$γ=γ(t)$的哪些值对于几乎完全图是加强的：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其最小度至少为$(1-γ)n$，则$G$的每个$(t+1)$ -边着色包含一个大小至少为$n/t$的单色分量。我们证明了$γ= 1/(6t^3)$是足够的，改进了DeBiasio、Krueger和Sárközy的结果。
2020-08-27 math.CO
Distinguishing colorings of Cartesian products of complete graphs
我们确定了s和t的值，对于这些值，完全二部图K_{s,t}的边着色，它只允许单位自同构。特别是，这使我们能够确定的区别数量的笛卡儿积的完全图。
2006-07-19 math.CO
On one-sided interval edge colorings of biregular bipartite graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。如果图$x$的谱是区间图，则称图$G$的正常边$t$ -染色是点$x$的区间图.如果对任意的$x\in R_0$，$φ$是$x$中的区间，则称图$G$的正常边$t$ -染色$φ$是$G$的顶点子集$R_0$上的区间.我们称$G$的顶点子集$R$具有$i$ -性质，如果存在$R$上的区间$G$的真边$t$ -染色.若$G$是一个图，且其顶点的子集$R$具有$i$ -性质，则$R$上的$G$区间的$t$ -染色为真边的$t$的最小值记为$w_R(G)$ .本文对某些二部图，在$R$与图的一部分的所有顶点的集合重合的情况下，估计了这个参数的值。
2012-05-01 cs.DM math.CO
$(2,\mathcal{F})$-Avoiding Coloring and B-Coloring under Bipartite Exclusions
School of Mathematics and Statistics, Shandong University（山东大学数学与统计学院）
本文研究在二部排除条件下的$(2,\mathcal{F})$-避免染色和B-染色，证明了对于满足特定条件的图族，最大度足够大的$F$-自由图具有相应的色数上界，并开发了归约为超图匹配问题的统一方法。
2026-10-01 math.CO
On edges not in monochromatic copies of a fixed bipartite graph
设$H$是一个固定图。将$f(n,H)$表示为在完全图$K_n$的2-边着色中不包含在$H$的任何单色副本中的最大边数，并且将$ex(n,H)$表示为$H$的{\it Turán数}。一个简单的下限显示了任何$H$和$n$的$f(n,H)\ge ex(n,H)$。在\cite{KS2}中，Keevash和Sudakov证明了如果$H$是一个边色临界图或$C_4$，那么$f(n,H)= ex(n,H)$对大的$n$成立，并且他们问当$n$足够大时，这个等式是否对任何图$H$成立。在本文中，我们提供了一个肯定的答案，一个丰富的无限族的二部图$H$，包括所有偶圈和完全二部图$K_{s,t}$的$t>s^2-3s+3$或$(s,t)\in\{(3,3),(4,7)\}$。另外，我们证明了对于所有这样的$H$，$K_n$的2-边着色$c$达到最大数$f(n,H)$当且仅当$c$中的一个色类诱导$ex(n,H)$的极值图.我们还得到了二部图的一个多染色推广。最后对相关问题进行了讨论。
2016-05-30 math.CO
The strong equitable vertex 1-arboricity of complete bipartite graphs and balanced complete k-partite graphs
图$G$的\emph{equitable $(q, r)$-tree-coloring}是$G$的$q$ -着色，使得由每个颜色类导出的子图是最大度至多为$r$的森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多为$1.$。设图$G,$的\emph{strong equitable vertex $r$-arboricity}用$va^\equiv_r (G)$表示，是最小$p$，使得$G$具有公平的$(q, r)$树，Tao和Lin以及Wu，Zhang和Li研究了$q\geq p.$的值，其中在某些特殊情况下发现了$va^\equiv_1 (K_{n,n})$的精确值。在本文中，我们推广了他们的结果，给出了所有情况下的$va^\equiv_1 (K_{n,n})$的精确值。在这个过程中，我们引入了一个与均匀着色有关的新函数，并通过确定每个$va^\equiv_1 (K_{m,n})$和$va^\equiv_1 (G)$的精确值得到了一个更一般的结果，其中$G$是一个平衡的完全$k$ -部图$K_{n,\ldots,n}.$
2023-02-22 math.CO
Equitable coloring of large bipartite graphs
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究二部图均衡色数的上界，证明当最大度足够大且顶点数至少为41/2倍最大度时，均衡色数不超过⌈Δ/2⌉+1，并给出O(|V|^2)时间算法。
2026-06-29 cs.DM math.CO
On Acyclic Edge-Coloring of Complete Bipartite Graphs
图的无圈边染色是指不含双色圈的正常边染色。图$G$的无圈色指数，记为$a'(G)$，是使得$G$允许用$k$颜色进行无圈边染色的最小整数。设$Δ= Δ(G)$表示图$G$中顶点的最大度。每边都有$n$顶点的完全二部图记为$K_{n,n}$。Basavaraju，Kumran和Kummini证明了当$n$是奇数时，$a'(K_{n,n}) \ge n+2 = Δ+ 2$是奇数。Basavaraju和Rumran使用$p+2$颜色给出了$K_{p,p}$的非循环边着色，从而当$p$是奇素数时建立了$a'(K_{p,p}) = p+2 = Δ+ 2$。他们的方法中的主要工具是完美的$1$-$K_{p,p}$的因子分解。最近，Venkateswarlu和Sarkar遵循他们的方法证明了$K_{2p-1,2p-1}$允许使用$2p+1$颜色的非循环边着色，这意味着$a'(K_{2p-1,2p-1}) = 2p+1 = Δ+ 2$，其中$p$是奇素数。在本文中，我们推广了这种方法，并提出了一个一般的框架，可能得到一个非循环边着色的$K_{n,n}$，具有一个完美的$1$ -因子分解使用$n+2 = Δ+2$颜色。在这个一般的框架中，我们表明，$K_{p^2,p^2}$承认一个非循环边着色使用$p^2+2$颜色，从而建立$a'(K_{p^2,p^2}) = p^2+2 = Δ+ 2$时，$p\g…
2015-03-11 cs.DM math.CO
Covering Families for DP-Coloring of Cartesian Products with Complete Bipartite Graphs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
本文引入覆盖族概念，证明其最小大小与DP-染色中完全二部图笛卡尔积的临界参数相等，从而证明μ(4)=12并改进上下界。
2026-09-29 math.CO
FirstFit coloring process of random bipartite graphs and an online coloring lower bound in the random order model
Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术大学）
该研究针对随机二分图的FirstFit着色过程，证明其在随机顺序模型下对二分图的颜色需求为n^Ω(1)，反驳了相关多对数期望颜色数的猜想，强化了FirstFit在低色数图上的不良表现结论。
2026-10-14 cs.DM cs.DS math.CO
On differences between DP-coloring and list coloring
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoconák和Postle引入的列表着色的推广。许多已知的列表-色数的上界可以扩展到DP-色数，但并不是所有的上界都可以扩展到DP-色数.在这篇文章中，我们描述了DP-着色的一些不寻常的性质，使它远离列表着色。特别地，我们给出了一个具有DP-色数$4$的平面二部图的例子，证明了具有$d\geq 2$的$d$ -正则图的边DP-色数总是至少为$d+1$ .
2017-10-31 math.CO
