On idempotent stable range one matrices
Grigore Calugareanu, Horia F. Pop
刻画了交换环上的幂等稳定值域1的$2\times 2$矩阵，特别是具有这一性质的整矩阵.几个特殊的情况和例子完成了主题。
We characterize the idempotent stable range one $2\times 2$ matrices over commutative rings and in particular, the integral matrices with this property. Several special cases and examples complete the subject.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Decomposition of Singular Matrices into Idempotents
在本文中，我们提供了具体的结构的幂等代表典型的奇异矩阵在一个给定的环作为一个产品的幂等，并应用这些分解证明我们的主要结果。我们推广了Laffey（乘积幂等矩阵。线性多线性A. 1983）和Rao（乘积的幂等矩阵。Linear Algebra Appl.2009）到非交换设置，并填补了Rao主要定理的原始证明中的空白。我们还考虑了Bézout域上的奇异矩阵，当这样的矩阵是幂等矩阵的乘积。
Invertible matrices over finite additively idempotent semirings
研究了有限可加幂等半环上的可逆矩阵。主要结果为此类矩阵的可逆性提供了一个判据。我们还给出了逆矩阵的构造和可逆矩阵个数的计算公式。
Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions
动机平野富永的工作\cite{HT}环的每一个元素是一个总和的两个幂等和德Seguins帕齐斯的结果\cite{de}分解的每一个矩阵的领域的正特征作为一个总和的幂等矩阵，我们解决分解的每一个矩阵在一个交换环作为一个总和的三个幂等矩阵，分别作为一个总和的三个对合矩阵。
On permanents of matrices over a commutative additively idempotent semiring
设$R$是可交换的加法幂等半环.本文建立了$R$上矩阵的积和式的一些性质和刻画，并给出了积和式的几个不等式。此外，还考虑了$R$上矩阵的伴随矩阵.本文的部分结果推广了Fuzzy矩阵、格矩阵和斜矩阵的相应结果。
On sums of idempotent matrices over a field of positive characteristic
我们研究哪些矩阵是幂等元的总和在一个领域的非零特征，特别是，我们证明了任何这样的矩阵，只要它是足够大的，实际上是一个总和的五个幂等元，甚至四个领域是一个总理。
A Note on Idempotent Matrices: The Poset Structure and The Construction
本文从偏序结构与构造两方面研究除环及主理想整环上的幂等矩阵，利用块分解刻画偏序，借助Smith标准形给出等价条件，并推广至唯一分解整环及Kronecker积等构造。
Rank preservers of matrices over additively idempotent and multiplicatively cancellative semirings
本文刻画了加法幂等和乘法可消半环上保持矩阵矩阵的秩的线性算子。本文的主要结果推广了二元布尔代数和极大代数上的相应结果，并在极大代数和其它一些热带半环上成立.
Products of Nilpotent and Idempotent Matrices over Finite Local Rings
本文研究有限交换局部主环R上的2阶矩阵，证明幂零与幂等矩阵的乘积必为幂等或幂零矩阵的乘积，IN-与NI-矩阵类重合，还给出其元素数量的显式公式。
Idempotent factorization on some matrices over quadratic integer rings
本文针对Cossu和Zanardo关于二次整数环上特定奇异矩阵幂等分解的猜想，构造了支持与反对该猜想的矩阵类，并证明存在不能分解为两个幂等矩阵乘积的此类矩阵。
On linear combinations of two idempotent matrices over an arbitrary field
给定任意域K和非零标量a，b，给出了M_n（K）中矩阵A是系数为a，b的两个幂等元的线性组合的充要条件.这扩展了哈特维希和普查以前得到的结果在两个方面：这里考虑的字段K是任意的（可能的特征2），并考虑到的情况a是不同的b和-b。
Effectively bounded idempotent generation of certain $2 \times 2$ singular matrices by idempotent matrices over real quadratic number rings
设$k = \mathbb{Q}(\sqrtα)$是一个实二次数域，其中$α$是一个无平方的正整数.设$\mathcal{O}_k$是$k$的整数环.本文证明了$\mathcal{O}_k$中的一组奇异矩阵可以表示为有界个数的幂等矩阵的乘积。我们的主要定理可以看作是Cossu和Zanardo最近的结果的推广，该结果研究了$\mathcal{O}_k$上某些奇异矩阵由幂等矩阵有限生成，而不是本文所考虑的某些奇异矩阵由$\mathcal{O}_k$上幂等矩阵有界生成.
Decomposition of a square matrix into a product of a nilpotent matrix and an involutive or idempotent matrix
本研究以不变因子为依据，完整刻画了交换域上n阶方阵可分解为幂零矩阵与对合矩阵或幂等矩阵乘积的条件。
Decomposition of matrices into product of idempotents and separativity of regular rings
本文研究正则环上分块矩阵的幂等分解，证明分离正则环和GE环上矩阵可分解为幂等矩阵乘积，并探讨非分离正则环的存在性及全非负矩阵的幂等分解问题。
Jordan derivations on semirings of triangular matrices
研究了元素来自加法幂等半环的三角形矩阵的Jordan导子.主要结果是：对加法幂等半环上的任意矩阵A，如果我们使A的稠密子矩阵族的所有元素都为零，则我们找到A的一个导数。建立了这种类型的派生集。
Idempotent & Nilpotent Operators and Matrices in Bicomplex Space
本文研究双复空间中幂等和幂零算子的性质，定义相关矩阵并推导结果，提出若干定理以确定其存在性和行为条件。
Idempotent factorizations of singular $2\times 2$ matrices over quadratic integer rings
该研究聚焦二次整数环上奇异2×2矩阵的幂等因子分解问题，利用$SL_2(D)$由初等矩阵生成的结论，证明d>0时含零行/零列的矩阵及列-行矩阵均存在幂等分解，补充了d<0时存在不可分解矩阵的相关结论。
Idempotent factorization of matrices over a Prüfer domain of rational functions
本文针对Prüfer非Bézout域的公开问题，研究了有理函数极小Dress环（一种Prüfer域上2×2奇异矩阵的幂等分解问题，给出了保证其可分解为幂等矩阵乘积的若干条件。
Rank Of bicomplex matrices and system of algebraic equations
该研究聚焦双复数矩阵的秩与方程组问题，分析了秩与幂等行/列秩的关系，提出新的求解技术，建立了解存在的充要条件并推导相关结果，为双复数空间的代数问题研究提供了理论支撑。
Factorizations into idempotent factors of matrices over Prüfer domains
针对刻画满足幂等矩阵分解性质的整环这一经典问题，研究证明满足(ID2)的整环必为满足特定可逆矩阵分解条件的Prüfer域，并验证了一大类平面曲线坐标环与Int(Z)符合相关猜想的等价形式。
Idempotent tropical matrices and finite metric spaces
在有限集上距离函数的三角不等式与热带半环上伴随矩阵的幂等性之间存在一个众所周知的对应关系。最近的研究揭示了新的光的结构（代数，组合和几何）的热带幂等元，在本文中，我们探讨了热带多面体的度量几何的后果。我们证明，例如，每一个n点度量空间是实现的希尔伯特射影度量的顶点上的纯n维热带多面体在热带n-空间。更一般地说，每个n点非对称距离函数都是由这样一个多面体的顶点上的剩余算子实现的。在对称情形下，我们证明了包含度量空间幂等元的热带矩阵的极大群是实数与度量空间等距群的直积;由此得出，有限群与实数的直积都是一个充分大的有限全热带矩阵半群的极大子群.在这个过程中，我们还证明了一些新的结果，热带幂等矩阵，并注意到一些半群理论的结果，可能是独立的利益。
Minimal Prüfer-Dress rings and products of idempotent matrices
该研究探讨极小Dress环的结构性质，证明部分域上的极小Dress环为赋值或Bézout整环，刻画了$\mathbb{R}(X)$上极小Dress环的元素与理想，并研究其上2×2幂等矩阵乘积问题。
Unique builders for classes of matrices
基本矩阵的定义提供了独特的建筑模块的类正规矩阵，其中包括类酉和埃尔米特矩阵。量子逻辑门的独特的建设者，因此得到，因为量子逻辑门表示，或者说是一个酉矩阵。本文给出了一个有效的算法，该算法将幂等元表示为初始零点递增的秩$1$幂等元的唯一和。这是用来推导混合矩阵的唯一形式。给出了一些（进一步的）应用：例如（i）$U$是对称酉矩阵当且仅当它具有对称幂等$E$的形式$I-2E$，（ii）导出了用基本矩阵表示的伪逆的公式.各种用途的实例是容易获得的。
Idempotents of $2\times 2$ matrix rings over rings of formal power series
设$A_1,\ldots,A_s$是没有非平凡幂等元的酉交换环，$A=A_1\oplus\cdots\oplus A_s$是它们的直和.本文描述了形式幂级数序列的环$A[[X]]$上的$2\times 2$矩阵环$M_2(A[[X]])$中的所有幂等元，其系数在$A$中，在任意变量集$X$中.我们将这个结果应用于环${\mathbb Z}_n[[X]]$上的矩阵环$M_2({\mathbb Z}_n[[X]])$，其中$n$是大于1的任意正整数。我们的证明是初等的，只使用凯莱-汉密尔顿定理（仅对$2\times 2$矩阵），在特殊情况下$A={\mathbb Z}_n$，中国的提醒定理和欧拉-费马定理。
Stable varieties of semigroups and groupoids
本文讨论了$Σ-$复合和$Σ$ -本质复合，它们导致代数的稳定和s-稳定簇。给出了半群、交换群和幂等群胚的所有稳定簇的完整刻画。本文利用一个抽象约化系统，简化了$τ=(2)$型项的表示，研究了幂等群胚的簇和群胚的s-稳定簇.它们被用作稳定变体的交替，旨在突出替换演绎系统中项的子项，而不是通常的用项替换变量。
Strongly J-clean matrices over 2-projective-free rings
环$R$中的元素$a$是强J-干净的，如果它是幂等元与交换的Jacobson根中的元素之和。刻画了2-射影自由非交换环上的强J-clean $2\times 2$矩阵.
Antisymetric matrices and Lotka-Volterra algebras
本文研究了Lotka-Volterra代数的结构、幂等元集和自同构自同构群.这些代数是通过反对称矩阵定义的，它们与生物学问题和相邻个体相互作用的Lotka-Volterra系统有关。
Factorizations of Matrices Over Projective-free Rings
环$R$中的元素称为强$J^{\#}$ -clean，只要它可以写为幂等元与$J^{\#}(R)$中可交换的元素之和。本文刻画了射影自由环上矩阵的强$J^{\#}$ -清洁性。这些结果推广了交换局部环上强干净矩阵的许多已知结果。
Multiplication of matrices over lattices
研究格上方阵的乘法运算。若基础格是分配格，则矩阵构成一个半群;我们研究了这个矩阵半群的幂等元和幂零元以及极大子群。证明了非分配格上的矩阵乘法是反结合的，并确定了当格的最小或最大元素不可约时的可逆矩阵。
Additively idempotent matrix semirings
本研究针对加法幂等半环上的矩阵半环，分别刻画交换/有限半环下矩阵半环为同余单半环、几乎整半环及伪MV-代数导出半环下矩阵半环为次直不可约半环的条件。
Strongly Rad-clean Matrices over Commutative Local Rings
提供一个元素$a\in R$，存在一个幂等元$e\in R$，使得$a-e\in U(R), ae=ea$和$eae\in J(eRe)$。本文研究交换局部环上的强rad-clean矩阵。我们完全确定了交换局部环上的$2\times 2$矩阵何时是强rad-clean的。
A bound for the nilpotence index associated to $m$-nil-clean nonderogatory matrices
研究在特定条件下，$n\times n$非奇异矩阵$A$的分解问题，通过证明得出存在$m$个幂等矩阵和一个幂零矩阵使$A$可分解，且给出幂零矩阵幂零指数及$n > p$时$A$按$n$奇偶性的不同分解形式。
Very clean matrices over local rings
如果存在幂等$e\in R$使得$ae=ea$和$a-e$或$a+e$是可逆的，则元素$a\in R$是非常干净的。如果$R$中的每个元件都非常干净，则环$R$非常干净。本文研究了局部环上的三角$2\times 2$矩阵环非常干净的充要条件。完全确定了交换局部环上的非常干净的$2\times 2$矩阵.应用矩阵的幂级数也得到。
Order-indices and order-periods of 3x3 matrices over commutative inclines
倾斜是一个加法幂等半环，其中两个元素的乘积总是小于或等于其中一个因子。本文利用素数证明了对任意可换斜坡上的所有3 × 3矩阵A，A^{11}小于或等于A^5，从而回答了一个公开问题“对任意斜坡（甚至是非可换斜坡）上的3 × 3矩阵，X^5是否大于或等于X^{11}？“，由Cao，Kim和Jiangh在专著Incline Algebra and Applications，1984中提出。
Idempotent-free non-solvable evolution algebras over $\mathbb{C}$
本文构造了最小维数（三维）复数演化代数反例，反驳了“可解等价于无非零幂等元”的猜想，并证明了稳定项为演化代数时该等价性成立。
A Kochen-Specker theorem for integer matrices and noncommutative spectrum functors
本文研究了幂等矩阵的Kochen-Specker不可着色集的构造问题，这些幂等矩阵的元素位于各种环中，包括有理数、整数和有限域。最值得注意的是，我们证明了$n \geq 3$的$n \times n$幂等整数矩阵没有Kochen-Specker染色，从而说明Kochen-Specker上下文是纯矩阵代数的一个固有特征。我们应用这个推广最近的不去结果的非交换谱函子，表明任何逆变函子从环到集（分别，拓扑空间或locale），限制到Zapriki素谱函子交换环必须指定的空集（分别，空空间或locale）的矩阵环$M_n(R)$任何整数$n \geq 3$和任何环$R$。Alexandru Chirvasitu的附录表明，$M_3(F)$的部分子代数中幂等元的Kochen-Specker染色对于完美域$F$可以扩展到部分代数态射到$F$的代数闭包中。
L'Algebre Tropicale Comme Algebre De la Caracteristique 1 : Algebre Lineaire Sur Les Semi-Corps Idempotents
我们定义了一个正式的框架，类型的最大-加，最小-加，热带代数，更一般的代数交换幂等半域的研究。这项工作的动机是日益多样化的使用这些代数也发生在控制理论，自动机理论以及代数几何，并在更具体的方式在其他部分的数学，如理论的monoid。在这第一篇文章中，我们特别重新审视了幂等半域上的线性代数：最微妙的，但无疑是最有趣的一点是奇点的概念，它被看作是零概念的推广。因此，我们重新发现了许多概念的正则性已经介绍了矩阵，这使我们能够定义进一步的概念，新的在这方面，如核的一个线性型，并应用对偶获得一个良好的概念热带维数的一个子模。
Decompositions of Periodic Matrices into a Sum of Special Matrices
研究周期矩阵分解为零矩阵与 torsion 矩阵之和的条件，证明当字段为素特征域、有理数域或零特征的代数闭域时，秩至少为 n/2 的矩阵总能分解。同时提供实数域的反例，并证明所有周期矩阵可分解为幂等矩阵与 torsion 矩阵之和。
Matrix semigroups over semirings
域$F$上的$n\times n$矩阵的乘法半群$M_n(F)$是很好理解的，特别地，它是正则半群。本文考虑$M_n(S)$形式的半群，其中$S$是半环，以及由上三角矩阵和单三角矩阵组成的$M_n(S)$的子半群$UT_n(S)$和$U_n(S)$。我们的主要兴趣是在$S$是一个幂等半域的情况下，我们还考虑子半群$UT_n(S^*)$和$U_n(S^*)$组成的那些矩阵的$UT_n(S)$和$U_n(S)$的所有元素上和以上的领导对角线非零。我们对这种$S$的指导性例子是二元布尔半环$\mathbb{B}$和热带半环$\mathbb{T}$。在第一种情况下，$M_n(\mathbb{B})$同构于$n$ -元集上的二元关系半群，在第二种情况下，$M_n(\mathbb{T})$是$n\times n$热带矩阵半群. Il'in证明了对任何半环$R$和$n>2$，半群$M_n(R)$是正则的当且仅当$R$是正则环。因此，我们基于我们的调查$M_n(S)$和它的子半群上类似的，但较弱的概念是喷泉（以前，弱丰富）。这些概念是由元素的幂等左、右恒等式的存在性和行为决定的，这些元素位于特定的等价类中。我们表明，某些子半群的$M_n(S)$，包括几个概括的良好研究幺半群的二元关系（霍尔关系，自反关系，单三角布尔矩阵），喷泉。我们给出了一个家庭的喷泉半群产生这种方式，具有特别有趣的和不寻常的性质…
Strongly Clean Matrices over Commutative Rings
交换环$R$是投射自由的，只要每个可投射生成的$R$-模是自由的.环中的元素是强clean的，只要它是幂等元与交换单位之和。设$R$是一个无射影环，$h\in R[t]$是$n$次一元多项式.本文证明了每一个具有特征多项式$h$的$φ\in M_n(R)$是强干净的，当且仅当$h$的伴随矩阵$C_h$是强干净的，当且仅当存在一个分解$h=h_0h_1$使得$h_0\in {\Bbb S}_0, h_1\in {\Bbb S}_1$和$(h_0,h_1)=1$.本文还讨论了投射环上幂级数上的矩阵。这些结果推广了文献[1，定理12]和[5，定理25]。
Laws for triangular matrices
该研究探讨域上及含0和1的加法幂等半环上三角矩阵幺半群的恒等式，发现部分此类恒等式无有限公理化的新情况。
On unit stable range one matrices
刻画了交换环上2 × 2和3 × 3矩阵的单位稳定值域.特别地，我们刻画了满足Goodearl-Menal条件的2 × 2矩阵。对于2 × 2整矩阵，我们证明了稳定值域1和单位稳定值域1的性质是等价的，并且证明了满足Goodearl-Menal条件的唯一矩阵是零矩阵.
Sums of two triangularizable quadratic matrices over an arbitrary field
设K是任意域，a，b，c，d是K的元素，使得多项式t^2-at-b和t^2-ct-d在K[t]中分裂。给定一个元素在K中的方阵M，给出了存在两个矩阵A和B使得M=A+B，A^2= aA +bI_n和B^2= cB +dI_n的充要条件.在这篇论文之前，这样的条件在b=d=0，a<>0和c<>0的情况下是已知的，在a=b=c=d=0的情况下也是已知的。在这里，我们完成的研究，这基本上相当于确定当一个矩阵是一个幂等和平方零矩阵的总和。这将王的结果推广到一个任意的领域，可能的特征2。
On stable range one matrices
对交换环上的2 × 2矩阵，证明了左稳定值域1元的一个特征定理，证明了稳定值域1性质在元素水平上也是左右对称的，证明了Bezout环上所有具有一个零行（或零列）的矩阵都有稳定值域1.利用对角约化，我们刻画了所有稳定值域为1的2 × 2整矩阵，并讨论了稳定值域为1的元素的Jacobson引理等性质。最后给出了交换稳定值域为1的2 × 2积分矩阵不干净的一个例子。
Type conditions of stable range for identification of qualitative generalized classes of rings
本文主要讨论以下问题：当交换环的等价物的经典环是稳定值域为1的环时？引入了（von Neumann）正则值域1的环，半遗传值域1的环，正则值域1的环，半遗传局部环，正则局部环的概念.我们发现了引入的环类与已知环类之间的关系，特别是，我们证明了交换不可分解的几乎clean环是正则局部环。幂等正则值域为1的交换环是几乎干净环。证明了任何交换不可分解的几乎clean Bezout环是Hermite环，任何交换半遗传环是幂等正则值域为1的环。交换Bezout环的子环的经典环是（von Neumann）正则局部环当且仅当R是交换半遗传局部环.
On power sums of matrices over a finite commutative ring
本文讨论了有限交换环上的矩阵环$\mathbb{M}_d(R)$的元素的$d>1$次幂和的计算问题。我们完全解决了问题的情况下$R=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，并给出了一些结果，计算这个和的值，如果$R$是一个任意有限的交换环$R$的$k$和$d$的许多值。最后，基于计算证据，利用本文证明的一些技术性结果，我们猜想矩阵环$\mathbb{M}_d(R)$的所有元素的$k$次幂之和总是$0$，除非$d=2$，$\textrm{card}(R) \equiv 2 \pmod 4$，$1<k\equiv -1,0,1 \pmod 6$和唯一的元素$e\in R \setminus \{0\}$使得$2e =0$是幂等的，在这种情况下，和是$\textrm{diag}(e,e)$ .
Semigroups of rectangular matrices under a sandwich operation
令$\mathcal M_{mn}=\mathcal M_{mn}(\mathbb F)$表示域$\mathbb F$上所有$m\times n$矩阵的集合，并固定某个$n\times m$矩阵$A\in\mathcal M_{nm}$。关联操作$\star$可以由用于所有$X,Y\in\mathcal M_{mn}$的$X\star Y=XAY$在$\mathcal M_{mn}$上定义，并且所得到的\emph{sandwich semigroup}被表示为$\mathcal M_{mn}^A=\mathcal M_{mn}^A(\mathbb F)$。这些半群与Munn环密切相关，Munn环是有限半群表示理论的基本工具。本文研究了$\mathcal M_{mn}^A$及其子半群$\operatorname{Reg}(\mathcal M_{mn}^A)$和$\mathcal E_{mn}^A$（分别由所有正则元和幂等元的乘积组成），以及$\operatorname{Reg}(\mathcal M_{mn}^A)$的理想.除其他结果外，我们：构造正则元，确定格林关系和预序，计算生成每个半群所需的最小矩阵数（或幂等矩阵，如果适用的话），并对有限三明治半群$\mathcal M_{mn}^A(\mathbb F_1)$和$\mathcal M_{kl}^B(\mathbb F_2)$…
The strong $P$-cleanness over rings
环$R$的一个元素是强$P$-clean的，只要它可以被写为一个幂等元和一个可交换的强幂零元之和。如果环$R$的每个元素都是强$P$-干净的，则环是强$P$-干净的。本文研究了环$R$是强$P$-clean的充要条件.得到了这类环的许多特征。给出了交换局部环上$2\times 2$矩阵的强$P$-清洁性的判别准则.
Diagonal reduction of matrices over Bezout rings of stable range 1 with the Kazimirsky condition
利用Kazimirsky条件，建立了稳定值域为1的Bezout环上矩阵的可对角化性理论.证明了稳定值域为1且满足右（左）Kazimirsky条件的环是初等因子环当且仅当它是duo环.
Reduction of matrices over simple Ore domains
本文研究了有限稳定值域的简单Ore域上矩阵的对角约化理论。我们讨论了稳定域为1的2-单环，Ore整环和Bezout整环的某些情形.
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