Non-equispaced Fourier Neural Solvers for PDEs
Westlake University（西湖大学）
解偏微分方程很难。最近提出的神经分辨率不变模型，尽管它们的有效性和效率，通常需要均匀的空间数据点。然而，在现实世界的系统中，空间域的采样有时不可避免地是非等间距的，从而限制了它们的适用性。在本文中，我们提出了一个非等间距傅立叶偏微分方程求解器（\textsc{NFS}）与自适应插值的重采样等间距点和傅立叶神经算子作为其组件的变体。复杂偏微分方程的实验结果表明，该算法在精度和效率上都具有优势。与空间均匀分布的基准方法相比，该方法通过对MAE的$42.85\%$改进，获得了更好的性能，并且能够以微小的精度损失处理非均匀分布的数据。此外，据我们所知，\textsc{NFS}是第一个基于ML的方法，具有网格不变推理能力，可以成功地模拟非等间距场景中的湍流，在看不见的空间点上具有较小的误差偏差。
2023-03-18 cs.LG
Blending Neural Operators and Relaxation Methods in PDE Numerical Solvers
Brown University（布朗大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Ansys Inc（安sys公司）
本文提出HINTS混合求解器，将DeepONet与松弛方法结合，利用谱偏差互补优势，实现PDE快速、可扩展且均匀收敛的数值求解。
2024-09-02 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-Informed Neural PDE Solvers via Spatio-Temporal MeanFlow
Fudan University（复旦大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出时空均流求解器，通过将生成速度场替换为物理PDE算子，实现高效预测，同时扩展均流约束到时空域，统一处理时变和静态PDE，实验表明其在精度和效率上优于基线方法。
2026-05-09 cs.LG
Learning Neural PDE Solvers with Parameter-Guided Channel Attention
NEC Laboratories Europe（NEC欧洲实验室）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
针对现有神经PDE求解器难以泛化到未见过参数的问题，提出参数嵌入引导的通道注意力模块CAPE与课程学习策略，在基准上实现显著提升，且未大幅增加推理开销与参数量。
2023-07-21 cs.CE cs.LG physics.comp-ph
PIXEL: Physics-Informed Cell Representations for Fast and Accurate PDE Solvers
Sungkyunkwan University（成均馆大学）
随着计算能力的提高和机器学习的发展，基于数据驱动学习的方法在求解偏微分方程中得到了极大的关注。物理信息神经网络（PINN）最近出现并成功地解决了各种正向和逆偏微分方程问题，这要归功于其出色的特性，如灵活性、无网格解决方案和无监督训练。然而，它们的收敛速度较慢，相对不准确的解决方案往往限制了它们在许多科学和工程领域的广泛适用性。本文提出了一种新的数据驱动的偏微分方程求解器，物理信息单元表示（PIXEL），优雅地结合了经典的数值方法和基于学习的方法。我们采用了网格结构的数值方法，以提高精度和收敛速度，并克服了谱偏差PINNs。此外，所提出的方法在PINN中享有相同的益处，例如，使用相同的优化框架来解决正向和反向PDE问题，并且利用现代自动微分技术容易地实施PDE约束。我们提供了各种具有挑战性的偏微分方程的实验结果，原来的PINN一直在努力，并表明PIXEL实现快速收敛速度和高精度。项目页面：https://namgyukang.github.io/PIXEL/
2023-02-04 cs.LG cs.NA math.NA
MD-PNOP: Equation-Recast Neural Operators for Minimal-Data Extrapolation and PDE Solver Acceleration
Department of Mechanical, Aerospace, and Nuclear Engineering（机械、航空航天与核工程系）
本文提出MD-PNOP框架，通过将参数诱导的算子差转化为额外源项，实现单次训练配置到广泛未见参数设置的系统外推，同时嵌入迭代PDE求解器提升初始猜测，减少迭代次数且不牺牲精度。
2026-05-13 cs.LG
One Operator to Rule Them All? On Boundary-Indexed Operator Families in Neural PDE Solvers
College of Computing, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院计算机学院）；Department of Mathematics and Systems Engineering, Florida Institute of Technology（佛罗里达理工学院数学与系统工程系）
本文探讨了神经PDE求解器中边界索引运算符家族的核心问题，指出传统方法在边界条件变化时存在非识别性问题，并通过实验验证了在不同边界条件下求解器的局限性。
2026-05-20 cs.AI cs.LG cs.NA
M2NO: An Efficient Multi-Resolution Operator Framework for Dynamic Multi-Scale PDE Solvers
The Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科学与技术大学（广州））；The Hong Kong University of Science and Technology（香港科学与技术大学）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）
M2NO是一种高效的多分辨率运算框架，通过结合多网格结构和多小波空间，提升高维PDE求解的精度和效率，并在多种任务中表现优异。
2025-12-12 cs.LG
A Greedy PDE Router for Blending Neural Operators and Classical Methods
Department of Statistics（统计系）；University of Michigan（密歇根大学）；Ann Arbor, MI 48104, USA（安阿伯, MI 48104, 美国）
本文提出一种贪心PDE路由器，通过在每次迭代中选择求解器来融合神经算子和经典方法，减少计算误差和误差曲线面积，提升求解效率与稳定性。
2026-10-16 cs.LG stat.ME stat.ML
TT-PINN: A Tensor-Compressed Neural PDE Solver for Edge Computing
University of California, Santa Barbara（加州大学圣巴巴拉分校）
物理信息神经网络（PINN）由于其对复杂物理系统建模的能力而得到越来越多的应用。为了获得更好的表现力，在许多问题中需要越来越大的网络尺寸。当我们需要在内存、计算和能源有限的边缘设备上训练PINN时，这就带来了挑战。为了在边缘设备上训练PINN，本文提出了一种基于Tensor-Train分解的端到端压缩PINN。在求解Helmholtz方程时，我们提出的模型在参数较少的情况下显著优于原始PINN，并且在高达15个$\times$总体参数减少的情况下实现了令人满意的预测。
2022-07-04 cs.AR cs.DC cs.LG
The Symbol of the Surrogate: Measuring Numerical Provenance in Neural PDE Solvers
Indian Institute of Technology Gandhinagar（印度理工学院甘地讷格尔分校）
本文提出傅里叶符号诊断方法，通过比较代理模型与训练方案的算子特征，揭示神经PDE代理模型可能模仿数值方案而非精确演化，其差异可达99.8%以上。
2026-10-08 cs.LG math.AP stat.ML
Learning PDE Solvers with Physics and Data: A Unifying View of Physics-Informed Neural Networks and Neural Operators
University of Alabama（阿拉巴马大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；University of Maryland（马里兰大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文提出统一视角，将物理感知神经网络和神经算子置于共享设计空间中，以揭示其在科学工作流中的关系和作用。
2026-02-18 cs.LG math.AP
KD-PINN: Knowledge-Distilled PINNs for ultra-low-latency real-time neural PDE solvers
KD-PINN通过知识蒸馏提升PINN的准确性与效率，实现超低延迟实时神经PDE求解。
2025-12-16 cs.LG cs.NA math.NA
Solver-Integrated Adversarial Attacking and Training of Neural Operators
本文从求解器角度研究神经算子的泛化与鲁棒性，提出求解器集成对抗攻击与训练方法，提升泛化与鲁棒性，实验表明深度集成更有效。
2026-10-30 cs.LG
Flow Learners for PDEs: Toward a Physics-to-Physics Paradigm for Scientific Computing
The University of Alabama（阿拉巴马大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本文提出流学习器（flow learners）范式，通过参数化传输向量场并积分生成轨迹，将PDE求解从状态预测转向物理上允许的未来传输建模，实现连续时间预测、不确定性量化及物理感知求解器设计。
2026-06-02 cs.LG
Neural PDE Solvers with Physics Constraints: A Comparative Study of PINNs, DRM, and WANs
UCL（伦敦大学学院）
本文对比了PINNs、DRM和WANs三种无网格神经PDE求解器在泊松和薛定谔等方程上的表现，发现PINNs最可靠，DRM在稳态问题上精度与运行时间权衡最佳，并提供了方法选择指南及多项扩展支持。
2025-10-09 cs.LG quant-ph
FlashPDE: A Drop-In Fused Triton Operator Library for Neural PDE Solvers
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）
研究针对物理信息神经网络求解偏微分方程时的局限，提出FlashPDE库，用可微Triton内核取代PyTorch有限差分执行，集成多种功能。实验表明其能大幅减少内存使用和内核启动次数，实现加速，为PDE求解与GPU计算搭建高效执行层。
2026-07-27 cs.LG cs.MS
Overcoming the Loss Conditioning Bottleneck in Optimization-Based PDE Solvers: A Novel Well-Conditioned Loss Function
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
针对优化型PDE求解器因MSE损失导致条件数平方化而收敛慢的问题，提出稳定化梯度残差（SGR）损失，灵活调节条件数，在ODIL和PINNs框架中实现数量级加速，优于MSE损失。
2025-07-24 cs.CE cs.LG physics.comp-ph
Physics-Informed Foresight Pruning for Sparse PINN Solvers of Nonlinear PDEs
针对非线性PDE稀疏PINN求解器，提出PI-SAP剪枝方法，其利用PDE残差灵敏度分配显著性，在高稀疏度下保留Gray-Scott残差保真度，平衡解侧与残差侧训练动态。
2026-08-27 cs.AI cs.LG
Towards Fast Option Pricing PDE Solvers Powered by PIELM
Indian Institute of Technology, Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Creatis Biomedical Imaging Laboratory, INSA-Lyon（创世生物医学成像实验室，INSA-里昂）
本文提出物理信息极限学习机（PIELM），以单次最小二乘求解替代迭代优化，用于金融PDE的正逆问题求解，在Black-Scholes和Heston-Hull-White模型上实现与PINN相当的精度且速度提升高达30倍。
2025-10-05 cs.CE cs.LG cs.NA
Neural-HSS: Hierarchical Semi-Separable Neural PDE Solver
Gran Sasso Science Institute, L'Aquila, Italy.（格兰萨索科学研究所）；University of Edinburgh, UK.（爱丁堡大学）
Neural-HSS通过分层半分离矩阵结构高效求解PDEs，展示在低数据条件下优于基线方法的性能。
2026-02-20 cs.LG cs.NA math.NA
Noise-aware Physics-informed Machine Learning for Robust PDE Discovery
Osaka University（大阪大学）
本工作是关于发现一个物理系统的偏微分方程（PDE）。现有的方法已经证明了PDE识别从有限的观察，但未能保持令人满意的结果对噪声数据，部分原因是次优估计的衍生物和发现PDE系数。我们通过引入噪声感知物理信息机器学习（nPIML）框架来解决这些问题，以从遵循任意分布的数据中发现管理PDE。我们建议在多任务学习范式中训练一对神经网络，即求解器和预选器，这会产生构成隐藏物理约束的基础候选人的重要分数。在它们被联合训练之后，求解器网络估计潜在的候选者，例如，偏导数，用于稀疏回归算法初始揭示最可能的简约PDE，根据信息准则来决定。我们还提出了基于离散傅里叶变换（DFT）的去噪物理信息神经网络（dPINNs），以提供一组关于噪声降低变量的最佳微调PDE系数。去噪PINN被构造成最前沿投影网络和PINN，通过PINN，以前学习的求解器进行迭代。我们对五个典型偏微分方程的广泛实验证实，所提出的框架提出了一个强大的和可解释的偏微分方程发现的方法，适用于广泛的系统，可能复杂的噪声。
2022-08-04 cs.AI cs.LG cs.NA
Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations
Tsinghua University（清华大学）；Huawei Technologies Co. Ltd.（华为技术有限公司）；University of Michigan（密歇根大学）；City University of Macau（澳门城市大学）
本文提出Koopman神经算子（KNO），通过近似Koopman算子将非线性PDE求解转化为线性预测问题，在多个PDE和真实动态系统上实现了网格无关、长期和零样本预测，性能优于现有模型。
2024-05-06 cs.LG cs.NA math.NA
Multiscale Neural Operator: Learning Fast and Grid-independent PDE Solvers
MIT（麻省理工学院）；IBM Research（IBM研究院）
气候、化学或天体物理学中的数值模拟对于高分辨率的不确定性量化或参数探索来说计算成本太高。降阶或代理模型的速度快了几个数量级，但传统的代理是不灵活或不准确的，而纯粹的基于机器学习（ML）的代理太需要数据。我们提出了一个混合的，灵活的代理模型，利用已知的物理模拟大规模的动态和限制学习难以建模的术语，这被称为参数化或关闭，并捕捉到的效果精细到大规模的动态。利用神经运算符，我们是第一个学习网格独立，非局部和灵活参数化的人。我们的\textit{multiscale neural operator}的动机是在多尺度建模的丰富文献，具有准线性运行时的复杂性，是更准确或更灵活的比国家的最先进的参数化和混沌方程多尺度Lorenz96上证明。
2022-07-23 cs.AI cs.CE cs.DC
A Latent space solver for PDE generalization
Ansys Inc（安西斯公司）
在这项工作中，我们提出了一个混合求解器来解决偏微分方程（PDE）的潜在空间。求解器使用迭代推理策略与解初始化相结合，以提高PDE解的泛化能力。通过工程算例验证了该方法的有效性，结果表明该方法可以很好地推广到多种偏微分方程情形。
2021-04-06 cs.LG
Learning time-dependent PDE solver using Message Passing Graph Neural Networks
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Harvard University（哈佛大学）
求解时变偏微分方程的主要挑战之一是开发精确稳定的计算高效的求解器。在这里，我们介绍了一个图神经网络的方法来寻找有效的PDE求解器，通过学习使用消息传递模型。首先，我们引入域不变的PDE数据的启发经典PDE求解器的有效的物理表示的功能。接下来，我们使用图形来表示非结构化网格上的PDE数据，并表明消息传递图神经网络（MPGNN）可以参数化控制方程，因此，有效地学习精确的求解方案的线性/非线性偏微分方程。我们进一步表明，求解器是独立的初始训练的几何形状，即训练的求解器可以找到不同的复杂域上的PDE解决方案。最后，我们表明，一个经常性的图神经网络的方法可以找到一个时间序列的解决方案的PDE。
2022-04-15 cs.AI cs.LG
PDE-SHARP: PDE Solver Hybrids through Analysis and Refinement Passes
Department of Mathematics Stanford University（数学系 斯坦福大学）；Department of Management Science & Engineering Stanford University（管理科学与工程系 斯坦福大学）
PDE-SHARP通过分析、生成与综合三阶段用廉价LLM推理替代昂贵科学计算，以少于13次评估实现PDE求解器精度平均提升4倍，并减少60-75%计算成本。
2025-11-05 cs.LG
Lie Point Symmetry Data Augmentation for Neural PDE Solvers
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Johannes Kepler University Linz（约翰内斯·开普勒林茨大学）；Microsoft Research（微软研究院）；Qualcomm AI Research（高通人工智能研究院）；Deepmind（深度思维）
神经网络越来越多地被用于求解偏微分方程（PDE），取代速度较慢的数值求解器。然而，一个关键问题是，神经PDE求解器需要高质量的地面实况数据，这些数据通常必须来自它们要替换的求解器。因此，我们面临着一个众所周知的先有鸡还是先有蛋的问题。在本文中，我们提出了一种方法，它可以部分地缓解这个问题，通过提高神经PDE求解器的样本复杂性- Lie点对称数据增强（LPSDA）。在偏微分方程的背景下，事实证明，我们能够定量地推导出一个详尽的数据转换列表，基于Lie点对称群的偏微分方程的问题，在其他应用领域是不可能的。我们提出了这个框架，并演示了它如何可以很容易地部署，以提高神经PDE求解器样本的复杂性的一个数量级。
2022-05-29 cs.CV cs.LG
Unisolver: PDE-Conditional Transformers Towards Universal Neural PDE Solvers
Hang Zhou；Yuezhou Ma；Haixu Wu；Haowen Wang；Mingsheng Long
针对现有神经PDE求解器泛化性差的问题，提出以PDE组分为条件的Transformer模型Unisolver，结合物理结构与Transformer技术，在三个大规模基准上实现SOTA，迈向通用神经PDE求解器。
2025-09-04 cs.AI cs.LG cs.NA
Solver-in-the-Loop: Learning from Differentiable Physics to Interact with Iterative PDE-Solvers
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；LTCI, Telecom Paris, IP Paris（巴黎理工学院巴黎电信学院LTCI）；Columbia University（哥伦比亚大学）
求解偏微分方程的精确解是所有科学和工程学科的一项重要任务。最近已经表明，机器学习方法可以通过校正离散化PDE未捕获的影响来提高解的准确性。我们的目标是减少迭代偏微分方程求解器的数值误差的问题，并比较不同的学习方法来寻找复杂的校正函数。我们发现，以前使用的学习方法显着优于方法，将求解器集成到训练循环，从而允许模型在训练过程中与PDE交互。这为模型提供了考虑到先前校正的真实输入分布，从而提高了准确性，稳定推出了数百个经常性评估步骤，甚至超过了定制的监督变量。我们强调了各种各样的偏微分方程的可微物理网络的性能，从非线性对流扩散系统的三维Navier-Stokes流。
2021-01-05 cs.LG physics.comp-ph
Numerical PDE solvers outperform neural PDE solvers
本研究提出可微有限差分框架DeepFDM，将经典前向欧拉离散化嵌入卷积架构，在多类标量PDE基准测试中，误差、训练效率和参数量均显著优于主流神经PDE求解器，为参数化PDE的数据驱动求解与识别提供了稳健高效的透明基线。
2025-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
End-to-End Mesh Optimization of a Hybrid Deep Learning Black-Box PDE Solver
University of Utah（犹他大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本研究探索了结合黑盒PDE求解器与深度图神经网络的混合模型在流体流动预测中的端到端训练可行性，通过零阶梯度估计器对求解器进行微分，在无需自动微分支持的情况下实现了优于冻结网格基线的性能，并通过预热启动加速收敛与提升泛化。
2024-04-28 cs.LG cs.NA math.NA
DiscretizationNet: A Machine-Learning based solver for Navier-Stokes Equations using Finite Volume Discretization
Ansys Inc.（安斯公司）
在过去的几十年里，现有的偏微分方程（PDE）求解器在求解复杂的非线性偏微分方程方面取得了巨大的成功。虽然精确，但这些PDE求解器的计算成本很高。随着机器学习（ML）技术的发展，使用ML解决偏微分方程的研究有了显着增加。这项工作的目标是开发一个基于ML的PDE求解器，耦合现有的PDE求解器与ML技术的重要特征。在这项工作中采用的两个求解器特性是：1）使用基于离散化的方案来近似时空偏导数; 2）使用迭代算法来求解离散形式的线性偏微分方程。在存在高度非线性耦合PDE解的情况下，这些策略对于实现良好的精度、更好的稳定性和更快的收敛非常重要。我们的ML求解器DiscretizationNet采用基于CNN的生成式编码器-解码器模型，PDE变量作为输入和输出特征。在训练过程中，离散化方案在计算图内部实现，以实现PDE残差的更快GPU计算，PDE残差用于更新网络权重，从而得到收敛的解决方案。一种新的迭代能力，实现在网络训练，以提高ML求解器的稳定性和收敛性。用ML-求解器求解了三维定常不可压缩纳维-斯托克斯方程，包括盖驱动空腔、圆柱绕流和共轭传热等情况。
2020-05-17 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
构造偏微分方程的快速数值求解器对于许多科学学科都是至关重要的。求解大规模偏微分方程的一个主要技术是使用多重网格方法。多重网格求解器的核心是延拓矩阵，它与问题的不同尺度之间相关。这个矩阵是强烈的问题依赖性，其最佳结构是至关重要的求解器的效率。然而，在实践中，为新问题设计多重网格算法往往会带来巨大的挑战。在本文中，我们提出了一个学习多重网格求解器的框架。我们的方法学习一个（单一）映射从一个家庭的参数化偏微分方程延长运营商。我们训练一个神经网络一次为整个类的偏微分方程，使用一个有效的和无监督的损失函数。广泛的一类2D扩散问题的实验表明，改进的收敛速度相比，广泛使用的黑盒多重网格计划，这表明我们的方法成功地学习规则，构造延长矩阵。
2019-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
Multi-Scale Message Passing Neural PDE Solvers
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们提出了一种新的多尺度消息传递神经网络学习算法的时间依赖的偏微分方程的解决方案。我们的算法同时具有时间和空间多尺度分辨率的特点，通过将多尺度序列模型和图形门控模块分别在编码器和处理器。基准数值实验表明，所提出的算法优于基线，特别是在一系列的空间和时间尺度的偏微分方程。
2023-02-07 cs.LG cs.NA math.NA
CodePDE: An Inference Framework for LLM-driven PDE Solver Generation
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Flatiron Institute（Flatiron研究院）；Polymathic AI（多学科人工智能）；Datadog
CodePDE通过大语言模型生成PDE求解器，展示了LLM在复杂数学问题中的强大能力及潜在应用价值。
2026-02-22 cs.AI cs.CL cs.LG
Enforcing governing equation constraints in neural PDE solvers via training-free projections
University of Liège（利根大学）
本文提出两种无训练投影方法，用于减少神经PDE求解器中约束方程的违反情况，提升求解精度。
2025-11-21 cs.LG
Autoregressive Renaissance in Neural PDE Solvers
University College London（伦敦大学学院）
本文解读ICLR 2022论文，介绍一种消息传递图神经网络，通过缓解自回归不稳定问题，在神经偏微分方程求解中达到或超越傅里叶神经算子与经典求解器的泛化性能。
2023-10-30 cs.AI cs.LG cs.NA
Implicit Neural Solver for Time-dependent Linear PDEs with Convergence Guarantee
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）
快速精确求解含时不定常偏微分方程是物理、工程、生物等领域的研究热点。一般来说，隐格式格式比显式格式具有更好的稳定性和正确性。现有的隐格式格式通常是迭代的，并采用一个通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器学习一类偏微分方程的最佳迭代方案，在数据驱动的方式。我们通过使用深度神经网络修改现有半隐式求解器的迭代来实现这一目标。此外，我们从理论上证明，我们的方法保留了现有的迭代求解器提供的正确性和收敛性保证。我们还证明，我们的模型推广到一个不同的参数设置比在训练过程中看到的，并实现更快的收敛相比，半隐格式。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
Active Learning for Neural PDE Solvers
University of Stuttgart（斯图加特大学）；SimTech（模拟技术中心）；IMPRS-IS（国际马克斯·普朗克研究学院智能系统研究所）；INRIA Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎分部）；Ecole Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；PSL University（巴黎文理研究大学）；NEC Labs Europe（日本电气欧洲实验室）
针对神经PDE求解器训练数据成本高的问题，提出模块化主动学习基准AL4PDE，实验证明主动学习可大幅降低误差且生成的数据集可复用。
2025-03-24 cs.AI cs.CE cs.LG
GEPS: Boosting Generalization in Parametric PDE Neural Solvers through Adaptive Conditioning
Sorbonne Université（索邦大学）；Criteo AI Lab（克里泰人工智能实验室）
GEPS通过自适应条件化与低秩快速适应机制，提升参数化PDE神经求解器对未见条件的泛化能力，并在时空预测任务中验证其有效性。
2024-11-08 cs.AI cs.LG
Singular parameters and missing limits in neural PDE solvers
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文针对神经PDE求解器中因参数无界增长导致的缺失极限问题，通过分析tanh网络并添加核导数来补全模型，使最佳逼近可达，并数值验证了其对优化的影响。
2026-10-06 cs.LG cs.NA math.NA
Pre-Generating Multi-Difficulty PDE Data for Few-Shot Neural PDE Solvers
Machine Learning Department, Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学机器学习系）；Department of Computer Sciences, UW-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校计算机科学系）
通过预生成多难度的PDE数据，提升少样本神经PDE求解器的性能与效率。
2026-01-23 cs.LG physics.flu-dyn
Invariant preservation in machine learned PDE solvers via error correction
Princeton University（普林斯顿大学）；Princeton Plasma Physics Laboratory（普林斯顿等离子体物理实验室）
机器学习偏微分方程（PDE）求解器用标准数值方法的可靠性换取精度和/或速度的潜在增益。求解器保证输出精确解的唯一方法是在网格间距$Δx$和时间步长$Δt$接近零的限制下使用收敛方法。机器学习求解器学习更新大$Δx$和/或$Δt$的解决方案，永远不能保证完美的准确性。一定量的错误是不可避免的，所以问题变成了：我们如何约束机器学习的求解器，让它给我们提供我们愿意容忍的错误？在本文中，我们通过保留底层PDE的连续不变量的离散类似物来设计更可靠的机器学习PDE求解器。这种不变量的例子包括质量守恒、能量守恒、热力学第二定律和/或非负密度。我们的关键见解很简单：为了保持不变量，在每个时间步对更新规则应用纠错算法。虽然该策略与标准求解器如何保持不变量不同，但是有必要保持允许机器学习求解器在大$Δx$和/或$Δt$上精确的灵活性。该策略可以应用于任意几何形状和任意边界条件下的任意时变偏微分方程的自回归求解。虽然这种策略是非常普遍的，具体的纠错算法需要量身定制的基本方程的不变量，以及解决方案的解决方案表示和时间步进计划的求解器。我们介绍的纠错算法有两个关键属性。首先，通过保持正确的不变量，它们保证了数值稳定性。其次，在封闭或周期系统中，它们这样做不会降低已经精确的求解器的精度。
2023-03-29 cs.LG cs.NA math.NA
Learning a Neural Solver for Parametric PDE to Enhance Physics-Informed Methods
Sorbonne Université, CNRS, ISIR（索邦大学、国家科学研究中心、信息科学研究所）；ARCHES, INRIA Paris（ARCHES、巴黎INRIA）；Criteo AI Lab（Criteo人工智能实验室）
本文提出学习参数偏微分方程的神经求解器，通过条件化梯度下降算法提升物理指导方法的优化效率和稳定性。
2026-02-12 cs.LG
Flexible and Efficient Probabilistic PDE Solvers through Gaussian Markov Random Fields
University of Tübingen（蒂宾根大学）；Tübingen AI Center（蒂宾根人工智能中心）
本文利用高斯过程先验的马尔可夫性质，通过随机偏微分方程离散化和稀疏线性代数大幅加速推理，使概率PDE求解器能够高效处理大规模非线性PDE，并支持更灵活的物理先验。
2025-03-11 cs.LG cs.NA math.NA
Error Analysis of Deep PDE Solvers for Option Pricing
Delft Institute of Applied Mathematics, EEMCS, TU Delft（代尔夫特应用数学研究所，EEMCS，代尔夫特理工大学）
本文通过Black--Scholes和Heston模型下的对比实验，系统分析了Deep Galerkin Method和TDGF两种深度PDE求解器在期权定价中的经验收敛速率与训练时间，为实际应用提供指导。
2025-05-08 cs.LG q-fin.CP q-fin.MF
PRISMA: Improving the Accuracy-Latency Frontier of Diffusion-based PDE Solvers Using Physics-Informed Spectral Attention
Department of Computer Science（计算机科学系）
PRISMA通过将PDE残差作为频谱注意力机制整合到扩散神经算子中，实现了无需梯度下降的快速、稳健和准确的PDE求解。
2026-08-05 cs.AI cs.LG cs.NA
Error Analysis of Option Pricing via Deep PDE Solvers: Empirical Study
Tohoku University（东北大学）；Preferred Networks, Inc.（Preferred Networks 公司）
本研究通过实证对比和消融实验，系统分析了深度PDE求解器在高维期权定价中的三类误差来源，发现DBSDE方法性能优越且对期权规格变化鲁棒，并揭示了性能与批大小及时间步数的平方根成反比的关系，为实际应用提供了计算资源估算依据。
2023-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
UGrid: An Efficient-And-Rigorous Neural Multigrid Solver for Linear PDEs
Stony Brook University (SUNY)（纽约州立大学石溪分校）；Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出融合 U-Net 与多重网格的线性 PDE 神经求解器 UGrid，兼具收敛与正确性证明、高精度及跨几何和 PDE 形式的泛化能力，并以残差损失实现稳定无监督训练。
2024-08-09 cs.AI cs.LG cs.MS
Latent Neural PDE Solver: a reduced-order modelling framework for partial differential equations
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Naval Nuclear Laboratory（海军核实验室）
本文提出Latent Neural PDE Solver（LNS），通过非线性自编码器将PDE系统映射到粗离散潜空间并在其中进行时间演化预测，在单相与多相流等系统上实现了兼具精度与效率的降阶模拟。
2025-01-08 cs.AI cs.LG math.AP
Tensor Gaussian Processes: Efficient Solvers for Nonlinear PDEs
Kahlert School of Computing, University of Utah（犹他大学卡勒特计算学院）；Department of Mathematics, University of Kentucky（肯塔基大学数学系）；Department of Computing and Mathematical Sciences, California Institute of Technology（加州理工学院计算与数学科学系）
本文提出基于张量高斯过程的求解器TGPS，通过一维高斯过程因子函数和张量分解降低计算复杂度，结合部分冻结策略和牛顿法提升效率，并在多个基准PDE上验证了其精度和效率优势。
2026-03-26 cs.LG
Monte Carlo Neural PDE Solver for Learning PDEs via Probabilistic Representation
Gaoling School of Artificial Intelligence, Renmin University of China（中国人民大学高瓴人工智能学院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences (CAS)（中国科学院数学与系统科学研究院）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Zhongguancun Academy（中关村学院）；Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算技术研究所）
本文提出蒙特卡洛神经偏微分方程求解器（MCNP Solver），利用偏微分方程的概率表示以无监督方式训练神经求解器，将对流-扩散等方程的宏观现象建模为随机粒子集合，并通过Heun方法及邻近网格概率密度期望计算提升精度与效率，在多个方程上验证了其优越性。
2025-03-11 cs.LG cs.NA math.NA
Hamiltonian Neural PDE Solvers through Functional Approximation
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出HNS，将哈密顿泛函表示为神经场参数化的核积分，并用自动微分求泛函导数，从而在一维和二维PDE上提升稳定性、守恒性与长时泛化能力。
2025-09-29 cs.LG
