Enforcing governing equation constraints in neural PDE solvers via training-free projections
University of Liège（利根大学）
本文提出两种无训练投影方法，用于减少神经PDE求解器中约束方程的违反情况，提升求解精度。
2025-11-21 cs.LG
Solver-in-the-Loop: Learning from Differentiable Physics to Interact with Iterative PDE-Solvers
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；LTCI, Telecom Paris, IP Paris（巴黎理工学院巴黎电信学院LTCI）；Columbia University（哥伦比亚大学）
求解偏微分方程的精确解是所有科学和工程学科的一项重要任务。最近已经表明，机器学习方法可以通过校正离散化PDE未捕获的影响来提高解的准确性。我们的目标是减少迭代偏微分方程求解器的数值误差的问题，并比较不同的学习方法来寻找复杂的校正函数。我们发现，以前使用的学习方法显着优于方法，将求解器集成到训练循环，从而允许模型在训练过程中与PDE交互。这为模型提供了考虑到先前校正的真实输入分布，从而提高了准确性，稳定推出了数百个经常性评估步骤，甚至超过了定制的监督变量。我们强调了各种各样的偏微分方程的可微物理网络的性能，从非线性对流扩散系统的三维Navier-Stokes流。
2021-01-05 cs.LG physics.comp-ph
A composable autoencoder-based iterative algorithm for accelerating numerical simulations
CTO Office（首席技术官办公室）；Ansys Inc（安西斯公司）
工程应用的数值模拟求解偏微分方程（PDE）来模拟各种物理过程。传统的偏微分方程求解器非常精确，但计算成本很高。另一方面，机器学习（ML）方法提供了显着的计算加速，但面临的挑战与准确性和推广到不同的PDE条件，如几何形状，边界条件，初始条件和PDE源项。在这项工作中，我们提出了一种新型的基于ML的方法，CoAE-MLSim（可组合自动编码器机器学习模拟），这是一种无监督、低维、局部方法，其动机来自商业偏微分方程求解器中使用的关键思想。这使得我们的方法可以用相对较少的PDE解决方案样本更好地学习。建议ML的方法进行比较，对商业求解器更好的基准，以及最新的ML方法解决偏微分方程。它是测试各种复杂的工程案例，以证明其计算速度，精度，可扩展性，并在不同的PDE条件下的泛化。结果表明，我们的方法在所有比较指标（包括截面切割和线条结果等指标）中准确地捕捉到了物理学。
2021-10-07 cs.LG physics.flu-dyn
Online learning to accelerate nonlinear PDE solvers: applied to multiphase porous media flow
Imperial College London（帝国理工学院）；Petroleo Brasileiro S.A. (Petrobras)（巴西石油公司）；OpenGoSim
提出基于在线学习的非线性PDE求解器加速方法，通过无量纲参数、简化模型训练、动态松弛控制及实时学习，在三维多相流模拟中减少非线性迭代并实现85%计算时间缩减。
2025-04-25 cs.LG physics.flu-dyn
Unisolver: PDE-Conditional Transformers Towards Universal Neural PDE Solvers
Hang Zhou；Yuezhou Ma；Haixu Wu；Haowen Wang；Mingsheng Long
针对现有神经PDE求解器泛化性差的问题，提出以PDE组分为条件的Transformer模型Unisolver，结合物理结构与Transformer技术，在三个大规模基准上实现SOTA，迈向通用神经PDE求解器。
2025-09-04 cs.AI cs.LG cs.NA
Experimental Demonstration of an Optical Neural PDE Solver via On-Chip PINN Training
Hewlett Packard Labs, Hewlett Packard Enterprise（慧与企业惠普实验室）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣巴巴拉分校）
本文实验演示了一种光学神经PDE求解器，利用物理信息神经网络在光子芯片上进行免反向传播训练，为解决偏微分方程提供了新方法。
2025-01-01 cs.AR cs.LG physics.optics
TENG-BC: Unified Time-Evolving Natural Gradient for Neural PDE Solvers with General Boundary Conditions
School of Mathematical Sciences, Peking University, Beijing, China（北京大学数学科学学院）；Department of Physics, Tsinghua University, Beijing, China（清华大学物理系）；Institute of Advanced Study, Tsinghua University, Beijing, China（清华大学advanced study研究所）
TENG-BC通过统一时间演进自然梯度方法，实现对具有通用边界条件的神经PDE求解器的高精度求解，优于传统方法和PINN基线。
2026-02-28 cs.LG
PDE-PFN: Prior-Data Fitted Neural PDE Solver
SolverX；KAIST（韩国科学技术院）；Seoul National University（首尔大学）；TelePIX；Arizona State University（亚利桑那州立大学）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
PDE-PFN是基于PFN架构的神经PDE求解器，通过在噪声近似解上预训练，实现跨异构方程泛化、噪声先验鲁棒性及零梯度更新推理，精度优于或相当基线。
2026-10-12 cs.LG
Numerical PDE solvers outperform neural PDE solvers
本研究提出可微有限差分框架DeepFDM，将经典前向欧拉离散化嵌入卷积架构，在多类标量PDE基准测试中，误差、训练效率和参数量均显著优于主流神经PDE求解器，为参数化PDE的数据驱动求解与识别提供了稳健高效的透明基线。
2025-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
PDEFlow: Autonomous Agentic PDE Pipelines for Neural Operator Learning and Solver-Free Inference
Tata Research Development and Design Center（塔塔研究发展与设计中心）
提出PDEFlow自主智能体框架，将用户ODE/PDE描述转化为神经算子流水线，实现多轮自然语言输入处理、自动数据生成、算子训练与无求解器推理，大幅降低相关科学工程任务的手动干预成本。
2026-07-07 cs.AI cs.LG
End-to-End Mesh Optimization of a Hybrid Deep Learning Black-Box PDE Solver
University of Utah（犹他大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本研究探索了结合黑盒PDE求解器与深度图神经网络的混合模型在流体流动预测中的端到端训练可行性，通过零阶梯度估计器对求解器进行微分，在无需自动微分支持的情况下实现了优于冻结网格基线的性能，并通过预热启动加速收敛与提升泛化。
2024-04-28 cs.LG cs.NA math.NA
Learning a Neural Solver for Parametric PDE to Enhance Physics-Informed Methods
Sorbonne Université, CNRS, ISIR（索邦大学、国家科学研究中心、信息科学研究所）；ARCHES, INRIA Paris（ARCHES、巴黎INRIA）；Criteo AI Lab（Criteo人工智能实验室）
本文提出学习参数偏微分方程的神经求解器，通过条件化梯度下降算法提升物理指导方法的优化效率和稳定性。
2026-02-12 cs.LG
Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
构造偏微分方程的快速数值求解器对于许多科学学科都是至关重要的。求解大规模偏微分方程的一个主要技术是使用多重网格方法。多重网格求解器的核心是延拓矩阵，它与问题的不同尺度之间相关。这个矩阵是强烈的问题依赖性，其最佳结构是至关重要的求解器的效率。然而，在实践中，为新问题设计多重网格算法往往会带来巨大的挑战。在本文中，我们提出了一个学习多重网格求解器的框架。我们的方法学习一个（单一）映射从一个家庭的参数化偏微分方程延长运营商。我们训练一个神经网络一次为整个类的偏微分方程，使用一个有效的和无监督的损失函数。广泛的一类2D扩散问题的实验表明，改进的收敛速度相比，广泛使用的黑盒多重网格计划，这表明我们的方法成功地学习规则，构造延长矩阵。
2019-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
MAgNet: Mesh Agnostic Neural PDE Solver
Mila - Québec AI Institute（米拉-魁北克人工智能研究所）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Université du Québec à Rimouski（魁北克大学里穆斯基分校）
经典偏微分方程（PDE）数值方法的计算复杂性随着分辨率的增加而显著增加。作为一个重要的例子，气候预测需要精细的时空分辨率来解决流体模拟中的所有湍流尺度。这使得即使使用现代超级计算机也无法通过计算准确解决这些规模的任务。因此，目前的数值建模人员在过于粗糙的网格（每边3公里到200公里）上求解偏微分方程，这阻碍了预测的准确性和实用性。在本文中，我们利用隐式神经表示（INR）的最新进展，设计了一种新的架构，预测空间连续的解决方案的PDE给定的空间位置查询。通过使用图神经网络（GNN）增强基于坐标的架构，我们可以实现zero-shot泛化到新的非均匀网格和长达250帧的物理一致的长期预测。我们的网格不可知神经PDE求解器（MAgNet）能够在各种PDE模拟数据集上进行准确的预测，并与现有的基线相媲美。此外，MAgNet可以很好地推广到不同的网格和分辨率，最高可达训练的四倍。
2022-10-11 cs.LG cs.NA math.NA
GEPS: Boosting Generalization in Parametric PDE Neural Solvers through Adaptive Conditioning
Sorbonne Université（索邦大学）；Criteo AI Lab（克里泰人工智能实验室）
GEPS通过自适应条件化与低秩快速适应机制，提升参数化PDE神经求解器对未见条件的泛化能力，并在时空预测任务中验证其有效性。
2024-11-08 cs.AI cs.LG
Hamiltonian Neural PDE Solvers through Functional Approximation
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出HNS，将哈密顿泛函表示为神经场参数化的核积分，并用自动微分求泛函导数，从而在一维和二维PDE上提升稳定性、守恒性与长时泛化能力。
2025-09-29 cs.LG
Multi-Scale Message Passing Neural PDE Solvers
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们提出了一种新的多尺度消息传递神经网络学习算法的时间依赖的偏微分方程的解决方案。我们的算法同时具有时间和空间多尺度分辨率的特点，通过将多尺度序列模型和图形门控模块分别在编码器和处理器。基准数值实验表明，所提出的算法优于基线，特别是在一系列的空间和时间尺度的偏微分方程。
2023-02-07 cs.LG cs.NA math.NA
Transolver++: An Accurate Neural Solver for PDEs on Million-Scale Geometries
School of Software, BNRist, Tsinghua University. Huakun Luo < >
Transolver++通过优化的并行框架和局部自适应机制，首次实现单GPU百万级网格点的PDE求解，并在标准基准和工业仿真中显著提升精度与性能。
2025-02-07 cs.LG
Implicit Neural Solver for Time-dependent Linear PDEs with Convergence Guarantee
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）
快速精确求解含时不定常偏微分方程是物理、工程、生物等领域的研究热点。一般来说，隐格式格式比显式格式具有更好的稳定性和正确性。现有的隐格式格式通常是迭代的，并采用一个通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器学习一类偏微分方程的最佳迭代方案，在数据驱动的方式。我们通过使用深度神经网络修改现有半隐式求解器的迭代来实现这一目标。此外，我们从理论上证明，我们的方法保留了现有的迭代求解器提供的正确性和收敛性保证。我们还证明，我们的模型推广到一个不同的参数设置比在训练过程中看到的，并实现更快的收敛相比，半隐格式。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
Non-equispaced Fourier Neural Solvers for PDEs
Westlake University（西湖大学）
解偏微分方程很难。最近提出的神经分辨率不变模型，尽管它们的有效性和效率，通常需要均匀的空间数据点。然而，在现实世界的系统中，空间域的采样有时不可避免地是非等间距的，从而限制了它们的适用性。在本文中，我们提出了一个非等间距傅立叶偏微分方程求解器（\textsc{NFS}）与自适应插值的重采样等间距点和傅立叶神经算子作为其组件的变体。复杂偏微分方程的实验结果表明，该算法在精度和效率上都具有优势。与空间均匀分布的基准方法相比，该方法通过对MAE的$42.85\%$改进，获得了更好的性能，并且能够以微小的精度损失处理非均匀分布的数据。此外，据我们所知，\textsc{NFS}是第一个基于ML的方法，具有网格不变推理能力，可以成功地模拟非等间距场景中的湍流，在看不见的空间点上具有较小的误差偏差。
2023-03-18 cs.LG
Autoregressive Renaissance in Neural PDE Solvers
University College London（伦敦大学学院）
本文解读ICLR 2022论文，介绍一种消息传递图神经网络，通过缓解自回归不稳定问题，在神经偏微分方程求解中达到或超越傅里叶神经算子与经典求解器的泛化性能。
2023-10-30 cs.AI cs.LG cs.NA
Adversarial Learning for Neural PDE Solvers with Sparse Data
School of Informatics（信息学院）；Xiamen University（厦门大学）；Department of Computing（计算机系）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文针对数据稀缺下神经 PDE 求解器鲁棒性不足的问题，提出 SMART 通用学习策略，通过针对性改进模型薄弱环节降低泛化误差，并在多种 PDE 场景中显著提升预测精度。
2024-09-04 cs.LG
CodePDE: An Inference Framework for LLM-driven PDE Solver Generation
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Flatiron Institute（Flatiron研究院）；Polymathic AI（多学科人工智能）；Datadog
CodePDE通过大语言模型生成PDE求解器，展示了LLM在复杂数学问题中的强大能力及潜在应用价值。
2026-02-22 cs.AI cs.CL cs.LG
Physics-informed Reduced Order Modeling of Time-dependent PDEs via Differentiable Solvers
Department of Computer Science University of Western Ontario（计算机科学系大学西部安大略）
本文提出物理信息降阶建模（$Φ$-ROM），通过将可微PDE求解器融入训练，使潜在动态符合物理规律，实现高精度泛化、长时预测和稀疏数据下的场重建，优于现有方法。
2025-10-25 cs.LG
Physics-Informed Neural PDE Solvers via Spatio-Temporal MeanFlow
Fudan University（复旦大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出时空均流求解器，通过将生成速度场替换为物理PDE算子，实现高效预测，同时扩展均流约束到时空域，统一处理时变和静态PDE，实验表明其在精度和效率上优于基线方法。
2026-05-09 cs.LG
Active Learning for Neural PDE Solvers
University of Stuttgart（斯图加特大学）；SimTech（模拟技术中心）；IMPRS-IS（国际马克斯·普朗克研究学院智能系统研究所）；INRIA Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎分部）；Ecole Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；PSL University（巴黎文理研究大学）；NEC Labs Europe（日本电气欧洲实验室）
针对神经PDE求解器训练数据成本高的问题，提出模块化主动学习基准AL4PDE，实验证明主动学习可大幅降低误差且生成的数据集可复用。
2025-03-24 cs.AI cs.CE cs.LG
Learning Neural PDE Solvers with Parameter-Guided Channel Attention
NEC Laboratories Europe（NEC欧洲实验室）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
针对现有神经PDE求解器难以泛化到未见过参数的问题，提出参数嵌入引导的通道注意力模块CAPE与课程学习策略，在基准上实现显著提升，且未大幅增加推理开销与参数量。
2023-07-21 cs.CE cs.LG physics.comp-ph
Hybrid Iterative Solvers with Geometry-Aware Neural Preconditioners for Parametric PDEs
Division of Applied Mathematics（应用数学系）；Brown University（布朗大学）；Ansys UK Ltd（Ansys英国有限公司）
本文提出Geo-DeepONet，结合几何信息的神经预置条件器，提升混合迭代求解器在参数PDEs中的鲁棒性和效率。
2025-12-16 cs.LG cs.NA math.NA
Singular parameters and missing limits in neural PDE solvers
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文针对神经PDE求解器中因参数无界增长导致的缺失极限问题，通过分析tanh网络并添加核导数来补全模型，使最佳逼近可达，并数值验证了其对优化的影响。
2026-10-06 cs.LG cs.NA math.NA
MD-PNOP: Equation-Recast Neural Operators for Minimal-Data Extrapolation and PDE Solver Acceleration
Department of Mechanical, Aerospace, and Nuclear Engineering（机械、航空航天与核工程系）
本文提出MD-PNOP框架，通过将参数诱导的算子差转化为额外源项，实现单次训练配置到广泛未见参数设置的系统外推，同时嵌入迭代PDE求解器提升初始猜测，减少迭代次数且不牺牲精度。
2026-05-13 cs.LG
M2NO: An Efficient Multi-Resolution Operator Framework for Dynamic Multi-Scale PDE Solvers
The Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科学与技术大学（广州））；The Hong Kong University of Science and Technology（香港科学与技术大学）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）
M2NO是一种高效的多分辨率运算框架，通过结合多网格结构和多小波空间，提升高维PDE求解的精度和效率，并在多种任务中表现优异。
2025-12-12 cs.LG
Beyond Accuracy: EcoL2 Metric for Sustainable Neural PDE Solvers
Department of Engineering Structures（工程结构系）；TU Delft（代尔夫特理工大学）；Department of Electrical Engineering（电气工程系）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；Laboratory of Earthquake Engineering（地震工程实验室）；National Technical University of Athens（雅典国家技术大学）；Machine Learning Research Group（机器学习研究组）；University of Oxford（牛津大学）
针对现有神经PDE求解器只重精度、忽视计算碳排放的问题，提出平衡精度与全流程碳排放的EcoL2度量，经两类架构实验验证可实现性能与排放成本的整体评估，助力构建低环境影响的科学机器学习系统。
2025-05-18 cs.AI cs.LG
Flexible and Efficient Probabilistic PDE Solvers through Gaussian Markov Random Fields
University of Tübingen（蒂宾根大学）；Tübingen AI Center（蒂宾根人工智能中心）
本文利用高斯过程先验的马尔可夫性质，通过随机偏微分方程离散化和稀疏线性代数大幅加速推理，使概率PDE求解器能够高效处理大规模非线性PDE，并支持更灵活的物理先验。
2025-03-11 cs.LG cs.NA math.NA
Invariant preservation in machine learned PDE solvers via error correction
Princeton University（普林斯顿大学）；Princeton Plasma Physics Laboratory（普林斯顿等离子体物理实验室）
机器学习偏微分方程（PDE）求解器用标准数值方法的可靠性换取精度和/或速度的潜在增益。求解器保证输出精确解的唯一方法是在网格间距$Δx$和时间步长$Δt$接近零的限制下使用收敛方法。机器学习求解器学习更新大$Δx$和/或$Δt$的解决方案，永远不能保证完美的准确性。一定量的错误是不可避免的，所以问题变成了：我们如何约束机器学习的求解器，让它给我们提供我们愿意容忍的错误？在本文中，我们通过保留底层PDE的连续不变量的离散类似物来设计更可靠的机器学习PDE求解器。这种不变量的例子包括质量守恒、能量守恒、热力学第二定律和/或非负密度。我们的关键见解很简单：为了保持不变量，在每个时间步对更新规则应用纠错算法。虽然该策略与标准求解器如何保持不变量不同，但是有必要保持允许机器学习求解器在大$Δx$和/或$Δt$上精确的灵活性。该策略可以应用于任意几何形状和任意边界条件下的任意时变偏微分方程的自回归求解。虽然这种策略是非常普遍的，具体的纠错算法需要量身定制的基本方程的不变量，以及解决方案的解决方案表示和时间步进计划的求解器。我们介绍的纠错算法有两个关键属性。首先，通过保持正确的不变量，它们保证了数值稳定性。其次，在封闭或周期系统中，它们这样做不会降低已经精确的求解器的精度。
2023-03-29 cs.LG cs.NA math.NA
Error Analysis of Deep PDE Solvers for Option Pricing
Delft Institute of Applied Mathematics, EEMCS, TU Delft（代尔夫特应用数学研究所，EEMCS，代尔夫特理工大学）
本文通过Black--Scholes和Heston模型下的对比实验，系统分析了Deep Galerkin Method和TDGF两种深度PDE求解器在期权定价中的经验收敛速率与训练时间，为实际应用提供指导。
2025-05-08 cs.LG q-fin.CP q-fin.MF
From Numerical Simulators of PDEs to Neural Emulators and Back
TU Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；TU Munich（慕尼黑工业大学）
本论文探究PDE数值模拟器与神经模拟器的关系，梳理求解器在神经模拟器学习流程中的角色，完成APEBench基准套件等三项贡献，指出二者相似多于差异。
2026-08-26 cs.LG
Warm-starting PDE solvers with any-dimensional machine learning
Columbia University（哥伦比亚大学）；Brown University（布朗大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文提出利用对称性条件，使低维训练的PDE求解器可零样本或热启动求解高维PDE，并在多个方程上验证了性能提升与数据效率优势。
2026-10-01 cs.LG stat.ML
Latent Neural PDE Solver: a reduced-order modelling framework for partial differential equations
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Naval Nuclear Laboratory（海军核实验室）
本文提出Latent Neural PDE Solver（LNS），通过非线性自编码器将PDE系统映射到粗离散潜空间并在其中进行时间演化预测，在单相与多相流等系统上实现了兼具精度与效率的降阶模拟。
2025-01-08 cs.AI cs.LG math.AP
Physics-Embedded Neural Networks: Graph Neural PDE Solvers with Mixed Boundary Conditions
RICOS Co. Ltd.（RICOS有限公司）；University of Tsukuba（筑波大学）
图神经网络（GNN）是学习和预测边值问题中描述的物理现象的一种很有前途的方法，如带边界条件的偏微分方程（PDE）。然而，现有的模型没有充分处理边界条件的可靠预测等问题。此外，由于GNN的局部连接性质，很难准确预测长时间后的状态，其中顶点之间的交互往往是全局的。我们提出了我们的方法，称为物理嵌入式神经网络，考虑边界条件，并预测了很长一段时间后，使用隐式方法的状态。它是基于E（n）-等变GNN构建的，从而在各种形状上具有很高的泛化性能。我们证明了我们的模型学习复杂形状的流动现象，并在速度-精度权衡方面优于优化的经典求解器和最先进的机器学习模型。因此，我们的模型可以成为实现可靠，快速和准确的基于GNN的PDE求解器的有用标准。该代码可在https://github.com/yellowshippo/penn-neurips2022上获得。
2023-03-23 cs.CE cs.LG
Generative Latent Neural PDE Solver using Flow Matching
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
提出一种基于流匹配的潜在扩散模型，将PDE状态嵌入低维空间，降低计算成本，并在准确性和长期稳定性上优于确定性基线。
2025-03-28 cs.AI cs.LG
PDE-Refiner: Achieving Accurate Long Rollouts with Neural PDE Solvers
Microsoft Research（微软研究院）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
针对神经PDE求解器在长时间预测中因忽视高频信息而不稳定的问题，提出基于扩散模型的多步细化方法PDE-Refiner，在复杂流体动力学基准上实现更稳定准确的rollout，并提升数据效率与不确定性评估能力。
2023-10-21 cs.AI cs.LG
Physics-Aware Neural Implicit Solvers for multiscale, parametric PDEs with applications in heterogeneous media
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Munich Data Science Institute（慕尼黑数据科学研究所）
提出物理感知神经隐式求解器（PANIS），利用加权残差虚拟数据与粗离散化隐式求解器，学习参数化PDE替代模型，适用于非均质材料及多尺度问题，支持不确定性量化。
2024-05-29 cs.LG stat.ML
Error Analysis of Option Pricing via Deep PDE Solvers: Empirical Study
Tohoku University（东北大学）；Preferred Networks, Inc.（Preferred Networks 公司）
本研究通过实证对比和消融实验，系统分析了深度PDE求解器在高维期权定价中的三类误差来源，发现DBSDE方法性能优越且对期权规格变化鲁棒，并揭示了性能与批大小及时间步数的平方根成反比的关系，为实际应用提供了计算资源估算依据。
2023-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
A Neural PDE Solver with Temporal Stencil Modeling
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Brookhaven National Laboratory（布鲁克海文国家实验室）
非线性偏微分方程的数值模拟在天气、气候和空气动力学等物理科学和工程现象的建模中起着至关重要的作用。最近的机器学习（ML）模型在低分辨率时空信号上训练，在捕获高分辨率信号中的重要动态方面显示了新的希望，条件是模型可以有效地恢复丢失的细节。然而，这项研究表明，重要的信息往往是在低分辨率下采样的功能丢失。为了解决这些问题，我们提出了一种新的方法，即时间模板建模（TSM），它结合了先进的时间序列序列建模（具有HiPPO功能）和最先进的神经PDE求解器（具有可学习的模板建模）的优势。TSM的目的是恢复从PDE轨迹丢失的信息，可以被视为经典的有限体积方法，如WENO的时间推广。我们的实验结果表明，TSM实现了新的国家的最先进的模拟精度为2-D不可压缩的Navier-Stokes湍流：它显着优于先前报道的最佳结果的19.9%，在高度相关的持续时间，并减少推理延迟到80%。我们还显示了很强的泛化能力，所提出的方法，各种分布的湍流设置。我们的代码可以在“https://github.com/Edward-Sun/TSM-PDE“上找到。
2023-02-16 cs.LG
PRISMA: Improving the Accuracy-Latency Frontier of Diffusion-based PDE Solvers Using Physics-Informed Spectral Attention
Department of Computer Science（计算机科学系）
PRISMA通过将PDE残差作为频谱注意力机制整合到扩散神经算子中，实现了无需梯度下降的快速、稳健和准确的PDE求解。
2026-08-05 cs.AI cs.LG cs.NA
Monte Carlo Neural PDE Solver for Learning PDEs via Probabilistic Representation
Gaoling School of Artificial Intelligence, Renmin University of China（中国人民大学高瓴人工智能学院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences (CAS)（中国科学院数学与系统科学研究院）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Zhongguancun Academy（中关村学院）；Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算技术研究所）
本文提出蒙特卡洛神经偏微分方程求解器（MCNP Solver），利用偏微分方程的概率表示以无监督方式训练神经求解器，将对流-扩散等方程的宏观现象建模为随机粒子集合，并通过Heun方法及邻近网格概率密度期望计算提升精度与效率，在多个方程上验证了其优越性。
2025-03-11 cs.LG cs.NA math.NA
Parameterized Representations via Implicit Stochastic Modulation for High-Dimensional and High-Order Neural PDE Solvers
National Center for Applied Mathematics, Tianjin University（天津大学应用数学中心）；School of Mechanical and Aerospace Engineering, Jilin University（吉林大学机械与航空航天工程学院）
提出PRISM框架，通过超生成器将物理参数映射为仿射调制器，实现参数化高维高阶随机神经PDE求解器，保持无偏性并降低内存消耗，支持零样本泛化。
2026-06-23 cs.LG
UGrid: An Efficient-And-Rigorous Neural Multigrid Solver for Linear PDEs
Stony Brook University (SUNY)（纽约州立大学石溪分校）；Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出融合 U-Net 与多重网格的线性 PDE 神经求解器 UGrid，兼具收敛与正确性证明、高精度及跨几何和 PDE 形式的泛化能力，并以残差损失实现稳定无监督训练。
2024-08-09 cs.AI cs.LG cs.MS
Energy Manifold Natural Gradient Descent: Riemannian Optimization for Neural PDE Solvers
Tianjin University（天津大学）；Jilin University（吉林大学）
研究针对神经偏微分方程求解器，提出能量流形自然梯度下降框架\EMNGD，将参数更新与函数空间能量曲率对齐，在黎曼流形上优化，证明相关性质，实验显示比现有基线精度更高、收敛更快，还能量化精度与成本权衡。
2026-07-27 cs.LG
DGNN: A Neural PDE Solver Induced by Discontinuous Galerkin Methods
本文受IPDGM启发提出DGNN框架，以分段神经网络为试探空间、分段多项式为检验空间，在稳态与时变PDE数值实验中展现出高精度、训练高效及处理复杂情形的能力。
2025-03-14 cs.LG physics.comp-ph
Blending Neural Operators and Relaxation Methods in PDE Numerical Solvers
Brown University（布朗大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Ansys Inc（安sys公司）
本文提出HINTS混合求解器，将DeepONet与松弛方法结合，利用谱偏差互补优势，实现PDE快速、可扩展且均匀收敛的数值求解。
2024-09-02 cs.LG cs.NA math.NA
Solver-Integrated Adversarial Attacking and Training of Neural Operators
本文从求解器角度研究神经算子的泛化与鲁棒性，提出求解器集成对抗攻击与训练方法，提升泛化与鲁棒性，实验表明深度集成更有效。
2026-10-30 cs.LG
Flow Learners for PDEs: Toward a Physics-to-Physics Paradigm for Scientific Computing
The University of Alabama（阿拉巴马大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本文提出流学习器（flow learners）范式，通过参数化传输向量场并积分生成轨迹，将PDE求解从状态预测转向物理上允许的未来传输建模，实现连续时间预测、不确定性量化及物理感知求解器设计。
2026-06-02 cs.LG
Oscillatory State-Space Models as Inductive Biases for Physics-Informed Neural PDE Solvers
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；Wageningen University & Research（瓦赫宁根大学与研究中心）
提出一种结合振荡状态空间动力学和PDE感知空间谱的PINN方法，以改进时变PDE求解的精度和内存效率。
2026-05-29 cs.AI cs.LG cs.NE
