An optimized Space-Time Multigrid algorithm for parabolic PDEs
我们研究了三个方向，以进一步改进[GanNeu 16]中引入的具有块Jacobi平滑器的高效时空多重网格算法。首先，我们推导出一个完整的时空粗化策略的情况下的最佳平滑参数的解析表达式;其次，我们提出了一个新的和有效的直接粗化策略，通过防止粗化制度的变化，简化了代码;第三，我们还优化了整个两个周期，以调查是否有可能进一步提高效率。特别是，我们表明，我们的新的粗化策略导致一个显着的效率增益时，比率$τ/h^2$是小的，其中$τ$和$h$代表的时间和空间的步骤。我们的分析是在一维空间中进行的，在空间中使用中心有限差分，在时间上使用向后欧拉，但可以推广到其他情况。我们还提出了数值实验，证实了我们的理论研究结果。
2023-02-27 cs.NA math.NA
Multigrid Solver With Super-Resolved Interpolation
多重网格算法是求解椭圆型偏微分方程的一种有效的数值方法。该方法在逐渐精细的网格尺度上抑制误差，从而比标准迭代法（如高斯-赛德尔）更快地收敛。多重网格算法中的延拓或粗到细插值算子适用于ML超分辨率的数据驱动处理，通常用于提高图像的分辨率。我们（i）提出了超分辨率生成对抗网络（GAN）模型与多重网格算法作为延拓算子的新集成，（ii）表明GAN插值与三次样条插值相比，在物理和工程模拟中通常解决的一类多尺度PDE上，提高了多重网格的收敛性能。
2021-04-28 cs.NA math.NA
A Space-Time Multigrid Method for Space-Time Finite Element Discretizations of Parabolic and Hyperbolic PDEs
本文提出基于张量积时空有限元离散的时空多重网格方法，通过开发时空逐单元加性Schwarz平滑器解决时空背景下平滑器构造难题，并在大规模问题上验证了其高性能和可扩展性。
2024-08-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
MGCNN: a learnable multigrid solver for sparse linear systems from PDEs on structured grids
提出 MGCNN 可学习多重网格求解器，利用类 CNN 的多层级、线性和权重共享结构离线求解结构化网格上的异质系数 PDE 稀疏系统，并在对流–扩散方程上显著优于 GMG。
2024-05-09 cs.NA math.NA
Meta-MgNet: Meta Multigrid Networks for Solving Parameterized Partial Differential Equations
本文研究了基于深度学习（DL）的参数化偏微分方程（P-PDE）的数值解。P-PDE出现在许多重要的应用领域中，使用传统的数值格式的计算成本可能过高，特别是当参数落入特定范围并且底层PDE需要以高精度求解时。最近，用深度学习解决偏微分方程已成为一个新兴领域。已有的工作表明，基于DL的方法在加快偏微分方程数值解方面具有巨大的潜力。然而，仍然有有限的研究DL方法的P-PDE。如果我们直接将现有的监督学习模型应用于P-PDE，当参数改变时，模型需要不断微调或重新训练。这极大地限制了这些模型在实践中的适用性和实用性。为了解决这个问题，我们提出了一种基于元学习的方法，可以有效地解决P-PDE与广泛的参数，而无需重新训练。我们的主要观察是把训练一个求解器的P-PDE与一组给定的参数作为一个学习任务。然后，训练一个求解器的P-PDE与不同的参数可以被看作是一个多任务学习问题，元学习是最有效的方法之一。这种新的视角可以应用于许多现有的PDE求解器。作为一个例子，我们采用多重网格网络（MgNet）作为基本求解器。为了实现多任务学习，我们在MgNet中引入了一个新的超网络，称为Meta-NN，并将整个网络称为Meta-MgNet。Meta-NN将微分算子和底层P-PDE的右侧作为输入，并为MgNet生成适当的平滑器，这可以显着影响收敛速度。最后，大量的数值实验表明，元MgNet是更有效地解决P-PDE比…
2020-11-01 cs.NA math.NA
Fast multigrid reduction-in-time for advection via modified semi-Lagrangian coarse-grid operators
许多迭代时间并行算法在求解扩散主导型偏微分方程（PDE）时效率很高，但在求解对流主导型偏微分方程时效率低下甚至发散。我们考虑应用多重网格减少时间（MGRIT）算法的线性平流偏微分方程。这种方法有效时间积分的关键是使用粗网格算子，它提供了一个足够精确的近似所谓的理想粗网格算子。对于某些类的半拉格朗日离散，我们提出了一种新的半拉格朗日为基础的粗网格算子，导致快速和可扩展的线性平流偏微分方程的多级时间积分。粗网格算子由半拉格朗日离散化和修正项组成，修正项的设计使合成算子的前阶截断误差近似等于理想粗网格算子的前阶截断误差。并行结果表明，大量的速度超过顺序时间积分的可变波速平流问题在一个和两个空间维度，并使用高阶离散到五阶。所提出的方法建立了第一个实用的方法，提供了小的和可扩展的MGRIT迭代计数的平流问题。
2022-04-22 cs.NA math.NA
Accelerating multigrid solver with generative super-resolution
该研究提出将超分辨率GAN作为多重网格算法的延拓算子，在多尺度PDE求解中相比三次样条插值提升了收敛性能，同时指出表征混合算法参数的重要性。
2024-03-07 cs.NA math.NA
A Learnable Multigrid Framework via Graph Convolutions
University of Macau（澳门大学）
该研究提出将图卷积融入多重网格的可学习框架，以提升偏微分方程求解性能，其参数量少、训练成本低，收敛速率优于传统方法，参数泛化性良好。
2026-09-01 cs.NA math.NA
A Deep Learning algorithm to accelerate Algebraic Multigrid methods in Finite Element solvers of 3D elliptic PDEs
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对代数多重网格方法参数调优成本高的问题，提出利用深度学习网络通过池化处理稀疏矩阵来调优强阈值参数，可在未见过的三维问题上最多减少30%计算时间，且代码改动极小。
2023-11-02 cs.LG cs.NA math.NA
Multigrid reduction-in-time convergence for advection problems: A Fourier analysis perspective
针对MGRIT求解平流主导型PDE收敛性差的问题，推导了局部傅里叶分析收敛理论，揭示了其源于对特征分量粗网格校正不足，并证明改进空间多网格的技术可用于构建更稳健的并行时间求解器。
2024-11-17 cs.NA math.NA
Automating the Design of Multigrid Methods with Evolutionary Program Synthesis
Lehrstuhl für Informatik 10（计算机科学10系）
本论文提出用语法引导遗传编程自动设计多重网格求解器，开发了上下文无关文法及EvoStencils框架，能发现高效且泛化的新结构多重网格方法。
2023-12-22 cs.AI cs.CE cs.FL
Nonsymmetric Reduction-based Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解对称正定线性系的一种有效方法，它可以将一般椭圆型偏微分方程离散化，也可以将抛物型偏微分方程空间离散化。然而，收敛理论和AMG的大多数变体依赖于$A$是SPD。双曲偏微分方程，经常出现在大规模的科学模拟，仍然是一个挑战，AMG，以及其他快速线性求解器，部分原因是得到的线性系往往是高度非对称的。在这里，一个新的收敛框架的非对称，减少为基础的AMG，并推导出$\ell^2$ -误差和残差收敛的充分条件。特别是，经典的多重网格近似属性与减少为基础的措施，以发展一个强大的框架，非对称，减少为基础的AMG。块三角形结构的矩阵，然后被认为是服从约简型算法，和约简为基础的AMG方法开发的迎风离散的双曲型偏微分方程，基于Neumann近似的概念，理想的限制（$n$ AIR）。$n$ AIR可以看作是在以前的工作中引入的局部AIR（$\ell$ AIR）的变体，特别针对具有三角结构的矩阵。尽管功能不如$\ell$ AIR，但$n$ AIR的设置时间可以大大缩短，以解决高连通性问题。$n$ AIR被证明是一个有效的和可扩展的求解器的稳定状态传输的不连续，迎风离散，非结构化网格，并高达6阶有限元，提供了一个显着的改善现有的AMG方法。$n$空气也被证明是有效的几类“近三角形”矩阵，导致曲线有限元和人工扩散。
2019-09-09 cs.NA math.NA
Kernel-learning parameter prediction and evaluation in algebraic multigrid method for several PDEs
Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Key Laboratory of Intelligent Computing and Information Processing of Ministry of Education, School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
提出基于高斯过程回归的代数多重网格参数优化策略，通过核学习构建核函数库并线性组合最优核，在小规模数据集上预测近优参数，显著降低计算时间并保持迭代次数与网格搜索一致。
2026-06-23 cs.NA math.NA
Connections between Numerical Algorithms for PDEs and Neural Networks
Saarland University（萨尔兰大学）
我们研究了偏微分方程（PDE）的数值算法和神经架构之间的许多结构连接。我们的目标是将丰富的数学基础从偏微分方程转移到神经网络。除了结构的见解，我们提供了具体的例子和实验评估所产生的架构。以一维广义非线性扩散为例，我们考虑了显式格式、加速策略、隐格式和多重网格方法。我们将这些概念与残差网络、递归神经网络和U-网架构联系起来。我们的研究结果启发了一个对称的残差网络设计与可证明的稳定性保证，并证明跳跃连接的有效性，从数值的角度来看，在神经网络。此外，我们提出了U-网络架构，实现多重网格技术学习有效解的偏微分方程模型，并激励不寻常的设计选择，如可训练的非单调激活函数。实验结果表明，所提出的架构节省了一半的可训练参数，因此可以在相同的模型复杂度下优于标准的。我们的考虑是解释流行神经架构成功的基础，并为开发新的数学基础良好的神经构建模块提供了蓝图。
2022-03-21 cs.LG cs.NA math.NA
Optimizing multigrid reduction-in-time (MGRIT) and Parareal coarse-grid operators for linear advection
在现代高性能计算环境中模拟时间依赖的PDE时，时间并行方法，如多重网格时间缩减（MGRIT）和Parareal，提供了一个有吸引力的选择，以增加并发性。虽然这些技术已经非常成功的抛物型方程，它经常被观察到，他们的性能受到显着时，应用于对流主导的问题或纯双曲偏微分方程使用标准的重新离散方法在粗网格。在本文中，我们应用MGRIT或Parareal的常系数线性平流方程，呼吁现有的收敛理论，提供洞察这些解决这个问题的典型的不可扩展的，甚至发散的行为。为了克服这些缺点，我们用改进的粗网格算子来代替粗网格上的重新离散化，这些算子是通过应用优化技术来计算的，以近似地最小化收敛理论中的误差估计。我们的主要发现之一是，为了获得快速收敛的抛物型问题，粗网格运营商应考虑到双曲问题的行为，通过跟踪的特征曲线。我们的方法进行了测试，各种订单使用显式或隐式龙格-库塔法与迎风有限差分空间离散相结合的计划。在所有情况下，我们只需几次迭代即可获得可扩展的收敛，并行测试也显示出顺序时间步长的显着加速。我们的洞察粗网格上的跟踪特性提供了一个关键的想法，解决了长期存在的问题，高效的并行时间积分双曲偏微分方程。
2021-03-03 cs.NA math.NA
MG-GNN: Multigrid Graph Neural Networks for Learning Multilevel Domain Decomposition Methods
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
区域分解法是求解偏微分方程离散系统的常用方法，它可以求解单级和多级变量。这些求解器依赖于几个算法和数学参数，规定重叠，子域边界条件和其他属性的DDM。虽然已经做了一些工作，优化这些参数，它主要集中在一级设置或特殊情况下，如结构网格离散与定期子域建设。在本文中，我们提出了多重网格图神经网络（MG-GNN），一种新的GNN结构的学习优化参数的两级DDM。我们使用一个新的无监督损失函数来训练MG-GNN，从而能够在小问题上进行有效的训练，从而在比训练集中的网格大几个数量级的非结构化网格上产生鲁棒的性能。我们表明，MG-GNN优于流行的分层图网络架构的这种优化，我们提出的损失函数是实现这种改进的性能的关键。
2023-03-02 cs.AI cs.LG cs.NA
Coarsening in Algebraic Multigrid using Gaussian Processes
多重网格方法已被证明是一个非常宝贵的工具，有效地解决大型稀疏线性系中产生的离散偏微分方程（PDE）。代数多重网格方法，特别是自适应代数多重网格方法已经表明，多重网格的效率，而不必求助于PDE的属性。然而，这些方法所需的设置造成了不可忽视的间接成本。机器学习的方法已经引起了人们对基于可用数据训练的统计模型的简化流程的关注。解释代数光滑误差作为高斯过程的一个实例，我们开发了一种新的，数据驱动的方法来构建自适应代数多重网格方法。基于高斯先验分布，克里格插值最小化后验分布的均方误差，给定粗网格上的数据。更进一步，我们利用高斯过程模型中的不确定性量化，以构建有效的变量分裂。使用一个合适的协方差模型的半变异函数拟合，我们证明了我们的方法产生有效的方法，使用一个单一的代数光滑向量。
2020-04-23 cs.NA math.NA
MgNet: A Unified Framework of Multigrid and Convolutional Neural Network
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文提出统一模型 MgNet，揭示了卷积神经网络与多重网格方法的内在联系，并据此开发了权重和超参数更少且在 CIFAR-10 和 CIFAR-100 上性能优越的改进 CNN 模型。
2019-05-01 cs.CV cs.LG cs.NA
Matrix-free multigrid block-preconditioners for higher order Discontinuous Galerkin discretisations
对流-扩散型椭圆偏微分方程的有效且适当预处理的迭代求解器在科学和工程的各个领域中都有应用。为了实现最佳性能，求解器必须表现出高运算强度，并需要利用现代众核CPU中可用的每种形式的并行性。求解器的计算上最昂贵的组件是线性算子和预处理器的重复应用。对于基于高阶不连续Galerkin方法的离散化，和因式分解导致运算符应用的计算复杂性的显著降低，同时，无矩阵实现可以以理论峰值浮点性能的显著分数运行。高阶方法的多重网格方法通常依赖于块平滑器来减少一个网格单元内的高频误差分量。传统上，这需要在每个网格单元中进行组装和昂贵的稠密矩阵求解，这抵消了快速无矩阵算子应用中实现的任何改进。为了克服这个问题，我们提出了一个新的矩阵的块平滑实现。迭代地求块矩阵的逆避免了矩阵的存储和因式分解，并且使得能够利用CPU的全部功率。我们实现了一个混合多重网格算法与矩阵自由块平滑在高阶DG空间结合低阶粗网格校正使用代数多重网格，只有低阶组件明确组装。这种方法的有效性证明通过解决一组代表性的椭圆偏微分方程的复杂性不断增加，包括对流为主的问题和固定SPE 10基准。
2019-06-02 cs.NA math.NA
High level implementation of geometric multigrid solvers for finite element problems: applications in atmospheric modelling
Imperial College（帝国理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文提出通过框架简化多网格预处理程序的开发，展示其在强各向异性PDE求解中的效率，对比单层方法和BoomerAMG算法，展示并行性能和内存带宽利用。
2016-09-14 cs.MS cs.NA math.NA
Green Multigrid Network
School of Mathematics, Jilin University（吉林大学数学学院）；Department of Mathematics, Texas State University（德克萨斯州立大学数学系）
本文提出 GreenMGNet，通过分段建模 Green 函数并结合增广输出神经网络与 MLMI 算法，在显著降低数据和计算成本的同时提升算子学习精度。
2024-07-04 cs.LG cs.NA math.NA
Multigrid Reduction in Time for non-linear hyperbolic equations
时间并行算法通过分解偏微分方程（PDE）的时域来寻求更大的并发性，从而提供加速其解的计算的可能性。虽然时间上的并行化在涉及抛物型方程的应用中已经有了显着的加速，但它在双曲框架中的有效性仍然存在争议：在这种情况下，不稳定性的增长和缓慢的收敛都是强烈的问题，这往往会抵消时间并行化的大部分优点。在这里，我们专注于多网格减少时间（MGRIT）算法，详细研究其性能时，适用于非线性守恒律与各种离散化计划。特别注意的是高精度加权本质不振荡（WENO）重建，再加上强稳定性保持（SSP）的积分，这往往是选择这样的偏微分方程的离散化。一种技术，以提高性能的MGRIT时，适用于低阶，更耗散计划也概述。本研究的目的是在确定的主要原因退化的算法的收敛速度，并发现的Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）限制是主要的决定因素。
2021-04-19 cs.NA math.NA
A scalable high-order multigrid-FFT Poisson solver for unbounded domains on adaptive multiresolution grids
本文提出了一种可扩展的高阶多网格-FFT泊松求解器，用于处理无界域上的自适应多分辨率网格，通过灵活的多网格方法和高阶紧凑Stencil提高求解效率和精度。
2025-12-09 cs.DC cs.NA math.NA
A Symmetric Multigrid-Preconditioned Krylov Subspace Solver for Stokes Equations
针对Stokes方程数值求解的可扩展性与效率挑战，提出一种适用于交错有限差分离散化的对称不定多重网格预条件子，用于SQMR迭代方案，具备匹配Stokes系统的对称性且计算高效、易于大规模扩展。
2024-07-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Implementation techniques for multigrid solvers for high-order Discontinuous Galerkin methods
针对高阶DG方法离散的椭圆PDE无矩阵几何多重网格求解器的性能局限，提出分离单元面运算、循环融合等hp-多重网格高效执行策略，提升求解器性能并向更广泛从业者推广。
2025-10-01 cs.NA math.NA
Algebraic error analysis for mixed-precision multigrid solvers
本文建立了第一个理论框架，分析舍入误差的多重网格方法使用混合精度迭代细化求解器的影响。虽然由离散线性椭圆偏微分方程产生的稀疏对称正定（SPD）矩阵方程激发，但该框架是纯代数的，因此它适用于不一定来自连续统的矩阵。基于所谓的能量或$A$范数，这是自然规范的许多问题，涉及SPD矩阵，我们提供了一个规范的向前误差分析，并介绍了渐进精度的多重网格求解器的概念。多重网格层次结构的每一级都使用三种不同的精度，每一种精度都随着级别的精细度而增加，但以不同的速率增加，从而确保大部分计算使用尽可能低的精度。在这里开发的理论结果的能量规范显着不同，从以前的理论基础上的欧几里德规范的重要方式。特别是，我们表明，简单地四舍五入一个确切的结果，有限的精度会导致错误的能量范数，是成比例的平方根的$κ$，相关的矩阵条件数。(By相反，当以欧几里德范数测量时，该误差为$1$阶。）鉴于这一观察，我们表明，V-周期和完整的多重网格的限制精度是最佳的意义上说，它也是成比例的$κ^{1/2}$的能量。此外，我们表明，由于四舍五入的收敛速度的损失成比例增长的$κ^{1/2}$，但认为这种损失是微不足道的，在实践中。本文的理论是第一次在迭代加密能量范数下的向前误差分析，也是第一次一般意义上的多重网格舍入误差分析。
2020-07-13 cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive FEM with linearization and algebraic solver for semilinear elliptic PDEs
针对半线性椭圆型偏微分方程，提出自适应迭代线性化有限元方法AILFEM，通过阻尼Zarantonello迭代与收缩代数求解器均衡网格、线性化和代数误差，证明其以最优计算成本收敛。
2024-11-13 cs.NA math.NA
Finite Element Neural Network Interpolation. Part I: Interpretable and Adaptive Discretization for Solving PDEs
LMS, École Polytechnique（巴黎综合理工学院力学实验室）；IPP/CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出 FENNI 稀疏有限元神经网络框架，通过参考单元架构、多重网格训练和二维 rh 自适应实现可解释的 PDE 求解，并验证其效率、精度与变分损失优势。
2024-12-07 cs.LG cs.NA math.NA
Massively parallel solvers for elliptic PDEs in Numerical Weather- and Climate Prediction
Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）
为提高全球天气和气候预测模型的空间分辨率，需高效可扩展的椭圆偏微分方程求解器。本文展示Krylov子空间和多网格算法在超大规模问题上的优异性能和可扩展性。
2013-07-08 cs.DC cs.NA math.NA
Petascale elliptic solvers for anisotropic PDEs on GPU clusters
内存受限的应用程序，如大型稀疏方程组的求解器，仍然是GPU的一个挑战。快速求解器应该基于数值高效算法，并实现全局内存访问最小化。为了解决具有高达1万亿（$10^{12}$）未知数的系统，代码必须有效地利用大型GPU集群上的数百万个单独的处理器核心。我们描述了多GPU实现的两个算法最佳的迭代求解器的各向异性椭圆偏微分方程中遇到的大气建模。在这个应用程序中的条件数是大的，但独立的网格分辨率和两种方法都是渐近最优的，虽然有不同的绝对性能。我们并行求解器，并使其适应GPU架构的具体功能，特别注意高效的全局内存访问。我们实现了高达0.78 PFLOPs的性能时，解决一个方程与$0.55\cdot 10^{12}$未知数的16384 GPU;这相当于约$3\%$的理论峰值性能的机器，我们使用超过$40\%$的峰值内存带宽与共轭梯度（CG）求解器。虽然另一种求解器，几何多重网格算法，在每秒FLOPs方面的性能稍差，但总体上它更快，因为它需要更少的迭代来收敛;多重网格算法可以在大约一秒内解决具有5000亿个未知数的线性PDE。
2015-05-29 cs.DC cs.NA math.NA
Discretization-error-accurate mixed-precision multigrid solvers
本文建立在同伴文件[混合精度多重网格求解器的代数误差分析]中的代数理论的基础上，通过混合精度多重网格求解器获得线性椭圆型偏微分方程（PDE）的离散化误差精确解。通常假设可达到的精度受到离散化或代数误差的限制。相反，我们表明，简单地存储在任何固定精度的矩阵所产生的量化误差迅速开始占主导地位的总误差的离散化细化。我们扩展了现有的理论来解释这些量化误差，并使用由此产生的界限来指导选择四个不同的精度水平，以平衡量化，代数和离散化误差的渐进精度计划中提出的配套文件。一个显著的结果是，虽然迭代细化在残差和更新计算期间容易受到量化误差的影响，但是用于在每次迭代中计算校正的V循环更有弹性，并且如果层级中的系统矩阵由于量化而变得不确定，则V循环继续工作。因此，V周期每级仅需要相对较少的精度位。基于我们的研究结果，我们概述了一个简单的方法来实现渐进精度FMG求解器，以最小的开销，并证明作为一个例子，一维双调和方程可以可靠地解决任何所需的精度时，只需几个V-周期的基础平滑工作良好。在这个过程中，我们也证实了许多理论结果的数值。
2020-07-13 cs.NA math.NA
Translating Numerical Concepts for PDEs into Neural Architectures
Saarland University（萨尔兰大学）
我们研究了将数值算法转化为神经网络可以学到什么。在数值方面，我们考虑了一般高阶非线性扩散方程的显式、加速显式和隐格式，以及线性多重网格方法。在神经网络方面，我们确定了残差网络（ResNets），递归网络和U网的相应概念。这些连接保证了每个块中具有转置卷积层结构的特定ResNet的欧几里得稳定性。我们提出了三个数值的理由跳跃连接：作为显式计划的时间离散，作为外推机制，加速这些方法，并作为经常性的连接在不动点求解器的隐格式计划。最后但并非最不重要的是，我们还激励不寻常的设计选择，如非单调激活函数。我们的研究结果为现代神经网络架构的成功提供了一个数字视角，并为稳定的网络提供了设计标准。
2021-05-17 cs.LG cs.NA math.NA
A comparison of Algebraic Multigrid Bidomain solvers on hybrid CPU-GPU architectures
本研究针对心脏电生理Bidomain系统，在混合CPU-GPU架构上基准测试PETSc库中两种AMG预条件子，发现GPU在求解时间上性能最佳。
2023-11-23 cs.NA math.NA
NSPOD: Accelerating Krylov solvers via DeepONet-learned POD subspaces
Synopsys UK Ltd（Synopsys英国有限公司）；Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）
本文提出NSPOD，一种基于DeepONet的预条件器，通过减少迭代次数提升Krylov求解器效率，尤其在复杂CAD几何的线性化固体力学PDE中表现优异。
2026-05-11 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
MgNO: Efficient Parameterization of Linear Operators via Multigrid
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出MgNO，一种利用多重网格结构高效参数化神经元间线性算子的神经算子架构，兼具数学严谨性与实用性，无需提升/投影算子，适应多种边界条件，在多种PDE上达到最先进性能。
2024-06-26 cs.LG cs.NA math.NA
Multigrid with Linear Storage Complexity
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（弗里德里希·亚历山大·埃尔朗根-纽伦堡大学）；Ludwig-Maximilians-Universität München（路德维希-马克西米利安慕尼黑大学）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出一种多网格方法，通过压缩格式降低解和中间向量的存储复杂度，实现求解椭圆型PDE的线性空间复杂度。
2026-09-23 cs.NA math.NA
Adaptive FEM with quasi-optimal overall cost for nonsymmetric linear elliptic PDEs
针对非对称二阶线性椭圆型PDE，提出非精确自适应迭代对称化有限元方法（AISFEM），结合Zarantonello外循环与一致收缩代数内循环求解器，证明了其完全线性收敛性及关于整体计算成本的拟最优收敛率。
2023-11-21 cs.NA math.NA
A Scalable Multigrid Reduction Framework for Multiphase Poromechanics of Heterogeneous Media
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出了一种基于多重网格还原的框架，用于解决多相渗流力学中紧密耦合的偏微分方程系统，通过代数方法实现方程解耦，提高求解效率和可扩展性。
2019-04-11 cs.NA math.NA
Efficient multigrid reduction-in-time for method-of-lines discretizations of linear advection
偏微分方程（PDE）的时间离散方法在近几十年来得到了迅速的发展，特别是对于扩散问题。它已被广泛报道，在文献中，然而，许多这些方法执行相当差的对流为主的问题。在这里，我们分析了特定的迭代并行时间算法的多重网格减少时间（MGRIT）的离散化的恒定波速线性平流问题。我们专注于共同的直线法离散，采用迎风有限差分空间和龙格-库塔法的时间。使用收敛框架，我们在以前的工作中开发的，我们证明了这些离散化的子类，如果使用的标准方法重新离散的细网格问题的粗网格，强大的MGRIT收敛CFL数和粗化因子是不可能的。这种差的收敛性和非鲁棒性是造成的，至少在一定程度上，由一个不充分的粗网格校正平滑傅立叶模式称为特征components.We提出了一个替代粗网格，提供了更好的校正这些模式。这个粗网格运营商是与以前的工作，并使用半拉格朗日离散相结合的隐式处理的截断误差校正。理论和数值实验表明，粗网格算子产生快速MGRIT收敛的直线法离散考虑，包括隐式和显式离散的高阶。并行结果表明，大量的速度比顺序时间步进。
2023-03-20 cs.NA math.NA
Unconditional full linear convergence and optimal complexity of adaptive iteratively linearized FEM for nonlinear PDEs
针对强单调非线性 PDE，提出结合自适应细化、能量收缩线性化与范数收缩代数求解的 AILFEM，并以无参数停止准则实现任意参数下完整 R-线性收敛及小参数时最优复杂度。
2025-03-17 cs.NA math.NA
Applications of Wavelet Bases to The Numerical Solutions of Fractional PDEs
Lanzhou University（兰州大学）
本文研究小波基在求解分数偏微分方程中的应用，探讨其在预条件化、自适应性和保持Toeplitz结构方面的优势，提出高效生成刚度矩阵的方法及多网格方法。
2016-10-09 cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
提出一种基于自适应有限元的多层CNN架构，高效逼近参数化PDE的参数到解映射，兼具精度与复杂度优势，并通过后验误差估计实现误差控制。
2024-08-20 cs.LG cs.NA math.NA
Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time
在这篇文章中，我们得到了一个新的，快速的，和强大的预处理迭代求解策略的所有一次解决最优控制问题的不定常偏微分方程作为约束，包括热方程和非定常对流-扩散方程。在应用优化然后离散化的方法后，人们面临着由偏微分方程的耦合系统组成的连续的一阶最优性条件。相对于大多数工作中预处理的离散化系统，其中（一阶精度）向后欧拉法用于离散化的时间导数，我们采用（二阶精度）曲柄-尼科尔森方法的时间。我们应用一个精心定制的可逆变换对称化的矩阵，然后推导出一个最佳的预条件子的鞍点系统。这个预条件的关键组成部分是一个准确的质量矩阵近似，一个很好的近似Schur补，和一个适当的多重网格过程，以适用于后者的近似-这些都是使用我们的工作在变换矩阵系统。我们证明了最优的近似Schur补通过边界上的特征值，并测试我们的求解器对广泛使用的预条件的线性系所产生的向后欧拉离散。这些都证明了我们的求解器的有效性和鲁棒性的网格大小，正则化参数和扩散系数。
2020-07-16 cs.NA math.NA math.OC
A positivity-preserving unigrid method for elliptic PDEs
针对带正性约束的离散椭圆型PDE，本文提出基于多重网格单网格变体的迭代算法，使近似求解全过程保持非负，并通过一维、二维数值实验验证其有效性与计算权衡。
2023-06-05 cs.NA math.NA
IV-Net: A neural network for elliptic PDEs with random and highly varying coefficients
Oden Institute for Computational Science and Engineering, The University of Texas at Austin（计算科学与工程院，德克萨斯大学奥斯汀分校）；Walker Department of Mechanical Engineering, The University of Texas at Austin（机械工程系，德克萨斯大学奥斯汀分校）
提出一种受V-cycle多重网格求解器启发的神经算子架构IV-Net，用于逼近高对比度空间变系数线性椭圆型偏微分方程的解，在高度异质系数问题上优于POD和现有神经算子，在光滑系数低频振荡Helmholtz问题上与Fourier神经算子性能相当。
2026-05-24 cs.LG cs.NA math.NA
Multigrid with rough coefficients and Multiresolution operator decomposition from Hierarchical Information Games
California Institute of Technology（加州理工学院）
本文提出了一种近线性复杂度的多重网格/多重分辨率方法，用于处理具有粗糙系数的偏微分方程，通过信息博弈理论框架实现精确的先验精度和性能估计。
2017-02-10 cs.AI cs.NA math.NA
A Comparison of Preconditioned Krylov Subspace Methods for Large-Scale Nonsymmetric Linear Systems
Department of Applied Mathematics & Statistics and Institute for Advanced Computational Science, Stony Brook University（应用数学与统计系及高级计算科学研究所，石溪大学）
本文比较了GMRES、TFQMR、BiCGSTAB和QMRCGSTAB等KSP方法与三种预条件器的性能，分析了不同预条件器对收敛速度和计算效率的影响，为选择合适的方法提供了指导。
2018-09-01 cs.NA math.NA
Optimal complexity of goal-oriented adaptive FEM for nonsymmetric linear elliptic PDEs
本文针对非对称线性椭圆型PDE提出GOAISFEM算法，通过嵌套收缩对称化与代数求解实现完全线性收敛与最优复杂度。
2024-07-08 cs.NA math.NA
Optimal solvers for fourth-order PDEs discretized on unstructured grids
LSEC, Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；Center for Computational Mathematics and Applications, Department of Mathematics, The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学数学系计算数学与应用中心）
本文针对任意多边形域上非结构化网格中四阶方程的直接有限元离散，首次提出可证明的O(N log N)算法，通过混合形式离散构造最优预条件子，并简化为求解多个离散泊松方程。
2012-03-03 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Neural Corrections with Adaptive Sampling for Partial Differential Equations
Sichuan University（四川大学）
本文提出了一种多级深度框架，通过自适应采样和深度神经网络更新，提升偏微分方程求解器的性能。
2026-10-19 cs.NA math.NA
Advanced Linear Algebra with Applications - Part I (Numerical linear algebra for PDEs, machine learning, and data assimilation)
本讲义是硕士水平高等数值线性代数课程的第一部分，介绍范数、稀疏矩阵、共轭梯度法等内容，配套Python代码复现示例，将算法应用于PDE、机器学习等领域。
2026-10-20 cs.LG cs.NA math.NA
A Technical Survey of Sparse Linear Solvers in Electronic Design Automation
本文综述EDA中稀疏线性求解器的技术，分析直接分解、迭代Krylov子空间和多级多重网格三类方法的特性与权衡，强调其对大规模IC系统设计仿真的关键支撑作用及演进需求。
2025-04-16 cs.NA cs.PF math.NA
Fast and Efficient Numerical Methods for an Extended Black-Scholes Model
University of Dhaka（达卡大学）
针对期权定价中的偏积分微分方程模型，本文提出基于小波和傅里叶正弦基的预处理迭代技术以及多重网格方法，并分析两种单步格式的稳定性与精度。
2013-04-12 cs.NA math.NA
