The critical temperature for the Ising model on planar doubly periodic graphs
给出了任意平面双周期赋权图上伊辛模型的临界温度的一个简单刻画.更精确地说，具有耦合常数（J_e）_{\in E（G）}的图G的临界逆温度β是以（\tanh（βJ_e））_{\in E（G）}为变量的线性方程的唯一解.这是通过使用Kac-Ward矩阵研究模型的高温膨胀来实现的。
2012-09-05 math-ph math.MP math.PR
Crossing probabilities in topological rectangles for the critical planar FK-Ising model
我们认为在临界的FK伊辛模型在两个维度。本文得到了任意拓扑矩形的交叉概率的界，它是关于边界条件一致的，推广了[DCHN 11]和[CS 12]的结果。我们的结果依赖于新的离散复分析技术，介绍了在[车12]。我们详细介绍了一些应用程序，特别是所谓的普适指数的计算，准乘法性质的手臂概率的证明，并跨越概率的经典伊辛模型的界限。
2013-12-30 math-ph math.MP math.PR
Zero-temperature stochastic Ising model on planar quasi-transitive graphs
本文研究了在旋转和平移下不变的连通平面拟传递图上的零温度随机伊辛模型，证明了当初始参数 $ p=1/2 $ 且图满足平面收缩性质时，所有顶点几乎必然无限次翻转。
2023-10-18 math-ph math.MP math.PR
The energy density in the planar Ising model
研究了正方形格点上有界单连通区域上具有+和自由边界条件的临界伊辛模型.我们将模型的能量密度与一个费米子可观测量联系起来，用离散复分析方法计算了它的标度极限。由此，我们得到了能量场单点函数在双曲度规意义下的标度极限的一个简单的精确公式。这证实了源自物理学的预测，但也提供了更高的精度。
2011-07-05 math-ph math.MP math.PR
Constrained percolation, Ising model and XOR Ising model on planar lattices
我们研究了平面格点上的约束渗流模型，包括$[m,4,n,4]$格点和双曲平面的正方形格点，满足一定的4度面局部约束，并研究了无限簇的存在性.这些格上的约束渗流模型与欧氏平面或双曲平面上的正则平铺上的Ising模型和XOR Ising模型密切相关。特别地，我们得到了在具有自由边界条件的双曲平面的顶点可迁三角形镶嵌上的铁磁伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“团簇的数目的完整图像，其中包含了耦合常数的所有可能值.我们的结果表明，对于双曲平面上顶点可迁三角形镶嵌的Ising模型，其随机团簇表示可能没有无限开团簇，而Ising模型有无限多个无限“$+$“团簇和无限多个无限“$-$“团簇.我们还研究了异或伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“簇在欧氏平面和双曲平面的规则镶嵌上的不同行为。一个副产品，我们证明的结果是，临界随机集群模型与$q\geq 1$和有线边界条件上的准传递，非顺从，幺模图几乎肯定没有无限开集群。
2020-01-28 math-ph math.MP math.PR
Universality in the 2D Ising model and conformal invariance of fermionic observables
人们普遍认为，著名的二维伊辛模型在临界状态下具有普适的、共形不变的标度极限，这一标度极限被用来推导它的许多性质。然而，没有数学证明的普适性和共形不变性曾经给出，甚至物理参数支持（先验较弱）莫比乌斯不变性。在一个大的平面图族上，我们引入了二维伊辛模型临界时的离散全纯费米子。在适当的边界条件下，我们证明了在有界域上，这些标度极限具有普适性和共形不变的标度极限，从而证明了其普适性和共形不变性。
2011-05-16 math-ph math.CV math.MP
Circle patterns and critical Ising models
圆模式是平面图的嵌入，其中每个面都内接在圆中。本文定义并证明了一类新的平面图上的伊辛模型的磁临界性，其对偶是一个圆模式.我们的建设包括作为一个特殊的情况下，临界Isoradial伊辛模型的巴克斯特。
2019-08-08 math-ph math.MP math.PR
Planar Ising magnetization field I. Uniqueness of the critical scaling limit
本文的目的是证明以下结果。考虑重新缩放的网格$a\mathbb{Z}^2$上的临界伊辛模型，则重整化磁化场\[Φ^a:=a^{15/8}\sum_{x\in a\mathbb{Z}^2}σ_xδ_x,\]被视为广义过程（即，广义函数）具有唯一的缩放极限，如网格尺寸$a\searrow0$。极限场是共形协变的。
2015-03-06 math-ph math.MP math.PR
Emergent Planarity in two-dimensional Ising Models with finite-range Interactions
已知的边界自旋关联的Pfiran结构，更一般的有序-无序关联函数，给出了一个新的解释，通过简单的拓扑考虑模型的随机电流表示。这个观点，然后采用在证明的边界相关性的Pfwean结构出现在临界渐近伊辛模型上$\mathbb Z^2$有限范围的相互作用。相应的随机电流的随机几何的新结果的分析。证明声明建立了一个方面的普遍性，在这里看到的费米结构的出现在二维超越可解的情况。
2018-03-05 math-ph math.MP math.PR
FK-Ising coupling applied to near-critical planar models
我们考虑了在临界温度下外加磁场$ha^{15/8}$作用于$a\mathbb{Z}^2$上的伊辛模型.我们给出了一个纯粹的概率证明，使用FK方法，而不是反射阳性，对于$a=1$，相关长度是$\geq const.~h^{-8/15}$作为$h\downarrow0$。我们扩展到$a\downarrow0$连续极限的FK伊辛耦合的所有$h>0$，并获得尾部估计的最大重整化集群面积在有限的区域，以及一个上限与指数$1/8$的单臂事件。最后，我们证明了对于$a=1$，$\mathbb{Z}^2$中的平均磁化强度$\mathcal{M}(h)$满足$\mathcal{M}(h)/h^{1/15}\rightarrow$一些$B\in(0,\infty)$作为$h\downarrow0$。
2019-02-07 math-ph math.MP math.PR
The near-critical planar FK-Ising model
我们研究了近临界FK-Ising模型。首先，提供通过交叉概率定义的相关长度的确定。其次，突出了关于FK-Ising的近临界行为的现象，这在标准渗流的情况下是完全缺失的：在FK构型$ω_p$的任何单调耦合中（例如，在[Gri 95]中介绍的一个中），当在$p_c$附近升高$p$时，新的边以自组织的方式到达，使得相关长度不再由处于临界状态的枢轴边的数量控制。
2014-02-13 math-ph math.MP math.PR
Bosonization of primary fields for the critical Ising model on multiply connected planar domains
本文证明了多重连通平面域上临界伊辛关联的玻色化恒等式，通过紧致高斯自由场的关联来表达，并利用周期矩阵、格林函数、边界组件的调和测度和阿贝尔微分等给出了伊辛关联的显式表达。
2023-12-05 math-ph math.CV math.MP
Scaling limits of the single-curve interface and outermost loops in the planar random field Ising model
Peking University（北京大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of Cologne（科隆大学）
本文证明了近临界平面随机场Ising模型中Dobrushin边界条件下的界面具有标度极限，该极限共形协变且几乎必然关于SLE₃绝对连续；而最外环的极限几乎必然关于CLE₃奇异。
2026-06-12 math-ph math.MP math.PR
Conformal Invariance of Spin Correlations in the Planar Ising Model
严格证明了任意平面单连通区域上临界伊辛模型中磁化强度和多点自旋关联标度极限的存在性和共形不变性.这解决了许多来自物理和数学文献的问题。证明依赖于离散全纯旋量可观测量和概率技术的收敛结果。
2014-07-15 math-ph math.CV math.MP
The scaling limit for zero temperature planar Ising droplets: with and without magnetic fields
考虑了正磁场作用下最近邻Ising模型在$Z^2$上的连续时间零温热浴动力学.对于大小为$L\in N$的系统，我们从初始条件$σ$开始，使得$σ_x=-1$如果$x\in[-L,L]^2$和$σ_x=+1$，并研究当时间和空间都被$L$重新标度时，$-$的集合的标度极限。我们比较得到的结果和证明的情况下，零磁场，其中的缩放结果证明在arXiv：1112.3160。在这种情况下，时间缩放是扩散的，并且缩放限制由曲率的各向异性运动给出。
2012-10-09 math-ph math.MP math.PR
A simple proof of exponential decay for the near-critical planar Ising model
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；University of Cambridge, DPMMS（剑桥大学应用数学与理论物理系）
本文通过高温展开、随机聚类和随机电流表示，证明了近临界平面伊辛模型截断两点函数的指数衰减性质。
2026-08-21 math-ph math.MP math.PR
Ising model with external magnetic field on random planar maps: Critical exponents
本文研究随机四价平面地图上带外磁场的伊辛模型，利用解析组合学分析弱外磁场下配分函数的渐近行为，推导出α=-1、β=1/2、γ=2、δ=5等临界指数。
2025-11-06 math-ph math.CO math.MP
2D Ising model: correlation functions at criticality via Riemann-type boundary value problems
在这篇笔记中，我们概述了最近的收敛结果的临界平面最近邻伊辛模型的相关性。我们开始与一个简短的讨论模型的组合和费米和旋量观测的定义。在此之后，我们说明了我们的方法来自旋相关的推导两个经典的显式公式在无限体积极限。然后，我们描述的收敛结果（网格大小趋于零，在任意的平面域）的费米粒子，能量密度和自旋的期望。最后，我们讨论了包含自旋、无序和费米子的混合量子的标度极限，以及它们的经典熔合规则。
2017-11-19 math-ph math.MP math.PR
Exponential decay for the near-critical scaling limit of the planar Ising model
我们考虑了在临界温度下，外磁场$ha^{15/8}$作用在晶格间距为$a$的正方形晶格上的伊辛模型.我们证明了该模型中的截断两点函数以与$a$无关的速率指数衰减。因此，我们在近临界标度极限的欧几里得磁化场指数衰减。对于具有$a=1$的晶格模型，质量（逆相关长度）的阶数为$h^{8/15}$和$h\downarrow 0$ ;对于欧几里得场，对于某些$C$，它正好等于$Ch^{8/15}$。虽然临界尺度极限的研究已经取得了很大的进展，但近临界模型的结果还远远不够，这是因为远离临界点时缺乏共形不变性。我们的论点结合晶格和连续FK表示，包括耦合共形循环和措施合奏，表明这样的合奏可以是有用的，即使在近临界标度限制的研究。因此，我们提供了第一个实质性的应用措施合奏。
2019-09-06 math-ph math.MP math.PR
The planar Ising model and total positivity
一个矩阵被称为完全正矩阵（totally positive）。完全非负的），如果它的所有子项都是正的（相应地，非负）。考虑平面图$G$上无外场自由边界条件的Ising模型。设$a_1,\dots,a_k,b_k,\dots,b_1$是按逆时针顺序放置在$G$外表面上的顶点。我们证明了两点自旋相关函数\[ M_{i,j} = \langle σ_{a_i} σ_{b_j} \rangle \]的$k\times k$矩阵是完全非负的。此外，$\det M > 0$当且仅当存在连接$a_i$和$b_i$的$k$成对顶点不相交路径。我们还计算了双随机流模型中$a_i$和$b_i$之间存在$k$并联和不相交连接的概率的临界标度极限。我们的结果是基于一个新的分布关系双随机电流和随机交替流动的Talaska。
2016-12-29 math-ph math.CO math.MP
Critical Ising correlations on a torus
该研究证明环面上临界Ising模型多点自旋关联收敛，借助Pfaffian恒等式推导含自旋与费米子、能量可观测量的关联收敛性，给出theta函数形式的标度极限显式公式，验证了物理文献的相关预测。
2025-06-12 math-ph math.MP math.PR
Ising Percolation on Nonamenable Planar Graphs
本文研究了连通、传递、非顺从、平面、顶点度有限的单端图$G$上Ising模型的无限"$+$"或"$-$"簇.如果i.i.d.~的临界逾渗概率$p_c^{site}$当$G$上的Bernoulli点渗流小于$\frac{1}{2}$时，我们发现Ising模型的耦合常数存在一个明确的区域，使得存在无穷多个无限的“$+$”-团簇和无穷多个无限的"$-$“-团簇，而Ising模型的随机团簇表示没有无限的1-团簇.如果$p_c^{site}>\frac{1}{2}$，我们得到了一个下界的临界概率在随机集群表示的伊辛模型的$p_c^{site}$。
2020-06-13 math.PR
Comparing the Lee-Yang gap with the mass gap in the sub-critical planar Ising model
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Program in Applied and Computational Mathematics, Princeton University（普林斯顿大学应用与计算数学项目）；Department of Mathematics, Princeton University（普林斯顿大学数学系）；Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学学院）
本文证明了亚临界平面伊辛模型中质量间隙与Lee-Yang间隙的$8/15$次方相当，并给出了压力场导数的均匀阶乘界。
2026-09-23 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Interface scaling limit for the critical planar Ising model perturbed by a magnetic field
本文研究受外部磁场扰动的临界平面伊辛模型，证明当磁场标度为 δ^{15/8} 阶时界面收敛到有质量 SLE₃，并给出其 Radon-Nikodym 导数，同时刻画了磁场更弱或更强时界面分别收敛到 SLE₃ 或退化为边界弧的完整相变图景。
2024-11-25 math-ph math.MP math.PR
Planar Ising magnetization field II. Properties of the critical and near-critical scaling limits
在[CGN 12]中，我们证明了重整化临界伊辛磁化场$Φ^a:= a^{15/8} \sum_{x\in a\, \Z^2} σ_x \, δ_x$以$a\to 0$收敛于我们记为$Φ^\infty$的随机分布。本文的目的是建立这种$Φ^\infty$和近临界场$Φ^{\infty,h}$所满足的一些基本性质。更准确地说，我们得到了以下结果。如果$A\subset \C$是光滑有界域，并且如果$m=m_A := <{Φ^\infty, 1_A}$表示$A$中的限制性重新缩放磁化，则存在常数$c=c_A>0$，使得{等式 *} \log \Pb{m > x} \underset{x\to \infty}{\sim} -c1; x ∈ {16}，.特别地，这提供了场$Φ^\infty$是非高斯的另一个证明（该事实的另一个证明将使用在不满足Wick公式的\cite{CHI}中建立的$n$点相关函数）。[（ii）]随机变量$m=m_A$具有平滑的{ \it密度}，并且在其傅立叶变换上更精确地具有以下界限：$|\Eb{e^{i\,t m}} |\le e^{- \tilde{c}\, |t|^{16/15}}$。[（iii）]存在一个单参数族$Φ^{\infty,h}$的近临界标度极限的磁化场在平面上与消失小的外部磁场。\ei
2013-07-15 math-ph math.MP math.PR
Alternating Arm Exponents for the Critical Planar Ising Model
本文导出了临界伊辛模型的交替臂指数。我们得到六种不同的模式交替边界臂指数对应的边界条件$(\ominus\oplus)$，$(\ominus\text{free})$和$(\text{free}\text{free})$，和交替的内部臂指数。
2016-08-29 math.PR
From the planar Ising model to quasiconformal mappings
Université de Genève（日内瓦大学）
本文研究了平面伊辛模型的标度极限，揭示其与准共形映射的联系，并展示了在不同嵌入结构下能量相关性的共形协变性。
2026-08-19 math-ph math.CV math.MP
Convergence of the Critical Planar Ising Interfaces to Hypergeometric SLE
本文考虑矩形$(Ω; x^L, x^R, y^R, y^L)$中的平面Ising模型，边界条件为：$\ominus$沿$(x^Lx^R)$和$(y^Ry^L)$，$ξ^R\in\{\oplus, \text{free}\}$沿$(x^Ry^R)$，$ξ^L\in\{\oplus, \text{free}\}$沿$(y^Lx^L)$ .我们证明了临界Ising模型在这些边界条件下的界面收敛于所谓的超几何SLE $_3$。该方法不需要构造新的全纯观测量，输入是具有Dobrushin边界条件的界面的收敛性。该方法也适用于其它格点模型，如环擦除随机游动和离散高斯自由场的水平线。
2017-01-26 math.PR
Smirnov's fermionic observable away from criticality
在最近的一篇著名文章中，Smirnov [Ann. of Math.（2）172（2010）1435 - 1467]定义了正方形格子$\mathbb{Z}^2$上簇权重q = 2的自对偶随机簇模型的可观测量，并使用它来获得标度极限中的共形不变性。我们从自对偶点研究这个可观察的。由此，我们得到了自对偶点与临界点重合的一个新的推导，这意味着Ising模型的临界逆温度等于$1/2\log(1+\sqrt{2})$.此外，我们将模型的相关长度与某个大质量随机游动的大偏差行为联系起来（从而证实了Messikh的观察[2d-Ising模型临界附近的表面张力（2006）预印本]），这使我们能够明确地计算它。
2012-11-07 math-ph math.MP math.PR
Ising model and s-embeddings of planar graphs
我们讨论了带有最近邻伊辛模型的平面图的s-嵌入$\mathcal{S}=\mathcal{S}_\mathcal{X}$的概念。$\mathcal{S}_\mathcal{X}$的构造是基于对Kadanoff-Ceva费米子传播方程的全局复值解$\mathcal{X}$的选择。$\mathcal{X}$的每一个选择都提供了所有其他费米子观测值作为$\mathcal{S}_\mathcal{X}$上的s-全纯函数的解释。我们建立了一个通用的框架，这样的功能分析的s-嵌入$\mathcal{S}^δ$与$δ\to 0$。在整个分析过程中，与$\mathcal{S}^δ$相关的功能$\mathcal{Q}^δ$（在二分二聚体模型术语中称为折纸图）发挥了关键作用。特别是，我们给出了一个解释的平均曲率的极限离散表面$(\mathcal{S}^δ;\mathcal{Q}^δ)$视为在闵可夫斯基空间$\mathbb R^{2,1}$的狄拉克方程描述的连续极限的模型中的质量。然后，我们专注于最简单的情况下，$\mathcal{S}^δ$具有一致有界的长度/角度和$\mathcal{Q}^δ=O(δ)$ ;作为一个特殊的情况下，这包括所有的关键伊辛模型的双周期图通过其规范的s-嵌入。在这种设置中，我们证明了RSW型交叉估计的随机集群表示的模型和基本的费米观测量的收敛性。与已有的文献相比，该证明依赖于…
2022-11-07 math-ph math.CV math.MP
Convergence of Ising interfaces to Schramm's SLE curves
我们展示了如何结合我们以前的结果推导出强收敛的界面在平面临界伊辛模型和其随机集群表示Schramm的SLE曲线参数$κ=3$和$κ=16/3$分别。
2013-12-31 math-ph math.CV math.MP
Conformal invariance of lattice models
这些课堂讲稿提供了一个（几乎）自足的帐户共形不变的平面临界伊辛和FK伊辛模型。他们提出了离散全纯函数理论及其在平面统计物理学中的应用（更确切地说是在费米观测量的收敛中）。收敛到SLE的简要讨论。其中包括许多开放性问题。
2012-06-21 math-ph math.CO math.MP
Conformal invariance of crossing probabilities for the Ising model with free boundary conditions
我们证明了具有自由边界条件的临界平面Ising模型的交叉概率在标度极限内是共形不变的，这一现象首先由Langlands，Lewis和Saint-Aubin数值研究。我们通过建立某些探索过程向SLE $(3,\frac{-3}2,\frac{-3}2)$的收敛来做到这一点。我们还构造了一个探索树的自由边界条件，类似于谢菲尔德介绍的。
2016-05-10 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance in the quantum Ising model
在量子伊辛模型中引入Kadanoff-Ceva有序-无序算符。这种方法首先用于经典的平面伊辛模型，最近又回到了舞台。这种表示原来是等效的Sminorv的费米子观测量的循环扩展，是特别有趣的，由于其简单和紧凑的配方。利用这种方法，我们可以将经典平面Ising模型中已知的不同结果，如关联的共形不变性/共形协变性和能量密度，推广到（1+1）维量子Ising模型的自旋表示.
2021-12-09 math.PR
On boundary correlations in planar Ashkin-Teller models
本文将Griffiths、Hurst和Sherman的开关引理推广到Ashkin-Teller模型的随机电流表示。然后，我们使用它与二维拓扑结构的属性，以获得多点边界自旋相关性和散装有序无序相关性在平面模型中的线性关系。我们还表明，满足相同的线性关系的产品的Pfweians。因此，一个清晰的画面出现在两个独立的伊辛模型的多点关联函数的情况下，给出了Pfavians和其各自的两点函数的决定因素。这给出了在平面伊辛模型中边界自旋关联的经典Pfidian恒等式和最近的全正性不等式的统一处理。对于一般的具有负的四体耦合常数的Ashkin-Teller模型，我们也得到了Simon不等式和Gaussian不等式.
2020-12-11 math-ph math.CO math.MP
Revisiting the combinatorics of the 2D Ising model
我们提供了一个简明的阐述与原始证明的组合公式的二维伊辛模型分拆函数，多点费米观测值，自旋和能量密度的相关性，一般的图形和相互作用常数，使用的语言Kac-沃德矩阵。我们还简要介绍了各种替代形式主义之间的关系已被用于组合研究的平面伊辛模型：二聚体和格拉斯曼变量，自旋和无序运营商，以及最近，s-全纯观测。此外，我们指出，这些公式可以扩展到双伊辛模型，定义为两个伊辛自旋配置在同一个离散域的逐点积，沿边界耦合。
2017-08-23 math-ph math.CO math.MP
Connection probabilities and RSW-type bounds for the FK Ising model
我们证明了Russo-Seymour-Welsh型的交叉概率的一致边界的FK伊辛模型在临界状态，独立的边界条件。我们的证明主要依赖于Smirnov的费米子观测的FK伊辛模型，这使我们能够得到精确的估计边界连接的概率。它仍然是纯离散的，特别是我们不使用任何连续极限，它可以用来直接推导出几个值得注意的结果-一些新的和一些不-其中的事实，即没有自发磁化临界，紧密性的接口，并存在几个临界指数，特别是半平面单臂指数。
2009-12-21 math.PR
