A note on cardinal preserving embeddings
Gabriel Goldberg
我们证明了理论ZFC +的一致性，有一个强紧基数从存在的基数保持嵌入从宇宙到一个内部模型。证明几乎表明，在SCH下，每个基数保持嵌入保持共尾性和连续函数。
We prove the consistency of the theory ZFC + there is a strongly compact cardinal from the existence of a cardinal preserving embedding from the universe into an inner model. The proof almost shows that under SCH, every cardinal preserving embedding preserves the cofinality and continuum functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on Löwenheim-Skolem cardinals
本文给出了在\cite{U}中引入的Löwenheim-Skolem基数的一些应用.
A note on "Another ordering of the ten cardinal characteristics in Cichoń's Diagram" and further remarks
本文放松了Kellner-Shelah-Tennasie“Chichoeli图中十个基本特征的另一种排序”中主要结果的假设。
Cardinal preserving ideals
我们给出了一些一般性的标准，当卡帕-完全强迫保持largeness属性-像卡帕-预饱和的正常理想的lambda（即使当他们集中在小cofinalities）。然后，我们相当准确地获得一致性强度"NS_lambda是aleph_1-bounding“，对于lambda > aleph_2。
A Note on Singular Cardinals in Set Theory Without Choice
我们讨论了在没有选择公理的情况下基数如何奇异。我们表明，与已知的负一致性结果（Gitik等人的）相比，某些正结果是可证明的。那我们就提出一些问题
No cardinal correct inner model elementarily embeds into the universe
该研究针对Caicedo提出的相关问题，证明不存在从基数正确的内模型M到全集V的非平凡保基数初等嵌入，推进了集合论中内模型与初等嵌入方向的研究。
Some results on large cardinals and the continuum function
给定一个Woodin基数$δ$，我表明，如果$F$是任何伊斯顿功能与$F"δ\subseteqδ$和$\GCH$举行，然后有一个保共尾强制扩展，其中$2^γ= F(γ)$为每个经常基数$γ<δ$，其中$δ$仍然是Woodin。我还提出了一个新的例子，其中迫使一定的行为的连续函数的经常基数，同时保持一个给定的大基数，需要大基数的力量超过了原来的大基数考虑。具体地说，我证明了存在一个$λ$ -超紧基数$κ$，使$\GCH$失败在$λ$是equiconsistent与存在的基数$κ$是$λ$ -超紧和$λ^{++}$ -高。我推广了一个定理的可测基数由于莱温斯基，它说，给定一个可测的基数，有一个强制延长保持可测性的$κ$，其中$κ$是最不正规的基数在$\GCH$举行。事实上，我表明，Levinski的结果可以扩展到许多其他大型基数的情况下。这项工作铺平了道路，许多额外的结果，类似于上述结果的Woodin基数和部分超紧基数。
A Note on a Theorem of Apter
本文探讨了ZF与AD_R条件下Θ的可测性与最小强正则基数关系，揭示了其与可数余数的联系。
Notes on cardinals that are characterizable by a complete (Scott) sentence
这是一个研究的第一部分的基数是由斯科特句子的特点。在[3]，[6]和[1]的基础上，我们研究了哪些基数可由Scott语句$ϕ$刻画，在$ϕ$刻画$κ$的意义上，如果$ϕ$有大小为$κ$的模型，但没有大小为$κ^+$的模型。我们证明了由Scott句子刻画的基数集在后继者、可数并和可数积下是闭的（参见图1）。定理2.3，3.4和推论3.6）。我们还证明了，如果$\aleph_α$是由一个斯科特句子，至少有一个$\aleph_alpha$和$\aleph_alpha^+$是均匀特征化（参见。定义1.3和定理2.9）。在Shelah [8]的基础上，我们给出了可刻画基数在前序或共尾下不闭的反例.
A note on surjective cardinals
本文证明ZF+DC_κ不能证明满射基数构成基数代数，但可构成满射基数代数，并由此给出消去律的更简洁证明。
About the review in Mathematical Reviews of my paper: The two-cardinal problem for languages of arbitrary cardinality The Journal of Symbolic Logic 75, Number 3, Sept., 2010, pp. 785-801
本文对发表在《数学评论》上的综述MR2723767（2011 m：03064）作了一些评论
Violating the Singular Cardinals Hypothesis Without Large Cardinals
本文将ZFC + GCH基数的传递模型V推广到ZF +“GCH基数的模型N，证明了在Alef_omega”+“下存在从Alef_omega的幂集到lambda”的满射，其中lambda是V中的任意高的固定基数.
Destroying Saturation while Preserving Presaturation at an Inaccessible; an Iterated Forcing Argument
我们证明了一大类预饱和理想在不可达基数可以去饱和，同时保持其预饱和，回答了一个问题的福尔曼和考克斯和埃斯丘。我们这样做是通过迭代一个广义版本的鲍姆加特纳和泰勒的迫使添加一个俱乐部的有限条件沿不可达基数，并调用福尔曼的对偶定理。
A note on $δ$-strongly compact cardinals
本文研究了$δ$ -强紧基数的更多刻画及其应用。证明了对基数$κ$，下列条件等价：（1）$κ$是$δ$ -强紧的，（2）对每个正则$λ\ge κ$，存在$λ$上的$δ$ -完全一致超滤子，（3）$δ$ -Lindelöf空间的每个积空间是$κ$ -Lindelöf.我们还证明了在Cohen力迫扩张中，最小$ω_1$ -强紧基数是两个可数紧空间乘积紧性的精确上界.
Killing GCH everywhere by a cofinality-preserving forcing notion over a model of GCH
从大基数开始，我们构建了一对具有相同基数和共尾性的$ZFC$模型的$V_1\subseteq V_2$，使得$GCH$在$V_1$中成立，而在$V_2$中处处失败。
Structure theorems above a strongly compact cardinal
虽然许多内模型理论的组合原理与大基数公理不相容，但在某些罕见的情况下，大基数实际上意味着集合论域的结构类似于规范内模型。本说明提供了这一现象的两个新实例。
A note on Kuratowski partitions in metric spaces
本文证明了当 $κ$ 为不大于 $2^{\aleph_0}$ 的最小实值可测基数时，必然存在基数至多 $2^κ$ 且容许 Kuratowski 划分的完备度量空间。
A note on Hindman-type theorems for uncountable cardinals
本文将作者此前在可数情形下的结果推广至不可数基数，构造出一族自然的 Hindman 型定理，并给出部分变体的下界，为不可数交换群上的 Hindman 型性质提供正面结论。
Easton's Theorem in the presence of Woodin cardinals
在$δ$是Woodin基数且$\GCH$成立的假设下，证明了如果$F$是从正则基数到基数的任意类函数，使得（1）$κ<\cf(F(κ))$，（2）$κ<λ$蕴涵$F(κ)\leq F(λ)$，（3）$δ$在$F$下闭，则存在保共尾的力迫扩张，其中$2^γ= F(γ)$对每个正则基数$γ<δ$，其中$δ$仍然是Woodin。与超紧基数[Men76]和强基数[FH08]的类似结果不同，不要求函数$F$是局部可定义的。
Easton's Theorem for Ramsey and Strongly Ramsey cardinals
我们证明了，假设GCH，如果$κ$是一个Ramsey或强Ramsey基数和$F$是一个类函数的正则基数有一个封闭点在$κ$和遵守伊斯顿定理的约束，即$F(α)\leq F(β)$的$α\leqβ$和$α<\cf(F(α))$，则存在一个保共尾的力迫扩张，其中$κ$分别保持Ramsey或强Ramsey，且对每个正则基数都有$2^δ=F(δ)$ $δ$。
Category forcings, $MM^{+++}$, and generic absoluteness for the theory of strong forcing axioms
本文引入一类以保持平稳集的完备布尔代数为对象，以保持平稳集的商的完备同态为箭头的范畴。我们证明了这个范畴在高度为超紧的宇宙的秩初始段上的割是一个保持偏序的平稳集，它迫使$MM^{++}$并使它的大小坍缩成为第二个不可数基数.接下来，我们认为，任何已知的方法，以产生一个模型的$MM^{++}$崩溃的superhuge基数成为第二个不可数基数产生的模型中，截断的类别的平稳集保持强迫在任何排名初始段的宇宙足够大的高度迫使相当于一个预饱和塔正常过滤器。我们让$MM^{+++}$表示这一声明，我们证明了理论的$L(Ord^{ω_1})$参数$P(ω_1)$是一般不变的平稳集保持强迫，保持$MM^{+++}$。最后，我们认为，Larson的工作，并表明，这是一个下一个最佳的推广到张模型$L(Ord^{ω_1})$的吴丁的通用的绝对性结果张模型$L(Ord^ω)$。$MM^{+++}$和$MM^{++}$是否是模大基数的等价公理以及$MM^{++}$是否足以证明张模型$L(Ord^{ω_1})$的相同的一般绝对性结果仍然是开放的。
Forcing techniques for Cichoń's Maximum: Lecture notes for the mini-course at the University of Vienna
本文探讨通过强制技术构建Cichoń最大值模型的方法，消除了对大基数的依赖，展示相关集合论特征之间的关系。
A Note on Edge Colorings and Trees
我们指出了某些边着色的齐次集的存在性和某些树的分支的存在性之间的一些联系。由此，我们得到了：当$μ$的颜色数满足$μ^+<κ$时，基数$κ$的任何局部可加着色（本文中引入的一个概念）都有一个大小为$κ$的齐次集.另一个结果是不可数基数$κ$是弱紧的当且仅当$κ$是正则的，具有树性质，并且对于每个$λ,μ<κ$存在$κ^*<κ$使得每个具有$λ$节点的高度$μ$的树具有小于$κ^*$的分支。
A note on the eightfold way
假设Mahlo基数的存在，我们构造了一个模型，在这个模型中存在一棵$ω_2$树，$ω_1$ -可逼近性失效，并且$ω_2 \cap \mathrm{cof}(ω)$的每个静止子集都反映.
On automorphisms behind the Gitik -- Koepke model for violation of the Singular Cardinals Hypothesis w/o large cardinals
众所周知，"GCH首先在\aleph_ω失败"的假设导致ZFC中的大基数。Gitik和Koepke证明了在ZF中并非如此：即存在L的一般基数保持扩张（或ZFC + GCH的任何论域，其中所有ZF公理成立，选择公理失败，GCH对所有基数\aleph_n成立，但存在从PowerSet（\aleph_ω）到λ的满射，其中λ是L中任何先前选择的大于\aleph_ω的基数，例如\aleph_{ω+17}。换句话说，在这样的扩展中，GCH对所有基数\aleph_n在正确意义上成立，但在Hartogs意义上的\aleph_ω处失败。本文的目的是分析Gitik-Koepke证明中涉及的自同构系统。
On cardinal sequences of length < omega3
证明了长度为$< \om_3$的基数序列的相容性结果：若GCH成立且$\la \geq \om_2$是正则基数，则在某个保基数的一般扩张$2^{\om} = \la$中，对每个序数$η< \om_3$和每个无穷基数序列$f = \langle \ka_{\al} : \al < η\rangle$，若$\mbox{cf}(\al) = \om_2$为$\ka_{\al} = \om$，则$f$是某个LCS空间的基数序列.证明了对于每个特定的不可数基数$λ$，与ZFC相对一致的是，对于每个具有$\mbox{cf}(\al) < \om_2$的$\al,\be < \om_3$，存在LCS空间$Z$，使得$\mbox{CS}(Z) = \langle ω\rangle_α\concat \langle λ\rangle_β$ .
Monochromatic Sumset Without the use of large cardinals
本文证明了在$Add(ω,\beth_ω)$的力迫扩张中，下列Ramsey性质成立：对于任何$r\in ω$和任何$f: \mathbb{R}\to r$，存在一个无限的$X\subset \mathbb{R}$使得$X+X$在$f$下是单色的.我们还证明了当$r=2$时，上述Ramsey陈述在$\mathrm{ZFC}$中是正确的。这回答了Komjáth，Leader，Russell，Shelah，Soukup和Vidnyánszky的两个问题。
A note on infinite partitions of free products of Boolean algebras
如果$A$是一个无限布尔代数，则基数不变量$\mathfrak{a}(A)$被定义为$A$的无限划分的最小尺寸。基数$\mathfrak{a}(A\oplus B)$，其中$A\oplus B$是布尔代数$A$和$B$的自由积（其对偶拓扑空间是$A$和$B$的对偶拓扑空间的积），低于$\mathfrak{a}(A)$和$\mathfrak{a}(B)$。等式$\mathfrak{a}(A\oplus B)=\min\lbrace\mathfrak{a}(A),\mathfrak{a}(B)\rbrace$并不适用于所有无限布尔代数$A$和$B$。这里提供了$\mathfrak{a}(A\oplus B)$的一些下界。
Preserving the Ultrapower Axiom by Forcing over Nonoverlapping Extender Models
本文通过构造离散乘积力迫，在非重叠扩展器模型上保持超幂公理至强基数层次，并证明其与特定V≠HOD_X条件一致，解答了Goldberg的开放问题。
A note on strong negative partition relations
我们分析了一个在奇异基数上可由尺度定义的自然函数，利用这个函数，我们能够在奇异基数的后继者上得到相当强的负方括号划分关系.我们的主要结果的证明利用俱乐部猜测，并作为推论，我们得到了一个相当容易的证明困难的结果Shelah连接弱饱和一定俱乐部猜测理想与强故障的方括号分割关系。然后，我们研究了这种理想的弱饱和的强度，并得到了一些结果的平稳反射。
Easton functions and supercompactness
设$κ$是由一个具有临界点$κ$的初等嵌入$j:V\rightarrow M$证明的$λ$ -超紧的，进一步设$F$是从正则基数类到满足Easton定理要求的基数类的函数：（1）$\forallα$ $α<\textrm{cf}(F(α))$和（2）$α<β$ $\Longrightarrow$ $F(α)\leq F(β)$ .在这篇文章中，我们解决的问题：假设GCH，什么额外的假设是必要的$j$和$F$，如果一个人想要能够迫使连续函数同意与$F$全球，同时保持$λ$ -超紧性的$κ$？我们表明，假设GCH，如果$F$是上述任何函数，并且对于某些正则基数$λ>κ$，存在具有临界点$κ$的初等嵌入$j:V\rightarrow M$，使得$κ$在$F$下是封闭的，模型$M$在$λ$ -序列，$H(F(λ))\subseteq M$下是封闭的，并且对于每个正则基数$γ\leq λ$，都有$(|j(F)(γ)|=F(γ))^V$，则存在保基数的强制扩张，其中对于每个正则基数$δ$和$κ$，$2^δ=F(δ)$保持$λ$ -超紧.这回答了B的问题。Cody，M. Magidor，On supercompactness and the continuum function，Ann. Pure Appl. Logic，（2013）。
A Note on Narrow Systems
本文研究树与窄系统的关系，证明高度为κ的树若有窄子系统则含良剪子树，并推广至双基数树。
Superatomic Boolean algebras constructed from strongly unbounded functions
利用Koszmider的强无界函数，我们证明了以下相容性结果：假设$κ,λ$是无穷基数使得$κ^{+++} \leq λ$，$κ^{<κ}=κ$和$2^κ= κ^+$，并且$η$是一个序数，其中有$κ^+\leq η<κ^{++}$和$cf(η) = κ^+$ .然后，在某个保基数一般扩张中存在超原子布尔代数$B$，使得- $ht(B) = η+ 1$，-对于每个$α<η$，$B$的$α$第层的基数是$κ$，-并且$B$的$η$第层的基数是$λ$特别地，$\<ω\>_{ω_1}\concatenation \<ω_3\>$和$\<ω_1\>_{ω_2}\concatenation \<ω_4\>$可以是超原子布尔代数的基数序列.
More on the preservation of large cardinals under class forcing
我们证明了两个一般性的结果保持可扩展和$C^{(n)}$ -可扩展的基数下的一个广泛的类强迫迭代（定理5.4和7.5）。作为应用，我们给出了Brooke-Taylor和Tsaprounis分别得到的Voppernka原理和$C^{(n)}$ -可扩基数在Jensen迭代下保持不变的新证明.我们证明了$C^{(n)}$ -可扩展的基数保持强制与标准的支持迭代的任何可能的$Δ_2$ -可定义的行为的幂集函数的定期基数。我们表明，一个可以强迫适当的类之间的宇宙和HOD的经常基数的继任者的计算方面的分歧，同时保持$C^{(n)}$ -可扩展的基数。我们还表明，假设GCH，Cummings-Foreman-Magidor的类强迫迭代，迫使$\diamondsuit_{κ^+}^+$在每个$κ$保持$C^{(n)}$ -可扩展的基数。给出了弱平方原理与$C^{(n)}$ -可扩基数相容性的一个最优结果.在最后一节中，我们证明了另一个保存结果$C^{(n)}$ -可扩展基数下非常一般（不一定可定义或弱齐次）类强迫迭代。作为应用，我们证明了$C^{(n)}$ -extendible基数与$\rm{V}=\rm{HOD}$的一致性，以及与$\mathrm{GA}$（基础公理）加$\mathrm{V}\neq \mathrm{HOD}$的一致性，后者是Hamkins，Reitz和Woodin的一个结果…
An Iteration Theorem for $ω_1$-preserving Forcings
本文证明了一个迭代定理：对于一类良好的$\omega_1$-保持力迫迭代，若在后继步骤力迫SRP并保持旧静态集，则$\omega_1$不坍缩，但需大基数作为代价。
Some combinatorial properties of Ultimate L and V
本文在强紧性假设下对大基数的结构建立了若干约束。这些约束与超能力公理所施加的约束相吻合，这一原则有望在伍丁的终极\(L\)假设中成立，为终极\(L\)猜想提供了一些证据。我们表明，每一个经常基数以上的第一个强紧，进行不可分解的超滤是可测量的，回答了一个问题银足够大的红衣主教。我们表明，任何继任者几乎强紧基数的不可数共尾性是强紧的，取得进展的问题Boney，昂格尔和布鲁克-泰勒。我们表明，如果有一个适当的类强紧的基数，那么就没有非平凡的基数保持初等嵌入从宇宙集到一个内部模型，回答问题的Caicedo授予大基数。最后，我们表明，如果\(κ\)是强紧的，那么\(V\)是一个集力迫扩张的内部模型\(κ\text{-HOD}\)组成的集合是遗传序数定义从一个\(κ\) -完全超滤在一个序数; \(κ\text{-HOD}\)似乎是第一个非平凡的例子地面的\(V\)的定义不涉及强迫。
Absoluteness via Resurrection
复活公理是Hamkins和Johnstone在Chalons和Velicković思想的基础上发展起来的强制公理。我们引入一种更强的复活公理形式（\emph{iterated}复活公理$\textrm{RA}_α(Γ)$为一类强迫$Γ$和一个给定的序数$α$），并表明，$\textrm{RA}_ω(Γ)$意味着通用的绝对性的一阶理论$H_{γ^+}$关于强迫在$Γ$保持公理，其中$γ=γ_Γ$是一个基数，取决于$Γ$（$γ_Γ=ω_1$，如果$Γ$是可数闭的、真的、半真的、平稳集保持强迫类中的任何一类）。我们还证明了这些公理的一致性强度是低于Mahlo基数的大多数强迫类，并低于一个固定的极限超紧基数类的固定集保持偏序集。此外，我们概述，同时通用的绝对性$H_{γ_0^+}$相对于$Γ_0$和$H_{γ_1^+}$相对于$Γ_1$与$γ_0=γ_{Γ_0}\neqγ_{Γ_1}=γ_1$在原则上是可能的，我们提出了几个自然模型的莫尔斯凯利集理论发生这种现象（即使所有$H_γ$同时）。最后，我们比较了迭代复活公理（和一般的绝对性结果，我们可以从中得出）与各种其他强制公理，也与一般的绝对性结果由Woodin和第二作者。
A note on the non-existence of prime models of theories of pseudo-finite fields
本文证明非伪有限域上无伪有限域理论的素模型，并在GCH下推广至κ-素模型，其中κ为正则不可数基数或ℵ_ε。
On the strong equality between supercompactness and strong compactness
我们证明了超紧性和强紧性甚至可以等价为正则基数对的性质。具体地说，我们表明，如果V模型ZFC + GCH是一个给定的模型，（在有趣的情况下，它包含超紧性的实例），则存在一些基数和共尾性保持的泛型扩张V[G]模型ZFC + GCH，其中，（a）（保留）对于kappa <= lambda正则，如果V模型“kappa是lambda超紧的”，则V[G]模型“kappa是lambda超紧的”，因此，（b）（等价）对于kappa <= lambda正则，V[G]模型"kappa是lambda强紧的“当且仅当V[G]模型" kappa是lambda超紧的”，除非可能kappa是lambda超紧的基数的可测极限.
Separating Maximality Principles
本文研究极大性原理各片段的一致性强度，证明Σ_n与Π_n版本在ZFC中互不蕴含，并借助Woodin基数与Ramsey基数分析ω_1-保持偏序集版本，最终在大基数背景下将Σ_2-稳定集保持极大性原理与MM^{++}分离。
A note on uniform continuity of monotone functions
本文证明在ZFC一致地，每个非递减函数在某个大小为连续统基数的子集上一致连续，并给出基数特征$\mathfrak d^*$的刻画及其与$\mathfrak u,\mathfrak r,\mathfrak d$的关系。
Order-preserving maps of the Turing degrees: regularity and consistency strength
该研究证明了马丁猜想第一部分在特定集合论假设下对实数模图灵等价商空间上保序映射成立，并确定无限制保序二分法的一致性强度与带强不可达基数的ZFC等一致。
The Strength of Menger's Conjecture
Menger证明了具有Menger性质的R的子集必须是$σ$ -紧的.当R的子集没有限制时，这是错误的，对于射影子集，已知遵循投影确定性公理，它具有相当大的大基数一致性强度。我们注意到，事实上，Menger猜想的投影集的一致性强度只有一个不可达基数。
Elementary submodels and separable monotonically normal compacta
本文利用初等子模型证明了可分单调正规紧空间可以通过纤维基数至多为2的连续函数映射到可分度量空间上。
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