The $Φ_3^4$ measure has sub-Gaussian tails
Martin Hairer, Rhys Steele
我们提供了一个非常简单的参数，表明$Φ^4_3$措施确实有四次指数尾，从其正式的表达预期。这表明相应的矩问题是适定的，并提供了一个简单的路径来观察非高斯性的措施。
We provide a very simple argument showing that the $Φ^4_3$ measure does have quartic exponential tails, as expected from its formal expression. This shows that the corresponding moment problem is well-posed and provides a simple path to observing non-Gaussianity of the measure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bulk/boundary quotients of Gaussian multiplicative chaos measures II: Tail profile of bulk Gaussian multiplicative chaos measures in the exact scale-invariant case
本文研究精确尺度不变核下边界具有均匀奇异性的高斯乘性混沌测度的右尾轮廓，通过将局部化技巧应用于边界上的辅助测度，推广了 Rhodes-Vargas 和 Wong 的平坦背景几何结果，并用体/边界商的变体刻画尾部轮廓系数。
Tail Profile of Bulk Gaussian Multiplicative Chaos Measures I: Bulk/Boundary Quotients
本文作为系列论文首篇，研究边界均匀奇异的体高斯乘法混沌测度右尾轮廓，建立边界Liouville共形场论中该测度体/边界商的联合矩界，提出边界局部化技巧并推广Kahane凸性不等式，为后续研究奠定基础。
A Refined Non-asymptotic Tail Bound of Sub-Gaussian Matrix
本文给出了次高斯矩阵最大奇异值（软边）的一个非渐近的精细尾界。作为应用，我们利用所得定理计算了高斯Toeplitz矩阵的尾界。
A multidimensional analogue of the Rademacher-Gaussian tail comparison
我们证明了一个无量纲的尾部比较的独立随机向量均匀分布在中心欧氏球和适当重新标度的标准高斯随机向量的欧几里德范数的总和。
Lifschitz tail in a magnetic field: coexistence of classical and quantum behavior in the borderline case
我们建立了均匀磁场和泊松杂质中具有排斥单格位高斯衰变势的积分态密度（Lifschitz尾）的精确低能渐近性。已知高斯势尾区分所谓的“经典”和“量子”区域，并且在这些情况下精确的渐近性是已知的。对于临界情形，证明了经典和量子体系的共存。在这里，我们解决了最后一个未解决的问题，以完成完整的磁性Lifschitz尾巴的图片。
Gaussian approximation of moments of sums of independent symmetric random variables with logarithmically concave tails
本文研究了具有几何凹尾的独立对称随机变量和的矩如何用高斯随机变量的矩来近似。
A Sharp Gaussian Tail Bound for Sums of Uniforms
基于独立均匀随机变量和的高斯尾界，证明其尾概率受高斯尾约束，并确定最优常数。
Tails of probability density for sums of random independent variables
得到了有限个$N$随机独立项之和的概率密度$p_{_N}(x)$的精确表达式。证明了$p_{_N}(x)$的尾部具有高斯形式当且仅当所有随机项均服从高斯分布。在所有其他情况下，$p_{_N}(x)$的尾部不同于高斯分布。如果随机项的方差发散，则非高斯尾与$p_{_N}(x)$的Levy分布相关。然而，即使方差是有限的，尾部也不是高斯分布。在后一种情况下，$p_{_N}(x)$有两种不同的渐近性。在$x$的较小和中等值处，分布为高斯分布。在大的$x$，非高斯尾出现。在$x$与$N$成比例时，两个渐近值之间发生交叉。由于这个原因，非高斯尾部只存在于有限的$N$。在极限$N$趋于无穷大时，尾部的原点移到无穷大，即。例如，尾巴消失了。根据随机项的分布的特定类型，非高斯尾部可能比高斯尾部衰减得更慢，或者比高斯尾部衰减得更快。
Exponential exact estimation for maximum and minimum tail of distribution for non-Gaussian random vector
在一般情况下，我们找到了非高斯随机向量的最大值和最小值分布的指数精确的两项非渐近表达式。
Operator norm upper bound for sub-Gaussian tailed random matrices
研究了次高斯随机矩阵算子范数的一个上界。具有独立系数的一致有界次高斯尾随机矩阵一直是研究的热点。然而，对于矩阵系数方差不相等或系数不独立的亚高斯随机矩阵，研究很少。这正是本文的主题。在证明了具有一致次高斯独立系数的随机矩阵满足Tracy Widom界，即其矩阵算子范数以压倒性概率保持由$O(\sqrt n )$有界的基础上，我们证明了一个不太严格的条件是矩阵行是独立的且一致次高斯的.这并不特别要求所有矩阵系数都是独立的，而只是要求它们的行是独立的，这是一个较弱的条件。
Rademacher-Gaussian tail comparison for complex coefficients and related problems
我们提供了一个概括的Pinelis'Rademacher-高斯尾比较复系数。我们还建立了统一的概率界的独立随机向量的加权和的幅度超过其二阶矩的矩阵系数的欧氏球均匀。
Tail universality of critical Gaussian multiplicative chaos
本文研究了任意维对数相关高斯场（包括二维高斯自由场）中临界高斯乘性混沌（GMC）质量的尾概率.更准确地说，我们推导出一个完全明确的公式的首阶渐近尾概率和证明了一个新的普遍性现象。我们的分析在这里分享类似的哲学与亚临界的情况下，但需要一个不同的方法，由于类似的本地化步骤的并发症，我们还采用了技术，从最近的研究融合估计GMC理论。
Universal tail profile of Gaussian multiplicative chaos
本文研究了高斯乘性混沌系统质量的尾概率。与新的使用的Tauberian参数和戈尔迪的隐式更新定理，我们提供了一个统一的方法，以一般的对数相关的高斯字段在任意维，并获得精确的一阶渐近的尾部概率，解决了Rhodes和Vargas的猜想。的领导秩序描述了一个通用的常数，捕捉高斯乘性混沌的一般属性，并可以被看作是在更高的维度的刘维尔单位体积反射系数的模拟。
Large deviations principle for the largest eigenvalue of Wigner matrices without Gaussian tails
证明了无高斯尾Wigner矩阵最大特征值的大偏差原理，即对于某些$a,b\in (0,+\infty)$和$α\in (0,2)$，分布尾$\mathbb{P}( |X_{1,1}|>t)$和$\mathbb{P}(|X_{1,2}|>t)$分别具有$e^{-bt^α}$和$e^{-at^α}$的性质.大偏差原理具有速度$N^{α/2}$和仅依赖于条目尾部分布的良好速率函数。
Bounds on tail probabilities for quadratic forms in dependent sub-gaussian random variables
我们证明了次高斯非必然独立随机变量中二次型的尾概率的界。我们的主要工具将是对这些形式的约瑟芬范数的估计。这将使我们能够制定上述界限。作为一个例子，我们给出了相依观测下固定设计线性回归的超额损失估计。
On heavy-tailed risks under Gaussian copula: the effects of marginal transformation
本文研究高斯 copula 依赖结构下的多元重尾尾部风险概率，利用 regular variation 建模发现尾部概率衰减速率随尾部集合类型和相关矩阵变化，且重尾边际下的联合尾部行为结构上不同于高斯边际。
The tail of the maximum of smooth Gaussian fields on fractal sets
研究了定义在$\R^n$的分形子集$S$上的光滑平稳高斯场的最大值$M_S $的概率分布。我们的主要结果是等价的分布$¶(M_S>u)$的尾部的渐近行为为$u\rightarrow +\infty.$的基本工具是莱斯公式的局部极大值的数目的矩的随机场。
Tail approximation for reinsurance portfolios of Gaussian-like risks
我们考虑两个不同的投资组合的比例再保险相同的风险池。这一贡献与类高斯风险有关，这意味着对于大值，此类风险的生存函数在乘数以下与标准高斯风险的生存函数相同。我们建立了每一个再保险组合的总损失的尾部渐近行为，并确定随机标度的高斯型投资组合和未标度的投资组合之间的关系。进一步证明了两个类高斯风险投资组合的弱尾相关系数非负且渐近独立。
Left Tail of the Derivative Martingale in a Gaussian BRW in the Entire Subcritical Regime
研究高斯分支随机游走在亚临界区域中导数鞅极限的左尾概率，通过建立双边估计，证实了特定猜想。
Sub-Gaussian tail bounds for the width and height of conditioned Galton--Watson trees
本文研究了后代分布B满足E（B）=1，0 < Var（B）<无穷大的Galton-Watson树的高和宽，条件是树的结点数为n。在此条件下，我们得到的宽度（最大数量的节点在任何级别）和高度（最大级别包含一个节点）的亚高斯尾边界;边界是最佳的常数因子的指数。在相同的条件下，我们还得到了本质上最优的上尾界的节点数在水平k，1 <= k <= n。
Tail-sensitive Gaussian asymptotics for marginals of concentrated measures in high dimension
如果欧几里德范数相对于一个测度是强集中的，则该测度的平均边际的平均分布具有高斯渐近性，可以捕获尾部行为。如果测度的边际具有指数矩，则平均边际分布的高斯渐近性意味着大多数个体边际分布的高斯渐近性。我们展示了几何起源的措施的应用。
Exponential and double exponential tails for maximum of two-dimensional discrete Gaussian free field
本文研究了二维盒体上Dirichlet边界条件下离散高斯自由场极大值在中心化后的尾部行为。我们发现，它表现出指数衰减的右尾和双指数衰减的左尾。特别是，我们的结果意味着最大值的方差是1阶，改进了Chatterjee（2008）的$o(\log n)$界，并证实了民间传说的猜想。Bramson和Zeitouni（2010）的结果是我们证明的一个重要组成部分，他们证明了中心最大值的紧密性以及对期望的评估，直到一个加法常数。
Extremes of the 2d scale-inhomogeneous discrete Gaussian free field: Sub-leading order and exponential tails
这是第一个三个文件系列中，我们提出了一个全面的研究尺度非均匀离散高斯自由场的极值理论。这个模型是由Arguin和Ouimet介绍的，他们计算了最大值的一阶。在这第一篇论文中，我们建立尾部估计的最大值，这使得推导出的对数校正的顺序的最大值和紧密的中心最大值。我们的证明是基于二阶矩方法和高斯比较技术。
Moderate Deviations for the Largest Eigenvalue of a Randomly Deformed Gaussian Unitary Ensemble
该研究针对随机形变高斯酉系综的最大特征值，推导了其在固定耦合 regime 下左右尾的精确对数渐近及相图，建立了一致的Airy近似并结合条件卷积论证完成分析。
Estimates of moments and tails of Gaussian chaoses
我们推导出高斯混沌的矩和尾的双侧估计，即$\sum a_{i_1,...,i_d}g_{i_1}... g_{i_d}$形式的随机变量，其中$g_i$是独立同分布的。${\mathcal{N}}(0,1)$ r.v. 's.估计值精确到常数，仅取决于$d$。
Integrability and tail estimates for Gaussian rough differential equations
我们得到了高斯粗糙路径驱动的随机微分方程解流雅可比矩阵的显式尾估计。特别地，我们推导出了包括分数阶布朗运动在内的一类广义高斯过程，当Hurst参数H>1/4时，其雅可比矩阵的各阶矩都是有限的。我们评论的相关性，这些估计的一些重大的开放问题。
Asymptotic Freeness for Rectangular Random Matrices and Large Deviations for Sample Covariance Matrices With Sub-Gaussian Tails
本文建立了具有亚高斯元素的样本协方差阵的经验谱测度的大偏差原理，推广了Bordenave和Caputo关于具有相同类型元素的Wigner矩阵的结果[7].为此，我们需要建立矩形自由卷积的渐进自由度结果，更准确地说，我们给出了信息加噪声矩阵从属公式的界。
A tail estimate for empirical processes of multivariate Gaussian under general dependence
本文讨论了一大类函数族高斯过程经验过程的收敛速度。我们的主要目标是证明经验过程的一致范数的尾部可以由多项式支配。给出了Hermite多项式的性质，这些性质在主要定理的证明中起着至关重要的作用。在文章的最后，我们证明了随机量以比以往所证明的速率n ^{-1/3}更快的速率n ^{-1/2+ε}收敛到零的期望。
Tail Asymptotics of Supremum of Certain Gaussian Processes over Threshold Dependent Random Intervals
设$\{X(t),t\ge0\}$为中心高斯过程，$γ$为非负常数。本文研究了$P\{\underset{t\in [0,\mathcal{T}/u^γ]}\sup X(t)>u\}$作为$u\to\infty$的渐近性，其中$\mathcal{T}$是独立于$X$的非负随机变量.作为应用，我们得到了时变分数布朗运动风险过程有限时间破产概率的渐近性。
On the Lack of Gaussian Tail for Rough Line Integrals along Fractional Brownian Paths
我们表明，粗线积分$\int_{0}^{1}ϕ(X_{t})dY_{t}$，其中$(X,Y)$是一个2D分数布朗运动与赫斯特参数$H\in(1/4,1/2)$和$ϕ$是一个$C_{b}^{\infty}$ -函数满足一个温和的非退化条件，其导数的尾部概率不能衰减速度比任何指数$γ>2H+1$的$γ$ -Weibull尾。特别是，这产生了一类由fBM驱动的微分方程的简单例子，即使假设底层向量场是$C_{b}^{\infty}$类，其解也没有高斯尾。这也证明了Cass-Litterer-Lyons在2013年证明的著名的上尾估计基本上是尖锐的。
Estimates on the tail behavior of Gaussian polynomials. The discussion of a result of Latala
本文讨论了Latala关于高斯多项式尾部性质的一个结果。Latala在文[2]中证明了关于这个问题的一个有趣的结果。但是他的证明在一个关键点上应用了一个不正确的陈述。因此，可能会出现的问题，是否文件[2]的主要结果是有效的。本文的目的是解决这个问题，提出这样一个证明，其中避免了应用的错误陈述。我详细地讨论了证明，即使是在一个较长的文本的价格，并试图给出这样一个解释，揭示他们背后的想法比原来的文件。\
Tail Asymptotic of Sum and Product of Random Variables with Applications in the Theory of Extremes of Conditionally Gaussian Processes
我们考虑两个独立的随机变量与给定的尾部渐近（如幂或指数）。我们发现他们的和和产品的尾渐近。这是通过一些繁琐但纯技术性的计算来完成的，并且需要使用拉普拉斯方法来求积分的渐近。我们还回顾了一个自相似的局部平稳中心高斯过程加上一个确定性的漂移的渐近结果，我们找到了相同的概率乘以一个随机变量，这是独立于这个过程的漂移后的渐近。关键词：尾渐近，拉普拉斯方法，自相似过程，高斯过程，局部平稳过程。
Extreme Analysis of a Non-convex and Nonlinear Functional of Gaussian Processes -- On the Tail Asymptotics of Random Ordinary Differential Equations
本文考虑由一个含有空间变化随机系数的微分方程所描述的随机系统。微分方程已被用来模拟各种静态物理系统，如弹性变形，水流，电磁场，温度分布等随机系数被引入到帐户系统的不确定性和/或不完善的测量。该随机系数由高斯过程（输入过程）描述，因此微分方程的解（在某些边界条件下）是输入高斯过程的复泛函。在本文中，我们集中在一维情况下的分析，并推导出渐近近似的尾概率的解的方程，有各种物理解释在不同的情况下。这种分析依赖于文献的极端分析高斯过程（如尾部近似的上确界），并扩展到更复杂的泛函分析。
An asymptotically Gaussian bound on the Rademacher tails
给出了归一化Rademacher和的尾概率的一个明确的上界。这个界在某种意义上是最好的，它渐近等价于标准正态分布的相应尾概率，从而证实了埃夫隆的一个长期猜想。应用一般中心一致有界的独立随机变量和学生测试。
Dominant poles and tail asymptotics in the critical Gaussian many-sources regime
主极点近似（DPA）是一种经典的分析方法，可以从母函数中得到其系数的渐近估计。我们将DPA应用于临界多源状态下的离散排队，以获得稳态队列长度的尾渐近性。事实证明，这种机制导致生成函数的极点聚集，这使得经典的DPA无用，因为主导极点不是足够主导的。为了解决这个问题，我们设计了一种新的DPA方法，它也可能在其他数学领域中找到应用，如组合学，特别是当涉及到与中心极限定理相关的高斯标度时。
On Tail Triviality of Negatively Dependent Stochastic Processes
证明了具有“可和协方差”的Bernoulli随机变量序列的每一个负相伴序列都有平凡的尾σ-域。这个结果的一个推论是强瑞利过程的尾部平凡性。这是一个推广的结果，由于里昂建立尾部平凡离散行列式过程。我们还研究了负关联高斯过程和高斯阈值过程的尾部行为。我们证明了这些过程是尾平凡的，虽然它们一般不满足可和协方差性质。此外，我们构造负相关的高斯阈值向量，不是强瑞利。这确定了一个自然家庭的负相关措施，这不是一个子集的类强瑞利措施。
Approximation of Some Multivariate Risk Measures for Gaussian Risks
高斯随机向量表现出维数损失现象，这与它们的联合生存尾行为有关。此外，这些向量的分量是轻尾的事实使各种多变量风险度量的近似显着复杂化。在这方面的贡献，我们得到精确的近似边际平均超额，边际预期损失和多元条件尾期望的高斯随机向量和突出的联系与条件极限定理。我们的研究表明，类似的结果适用于椭圆和高斯样多变量风险。
Strong Gaussian approximation for cumulative processes with heavy tails
本文是arXiv：2006.09583工作的继续，致力于建立累积过程的强不变原理的收敛速度.我们建立了最佳的收敛速率的情况下，再生周期和增量在他们只有权力的时刻顺序大于2。在此幂型条件下，证明了Wiener过程的两类逼近：Strassen不变原理的收敛速率和随机过程偏离逼近过程的概率不等式.
Tail Asymptotics for the Extremes of Bivariate Gaussian Random Fields
设$\{X(t)= (X_1(t),X_2(t))^T,\ t \in \mathbb{R}^N\}$是一个$\mathbb{R}^2$值连续局部平稳高斯随机场，其上有$\mathbb{E}[X(t)]=\mathbf{0}$ .对任意紧集$A_1, A_2 \subset \mathbb{R}^N$，利用双和方法研究了漂移概率\[ \mathbb{P}\bigg(\max_{s\in A_1} X_1(s)>u,\, \max_{t\in A_2} X_2(t)>u\bigg),\ \ \text{ as }\ u \rightarrow \infty \]的精确渐近性.结果不仅依赖于坐标场$X_1$和$X_2$的光滑参数，而且依赖于它们的最大相关性$ρ$ .
Asymptotic formula for the tail of the maximum of smooth Stationary Gaussian fields on non locally convex sets
本文研究定义在非局部凸集上的高斯场的最大值的分布。Adler和Taylor或Aza\"ıs和Wschebor给出了局部凸情形的展开式.本文通过在2维上的完全展开和在高维上的一些推广，将他们的结果推广到非局部凸的情形。对于给定的集合类，建立了一个Steiner公式，并证明了该公式与极大值的尾部之间的对应关系。主要工具是Aza\"ıs和Wschebor最近的一个结果，该结果表明在某些条件下，行程集接近于具有随机半径的球。在2维和更高维中给出了示例。
Sharp growth of the Ornstein-Uhlenbeck operator on Gaussian tail spaces
设$X$为标准高斯随机变量。对于任何$p \in (1, \infty)$，我们证明了存在一个普遍常数$C_{p}>0$，使得不等式$$(\mathbb{E} |h'(X)|^{p})^{1/p} \geq C_{p} \sqrt{d} (\mathbb{E} |h(X)|^{p})^{1/p}$$对所有$d\geq 1$和所有多项式$h : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$成立，其频谱在频率上至少支持$d$，即$\mathbb{E} h(X) X^{k}=0$对所有$k=0,1, \ldots, d-1$。作为这个最优估计的一个应用，我们得到了Mendel和Naor（2014）关于Ornstein-Uhlenbeck算子在实数线尾空间上增长的问题的高斯模拟的肯定答案。我们还显示了相同的边界的梯度解析多项式在任意维。
Tail approximations of integrals of Gaussian random fields
本文对生活在紧$d$维Jordan可测集$T$上的齐次光滑高斯随机场$f$，给出了$P(\int_Te^{f(t)}\,dt>b)$的渐近逼近为$b\rightarrow\infty$.高斯随机场指数的积分是空间点过程、投资组合风险分析、资产定价等许多一般模型的重要随机变量。分析技术包括两个步骤：1。根据$b$评估小域$Ξ$上的尾概率$P(\int_Ξe^{f(t)}\,dt>b)$，其中$\operatorname {mes}(Ξ)\rightarrow0$为$b\rightarrow \infty$，$\operatorname {mes}(\cdot)$为勒贝格测度; 2.适当地选择$Ξ$，我们发现$P(\int_Te^{f(t)}\,dt>b)=(1+o(1))\operatorname{mes}(T)\times \operatorname{mes}^{-1}(Ξ)P(\int_Ξe^{f(t)}\,dt>b)$ .
Gaussian Limits for Scheduled Traffic with Super-Heavy Tailed Perturbations
预定到达模型是一个客户预定到达恒定的到达间隔时间，但每个客户的实际到达时间从她的预定到达时间扰动的随机扰动。扰动序列是独立同分布的。先前已经表明，到达计数过程的预定业务遵守功能中心极限定理（FCLT）与分数布朗运动（fBM）与赫斯特参数H严格在0和1/2之间时，pertubratons有一个帕累托样的尾部指数位于（0，1）。这种极限过程表现出比布朗运动更少的变化性，因为调度功能诱导到达过程中的负相关。本文证明了当扰动尾具有超重尾时，FCLT极限过程是布朗运动（即H=1/2），从而尾的超重消除了任何剩余的负相关，并产生一个具有独立增量的极限独立增量过程.我们进一步研究的情况下，扰动有一个Cauchy样的尾巴，并表明，在这种设置的极限过程是一个fBM与H=0。因此，本文表明，整个范围的fBM与$H \in [0,1/2]$是可能的限制预定的交通。
The Tail expansion of Gaussian multiplicative chaos and the Liouville reflection coefficient
在这篇短文中，我们导出了与二维高斯乘性混沌（GMC）相关的精确的尾部展开式，该二维GFF在单位圆上的平均值为零（及其变体）。更具体地说，我们表明，一阶的尾巴是一个常数乘以一个反幂的尾部指数的显式值，以及一个显式值的常数在前面的反幂，我们还提供了一个二阶的尾部扩展的范围。我们工作的主要兴趣在于两点。首先，我们的推导是基于一个简单的方法，我们相信这是普遍的意义上说，它可以推广到所有的维度和所有的日志相关领域。其次，在我们考虑的2d情况下，在逆幂前面的常数的值（直到显式项）只是在一个特殊值处取的刘维尔反射系数。在最近的严格推导中，用A. Kupiainen的DOZZ公式\cite{KRV1,KRV} ;据我们所知，这是第一次严格推导出一个明确的价值观，这样一个常数在尾部扩展的GMC措施。我们故意保持这篇论文短强调的方法，使它成为一个易于访问的工具箱计算尾部的GMC理论。
Sojourns of Stationary Gaussian Processes over a Random Interval
研究了逗留时间$$ \int_0^T \mathbb{I}(X(t)> u)dt, $$为$u\to\infty$的尾部分布的渐近性，其中$X$是中心平稳高斯过程，$T$是独立于$X$的非负随机变量. $T$的尾部分布的沉重程度影响了渐近的形式，导致了四种情况：可积$T$的情况、具有指标$λ=1$和指标$λ\in(0,1)$的规则变化$T$的情况以及$T$的尾部分布缓慢变化的情况。通过对分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程类的分析，说明了所得结果.
Sojourn times of Gaussian related random fields
本文研究了具有连续样本路径的随机场的逗留时间的渐近分析。在一个非常一般的框架下，我们表明，有一个有趣的关系之间的尾渐近的逗留时间和上确界。此外，我们建立了一致双和方法来推导逗留时间的尾渐近性。在文献研究中，基于S.利用Berman的逗留时间导出了高斯过程上确界的尾渐近性。在本文中，我们表明，相反的方向是更富有成效的，即知道的渐近上确界的随机过程和字段（特别是高斯），它是可能的，以建立其逗留时间的渐近。我们说明我们的研究结果考虑i）二维高斯随机场，ii）由平稳高斯过程和iii）平稳高斯随机过程产生的卡过程。
Hölder type estimates for Gaussian multiplicative chaos
本文研究了GMC比率的右尾行为，通过扩展GMC比率类推导出其上界和下界，利用启发式方法证明最优指数。
Extremes of a class of nonhomogeneous Gaussian random fields
本文建立了一类非齐次高斯随机场$X$在有界凸集$\mathbf{E}\subset\mathbb{R}^2$上的$\sup_{(s,t)\in\mathbf{E}}$ $X(s,t)$的精确尾渐近性，其方差函数在$\mathbf{E}$上的一段上达到最大值.这些结果推广了齐次高斯随机场和具有唯一方差极大点的高斯随机场的经典结果。我们的结果的应用包括平稳高斯过程、布朗桥和分数布朗运动的Shepp统计量的精确尾渐近性的推导以及平稳高斯过程的最大损失和跨度的精确尾渐近展开.
Uniform tail approximation of homogenous functionals of Gaussian fields
设$X(t),t\in R^d$是一个具有连续轨迹的中心高斯随机场，并设$ξ_u(t)= X(f(u)t),t\in R^d$与$f$为正函数.经典的结果建立$P\{ Γ(ξ_u) > u\}$的尾渐近$u\to \infty$与$Γ(ξ_u)= \sup_{t \in [0,T ]^d} ξ_u(t),T>0$的要求，$f(u) \to 0$与速度控制的$X$的相关函数的本地行为。最近的研究表明，对于应用程序更一般的连续泛函比上确界应考虑和高斯场也可以依赖于一些额外的参数$τ_u \in K$，说$ξ_{u,τ_u}(t),t\in R^d$。在这篇文章中，我们得到了一致的近似$P\{ Γ(ξ_{u,τ_u})> u\}$的$τ_u$在某些指标集$K_u$，作为$u\to\infty$。我们的主要结果具有重要的理论意义;两个应用已经包括在[10，11]中。本文给出了三个新的结果，即：（1）给出了双极大概率的一致上界;（2）将Piterbag-Prisyazhnyuk定理推广到中心高斯域$ξ_{u}$的几大类齐次泛函;（3）证明了广义Piterbag-Prisyazhnyuk常数的有限性。
Toward the best constant factor for the Rademacher-Gaussian tail comparison
设S_n：=a_1 \vp_1 +.+ a_n \vp_n，其中\vp_1，.，\vp_n是独立的Rademacher随机变量（r. v. s）和a_1，...，a_n是任何实数，使得a_1^2+.+ a_n^2=1。设Z是标准正规相对论，证明了不等式（Z>x）中的最佳常数因子c对\leq中的所有x都是在两个显式定义的绝对常数c_1和c_2之间，使得c_1<c_2 \approx 1.01 c_1.
Asymptotic Expansion of Gaussian Chaos via Probabilistic Approach
对于一个中心的$d$维高斯随机向量$ξ=(ξ_1,\ldots,ξ_d)$和一个齐次函数$h:R^d\to R$，我们得到了高斯混沌$h(ξ)$尾部的渐近展开式，给出了函数$h$是足够光滑的.高斯混沌的三个具有挑战性的例子是高斯矩阵的行列式，高斯正交系综和随机高斯云的直径。利用直接概率渐近方法，研究了$h(ξ)$的尾分布及其在无穷远处的密度的渐近行为，并讨论了某些一般的极坐标表示的$ξ$的可能推广.
Simple Nonlinear Models with Rigorous Extreme Events and Heavy Tails
极端事件及其驱动的重尾分布在各种科学、工程和金融研究中无处不在。它们通常与隐藏的未解决过程引起的随机不稳定性有关。以往的研究表明，这种不稳定性可以用条件高斯模型中的随机阻尼来模拟。然而，这些结果大多是通过数值实验获得的，而对潜在机制的严格理解非常缺乏。本文通过建立一个理论框架来解决这个问题，在这个框架中，条件高斯模型的尾部密度可以被严格确定。粗略地说，我们表明，如果随机阻尼取负值，尾部是多项式;如果随机阻尼是非负的，但取值为零，尾部是指数和高斯之间。证明是建立通过构造一个新的，产品型李雅普诺夫函数，其中应用费曼-卡茨公式。同样的框架也导致了一个非渐近的大偏差长期平均过程的限制。
Tails of weakly dependent random vectors
对于弱相依（渐近独立）随机向量，我们引入了一个新的尾相依函数测度，称之为弱尾相依函数。新的措施被定义在copula的水平，我们计算它的几个copula家庭，如高斯copula，一类高斯混合模型的copula，某些阿基米德copula和极值copula。新的措施允许量化的尾部行为的某些泛函的弱相关的随机向量在对数尺度。
Extremal bounds for Gaussian trace estimation
本文通过定义特征值偏序关系，为高斯迹估计器建立了极值尾部界，覆盖有界有效秩半正定矩阵和有界2-范数且固定Frobenius范数的不定矩阵两类情形。
Exponential and Gaussian behavior in the tails of multivariate functions
我们观察到，由\begin{equation*} Λ_{n}(x)=\exp \left( -x_{1}-π\sum_{i=2}^{n}x_{i}^{2}\right) \end{equation*}定义的函数$Λ_{n}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow (0,\infty )$的近似副本出现在一大类函数的尾部，具有与坐标独立性、凸性、同素性和齐性相关的性质。函数$Λ_{n}$是一个熵最大化器（在半空间上），它由齐性条件和关于$x_{1}$方向的旋转不变性及其在原点附近的行为唯一确定。这些结果连接到大随机样本的边缘附近发现的极限泊松点过程，以及条件的随机向量对某些罕见的事件，并可以被认为是拉普拉斯的方法估计积分的变化。
A general expression for the distribution of the maximum of a Gaussian field and the approximation of the tail
研究了定义在具有一定几何正则性的$\R^d$的紧子集上的光滑高斯场的最大值的概率分布$F(u)$.我们的主要结果是$F$密度的一般公式。尽管这是一个隐式公式，但可以从中推导出密度的显式边界，从而推导出分布的显式边界，以及$u$的大值的$ 1-F(u)$的改进展开式。主要工具是实数上随机方程组根的个数的矩的Rice公式，并给出了一个新的简化证明。这种方法也使得研究所谓的期望欧拉示性数近似的二阶性质仅使用基本参数，并将这些结果推广到一些有趣的类高斯场。利用GOE随机矩阵的谱理论，我们用“直接法“计算最大值的分布，得到了更精确的结果。
A Sharp Lower-tail Bound for Gaussian Maxima with Application to Bootstrap Methods in High Dimensions
虽然有大量的文献对高斯过程的最大值，有相对较少的非渐近界的下尾概率。本文的目的是开发这样一个界限，同时也允许许多类型的依赖。令$(ξ_1,\dots,ξ_N)$是具有标准化条目的中心高斯向量，其相关阵$R$对于某个常数$ρ_0\in (0,1)$满足$\max_{i\neq j} R_{ij}\leq ρ_0$。然后，对于任何$ε_0\in(0,\sqrt{1-ρ_0})$，我们建立一个上界的概率$\mathbb{P}(\max_{1\leq j\leq N} ξ_j\leq ε_0\sqrt{2\log(N)})$在$(ρ_0,ε_0,N)$。该界限也是尖锐的，在这个意义上，它是达到一个常数，独立于$N$。接下来，我们将这一结果应用于高维统计的背景下，在那里我们简化和削弱最近被用来建立近参数率的自助近似的条件。最后，这个应用程序的一个有趣的方面是，它利用了Bourgain和Tzafriri的“限制可逆性原则”的最新改进。
A large deviation principle for Wigner matrices without Gaussian tails
本文考虑具有独立同分布的$n\times n$ Hermite矩阵。对于某些$a>0$和$α\in(0,2)$，其尾概率$\mathbb {P}(|X_{ij}|\geq t)$表现得像$e^{-at^α}$的条目$X_{ij}$。本文建立了具有速度$n^{1+α/2}$的$X/\sqrt{n}$的经验谱测度的大偏差原理，其中$n^{1+α/2}$具有一个好的率函数$J(μ)$，它是有限的，仅当$μ$是$μ=μ_{\mathrm{sc}}\boxplusν$的形式，对于$\mathbb {R}$上的某个概率测度$ν$，其中$\boxplus$表示自由卷积，$μ_{\mathrm{sc}}$是Wigner的周期律.我们得到了$J(μ_{\mathrm{sc}}\boxplusν)$在$ν$的$α$阶矩的显式表达式。证明是基于非常稀疏的随机根网络的经验分布的大偏差的分析。
Length of stationary Gaussian excursions
给定一个平稳高斯过程高于一个高阈值，研究它在低于该阈值之前所花费的时间长度。渐近阶由样本路径的平滑度确定，而样本路径的平滑度又是谱测度的尾部的函数。两个不相交的制度进行了研究-一个在其中的二阶谱矩是有限的，另一个在其中的尾部的谱测度是经常变化的，二阶矩是无限的。
Exact asymptotics of supremum of a stationary Gaussian process over a random interval
设$\{X(t) : t \in [0, \infty) \}$为中心平稳高斯过程。我们研究了$\pr (\sup_{s \in [0,T]} X(t) > u)$的精确渐近性，即$u \to \infty$，其中$T$是与\{X（t）\}非负随机变量无关的.看来，$T$的沉重影响的形式的渐近，导致三种情况下：可积的$T$的情况下，$T$的情况下，有规律地变化的尾部分布参数$λ\in(0,1)$和$T$的情况下，有缓慢变化的尾部分布。
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