$(2P_2,K_4)$-Free Graphs are 4-Colorable
本文证明了所有无$(2P_2,K_4)$图都是4-可着色的.五轮和七轮的补充达到了界限。这回答了Wagon \cite{Wa80}在20世纪80年代提出的一个悬而未决的问题。我们的结果也可以被看作是一个结果，在研究的Vizing界的图类。图着色计算复杂性研究中的一个主要问题是无$(4P_1,C_4)$图的着色能否在多项式时间内解决。Lozin和Malyshev \cite{LM17}推测答案是肯定的。作为我们主要结果的应用，我们给出了$(4P_1,C_4)$ -free图的一个2-近似染色算法，为猜想提供了第一个肯定的证据。
2018-12-14 math.CO
An even better Density Increment Theorem and its application to Hadwiger's Conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。最近，作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$可着色的;更具体地说，它们是$t \cdot 2^{ O((\log \log t)^{2/3}) }$可着色的。结合这一工作，本文证明了任何不含$K_t$子图的图都是$O(t (\log \log t)^{6})$ -可着色的。
2022-05-18 cs.DM math.CO
Rectangle Free Coloring of Grids
二维\emph{grid}是集合$\Gnm = [n]\times[m]$。如果有一个函数$χ_{n,m}: \Gnm \to [c]$使得没有四个角都是相同颜色的矩形，则网格$\Gnm$是\emph{$c$-colorable}。我们解决以下问题：对于$n$和$m$的哪些值，$\Gnm$ $c$是可着色的？这个问题可以被看作是一个二分Ramsey问题，并且与Gallai-Witt定理（也称为多维Van Der Waerden定理）有关。我们确定（1）\emph{exactly}哪些网格是2-可着色的，（2）\emph{exactly}哪些网格是3-可着色的，以及（3）\emph{exactly}哪些网格是4-可着色的。我们使用组合学、有限域和竞赛图。
2012-11-13 math.CO
A Short Proof that Every Claw-Free Cubic Graph is (1,1,2,2)-Packing Colorable
KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院卡尔马实验室）；Basic and Applied Sciences Research, Al Maaref University（阿尔玛阿雷夫大学基础与应用科学研究）；Computer Science Department, University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院计算机科学系）
本文给出了无爪立方图是(1,1,2,2)-打包着色的简短证明，改进了之前的结果。
2025-12-30 math.CO
Coloration of $K_7^-$-minor free graphs
Hadwiger猜想指出，每个$K_t$ -子自由图都是$(t - 1)$ -可着色的.这个问题已被证明为$t \leq 6$，但仍然开放的$t \geq 7$。$K_7$ -minor free图已被证明是$8$ -可着色的（Albar & Gonçalves，2013）。证明了无$K_7^-$ -子图是$7$ -可着色的，其中$K_7^-$是由$K_7$去掉一条边得到的图.
2014-02-12 math.CO
Asymptotic Equivalence of Hadwiger's Conjecture and its Odd Minor-Variant
Hadwiger猜想指出，每个$K_t$ -子自由图都是$(t-1)$ -可着色的.由Gerards和Seymour提出的这个猜想的一个定性加强，被称为奇Hadwiger猜想，类似地说，每个没有奇$K_t$ -子图的图是$(t-1)$ -可着色的。对于这两种结构，它们的渐近松弛仍然是开放的，即，对于某个常数$C>0$，$Ct$形式的色数是否存在上界。我们证明了如果每个没有$K_t$ -子图的图都是$f(t)$ -可着色的，那么每个没有奇数$K_t$ -子图的图都是$2f(t)$ -可着色的.利用这一点，Delcourt和Postle最近对$K_t$-minor自由图的色数的$O(t\log\log t)$-上界直接推广到奇$K_t$ -minor自由图的色数.这（稍微）改进了Delcourt和Postle对这个问题的$O(t(\log \log t)^2)$的上界。
2021-09-06 cs.DM math.CO
Halfway to Hadwiger's Conjecture
1943年，Hadwiger证明了每个无$K_t$ -minor图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的.在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin和Song证明了没有$K_t$子图的图是$O(t(\log t)^{0.354})$ -可着色的。在第二部分的基础上，证明了不含$K_t$子图的图对每个$β> \frac{1}{4}$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的.
2022-05-18 cs.DM math.CO
Perfectly Colorable Graphs
我们定义了图$G$的完美染色为$G$的一个恰当染色，使得$G$的每个连通诱导子图$H$恰好使用$ω(H)$许多颜色，其中$ω(H)$是$H$的团数.一个图是完全可着色的，如果它允许一个完美着色。我们证明了完全可着色图类就是完全无爪图类。因此，完全可着色图可以在线性时间内被识别和着色。
2011-08-12 math.CO
The edge colorings of $K_{5}$-minor free graphs
1965年，Vizing证明了每个具有最大度$Δ\geq 8$的可平面图$G$是边$Δ$ -可着色的.证明了平面图$G$是边$Δ$ -可着色的，并且证明了平面图$G$的最大度为$Δ=7$.本文推广了上述结果，证明了最大度$Δ$至少为7的无$K_5$ -子图是边$Δ$ -可着色的.
2020-02-24 math.CO
Choosability of a weighted path and free-choosability of a cycle
一个图$G$具有一个颜色列表$L(v)$和每个顶点$v$的权重$w(v)$，如果可以为每个顶点$v$从$L(v)$中选择一个$w(v)$颜色子集，使得邻顶点接收不相交的颜色集，则该图是$(L,w)$ -可着色的。本文给出了对某些列表赋值$L$，加权路是$(L,w)$ -可着色的充要条件.此外，我们解决了一个周期的自由选择性的问题。
2011-05-16 cs.DM math.CO
Clique-coloring of $K_{3,3}$-minor free graphs
给定图$G$的团染色是对$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。证明了可平面图是$3$ -团可染的，而不同于奇圈的无爪可平面图是$2$ -团可染的.本文将这些结果推广到$K_{3,3}$ -minor free（$K_{3,3}$ -subdivision free）图.
2019-09-15 cs.DM math.CO
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
2012-11-16 cs.DM math.CO
Every graph with no $K_7^=$ minor is 6-colorable
Charles University（查理大学）；McGill University（麦吉尔大学）
本文证明了不含$K_7^=$ minors的图是6-可染色的，从而推进了Hadwiger猜想，其证明依赖于一个关于5-连通图边数的密度结果。
2026-09-17 math.CO
List $3$-coloring $C_4$-free graphs of diameter-$2$ in polynomial-time
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
提出多项式时间算法解决直径2的无C4图的列表3-染色问题，基于结构刻画表明许多此类图不可3-染色。
2026-07-03 cs.DM math.CO
($P_2+P_4$, $K_4-e$)-free graphs are nearly $ω$-colorable
本文证明 ($P_2+P_4$, $K_4-e$)-free 图满足 $\chi(G)\leq \max\{6,\omega(G)\}$，且当 $\omega(G)=4$ 时 $\chi(G)=4$，推广了已知结果并改进了现有界。
2025-08-07 cs.DM math.CO
Claw-free cubic graphs are $(1, 1, 2, 2)$-colorable
本文证明了每个无爪三次图都存在 $(1,1,2,2)$-着色，从而验证了次三次图细分图的packing chromatic number至多为 $5$ 的猜想在无爪三次图情况下成立。
2024-09-23 math.CO
On near optimal colorable graphs
本文证明了三类($F, K_4-e$)-自由图是近最优可着色的，部分回答了Ju和Huang的问题，并为这些图类的色数问题的多项式时间可解性提供了新证明。
2025-08-07 cs.DM math.CO
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
2018-10-29 math.CO
Further Progress towards the List and Odd Versions of Hadwiger's Conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。在这项工作的基础上，我们之前证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$ -可着色的。更具体地，它们是$O(t \cdot (\log \log t)^{6})$可着色的。在本文中，我们将这项工作扩展到Hadwiger猜想的列表和奇推广。
2020-10-12 math.CO
Claw-free cubic graphs are (1, 1, 1, 3)-packing edge-colorable
本文针对Gastineau和Togni关于三次图(1, 1, 1, 3)-packing边着色的猜想，证明了每个无爪三次图均存在此类着色。
2025-09-15 math.CO
On the maximum diameter of $k$-colorable graphs
Erdés，Pach，Pollack and Tuza [J. Combin. Theory，B 47，（1989），279-285]证明了如果$δ$是$(r-1)(3r+2)$的倍数，则对于每个$r\ge 2$，阶$n$和最小度$δ\geq 2$的无$K_{2r}$连通图的直径至多为$\frac{2(r-1)(3r+2)}{(2r^2-1)}\cdot \frac{n}δ + O(1)$.对于每个$r>1$和$δ\ge 2(r-1)$，我们构造了具有最小度$δ$和直径$\frac{(6r-5)n}{(2r-1)δ+2r-3}+O(1)$的无$K_{2r}$图，它们是对每个$r>1$和$δ>2(r-1)(3r+2)(2r-3)$猜想的反例.本文的其余部分在更强的假设下证明了积极的结果，$k$ -可着色性，而不是$K_{k+1}$ -free。本文证明了具有最小度$\geq δ$和阶$n$的连通$k$ -可着色图的直径至多为$\left(3-\frac{1}{k-1}\right)\frac{n}δ+O(1)$，而对于$k=3$，直径至多为$\frac{57n}{23δ}+O\left(1\right)$ .
2020-09-05 math.CO
On the chromatic number of a family of odd hole free graphs
洞是长度至少为4的诱导环，奇洞是奇数长度的洞。一个满房子是由一个顶点组成的一个图，该顶点与$K_4$中的一条边的两端相邻。设$H$是7个顶点上的圈的补。Chudnovsky等人[6]证明了：每个（odd hole，$K_4$）-free图是4-可着色的，如果它没有$H$作为导出子图，则它是3-可着色的.本文利用Chudnovsky等人的证明技巧，将这一结论推广到无（奇洞，满堂）图，证明了对于无（奇洞，满堂）图$G$，$χ(G)\le ω(G)+1$，等式成立当且仅当$ω(G)=3$和$G$有$H$作为导出子图.
2021-10-25 cs.DM math.CO
Coloring ($P_6$, diamond, $K_4$)-free graphs
我们证明了每一个（$P_6$，diamond，$K_4$）-free图都是$6$ -可着色的.此外，我们给出了一个例子（$P_6$，钻石，$K_4$）-free图$G$与$χ(G) = 6$。这推广了文献中的一些已知结果。
2017-03-02 cs.DM math.CO
Maximum diameter of $3$- and $4$-colorable graphs
P. Erdés，J. Pach，R. Pollack和Z. Tuza [J. Combin. Theory，B 47（1989），279- 285]对不含完全子图$K_{k+1}$的连通图的最大直径进行了研究，这些连通图具有阶$n$和最小度$δ$ .通过将$K_{k+1}$ -free的条件加强为$k$ -colorable，我们用统一的线性规划对偶方法解决了$k=3$和$k=4$的问题. $k=4$的情况是一个实质性的简化的结果的研究。Czabarka，P. Dankelmann，and L. A.塞凯伊[欧洲] J. Comb.，30（2009），1082- 1089]。
2021-09-28 math.CO
On $k$-colorability of $(bull, H)$-free graphs
该研究针对不含bull图类的$k$-可着色NP难问题，刻画了含长导出圈的不含(bull,claw)图的$k$-可着色性，并给出多类不含bull相关子图的连通图的非4、非5着色完整刻画。
2025-09-01 math.CO
Maximum list $r$-colorable induced subgraphs in $kP_3$-free graphs
证明了对每个固定的正整数 $r$ 和 $k$，最大权列表 $r$-可着色导出子图问题在 $kP_3$-free 图上有多项式时间算法，并由此推导出关于 $H$-free 图复杂性二分法等三个重要推论。
2025-05-01 cs.DM cs.DS math.CO
Reducing Linear Hadwiger's Conjecture to Coloring Small Graphs
本文建立不含 K_t 子式图的色数界 O(t log log t)，并通过小图密度归约证明线性 Hadwiger 猜想只需验证小规模图，还推出固定 K_r-free 情形成立。
2024-03-05 cs.DM math.CO
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path I : the triangle-free case
本文给出了一个多项式时间算法，它判定一个给定的无三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。
2014-09-17 cs.DM math.CO
Characterization of 4-critical triangle-free toroidal graphs
我们给出了一个精确的表征的3-着色的三角形自由图画在环面中，在186个“模板”（图与某些面填充任意四边形）的形式，使这一类的图是不是3-着色的当且仅当它包含一个子图匹配的模板之一。因此，我们证明了每一个边宽度至少为6的环面上的无三角形图都是3-可着色的，这是一个用于无三角形环面图的有效3-可着色算法的关键属性。
2020-09-02 math.CO
On 3-colorability of (claw, diamond)-free graphs
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）；TU Bergakademie Freiberg（弗莱贝格矿业技术大学）
研究了(claw, diamond, N_{i, j, k})-自由图的3-染色性，证明了这些图要么3-可染色，要么包含K_4，或属于特定非3-可染色图类，并指出某些情况下非3-可染色图的数量有限或无限。
2026-02-06 math.CO
Breaking the degeneracy barrier for coloring graphs with no $K_t$ minor
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\geq 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。我们证明了没有$K_t$子图的每个图对每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对Kostochka-Kazason界的数量级的第一次改进.
2020-05-27 math.CO
Edge Coloring of Triangle-Free 1-Planar Graphs
本文证明了具有最大度$Δ\geq7$的无三角1-可平面图都可以用放电法进行$Δ$ -染色.
2010-12-29 cs.DM math.CO
Some concepts in list coloring
本文研究了唯一列表可着色图.一个图G被称为是唯一k-列表可着色的，如果它允许一个k-列表分配，从该分配G有一个唯一的列表着色。G不是唯一k-列表可染的最小k称为G的M-数。本文证明了任何无三角形且色数为色数k+1的图都是唯一k-列表可染的。给出了图的M-数的一个界，并利用这个界证明了每个可平面图的M-数至多为4。在图中引入了列表临界性，刻画了所有3-列表临界图.证明了每个$χ_\ell$ -临界图都是$χ'$ -临界图，并证明了这个猜想与著名的列表着色猜想是等价的.
2008-01-02 math.CO
Finding large $k$-colorable induced subgraphs in (bull, chair)-free and (bull,E)-free graphs
针对最大部分k着色问题，研究给出无(bull,chair)诱导子图的n顶点实例可在n^O(kω)时间解决，无(bull,E)诱导子图的实例可在n^O(kωlogn)时间解决，分别推导出k着色在前一类图中多项式时间可解、后一类拟多项式时间可解。
2025-04-07 cs.CC math.CO
Coloring Drawings of Graphs
我们考虑平面图的图的胞腔着色。给定一个多重图$G$和一个平面上的图$Γ(G)$，图中只有100个交叉点，我们定义一个$Γ(G)$的单元$k$ -着色为图的最大连通区域的着色，这些单元具有$k$颜色，使得相邻单元具有不同的颜色。根据$4$ -着色定理，无桥图的每一幅图都有一个胞腔$4$ -着色.一个图的绘制是单元格$2$ -可着色的当且仅当底层图是欧拉图。我们证明了每一个不含1度顶点的图都有一个胞元$3$ -可着色图.这就引出了一个自然的问题，即抽象图的每个图形都有一个单元格$3$ -着色。我们说这样的图是普遍的细胞$3$着色。我们证明了任何$4$ -边连通图和任何允许无零$3$ -流的图都是泛胞$3$ -可着色的.我们还讨论了普遍的细胞$3$的可着色性的情况下，保证存在一个无处为零的$3$流。在消极的一面，我们提出了一个无限族的普遍细胞$3$ -可着色图没有无处零$3$ -流。在积极的一面，我们制定了一个猜想，它有一个令人惊讶的关系，著名的公开问题Tutte称为$3$流猜想。我们证明了我们的猜想为次立方和$K_{3,3}$ -minor自由图。
2022-08-26 cs.DM math.CO
On the structures of {diamond, bowtie}-free graphs that do not contain an induced subdivision of $K_4$
School of Mathematics Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学生命科学技术学院）
本文研究不含诱导$K_4$子分割、钻石和鸽尾的图结构，证明此类图3可着色，回答了Chen等人问题并扩展了Chudnovsky等人的结果。
2026-03-19 math.CO
An extension of Thomassen's result on choosability
Rumassen证明了所有可平面图都是$5$ -可选的.Škrekovski通过证明所有无$K_{5}$ -minor的图都是$5$ -可选的来加强这个结果。Dvoclák和Postle指出所有可平面图都是DP- $5$ -可着色的。在本文中，我们首先通过证明每个$K_{5}$ -minor-free或$K_{3, 3}$ -minor-free图是DP- $5$ -可着色的来改进这些结果。在最后一节中，我们在严格$f$ -退化断面项下进一步改进了这些结果。
2022-03-30 math.CO
Exhaustive generation of $k$-critical $\mathcal H$-free graphs
我们描述了一种基于Hoàng等人的方法生成所有$k$ -临界$\mathcal H$ -free图的算法。使用该算法，我们证明了对于$k=4$和$k=5$，只有有限多个$4$ -临界$(P_7,C_k)$ -free图。我们还证明了只有1000个$4$ -临界图$(P_8,C_4)$ -free图.对于每一种情况，我们也给出了临界图和点临界图的完整列表。这些结果概括了以前的工作地狱和黄，并产生证明算法的$3$着色性问题在各自的类。此外，我们还证明了对每一个$t$，无4-临界平面$P_t$的图类是有限的.我们还确定了所有27个4-临界平面$(P_7,C_6)$ -free图。我们还证明了每一个围长至少为5的无$P_{10}$图都是3-可着色的，并确定了围长为5的最小无4-色$P_{12}$图.此外，我们还证明了每一个周长至少为6的无$P_{13}$图和每一个周长至少为7的无$P_{16}$图都是3-可着色的.这加强了Golovach等人的结果。
2015-08-13 cs.DM math.CO
On the Long-Repetition-Free 2-Colorability of Trees
如果$\bar{u}$的长度至少为3，则字$\bar{w} = \bar{u}\bar{u}$是$long$ $square$;如果$\bar{w}$不包含长方形的子字，则字$\bar{w}$是$long$ - $square$ - $free$。我们可以使用词来生成图着色;如果图中每条路的着色所形成的词是无长平方的，则图着色称为$long$ - $repetition$ - $free$。我们的结果表明，半径小于或等于7的每一棵有根树都是长重复无二色的。证明了存在一类非长重复自由二色树。
2022-01-27 math.CO
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
2018-12-01 math.CO
Conflict-free chromatic index of trees
本文提出一种时间复杂度为 $O(|V(T)|)$ 的算法，用于确定无 2 度顶点的树的无冲突色指数，部分回答了相关公开问题。
2024-09-24 cs.DM math.CO
On triangles in K_r-minor free graphs
本文研究了与小度顶点（分别为7和9）相邻的每条边属于多个三角形（分别为4和5）的图，并证明了这些图包含一个完全图（分别为K_6和K_7）作为子图。第二个案例解决了Nevo问题（Nevo，2007）。如果图的每条边都属于6个三角形，则该图含有一个K_8-子图或含有K_{2,2,2,2,2}作为诱导子图.然后，我们展示了这些结构性质的应用程序，以应力自由度和着色的图形。特别地，在Hadwiger猜想的启发下，我们证明了每个K_7-子自由图是8-可着色的，每个K_8-子自由图是10-可着色的。
2013-04-19 math.CO
The parameterized complexity of Strong Conflict-Free Vertex-Connection Colorability
Univ Lyon, EnsL, CNRS, LIP（里昂大学，巴黎高等师范学院，法国国家科学研究中心，信息与计算机实验室）
本文研究了强冲突自由顶点连接色数的参数复杂性，证明了其在顶点覆盖数参数下的固定参数可 tractable 性，但3-着色问题在二分图上不具有多项式核。
2025-12-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Extension of Gyarfas-Sumner conjecture to digraphs
一个有向图$D$的二色数是使每个色类都导出一个无圈有向图的顶点着色所需的最少颜色数。由于它推广了图的色数的概念，因此成为最近的研究中心。在这项工作中，我们看看可能的扩展Gyárfás-Sumner猜想。更准确地说，我们提出了一个猜想，作为一个简单的表征有限集$\mathcal F$的有向图，使每一个定向图具有足够大的二色数必须包含一个成员的$\mathcal F$作为诱导子有向图。在值得注意的结果中，我们证明了没有长度为$3$的有向路的有向无三角图是$2$ -可着色的。如果“triangle-free”的条件被替换为“$K_4$ -free”，则我们有一个上界$414$。我们还证明了不含有向三角形的完全多部图的定向是2-可着色的。为了证明这些结果，我们引入了\emph{nice sets}的概念，这可能是独立的利益。
2020-09-28 cs.DM math.CO
Coloring Graphs with Forbidden Minors
Hadwiger在1943年提出的猜想指出，对于每一个整数$t\ge1$，每一个图都可以是$t$着色的，或者有一个子图可以在$t+1$的顶点上收缩为完全图。正如保罗·西摩在他最近对哈德维格猜想的调查中指出的那样，证明没有$K_7$子图的图是$6$ -可着色的是哈德维格猜想的第一个仍然开放的情况。目前还不知道没有$K_7$子图的图是否是$7$可着色的。利用Kempe-链的论证以及在独立数为2的图中，三个顶点上的诱导路是支配路的事实，我们首先给出了Albar和Gonçalves最近的一个结果的一个非常简短且无需计算机的证明，并将其推广到下一步，证明了每个没有$K_t$子图的图都是$(2t-6)$ -可着色的，其中$t\in\{7,8,9\}$ .证明了不含$K_8^-$子图的图是$9$ -可着色的，不含$K_8^=$子图的图是$8$ -可着色的.最后证明了如果$K_p$子图的极值函数的Mader界为真，则不含$K_p$子图的图对所有$p\ge5$都是$(2t-6)$ -可着色的.这意味着我们的第一个结果。我们相信，我们在本文中开发的肯普链方法是独立的利益。
2016-12-21 math.CO
Fractional coloring of planar graphs of girth five
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们首先证明了对任意无三角形的可平面图G和G的顶点x，图G有一个集合被{1，.，6}使得|phi（v）|对于G的每个顶点v>=2，并且|phi（x）|=3。作为推论，每个n个顶点的无三角形的可平面图都是（6 n：2n+1）-可着色的。利用这个结果，我们进一步证明了：对于每个Delta，存在一个常数M_Delta使得每个围长至少为5且度最大的可平面图G是（6 M_Delta：2 M_Delta +1）-可着色的.因此，围长至少为5且最大度Delta有界的可平面图的分数色数至多为3-3/（2M_Delta+1）。
2018-09-14 math.CO
Obstructions for three-coloring and list three-coloring $H$-free graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的诱导子图.我们刻画了所有的图$H$，其中只有1000个极小的非三色的$H$ -free图。这样的特征以前仅在连接$H$的情况下才知道。这解决了Golovach等人提出的一个问题。作为第二个结果，我们描述了所有的图$H$，其中只有100多个$H$ -免费的最小障碍列表3-着色。
2018-02-07 cs.DM math.CO
On Fork-free T-perfect Graphs
为了理解独立集问题的复杂性，Chv{á}tal定义了t-完美图。虽然这类的完整表征仍然是在大，进步已经取得了无爪图[Bruhn和Stein，数学。程序。\ 2012]和无$P_{5}$图[Bruhn和Fuchs，SIAM J.\离散数学2017年]。我们进一步刻画了无叉t-完美图的特征，并证明它们是强t-完美图且可三色的。我们还提出了多项式时间的算法来识别和着色这些图。
2022-11-07 cs.DM math.CO
Coloring of graphs without long odd holes
本文研究了无长奇洞图的着色问题，证明了${\cal G}_2$族图1456-可着色、${\cal A}_3$族图4-可着色，并给出${\cal B}_{\ell}$中无7-洞图的$(12\ell+8)$-可着色性。
2025-04-02 math.CO
Coloring clique-hypergraph of $K_5$-minor-free graphs
图$G$的团染色是对图$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。图$G$的群超图$\mathcal{H}(G)$以$V(G)$为其顶点集，以$G$的最大团为其超边。$\mathcal{H}(G)$的一个（顶点）染色是$G$的一个顶点染色。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。任何可平面图都是3-可色的（Electr. J. Combin. 6（1999），\#R26）。最近，我们证明了每个不同于奇圈的无爪可平面图都是$2$ -可染的（European J. Combin. 36（2014）367-376）。本文将这些结果推广到无爪，无$K_5$ -子图.
2014-08-21 math.CO
Haggkvist-Hell Graphs: A class of Kneser-colorable graphs
对于正整数n和r，我们定义Haggkvist-Hell图H_{n:r}为顶点为有序对（h，T）的图，其中T是[n]的r-子集，h是[n]中不在T中的元素。顶点（h_x，T_x）和（h_y，T_y）相邻当且仅当h_x \in T_y，h_y \in T_x，且T_x和T_y不相交.这些无三角形弧传递图是Kneser图思想的推广，并且从Haggkvist-Hell图H_{n:r}到相应的Kneser图K_{n:r}存在一个自然同态. Haggkvist和Hell介绍了这些图的r=3的情况，证明了一个三次图允许同态到H_{22:3}当且仅当它是无三角形的。Gallucio、Hell和Nesetril也考虑了r=3的情况，证明了H_{n:3}可以有任意大的色数。本文给出了所有Haggkvist-Hell图的直径、围长和奇围长的精确值，并给出了独立性、色数和分数色数的界.进一步，我们将Gallucio等人的结果推广到任意固定的r-\ge 2，并确定了H_{n:r}的全自同构群，它同构于n元上的对称群.
2011-10-07 math.CO
Interval cyclic edge-colorings of graphs
如果图$G$的所有颜色都被使用，并且每个顶点$v\in V(G)$的关联边都被$d_{G}(v)$模$t$的连续颜色着色，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的正确边着色称为\emph{interval cyclic $t$-coloring}，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。一个图$G$称为\emph{interval cyclically colorable}，如果它对某个正整数$t$有区间循环$t$ -染色.用$\mathfrak{N}_{c}$表示所有区间循环可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}_{c}$，具有区间循环$t$ -染色的$t$的最小值和最大值分别用$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$表示.本文研究了区间循环染色的一些性质。特别地，我们证明了如果$G$是一个至少有两个顶点的无三角形图，并且$G\in \mathfrak{N}_{c}$，那么$W_{c}(G)\leq \vert V(G)\vert +Δ(G)-2$。我们还得到了各种图类的$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$的界。最后给出了区间循环不可着色图的构造方法。
2014-11-02 cs.DM math.CO
Connectivity and choosability of graphs with no $K_t$ minor
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。虽然Hadwiger的猜想不适用于列表着色，但线性弱化被证明是正确的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -列表可着色的。最近，作者和Song证明了不含$K_t$子图的图对每个$β> \frac 1 4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的.在这里，我们建立在该结果的基础上，以表明每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> \frac 1 4$都是$O(t(\log t)^β)$ -列表可着色的。我们主要的新工具是一个上界的顶点数在高度连接的$K_t$ -minor-free图：我们证明了，对于每一个$β> \frac 1 4$，每一个$Ω(t(\log t)^β)$ -连通图没有$K_t$子有$O(t (\log t)^{7/4})$顶点。
2020-04-22 math.CO
Every 4-regular 4-uniform hypergraph has a 2-coloring with a free vertex
本文继续研究超图的$2$ -染色。一个超图是$2$ -可着色的，如果它的顶点是$2$ -可着色的，且没有单色的超边.已知（见J.Amer.Math.Soc.5（1992），217- 229）每个$4$ -均匀$4$ -正则超图是$2$ -可着色的.本文的主要结果是加强了这一结果。为此，我们定义一个超图$H$中的顶点是$H$中的自由顶点，如果我们可以$2$ -color $V(H) \setminus \{v\}$，使得$H$中的每个超边都包含两种颜色的顶点（其中$v$没有颜色）。证明了每一个$4$ -一致$4$ -正则超图都有一个自由顶点.这证明了一个已知的猜想。我们的证明使用一个新的结果不全相等的$3$ -SAT这也证明了本文中，是在其本身的权利感兴趣。
2016-11-27 math.CO
