Structured matrices and inverses
Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota（明尼苏达大学数学及其应用研究所）；Thomson-Sintra（汤姆逊-辛特拉）
本文研究具有小位移秩的结构化矩阵，证明其多种逆（包括秩亏矩阵的Moore-Penrose逆）仍保持结构，从而实现快速求逆与存储优化。
2008-03-16 cs.NA math.NA
Two iterative formulas of largest and smallest singular value of nonsingular matrices
我们得到一个迭代公式，逐步收敛到最小的奇异值。类似地，我们得到了一个递减收敛到最大奇异值的迭代公式。
2022-05-27 cs.NA math.NA
A note on the singular value decomposition of idempotent and involutory matrices
该研究明确了幂等矩阵不同取值奇异值的精确数量，推导了能揭示其左右奇异向量紧密联系的奇异值分解形式，并将相关思路用于补充对合矩阵奇异值的已有研究结果。
2024-03-08 cs.NA math.NA
A Companion Curve Tracing Method for Rank-deficient Polynomial Systems
提出了一种用秩亏雅可比行列式跟踪多项式定义的隐式实代数曲线的方法。对于给定的曲线$f^{-1}(0)$，它首先利用正则化技术来计算曲线的每个连通分量的至少一个见证点。我们通过建立一个充分条件来检验$f^{-1}(0)$的空性，从而改进了这一步。我们还分析了收敛速度并进行了误差分析以细化见证点。通过计算随机点到嵌入曲线的光滑流形的最小距离来获得见证点，同时在局部极小处惩罚$f$的残差。为了跟踪从这些见证点开始的曲线，我们证明了，如果一个拖动的随机点沿轨迹内的管状邻域的嵌入流形的曲线，投影的流形上的轨迹是唯一的，可以计算的数值延拓。然后，我们将展示如何选择这样的轨迹来近似曲线计算某些矩阵的特征向量。通过实例说明了该方法的有效性。
2021-01-29 cs.NA cs.SC math.NA
A note on algebraic Riccati equations associated with reducible singular M-matrices
University of Regina（里贾纳大学）
研究可约奇异M矩阵相关代数Riccati方程的最小非负解猜想，提升对求解该解的倍增算法行为的理解
2015-03-24 cs.NA math.NA
A note on the singular value decomposition of (skew-)involutory and (skew-)coninvolutory matrices
$n \times n$对合矩阵$A$的奇异值$σ>1$成对出现$(σ, \frac{1}σ),$，而奇异值$σ= 1$可以成对出现$(1,1)$或单独出现。奇异值对的左、右奇异向量是紧密相连的。这个环节是用来重新制定的奇异值分解（SVD）的对合矩阵的特征分解。这显示了对合矩阵的奇异值与其特征值之间的一种有趣关系。对于（斜）卷积矩阵的奇异值分解、奇异值和共特征值也有类似的结果.
2019-07-28 cs.NA math.NA
A gradient system approach for Hankel structured low-rank approximation
秩亏汉克尔矩阵是几个应用的核心。然而，在实践中，由于例如测量误差和计算误差，这些矩阵的系数是有噪声的，因此通常所涉及的矩阵是满秩的。这激发了Hankel结构低秩逼近问题。结构化的低秩近似问题，一般来说，没有一个全局和有效解技术。本文提出了一种基于两级迭代的局部最优化方法。实验结果表明，该算法通常达到良好的精度，并表现出更高的鲁棒性相对于初始近似，相比其他方法。
2020-09-04 cs.NA math.NA
Randomized LU Decomposition
我们提出了一个快速的随机算法，计算低秩LU分解。我们的算法使用随机投影类型的技术，有效地计算大型矩阵的低秩近似。随机LU算法可以并行化，并通过在其投影步骤中使用稀疏随机矩阵来进一步加速。几个不同的误差界证明了算法的近似。为了证明这些界限，最近的结果从随机矩阵理论有关的次高斯矩阵。作为一个应用程序，我们还展示了如何利用该算法来解决问题，如秩亏最小二乘问题。数值例子，说明了算法的性能，并将其与其他分解方法进行比较。
2016-01-30 cs.NA math.NA
On the smallest singular value of multivariate Vandermonde matrices with clustered nodes
本文证明了节点在复单位圆上的多元矩形范德蒙矩阵的最小奇异值的下界。节点是“离网”的，节点组群集，并且所研究的最小奇异值由节点到特定群集中的所有其他节点的反向距离的乘积来界定。通过还提供最小奇异值的上界，这完全解决了单变量情况和多变量情况下的节点对，两者都包括合理的尖锐常数。对于较大的集群，我们表明，最小的奇异值也取决于集群内的几何配置。
2019-07-16 cs.NA math.NA
A harmonic Lanczos bidiagonalization method for computing interior singular triplets of large matrices
School of Science, Dalian Nationalities University（大连民族学院理学院）
提出调和Lanczos双对角化方法计算大型矩阵内部奇异三元组，证明在特定条件下近似奇异三元组收敛，并结合隐式重启技术开发算法，数值实验验证其高效性。
2010-01-19 cs.NA math.NA
Numerical methods for accurate computation of the eigenvalues of Hermitian matrices and the singular values of general matrices
本文综述了计算埃尔米特矩阵特征值和一般矩阵及几类结构矩阵奇异值的数值方法。重点是方法背后的主要原则，即使在传统方法条件不佳的情况下，也能保证高精度。首先，它示出了一个特定的结构中的误差在一个有限精度的算法的实现允许一个更好的措施的灵敏度和高精度的计算是可能的，尽管一个大的经典条件数。这种由有限精度计算引起的结构化误差在某些算法中是例如条目方向或列方向小的，这比通常认为的仅当在Frobenius矩阵范数中测量时一般小的误差好得多。专门定制的扰动理论，这种结构的扰动埃尔米特矩阵保证更好的界限，相对误差的计算特征值。其次，我们回顾了一种非传统的方法来精确计算的奇异值和特征值的一些臭名昭著的病态结构矩阵，例如，柯西，范德蒙和汉克尔矩阵。精确算法的显著特征是使用定义这种矩阵的内参数来获得非正交因子分解，例如\textsf{LDU}因子分解，然后计算由此计算的因子的乘积的奇异值。最先进的软件的状态进行了讨论。
2020-06-04 cs.NA math.NA
On the singular values of matrices with high displacement rank
Cornell University（康奈尔大学）
本文提出基于ADI的低秩求解器，针对具有快速衰减奇异值的矩阵方程，提供新的理论和实用收益，包括高位移秩矩阵类的奇异值界推导、高秩右端项的Lyapunov和Sylvester方程求解算法，以及实现谱精度的低秩Poisson求解器。
2018-01-11 cs.NA math.NA
A Hierarchical Singular Value Decomposition Algorithm for Low Rank Matrices
Indian Institute of Technology-Madras（印度马德拉斯理工学院）
本文提出了一种基于树结构的合并-截断算法，用于高效计算低秩矩阵的截断奇异值分解，该方法适用于任意大小的矩阵，且在单核运行时能显著提升速度，误差通常低于3%。
2019-05-10 cs.NA math.NA
Existence of $\mathcal{H}$-matrix approximants to the inverse of BEM matrices: the hyper-singular integral operator
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
研究超奇异积分算子在闭合曲面上的离散化，证明对应系统矩阵的逆可被分块低秩矩阵以指数速率近似，涵盖$\mathcal{H}$-矩阵的数据稀疏格式，针对两种离散化方法证明近似结果。
2015-03-06 cs.NA math.NA
Verified error bounds for the singular values of structured matrices with applications to computer-assisted proofs for differential equations
本文提出两种验证结构化矩阵$R^{-H}AR^{-1}$奇异值的方法：一种用SVD计算因子验证所有奇异值，另一种无需SVD估计最小奇异值下界，且在微分方程解验证中高效解决了原计算耗时与内存问题。
2025-02-14 cs.NA math.NA
Inner-iteration preconditioning with a symmetric splitting matrix for rank-deficient least squares problems
Institute of Computer Science, The Czech Academy of Sciences（计算机科学研究所，捷克科学院）；Faculty of Engineering, Information and Systems, University of Tsukuba（筑波大学工程信息系统学部）
本文研究了利用对称分裂矩阵进行内迭代预条件法以解决秩不足的最小二乘问题，证明了预条件矩阵的正定性，并展示了共轭梯度法和最小残差法在预条件下的解法特性，从而扩展了这些方法的收敛理论。
2019-05-17 cs.NA math.NA
Takagi factorization of matrices depending on parameters and locating degeneracies of singular values
本文研究参数依赖矩阵的Takagi分解，给出光滑性与一般性结果，证明奇异值为零或重数时的余维数为2，并开发数值方法定位参数空间中的简并点，研究其密度。
2021-10-29 cs.NA math.NA
Fast, High-Accuracy, Randomized Nullspace Computations for Tall Matrices
University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出RLOBPCG方法，通过随机预处理与LOBPCG结合，高效计算高矩阵的最小奇异向量，实现高精度和速度提升。
2026-02-18 cs.NA math.NA
Factorized sparse approximate inverse preconditioning for singular M-matrices
TU Berlin, Institut für Mathematik（柏林工业大学数学研究所）
本文提出了一种因子化稀疏近似逆预条件方法，用于处理奇异M矩阵，证明了该方法在特定非零模式限制下的有效性及性质。
2025-12-25 cs.NA math.NA
Spectral Condition-Number Estimation of Large Sparse Matrices
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
提出一种随机Krylov子空间方法，通过LSQR求解一致线性最小二乘问题来估计最小奇异值，从而估计谱条件数或指示数值秩亏，实验表明该方法能有效估计多种矩阵的条件数，且内存占用小，适用于方阵和矩形阵。
2018-08-30 cs.NA math.NA
On joint eigen-decomposition of matrices
针对工程与信号处理中的矩阵近似联合对角化优化问题，本文开展代价泛函理论研究，证明其在秩亏矩阵邻域以概率1趋于无穷大以验证问题适定性，给出高阶导数、梯度及海森矩阵的表达式，为改进数值求解方案提供支撑，并讨论自伴矩阵情形。
2024-09-16 cs.NA math.NA math.OC
Making matrices better: Geometry and topology of polar and singular value decomposition
从几何与拓扑角度研究固定尺寸矩阵空间，探讨不同秩家族及其关联，分析矩阵的最近正交邻近和最近奇异邻近，以及极值和奇异值分解及其应用。
2017-02-07 cs.NA math.NA math.RA
A note on the hyperbolic singular value decomposition without hyperexchange matrices
本文给出了一种新的双曲型奇异值分解（HSVD）公式，它适用于任意复（或实）矩阵，且不含超交换矩阵和冗余不变参数。在我们的公式中，我们只使用伪酉（或伪正交）矩阵的概念。我们表明，计算HSVD在一般情况下减少到计算的特征值，特征向量和广义特征向量的一些辅助矩阵。新配方更自然，对某些应用程序更有用。它自然包括普通的奇异值分解。
2020-05-03 cs.NA math-ph math.MP
Phase Factors in Singular Value Decomposition and Schmidt Decomposition
在复矩阵A的奇异值分解（SVD）中，奇异向量或特征向量Af和Af A对于复相位因子是唯一的。因此，SVD中的两个酉矩阵直到相位因子的对角矩阵（相位因子矩阵）是唯一的。此外，这两个相位因子矩阵的积，或具有相同奇异值的相应奇异向量的相位因子的积，是唯一的。在施密特分解中，相位因子矩阵是单独作用于子系统的相位旋转算子。我们在这里总结了三个简单的步骤，以一致地执行SVD和施密特分解，包括相位因子。
2022-03-23 cs.NA math.NA quant-ph
Inverting the sum of two singular matrices
针对两个奇异矩阵之和 $\widetilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}+\mathbf{e}D\mathbf{f}^*$，论文在秩与可逆性条件下给出两种显式求逆公式，并导出奇异矩阵的行列式引理。
2024-04-05 cs.NA math.NA math.RA
On the singular values of matrices with displacement structure
UST Lille（里尔第一大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文通过极值问题推导出具有位移结构矩阵奇异值的显式界，证明Hankel矩阵的奇异值可被低秩矩阵近似，同时推导出其他类型矩阵的类似结果。
2016-09-29 cs.NA math.NA math.RA
An Algorigtm for Singular Value Decomposition of Matrices in Blocks
提出两种块矩阵奇异值分解方法（经济分解和全分解），避免处理大于最大块的矩阵，适用于矩阵规模受限场景，并在文档-术语矩阵上验证。
2008-06-07 cs.IR cs.NA math.AC
Necessary and Sufficient Criterion for Singular or Nonsingular of Diagonally Dominant Matrices
本文提出对对角占优矩阵奇异性的必要和充分条件，通过角度方程组和相似性分析，结合网络动力系统等应用，解决矩阵奇异性的判定问题。
2025-11-29 cs.NA math.DS math.NA
Clusters in Markov Chains via Singular Vectors of Laplacian Matrices
假设$T$是一个随机阵。我们提出了一个算法，用于识别与$T$相关的马尔可夫链中的簇。该算法本质上是递归的，为了识别簇，它使用与拉普拉斯矩阵$I-T.$的第二小奇异值相关联的左奇异向量的符号模式。我们证明了一些结果，证明了算法的方法，并说明了算法的性能与几个数值例子。
2021-08-28 cs.DM cs.DS cs.NA
A theoretical contribution to the fast implementation of null linear discriminant analysis method using random matrix multiplication with scatter matrices
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；China University of Mining and Technology（中国矿业大学）
本文提出一种理论方法，通过合理选择随机矩阵保证null LDA的列满秩，避免信息丢失，提升计算效率。
2014-09-09 cs.CV cs.LG cs.NA
Optimal Smoothed Analysis and Quantitative Universality for the Smallest Singular Value of Random Matrices
最小奇异值和条件数在数值线性代数和算法分析中起着重要的作用。在具有随机性的数值分析中，以往的许多工作都是做高斯假设，不够一般，不能反映输入的任意性。为了克服这一缺陷，我们证明了随机矩阵最小奇异值和条件数的第一个定量普适性。此外，受光滑分析中随机扰动使确定性矩阵良态化的研究启发，我们考虑了随机矩阵的一个类比。对于一个随机矩阵扰动独立高斯噪声，我们表明，这个矩阵很快成为近似高斯。特别是，我们推导出一个最佳的平滑分析随机矩阵的尖锐高斯近似。
2022-11-08 cs.DS cs.NA math.NA
