On p-parts of character degrees
Guohua Qian, Yong Yang
本文在假设$p^2 \nmid χ(1)$对所有$χ\in {\rm Irr}(G)$或$p^2 \nmid ϕ(1)$对所有$ϕ\in {\rm IBr}_p(G)$的条件下，得到了$|G/O_p(G)|_p$的精确界.这将解决刘易斯、纳瓦罗、蒂普和东越提出的两个问题。
In this paper, we get the sharp bound for $|G/O_p(G)|_p$ under the assumption that either $p^2 \nmid χ(1)$ for all $χ\in {\rm Irr}(G)$ or $p^2 \nmid ϕ(1)$ for all $ϕ\in {\rm IBr}_p(G)$. This would settle two conjectures raised by Lewis, Navarro, Tiep, and Tong-Viet.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Character degree graph of solvable groups with odd degree
本文研究了有限可解群的特征标次数图，得出了所有顶点次数均为奇数的一个必要条件。
Character degrees of some $p$-groups
我们限制了$p$ -群$G$的特征标度满足$|G:G'| = p^2$的可能性.例如，如果$G$是极大类的，并且有一个次数为$> p$的不可约特征标，那么它有一个次数至多为$p^{\frac{p+1}{2}}$的特征标。
Eulerian character degree graph
本文研究可解群G的特征标度数图，得出了其为Eulerian图的一个必要条件。
Constructing solvable groups with derived length four and four character degrees
本文给出了一种新的构造导长为4、特征标度为4的可解群的方法。然后，我们使用这种方法，提出了一些新的家庭的群体与派生的长度为4和4个字符的程度。
$p$-Groups with Derived Length Three and Three Character Degrees
本文构造了同时具有导长为三和三个特征标次数的p-群实例，为相关群论研究提供了具体例子。
Character degree sums of finite groups
本文给出了有限群的特征标度和的一些结果，这些结果与群的某些特征，如p-可解性、可解性、超可解性和幂零性有关。他们中的一些人加强了文献中的已知结果。
On super-monomial characters and groups having two irreducible monomial character degrees
一个群的特征标称为超单项的，如果导出它的每个本原特征标都是线性的。Isaacs证明了奇$M$ -群的每一个不可约特征标都是超单项式的。证明了奇$M$ -群的所有最低次非线性不可约特征标都是超单项式的，并给出了正规子群的某些不可约特征标都是超单项式的情形.最后，我们研究了具有两个不可约单项特征标度的群。
On the average character degree of some irreducible characters of a finite group
设G是有限群，N是G的非平凡正规子群，使得Irr（G）中不可约特征标的平均特征标度|N）为小于或等于16=5。然后我们证明了N是可解的。同时，我们还证明了图G的可解性，并假定Irr（G）中不可约特征标的平均特征标度|N）严格地小于16=5。我们表明，边界是尖锐的。
On Distinct Character Degrees
Berkovich，Chillag和Herzog刻画了所有有限群$G$，其中所有$G$的非线性不可约特征标都有不同的次数.在本文中，我们扩展了这一结果表明，一个类似的特征保持所有有限的可解群$G$，包含一个正规子群$N$，使所有的不可约字符的$G$，不包含$N$在其内核有不同的程度。
Character degrees of normally monomial p-groups of maximal class
有限群$G$是$normally ~monomial$，如果它的所有不可约特征标都是由$G$的正规子群的线性特征标导出的.本文确定了极大类的正规单项5-群的所有可能的不可约特征标度集。此外，我们还利用$p$给出了极大类的正规单式$p$ -群的最大不可约特征标度的一个上界.
Methods and questions in character degrees of finite groups
我们提出了一些变化的一些主要的开放问题的字符度。我们收集了一些已被证明对解决这些问题非常有用的方法。这些方法也适用于解决有关字符零点、字符核和字符值域的问题。
Characters of prime degree
设$G$是有限幂零群，$χ$和$ψ$是$G$的素数阶不可约复特征标.假设$χ(1)=p$ .则要么乘积$χψ$是不可约特征标的倍数，要么$χψ$是至少$\frac{p+1}{2}$不同不可约特征标的线性组合。
Square character degree graphs yield direct products
若$G$是一个可解群，则$Δ(G)$是以素数为顶点的$G$的特征标度图.证明了如果$Δ(G)$是平方数，则$G$一定是直积.
A uniform upper bound for the character degree sums and Gelfand-Graev-like characters for finite simple groups
设G是有限非交换单群，p是素数.我们对（G，p）进行分类，使得G的复不可约特征标度之和大于G的Sylow p-子群的指数.我们的分类包括所有定义特征p的Lie型群（因为G的每个Gelfand-Graev特征标都是多重自由的，并且度等于上述指标），以及一些描述良好的例子。
Kernels of p'-degree irreducible characters
我们证明了Broline和Garrison的一个经典定理的p '-版本。作为结果，我们得到的p-部分的字符余度的结果。
Laplacian Eigen values of character degree graphs of solvable groups
本文研究可解群特征度图的谱性质，计算了正则特征度图、其超图及直径为2且含两个块的特征度图的拉普拉斯特征值与距离拉普拉斯特征值。
Some results on GVZ-groups with two character degrees
该文研究具有两个特征标次数的GVZ-群，建立相关群特征标集合间的双射，给出其等价刻画并构造出特征标次数集为{1,p}的GVZ-群。
Characterizing normal Hall subgroups by character degrees, II
本文证明了有限单经典群中真非平凡 Hall 子群的特征标次数性质，从而结合已有约化，给出了任意有限群中 Hall 子群正规性的充要条件：其诱导表示的不可约成分次数均为 $\pi'$ 数。
Odd-degree rational characters and the order of rational elements in finite groups
本研究证明了有限群中有理不可约特征标均为奇次时所有有理元素都是2-元素的结论，验证了Tiep与Tong-Viet提出的相关猜想。
On the character degree graph of finite groups
给定一个有限群G，设cd（G）表示G的不可约复特征标的度集. G的特征标度图定义为简单无向图，其顶点是cd（G）中的数的素除子，两个不同的顶点p和q相邻当且仅当pq整除cd（G）中的某个数.本文研究了特征标度图的补图，刻画了这种补图不是二部图的有限群。这扩展了[1]的分析，其中处理了可解情况。
Character degrees of extensions of the Suzuki groups $^2B_2(q^2)$
设$S$是一个Suzuki群$^2B_2(q^2)$，其中$q^2=2^{2f+1}$，$f\geqslant 1$ .本文确定了群$G$的普通复不可约特征标的次数，使得$S\leqslant G\leqslant \Aut(S)$。
Character degrees in $π$-separable groups
如果一个群$G$是$π$ -可分的，其中$π$是一个素数集，则不可约特征标集$\operatorname{B}_π(G) \cup \operatorname{B}_{π'}(G)$可以被定义.本文证明了特征标理论中的一些经典定理，即Ito-Michler定理和Thompson关于特征标度的定理的变种，它们涉及集合$\operatorname{B}_π(G) \cup \operatorname{B}_{π'}(G)$中的不可约特征标.
The Baby Monster is the largest group with at most $2$ irreducible characters with the same degree
本文分类了不可约特征标次数重数至多2的有限群，证明Baby Monster是这类群中最大的群。
Character degrees in blocks and defect groups
Gabriel Navarro最近提出的一个问题是，缺陷群的导出长度是否小于或等于块中不可约特征标的度数。在这篇文章中，我们为这一说法的有效性带来了新的证据。
The largest character degrees of the symmetric and alternating groups
本文证明了交错群$A_n$与$n\geq 5$的最大特征标度可以用较小的度有界，即\[ b(A_n)^2<\sum_{ψ\in\textrm{Irr}(A_n),\,ψ(1)< b(A_n)}ψ(1)^2, \]，其中$\textrm{Irr}(A_n)$和$b(A_n)$分别表示$A_n$的不可约复特征标集和$\textrm{Irr}(A_n)$中特征标的最大度.这证实了我的预测。M. Isaacs关于交错群的一个问题，并回答了M.拉森湾Malle和P. H. Tiep.
The Average of Some Irreducible Character Degrees
我们感兴趣的是确定度不能被某个素数$p$整除的不可约特征标的度的平均值的界，该素数保证奇数阶的有限群$p$是$p$ -幂零的。我们找到了一个依赖于素数$p$的界。如果我们通过固定复数的一个子域$k$来进一步限制我们的平均值，然后计算其度不能被$p$整除且其值在$k$中的不可约特征标的度的平均值，那么我们将看到，我们得到了一个依赖于$p$和$k$的界。此外，我们找到的例子，使这些界限最好的可能。
Character degree sums in finite nonsolvable groups
设N是有限群G的极小正规非交换子群.我们将证明存在N的一个至少5次的非平凡不可约特征标，它可扩张到G。这个结果将用来解决Berkovich和Mann以及Berkovich和Zhmud '提出的两个公开问题。
Fitting heights of solvable groups with no nontrivial prime power character degrees
我们构造了可解群，其中不可约特征标是素数幂的唯一次数是$1$，并且具有任意大的Fitting高度。我们将证明，我们可以构造这样的群，也有一个西洛塔。我们还将证明，我们可以只使用三个素数来构造这样的群。
Finite groups with an irreducible character of large degree
设$G$是一个有限群，$d$是$G$的一个复不可约特征标的次数，则记为$|G|=d(d+e)$，其中$e$是一个非负整数。我们证明了$|G|\leq e^4-e^3$只要$e>1$ .这个界限是最好的可能的，并改善了一些早期的相关结果。
Non-solvable groups whose character degree graph has a cut-vertex. I
设G是有限群.用cd（G）表示G的不可约复特征标的度集，我们考虑G的特征标度图：这是一个（简单无向）图，其顶点是cd（G）中的数的素除子，两个不同的顶点p，q相邻当且仅当pq整除cd（G）中的某个数.从本文开始的三篇系列文章中，我们分析了特征标度图具有割点的有限非可解群的结构，即，一个顶点，它的移除增加了图的连通部分的数量。
The average character degree of finite groups and Gluck's conjecture
本文证明了具有平凡可解根的有限群$G$的阶是上有界的，其上有界是由不可约特征标的平均度${\rm acd}(G)$表示的.这是不正确的，指数的拟合子群是有界以上的条款${\rm acd}(G)$，但我们表明，在某些情况下，它是有界的程度的不可约字符的$G$躺在一个线性字符的拟合子群。这使我们提出了一个改进版的格鲁克猜想。
Finite groups whose non-linear irreducible characters of the same degree are Galois conjugate
我们对在自然伽罗瓦作用下不共轭的非线性不可约特征标具有不同度数的有限群进行分类，从而扩展了Berkovich等人[Proc. Amer. Math. Soc. { \bf 115}（1992），955-959]和Dolfi等人[Israel J. Math. { \bf 198}（2013），283-331]中的结果。
Groups in which the co-degrees of the irreducible characters are distinct
设$G$是有限群，$\rm{Irr}(G)$是$G$的所有不可约复特征标的集合.对于字符$χ\in \rm{Irr}(G)$，数字$\rm{cod}(χ):=|G:\rm{ker}χ|/χ(1)$称为$χ$的余度。$G$的所有不可约特征标的余度集记为$\rm{cod}(G)$。本文证明了对非平凡有限群$G$，$|\rm{Irr}(G)|=|\rm{cod}(G)|$当且仅当$G$同构于循环群$\mathbb{Z}_2$或对称群$S_3$ .
Brauer characters of $q^\prime$- degree
证明了：如果$p$是素数，且$G$是有限的$p$ -可解群，且满足素数$q$整除$G$的任意不可约$p$ -Brauer特征标的次数的条件，则$G$的某Sylow $q$ -子群的正规化子满足$G$的所有$p$ -正则元的共轭类.
On the degrees of irreducible characters fixed by some field automorphism in finite groups
本文证明了 Ito-Michler 定理的一个变体，研究了在阶为 $p$ 的 Galois 自同构 $σ$ 保持不变的不可约特征标次数不被素数 $p$ 整除时有限群的性质。
Retrieving information about a group from its character degrees or its class sizes
证明了有限群G的特征标度及其重数的知识决定了G是否有Sylow p-子群作为直因子。已知基于共轭类大小的知识的类似结果。我们证明这两个结果的变化，并讨论它们的相似之处。
On prime character degree graphs occurring within a family of graphs
本文研究补图中不含奇圈的连通图族。具体地说，我们考虑由两个完全图以特定方式连接而成的图。我们确定这些图中的哪些可以或不可以出现作为一个可解群的素特征标度图。一个明显的扩展和推广也可以考虑，其中我们提到。
Variations on average character degrees and $p$-nilpotence
证明了若$p$是奇素数，$G$是可解群，且$G$的不可约特征标的平均值严格小于$2(p+1)/(p+3)$，则$G$是$p$ -幂零的.我们发现，有一些例子，是不是$p$ -幂零的这个界限是满足每个总理$p$。然后，我们证明了这个结果的一些变化。
Supersolvability and nilpotency in terms of the commuting probability and the average character degree
针对最小素因子为 $p$ 的有限群，本文给出交换概率和平均特征次数依赖于 $p$ 的尖锐临界界，以判定其幂零性或超可解性。
Characters of p'-degree and Thompson's character degree theorem
约翰·汤普森关于特征标度的一个经典定理断言，如果有限群$G$的每个普通不可约特征标的度为1或可被素数$p$整除，则$G$有正规$p$ -补。通过考虑不可约特征标的$p'$ -度的平均值，我们得到了这个结果的一个显著改进.我们还考虑领域的字符值，并证明了一些改进的早期相关结果。
Using a Galois connection to compute character degrees
给定一个梅森素数$q$和一个正偶数$e$，令$F$和$E$分别是阶为$q$和$q^e$的域。设$C$是$E^\times$的一个循环子群，其在$E^\times$中的指数只能被除$q - 1$的素数整除.利用$E$的子域与Galois群${\rm Gal} (E/F)$之间的Galois联络，计算了群$C \rtimes {\rm Gal} (E/F)$的特征标度.
GVZ-groups with two character degrees
该研究针对满足特定特征标平方等式、且特征标次数集合大小为2的有限GVZ群展开，给出了这类群的多种等价刻画，并获取了相关结构信息，丰富了有限群特征标理论研究内容。
On the degrees of irreducible characters fixed by some field automorphism, p-solvable groups
本文将实值不可约特征标奇次数蕴含正规Sylow 2-子群的结论推广到p-可解群，证明若p不整除被p阶域自同构固定的不可约特征标次数，则该群具有正规Sylow p-子群。
On the Sum of Squares of Irreducible Brauer Character Degrees in Blocks
本文研究了霍姆-威尔姆斯局部猜想的弱化版本，假设缺陷群为阿贝尔群时将问题简化为准单群，并在p=2时给出了完整证明。
On the structure of the character degree graphs having diameter three
针对可解有限群中直径为三的特征度图，本文基于 Mark Lewis 的思想证明其结构性质并构造无穷系列例子。
Feit numbers and $p'$-degree characters
设$χ$是$G$的一个不可约复特征标，$f_χ$是最小整数$n$，使得分圆域$\mathbb Q_n$包含$χ$的值.设$p$是素数，并假设$χ\in \textrm{Irr}(G)$的次数不能被$p$整除。若$G$可解且$χ(1)$为奇数，则存在具有$o(g)=f_χ$的$g \in {\bf N}_G(P) /P'$。特别地，$f_χ$分裂$|{\bf N}_G(P) /P'|$。
Finite groups in which every irreducible character has either $p'$-degree or $p'$-codegree
本文针对素数$p$，定义了有限群不可约复特征标的余次数，给出了每个不可约复特征标要么具有$p'$-次数要么具有$p'$-余次数的有限群的分类。
On prime character degree graphs occurring within a family of graphs (iii)
通过扩展构造的灵活性，完整分类了可解群的素数特征度数图中可能出现的图。
Groups whose character degree graph has diameter three
设\(G\)是一个有限群，用\(Δ(G)\)表示建立在\(G\)的不可约复特征标的次数集上的\emph{prime graph}.众所周知，无论何时连接\(Δ(G)\)，\(Δ(G)\)的直径至多为\(3\)。本文给出了有限可解群的直径达到上界的一个刻划。这也使我们能够确认M.L.刘易斯.
Bounding an index by the largest character degree of a solvable group
本文证明了：若$p$是素数，且$G$是$p$ -可解群，则有$| G:O_p (G) |_p \le (b(G)^p/p)^{1/(p-1)}$，其中$b(G)$是$G$的最大特征标度.如果$p$是一个奇素数，不是梅森素数，或者如果$G$的Sylow $p$ -子群的零阶类至多是$p$，则$| G:O_p (G) |_p \le b(G)$。
On degrees of minimal invariant characters
本文证明具有恰好两个最小G-不变特征次数的正规子群是可解的，并探讨了次数为{1, f}时f为素幂或换位子群交换的条件。
Groups with a Fixed Character Degree
研究对于满足特定条件的正整数\(d\)、\(e\)，是否存在阶为\(d(d + e)\)的可解群\(G\)使\(d\)为其不可约特征标度，通过\(d(d + e)\)素因子给出算术刻画，受相关有限群研究推动。
Bipartite divisor graph for the set of irreducible character degrees
设$G$是有限群.我们考虑$G$的不可约复特征标集，即$Irr(G)$，以及相关度集$cd(G)=\{χ(1) : χ\in Irr(G)\}$ .设$ρ(G)$是除$G$的某个特征标度的所有素数的集合。本文引入了$cd(G)$的二部因子图作为一个顶点集为$ρ(G)\cup (cd(G)\setminus\{1\})$的无向二部图，使得$ρ(G)$的元素$p$与$cd(G)\setminus\{1\}$的元素$m$相邻当且仅当$p$可除$m$ .我们简单地用$B(G)$表示该图。然后利用这类图的组合性质讨论了群$G$的结构。特别是，我们考虑的情况下，$B(G)$是一个路径或循环。
On groups with the same character degrees as almost simple groups with socle the Mathieu groups
设$G$是一个有限群，$cd(G)$表示$G$的复不可约特征标度集.本文证明了：若$G$是有限群，$H$是几乎单群，其基元是Mathieu群，使得$cd(G) =cd(H)$，则存在$G$的阿贝尔子群$A$，使得$G/A$同构于$H$.本研究的目的是研究Huppert猜想（2000）在几乎单群上的推广。
Irreducible character degrees and normal subgroups
设N是有限群G的一个正规子群，并考虑集合cd（G| N）的核不含N的G的不可约特征标的次数。证明了关于集合cd（G| N）的结构。例如，如果N是可解的，则其导出长度由以下函数限定：|cd（G| N）的范围|.还有如果|cd（G| N）的范围|至多为2，则N是可解的，其导出长度至多为|cd（G| N）|.如果G是可解的，|cd（G| N）的范围|= 3，则N的导出长度至多为3。
Brauer character degrees and nilpotent subgroups
该研究解决了陈与纳瓦罗提出的关于布饶尔特征标和幂零子群的问题，在G/N可解且H/N幂零的条件下，证明了H的不可约ℓ-布饶尔特征标可提升为G的对应特征标，且满足次数整除关系。
Characters of prime power degree in principal blocks
本文研究并描述了主块中仅包含素数幂次方阶特征的有限群。
Non-solvable groups whose character degree graph has a cut-vertex. III
设$G$是有限群.用${\rm{cd}}(G)$表示$G$的不可约复特征标的度的集合，我们考虑$G$的{ \it特征标度图}：这是一个（简单的无向）图，其顶点是${\rm{cd}}(G)$中的数的素因子，并且两个不同的顶点$p$，$q$相邻当且仅当$pq$整除${\rm{cd}}(G)$中的某个数.本文完成了文献[5]和[6]中关于特征标度图有一个{ \it割点}的有限非可解群的分类。更具体地说，在[6]中证明了这些群具有唯一的不可解合成因子$S$，并且$S$同构于属于非阿贝尔单群的限制列表的群。在[5]和[6]中，除了\(S\cong{\rm{PSL}}_2(2^a)\)对某个整数$a\geq 2$的情况外，所有的$S$同构类型都被处理过;本文讨论了剩下的情况。
Non-solvable groups whose character degree graph has a cut-vertex. II
设$G$是一个有限群，${\rm{cd}}(G)$表示$G$的不可约复特征标的次数集.然后定义特征度图$Δ(G)$为（简单无向）图，其顶点是${\rm{cd}}(G)$中的数的素因子，并且两个不同的顶点$p$，$q$相邻当且仅当$pq$整除${\rm{cd}}(G)$中的某个数。本文继续了文[7]中的工作，对度图具有割点的有限非可解群进行了分类，即一个顶点，它的移除增加了图的连通部分的数量。而在[7]中，没有与${\rm{PSL}}_2(t^a)$同构的组成因子的群（对于任何素数幂$t^a\geq 4$）被处理，这里我们考虑当$t$是奇数且$t^a> 5$是奇数时的互补情形。这一分类的证明将在本系列的第三篇也是最后一篇论文中完成（[8]），该论文讨论了$t=2$的情况。
On the metric dimension of the character degree graph of a solvable group
本文研究有限可解群特征度图的度量维数，计算了正则图、特定直径图及Fitting高为2等情形的度量维数，并探讨了基大小和邻接维数与度量维数的关系。
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