Omega Circles
通过布罗卡点的圆（欧米茄圆）几乎拥有通过正交中心的圆的所有属性，包括内接于其中的关键三角形间接类似于内接于外接圆的三角形。本文描述了Ω圆的性质，从而总结了我们关于间接相似三角形的工作。它还表明，三个点的中位数相交的正交圆心圆是这样的，通过这些点的圆进行三角形直接类似于三角形内接外接圆。
2010-07-07 math.MG
Inscribed rectangles in a smooth Jordan curve attain at least one third of all aspect ratios
证明了对任意光滑Jordan曲线$γ$，若$X$是所有$r \in [0,1]$的集合，使得$γ$中存在纵横比为$\tan(r\cdot π/4)$的内接矩形，则$X$的勒贝格测度至少为$1/3$ .要做到这一点，我们研究集不相交的同调非平凡的射影平面顺利嵌入$\mathbb{R}\times \mathbb{R}P^3$。我们证明了任何这样的一组射影平面可以配备一个自然的全序。然后，我们结合这个总的排序与Kemperman的定理在$S^1$证明$1/3$是一个尖锐的概率下限，一个莫比乌斯带填充的$(2,1)$ -环面结在固体环面倍的间隔将相交其旋转由一个均匀的随机角度。
2022-07-15 math.GT math.MG
Fat triangles inscribed in arbitrary planar domains
该研究证明平面任意有界开集存在内角均大于约0.3度的一致胖内接三角形，同时构造出所有内接三角形均有角小于约55度的多边形，揭示存在介于0到60度间的未知临界角Θ。
2023-06-13 math.GT math.MG
A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon
给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。
2017-06-09 cs.CG math.MG
The Hilbert area of inscribed triangles and quadrilaterals
希尔伯特体积是实射影几何的不变量。内接于多边形的多边形被认为是真实的射影平面。研究了Fock-Goncharov坐标系与直角坐标的对应关系。分析了内接四边形的退化和Hilbert面积。给出了退化有界Hilbert区域的一个微局部条件。应用该条件给出了一类Hilbert面积有界且Goldman参数发散的严格凸域序列。
2020-12-18 math.GT math.MG
The Six Circles Theorem revisited
C.的六圆定理伊芙琳，G. Money-Coutts和J. Tyrrell关注内接成三角形的圆链：第一个圆内接于第一个角，第二个圆内接于第二个角并与第一个圆相切，第三个圆内接于第三个角并与第二个圆相切，依此类推。该定理断言，如果所有的圆都接触三角形的边，而不是它们的延伸，那么链是6周期的。我们表明，在一般情况下，链最终是6-周期，但可能有一个任意长的前期。
2014-03-09 math.MG
Intriguing Invariants of Centers of Ellipse-Inscribed Triangles
Rice University（莱斯大学）；Data Science Consulting Ltd.（数据科学咨询有限公司）
本文描述了两个顶点固定在椭圆边界上，第三个顶点扫过椭圆边界的椭圆内接三角形族的中心不变量，证明了：（i）如果三角形的中心是重心和正交心的固定仿射组合，则其轨迹是椭圆;（ii）在这类仿射组合族上，轨迹的中心扫过一条直线;（iii）在平行固定顶点族上，所述轨迹沿第二线刚性平移。此外，我们还研究了椭圆上两个固定顶点组合上椭圆轨迹包络的不变量。
2021-04-16 cs.CG cs.RO math.MG
With what probability does an inscribed triangle contain a given point?
Higher School of Economics（高等经济大学）
本文通过另一种方法证明了内接三角形包含特定点的概率公式，并探讨了稀疏函数在几何概率中的应用。
2026-01-06 math.MG math.PR
On polyhedra inscribed in $S^2$, with approximately equal edges
在${\Bbb{R}}^3$中考虑内接于单位球面$S^2$的三角面凸多面体。测量它们与具有三角形面的正多面体的偏差的一种方法是考虑最长边和最短边的长度的商。如果面数趋于无穷大，而具有这个面数的多面体变化，那么这个商的下极限是$2 \sin 36^{\circ } = 1.1756 \ldots $。
2019-09-06 math.MG
Triangles on planar Jordan $C^1$-curves
证明了平面上的Jordan $\calc^1$ -曲线包含任意非平坦的三角形，直到平移和具有正比的同素。如果曲线不是$C^1$，则此选项为假。证明使用位配置空间，微分和代数拓扑以及Schoenflies定理。在更高的维度上，部分的概括也是正确的。
2013-02-26 math.MG
Centers of inscribed circles in triangular orbits of an elliptic billiard
三角形中的内切圆的圆心轨迹，即椭圆台球的3周期轨道，也是椭圆。本文得到了该椭圆的正则方程，补充了O。Romaskevich
2016-07-01 math.DS math.MG
The Maximum Surface Area Polyhedron with Five Vertices Inscribed in the Sphere $\mathbb{S}^2$
本文着重研究了解析地确定单位球面$\mathbb{S}^2$上五个点的最优位置，使这些点的凸包的表面积最大化的问题。结果表明，最优多面体具有三角双锥结构，其中两个顶点位于南极，其余三个顶点组成内接于赤道的等边三角形。这个结果证实了Akkiraju的一个猜想，他对最大化者进行了数值搜索。作为晶体学的一个应用，表面积的差异被认为是一个观察到的配位多面体和一个理想的扭曲之间的措施。主要结果给出了任意五顶点配位多面体的表面积差公式。
2020-12-14 math.MG
Four special Poncelet triangle families about the incircle
本文研究了四个关于内切圆的特殊彭赛列三角形家族，探讨了其保持三角中心不变的性质及守恒量。
2025-12-22 cs.GR math.MG
On the square peg problem
证明了如果$γ$是$\mathbb{R}^2$中的Jordan曲线，且接近于$\mathbb{R}^2$中的$C^2$ Jordan曲线$β$，则$γ$包含内接正方形.特别地，如果$κ> 0$是$β$的最大无符号曲率，并且存在从$γ$的像到$β$的像的映射$f$，其中$||f(x) - x|| < \frac{1}{10 κ}$和$f \circ γ$具有缠绕数$1$，则$γ$具有正边长的内接正方形。
2022-03-04 math.CO math.GT math.MG
Liouville regular Jordan curves
Kyoto University（京都大学）；The University of Tokyo（东京大学）
本文研究 Liouville 正则 Jordan 曲线类，通过变分条件和共形映射下径向尾部长度消失的准则，证明此类曲线存在，并由此得出每个相似类中都有内接矩形。
2026-09-11 math.CA math.MG
Quadrilaterals inscribed in convex curves
我们分类集的四边形，可以内接凸约旦曲线，在连续以及在光滑的情况下。这回答了一个问题的Makeev在特殊情况下的凸曲线。这个问题的困难来自这样一个事实，即标准的拓扑参数来证明存在的解决方案不适用于这里由于缺乏足够的对称性。相反，证明使用了Karasev和陶，我们进一步简化和详细阐述的面积参数。连续的情况下，需要额外的分析奇点，和一个小的奇迹，然后扩展到显示的问题，等腰梯形形内接平滑曲线和分段$C^1$曲线是等价的。
2020-12-01 math.CO math.MG
On Jordan angles and triangle inequality in Grassmannian
我们得到了Lidskii定理的以下版本。设L，M，N是R^n中的p维子空间。设L和M之间的夹角为θ_j，M和N之间的夹角为θ_j，L和N之间的夹角为θ_j。考虑向量ω的轨道相对于坐标的排列和轴的反转。设Z是该轨道的凸包。则θ是多面体Z + Z的元素。我们讨论其他对称空间的类似定理。在经典的黎曼对称空间上，我们得到了不变Finsler度量的测地距离公式。
2000-05-06 math.DG math.MG math.SP
Square pegs between two graphs
本研究拓展了内接方形问题的结果，证明由两个Lipschitz常数小于$1+\sqrt{2}$的函数图构成的Jordan曲线必有内接正方形，Lipschitz常数为1时可内接所有相似类矩形，方法基于分析Jordan Floer同调谱不变量的扰动变化。
2024-07-10 math.CO math.GT math.MG
The Torus of Triangles
California Polytechnic State University（加州州立理工大学）
本文证明2-环面可参数化带标记、有向且可退化的可内接三角形相似类，并通过$D_6$商栈描述无标记无向类，用代数子结构与自然度量分类比较三角形。
2025-01-07 math.AG math.MG
An Infinite, Converging, Sequence of Brocard Porisms
布罗卡三角形是已知的一维三角形族，它内接于一个圆，外接于一个椭圆。值得注意的是，布罗卡角是不变的，布罗卡点在椭圆的焦点处是固定的。在本文中，我们表明，一定的派生三角形产生了第二个，较小的，布罗卡porism，使重复计算产生一个无限的，收敛序列的porisms。我们还表明，这个序列是嵌入在一个连续的家庭porisms。
2020-10-07 cs.CG cs.GR cs.RO
A "right" path to cyclic polygons
众所周知，海伦定理提供了一个三角形面积的显式公式，作为其边长的对称函数。它已延长由Brahmagupta到四边形内接在一个圆（循环四边形）。一个自然的问题是试图进一步推广的结果，以循环多边形与大量的边缘，令人惊讶的是，这是远远不够简单。在本文中，我们调查这样一个问题，通过以下一个新的和基本的方法。我们从一个简单的观察开始：一个直角三角形的内切圆与它的hypothenuse相交于一点，该点将它分成两段，两段长度的乘积等于三角形的面积。从这个奇怪的事实，我们得出在几行：一个不寻常的证明毕达哥拉斯定理，苍鹭定理的直角三角形，苍鹭定理的一般三角形，和婆罗门笈多定理的循环四边形。这表明，通过适当的点切割循环多边形的边应该是“正确的”工作方法。事实上，根据这一想法，我们得到一个明确的公式，任何凸循环多边形的面积，作为一个对称函数的分割段的边缘由一个三角形的incircles。我们还表明，这样的对称性可以重新发现在苍鹭的和Brahmagupta的结果，从而代表特殊情况下的一般提供的公式。
2019-10-17 math.CO math.HO math.MG
