The Hilbert area of inscribed triangles and quadrilaterals
希尔伯特体积是实射影几何的不变量。内接于多边形的多边形被认为是真实的射影平面。研究了Fock-Goncharov坐标系与直角坐标的对应关系。分析了内接四边形的退化和Hilbert面积。给出了退化有界Hilbert区域的一个微局部条件。应用该条件给出了一类Hilbert面积有界且Goldman参数发散的严格凸域序列。
2020-12-18 math.GT math.MG
The Six Circles Theorem revisited
C.的六圆定理伊芙琳，G. Money-Coutts和J. Tyrrell关注内接成三角形的圆链：第一个圆内接于第一个角，第二个圆内接于第二个角并与第一个圆相切，第三个圆内接于第三个角并与第二个圆相切，依此类推。该定理断言，如果所有的圆都接触三角形的边，而不是它们的延伸，那么链是6周期的。我们表明，在一般情况下，链最终是6-周期，但可能有一个任意长的前期。
2014-03-09 math.MG
Intriguing Invariants of Centers of Ellipse-Inscribed Triangles
Rice University（莱斯大学）；Data Science Consulting Ltd.（数据科学咨询有限公司）
本文描述了两个顶点固定在椭圆边界上，第三个顶点扫过椭圆边界的椭圆内接三角形族的中心不变量，证明了：（i）如果三角形的中心是重心和正交心的固定仿射组合，则其轨迹是椭圆;（ii）在这类仿射组合族上，轨迹的中心扫过一条直线;（iii）在平行固定顶点族上，所述轨迹沿第二线刚性平移。此外，我们还研究了椭圆上两个固定顶点组合上椭圆轨迹包络的不变量。
2021-04-16 cs.CG cs.RO math.MG
With what probability does an inscribed triangle contain a given point?
Higher School of Economics（高等经济大学）
本文通过另一种方法证明了内接三角形包含特定点的概率公式，并探讨了稀疏函数在几何概率中的应用。
2026-01-06 math.MG math.PR
On polyhedra inscribed in $S^2$, with approximately equal edges
在${\Bbb{R}}^3$中考虑内接于单位球面$S^2$的三角面凸多面体。测量它们与具有三角形面的正多面体的偏差的一种方法是考虑最长边和最短边的长度的商。如果面数趋于无穷大，而具有这个面数的多面体变化，那么这个商的下极限是$2 \sin 36^{\circ } = 1.1756 \ldots $。
2019-09-06 math.MG
Centers of inscribed circles in triangular orbits of an elliptic billiard
三角形中的内切圆的圆心轨迹，即椭圆台球的3周期轨道，也是椭圆。本文得到了该椭圆的正则方程，补充了O。Romaskevich
2016-07-01 math.DS math.MG
Four special Poncelet triangle families about the incircle
本文研究了四个关于内切圆的特殊彭赛列三角形家族，探讨了其保持三角中心不变的性质及守恒量。
2025-12-22 cs.GR math.MG
Two dynamical systems in the space of triangles
设$M$为三角形空间，定义为平移、旋转和膨胀。我们定义了两个映射$f:M\to M$和$g:M\to M$。映射$f$对应于周长$π$的三角形，该三角形的角度在数值上等于初始三角形的边。映射$g$对应于周长$2π$的三角形，该三角形的\emph{exterior}角在数值上等于初始三角形的边。对于$p\in M$，序列$\{p,f(p),f(f(p)),\ldots\}$收敛于等边三角形，序列$\{p,g(p),g(g(p)),\ldots\}$收敛于具有角$(0,0,π)$的“退化三角形”。在补遗中讨论了一个关于内接外切四边形的类似问题。
2021-01-11 math.MG
Inscribed Squares and Relation Avoiding Paths
我们开发了一个连接的内接广场问题和问题的理解关系避免路径在一个复杂的向量空间。我们的主要定理是，没有内接正方形的乔丹曲线将具有一个看似不可能的结构，我们称之为正方形包络。我们将对向量空间中关系回避路的性质作一些说明，并证明这些说明将暗示具有许多任意复杂奇点的Jordan曲线中存在内接正方形。
2023-01-03 math.MG
On inscribed equilateral simplices in normed spaces
本文证明了在某些n维赋范空间X中存在内接于单位球B的全维大尺寸等边单形。这扩展了Makeev [Mak]在4维中的构造，并且我们还计算了一个空间的例子，在这个空间中不能应用这个想法。
2019-06-24 math.FA math.MG
A Trichotomy for Rectangles Inscribed in Jordan Loops
设g是任意Jordan环，G表示内接于g的矩形空间R，使得R的顶点的循环序无论是由R还是由g诱导的都是相同的。我们证明了G包含一个连通集S，满足以下三个性质之一：1。S由面积均匀的矩形组成，包括一个正方形，g的每个点都是S中矩形的顶点。2. S由具有所有可能的长宽比的矩形组成，并且g的所有点（除了最多4个点）都是S中矩形的顶点。3. S包含每一个足够小直径的矩形，并且g中除了至多2个点之外的所有点都是S中矩形的顶点。
2019-07-08 math.MG
Inscribable fans I: Inscribed cones and virtual polytopes
本文研究内接于球面的多胞形，引入内接锥与内接虚拟多胞形，证明其封闭性及多项式时间可判定性，并分类二维可内接扇及若干多胞形类，关联反射群胚。
2024-04-20 math.CO math.MG
The geometry of Minkowski spaces -- a survey. Part I
本文综述了Minkowski空间（即有限维巴拿赫空间）中值得收集的一些基本结果，并对其中一些结果给出了简单的证明。我们特别强调平面结果。许多这些结果往往被重新发现作为引理的其他结果。在第一部分，我们涵盖了以下主题：三角不等式和后果，如单调性引理，几何特征的严格凸性，正常性（伯克霍夫正交性），共轭直径和拉东曲线，等边三角形和仿射正六边形建设，等边集，圆：交叉，外切，特征，周长和面积，内接等边多边形。
2007-08-21 math.FA math.MG
An Infinite, Converging, Sequence of Brocard Porisms
布罗卡三角形是已知的一维三角形族，它内接于一个圆，外接于一个椭圆。值得注意的是，布罗卡角是不变的，布罗卡点在椭圆的焦点处是固定的。在本文中，我们表明，一定的派生三角形产生了第二个，较小的，布罗卡porism，使重复计算产生一个无限的，收敛序列的porisms。我们还表明，这个序列是嵌入在一个连续的家庭porisms。
2020-10-07 cs.CG cs.GR cs.RO
Weakly Inscribed Polyhedra
研究了$\mathbb{R}\mathbb{P}^3$中顶点均在球面上的凸多面体。我们不要求，特别是，多面体位于内部的领域，因此术语“弱内接”。如果我们把$\mathbb{R}\mathbb{P}^3$看作是双曲空间和de Sitter空间的组合，并以球面为公共理想边界，则这种多面体可以解释为理想多面体。我们有三个主要结果：（1）用纯组合的方法刻画了弱内接多面体的$1$ -θ，（2）用线性规划刻画了弱内接多面体的外二面角，（3）刻画了弱内接多面体边界上诱导的双曲-deSitter结构.
2020-02-04 math.DG math.GT math.MG
Variants of a theorem of Macbeath in finite dimensional normed spaces
University of Szeged（塞格德大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究了在有限维规范空间中，最大体积凸多面体的几种体积指标的极值问题，扩展了Macbeath定理的范围。
2025-12-29 math.MG
Random Inscribed Polytopes Have Similar Radius Functions as Poisson-Delaunay Mosaics
利用$n$维球面上的测地距离，研究了随机集的Delaunay镶嵌的期望半径函数。具体地说，我们考虑的分区的马赛克到区间的半径函数，并确定预期数量的区间，其半径是小于或等于一个给定的阈值。假设点不包含在一个半球中，Delaunay镶嵌图同构于$\mathbb{R}^{n+1}$中凸包的边界复形，因此我们也得到了随机内接多面体的期望面数。我们发现，期望基本上是相同的泊松-Delaunay镶嵌在$n$维欧几里得空间。正如Antonelli和他的合作者所证明的，$n$ -球面的正交截面与配备有Fisher信息度量的标准$n$ -单纯形等距。因此，后者空间具有与$n$维欧几里得空间相似的随机性质。因此，我们的研究结果是相关的信息几何和群体遗传学。
2017-05-08 math.MG math.PR
Universality theorems for inscribed polytopes and Delaunay triangulations
我们证明了每一个准素基本半代数集同伦等价于一个多面体的内接实现集（直到莫比乌斯变换）。如果半代数集是开放的，那么，此外，我们证明了（同伦），它是一个收缩的实现空间的一些内接邻居（和单纯）多面体。我们还表明，所有的代数扩张$\mathbb{Q}$需要协调内接多面体。这些陈述表明内接多面体表现出Mnëv普适性现象。通过球极平面投影，这些定理直接转化为Delaunay细分的普适性定理。特别是，我们的结果意味着Delaunay三角剖分的可实现性问题是多项式等价的实数的存在性理论。
2014-06-30 cs.CG math.AG math.CO
Random inscribed polytopes in projective geometries
建立了射影黎曼几何或芬斯勒几何中随机内接多面体自然体积的中心极限定理。此外，还得到了对偶体积的正规近似和随机多面体集的平均宽度。通过证明欧几里得空间中按正连续密度从光滑凸体边界上选取的随机点的凸包的加权体积的一个一般中心极限定理，得到了这些结果.在背景中的几何估计加权表面机构和贝里-埃辛界的泛函的独立随机变量。
2020-05-21 math.DG math.MG math.PR
A "right" path to cyclic polygons
众所周知，海伦定理提供了一个三角形面积的显式公式，作为其边长的对称函数。它已延长由Brahmagupta到四边形内接在一个圆（循环四边形）。一个自然的问题是试图进一步推广的结果，以循环多边形与大量的边缘，令人惊讶的是，这是远远不够简单。在本文中，我们调查这样一个问题，通过以下一个新的和基本的方法。我们从一个简单的观察开始：一个直角三角形的内切圆与它的hypothenuse相交于一点，该点将它分成两段，两段长度的乘积等于三角形的面积。从这个奇怪的事实，我们得出在几行：一个不寻常的证明毕达哥拉斯定理，苍鹭定理的直角三角形，苍鹭定理的一般三角形，和婆罗门笈多定理的循环四边形。这表明，通过适当的点切割循环多边形的边应该是“正确的”工作方法。事实上，根据这一想法，我们得到一个明确的公式，任何凸循环多边形的面积，作为一个对称函数的分割段的边缘由一个三角形的incircles。我们还表明，这样的对称性可以重新发现在苍鹭的和Brahmagupta的结果，从而代表特殊情况下的一般提供的公式。
2019-10-17 math.CO math.HO math.MG
Orthocenters of triangles in the n-dimensional space
在本文中，我们提出了一种方法来定义一组正交中心的三角形在n维空间R^{n}，我们将看到一些类似的正交中心与经典的正交中心的三角形在欧几里德平面。
2015-02-07 math.MG
Metric spaces in which many triangles are degenerate
本文改进了一个经典度量空间定理，证明无需所有三角形都退化，只需 $Θ(n^2)$ 个适当放置的退化三角形即可推出空间等距同构于实数轴的子集。
2023-10-27 math.MG
Line tangents to four triangles in three-dimensional space
我们研究R^3中与四个三角形相切的直线。在一个构造中，可以有多达62条切线。我们发现，有最多162个连接组件的切线，最多156，如果三角形是不相交的。此外，如果三角形处于（代数）一般位置，则切线的数量是有限的，并且总是偶数。
2005-04-01 math.MG
Convex bodies of constant width in spaces of constant curvature and the extremal area of Reuleaux triangles
推广了Blaschke和Lebesgue在欧氏平面上的经典结果，最近在球面和双曲情形下也证明了在等宽凸区域$D$中，三角形具有最小面积.我们证明了一个基本上是最佳的稳定性版本的这一声明中的每一个三种类型的常曲率曲面。此外，我们还总结了常曲率空间中常宽凸体的基本性质，并给出了双曲情形下的横球面特征。
2022-03-30 math.MG
Non-Euclidean Triangle Centers
该研究提出用与中心到三角形各边有向距离的广义正弦成正比的齐次坐标描述非欧几里得三角形中心，证明其适用于所有一致高斯曲率空间，并定义了非欧空间点集的中点与平面旋转中心。
2024-06-21 math.MG
Inradius estimates for convex domains in 2-dimensional Alexandrov spaces
我们得到了曲率下有界的2维Alexandrov度量空间中严格凸等周域的内接球半径的精确下界。我们也刻画的情况下，达到这样的界限。
2018-08-24 math.DG math.MG
Additive Reverses of the Generalised Triangle Inequality in Normed Spaces
在赋范线性空间中给出了广义三角不等式的几个加法逆定理。还提供了复数的应用。
2004-06-23 math.FA math.MG
From discrete to dense: explorations in the moduli space of triangles
Indian Institute of Science（印度科学研究所）
研究三角模空间中整数坐标三角形的密集性及分布特性，揭示其在模空间中的逼近行为与非均匀分布现象。
2026-04-01 math.MG math.PR
Properties of distance spaces with power triangle inequalities
度量空间提供了一个分析框架，并具有几个非常有用的性质。这些性质中的许多部分是由三角不等式得出的。然而，有几个应用中，三角不等式不成立，但我们可能仍然喜欢执行分析。本文研究了如果把三角不等式全部去掉，留下一个所谓的距离空间，以及如果把三角不等式替换成一个更一般的两参数关系，这里称之为“幂三角不等式“，会发生什么情况。幂三角不等式是一类不可数的不等式，它包括三角不等式、松弛三角不等式和度量不等式等特殊情形.幂三角不等式根据在本文中被称为“幂三角函数”的函数来定义。幂三角函数本身是一个幂平均值，因此相对于其指数参数是连续和单调的，并且还包括最大值、最小值、均方、算术平均、几何平均和调和平均的运算作为特殊情况。
2016-10-25 math.CA math.MG
Metric Spaces in Which Many Triangles Are Degenerate
本文证明了在n点度量空间中，少于7n^2/6个适当放置的退化三角形即可使空间等距于实数线的子集，且少于n(n-1)/2个退化三角形无法满足该条件。
2024-01-10 math.CO math.MG
Toy Teichmüller spaces of real dimension 2: the pentagon and the punctured triangle
本文研究了两个$2$维Teichmüller曲面空间，即五边形曲面和穿孔三角形曲面。我们证明了它们的几何与闭曲面的Teichmüller空间有很大的不同。事实上，这两个空间都被具有固定边数的规则凸测地线多边形耗尽，并且它们的测地线最多线性发散。
2017-04-14 math.GT math.MG
Geometric Ruzsa triangle inequality in metric spaces with dilations
文章arXiv：1212.5056 [math.CO]的附录“在抽象平面上的增长”由尼克吉尔，H。a. Helfgott，Misha Rudnev，包含了一个一般的"几何Ruzsa三角不等式"在一个Deskiesian射影平面。本文的目的是在没有代数结构或关联结构的情况下，对具有扩张的度量空间给出一个类似的不等式。
2016-09-21 math.CO math.MG
Rainbow triangles
我们寻求的条件下，着色的各种向量空间保证有一个副本的一个单位等边三角形，每个顶点在一个不同的颜色类。特别是，我们探讨类似的问题，在设置向量空间有限域，适当的概念的距离。
2017-02-10 math.CO math.MG
Reptilings and space-filling curves for acute triangles
$r$ -分块是将一个形状分解为与原始形状相似的$r \geq 2$部分。一个$r$ -reptiling是一个$r$ -genttiling，它的所有部分都是相互一致的。通过递归地应用gentilings，以及定义零件顺序的规则，可以获得遍历原始形状内所有点的顺序。我们说这样的遍历是一个面连续的空间填充曲线，如果在任何级别的递归，内部的任何一组连续部分的工会是连接的-也就是说，连续的部分必须始终满足沿边缘。最著名的是等腰直角三角形允许2-reptiling，这构成了面连续的谢尔宾斯基空间填充曲线的基础;许多其他直角三角形也允许reptiling和gentiling，它们也产生面连续的空间填充曲线。在这项研究中，我们探讨了什么样的锐角三角形承认非平凡的reptilings和gentilings，以及这些是否可以形成面连续的空间填充曲线的基础。本文给出了锐角三角形（有时也是钝角三角形）的reptiling和gentiling的几个性质，从而得出以下结论：不能由锐角三角形的reptiling构造面连续的空间填充曲线。
2016-03-04 math.CO math.MG
Triangle inequalities in path metric spaces
研究了路度量空间中三角形的边长。证明了除非空间X是有界的，或与直线或半直线拟等距，否则满足严格三角不等式的实数三元组都是由X中三角形的边长实现的.我们构造了一个完备路径度量空间与欧氏平面拟等距的例子，其中每个退化三角形都有一条边短于某个一致常数。
2006-11-06 math.DG math.GR math.MG
The Geometry of $H_4$ Polytopes
我们描述的几何形状的24个细胞在600个细胞的安排。在$§$ 7中，我们应用我们的结果，甚至么模格$E_8$和显示如何600细胞转换$E_8$ /2 $E_8$，一个8-空间上的字段$\bf{F}$ $_2$，到4-空间上的$\bf{F}$ $_4$的点，线和平面被标记的几何对象的600细胞。
2019-12-12 math.CO math.MG math.RT
