Nets of lines with the combinatorics of the square grid and with touching inscribed conics
在射影平面中，我们考虑了直线与正方形网格的组合学以及与所有具有相交内接二次曲线的基本四边形的同余。两个组合相邻四边形的内接二次曲线在它们的公共棱线上有相同的接触点。我们认为，这些网络是一个自然的投影推广的incircular网。结果表明，这些网是平面柯尼希斯网。此外，我们表明，一般柯尼希斯网的特点是存在一个1参数家庭的接触内接二次曲线。证明了任意内接二次曲线相交的四边形网格的直线与一条公共二次曲线相切。这些网格可以通过内接于二次曲线的多边形链来构造。二次曲线台球的特殊情况对应于非圆网。
2019-11-18 math.AG math.MG
Extremal convex polygons inscribed in a given convex polygon
一个凸多边形$Q$内接于一个凸多边形$P$，如果$P$的每条边至少包含$Q$的一个顶点。本文提出了分别在$O(n)$和$O(n^3)$时间内求内接于任意凸$n$ -边形的最小面积和最小周长凸多边形的算法。我们还研究了这个问题的其他变体。
2021-09-23 math.CO math.MG
Holmes-Thompson area of inscribed polygons and convex projective structures
Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数理科学研究所）；Sam Houston State University（山姆休斯顿州立大学）
本文研究了正向旗在三维空间中定义的凸多边形，并探讨了霍姆斯-汤普森面积与希尔伯特度量之间的关系，以及有限面积凸实投影结构的参数化问题。
2026-01-07 math.GT math.MG
A Degree Six Inequality on Convex Quadrilaterals
证明了凸四元数上的一个六次不等式。这个不等式起源于对\Bbb{R} ^{3}中点的位形的Atiyah-Sutcliffe定理的研究。
2021-12-22 math.MG
A characterization of convex hyperbolic polyhedra and of convex polyhedra inscribed in the sphere
我们描述了一个表征凸多面体在$\h^3$在他们的二面角，Rivin开发。我们还描述了该理论的一些几何和组合的后果。这些后果之一是一个组合特征的凸多面体在$\E^3$所有的顶点位于单位球。这解决了雅各布·施泰纳在1832年提出的一个问题。
1992-10-01 math.MG
A Direct Proof of the 2nd Atiyah-Sutcliffe Conjecture for Convex Quadrilaterals
本文给出了M. Atiyah和P. Sutcliffe对于凸四边形的情形。不像以前的工作，这个猜想，我们的证明不需要任何计算机辅助计算。新的证明依赖于作者最近证明的一个新的几何不等式。
2021-12-26 math.MG
Rhombs inscribed in spheres bounding strictly-convex regions
我们使用一些最近的工作冯和早期的文件Hadwiger，Larman和Mani扩展类的$n$ -领域是已知的内接一个$(n + 1)$ -菱形在一个给定的方向。
2021-10-14 math.GT math.MG
Some Polynomial Conditions of Cyclic Quadrilaterals, Tilted Kites and Other Quadrilaterals
在本文中，我们研究了一些多项式的条件所产生的欧几里德几何。首先我们研究了与具有补角的四元四边形有关的多项式，这包括凸循环四元四边形，以及某些凹四元四边形。然后，我们考虑多项式与四边形与一些相等的角度，其中包括凸和凹倾斜风筝。一些结果证明使用Groebner基地计算。
2023-02-20 math.MG
A Model for the space of convex quadrilaterals
本文为凸四边形空间构建了一个模型，每个凸四边形恰相似于其中一员，并用4-胞腔参数化，证明梯形构成3维闭子集且分割模型，附SageMath交互工具。
2026-09-24 math.MG
Largest Inscribed Rectangles in Geometric Convex Sets
本文考虑了在有限个凸不等式定义的紧致凸集上寻找最大体积（轴对齐）内接盒的问题，并给出了求解它们的优化和几何方法。开发了几种优化模型，可以很容易地推广到找到其他内接几何形状，如三角形，菱形和正方形。为了求解高维空间中的最大轴向内接矩形，提出并分析了一种邻域点法算法。对于二维空间，提出了一种参数化的优化方法来寻找凸集中最大的（轴对齐的）内接矩形。优化方法提供了一个统一的框架来解决各种各样的相关问题。最后，两个计算几何$(1-\varepsilon)$ -近似算法与次线性运行时间，改进了以前的结果。
2022-08-09 cs.CG math.MG math.OC
On the Injectivity of Mean Value Mapping between Convex Quadrilaterals
本文证明凸四边形之间的 Mean Value 映射具有单射性，证实了 Floater 与 Kosinka 于 2010 年提出的相关猜想。
2024-07-05 math.MG
A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon
给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。
2017-06-09 cs.CG math.MG
On the Lattice Packings and Coverings of the Plane with Convex Quadrilaterals
众所周知，三角形的晶格堆积密度和晶格覆盖密度分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{2}$。我们还知道，达到这些密度的晶格都是唯一的。令$δ_{L}(K)$和$\vartheta_{L}(K)$分别表示$K$的晶格填充密度和晶格覆盖密度。本文研究了一类特殊的凸圆盘的格填充和覆盖，这类凸圆盘包括所有的三角形和凸四边形。特别是，我确定的密度$δ_{L}(Q)$和$\vartheta_{L}(Q)$，其中$Q$是一个任意的凸四边形。此外，我还得到了所有达到这些密度的格。最后，我证明了$δ_{L}(Q)\vartheta_{L}(Q)\geq 1$和$\frac{1}{δ_{L}(Q)}+\frac{1}{\vartheta_{L}(Q)}\geq 2$，对于每个凸四边形$Q$。
2014-12-19 math.MG math.NT
Spherical quadrilateral with three right angles and its application for diameter of extreme points of a convex body
本文证明了具有三个直角的球面四边形边长关系定理，并以此证明二维球面凸体极值点集合直径的下界估计，该估计是紧的无法改进。
2025-06-26 math.MG
On the maximum area of inscribed polygons
给定一个凸$n$边形$P$和一个正整数$m$使得$3\le m\le n-1$，令$Q$表示包含在$P$中的最大面积凸$m$边形.我们感兴趣的是$Δ(Q)/Δ(P)$的最小值，即这两个多边形的面积之比。更准确地说，给定正整数$n$和$m$，用$3 \le m \le n-1$定义\begin{equation*} f_n(m)=\min_{P\in \mathcal {P}_n} \max_{Q \subset P,|Q|=m} \frac{Δ(Q)}{Δ(P)} \end{equation*}，其中最大值取于$P$中包含的所有$m$ -类，最小值取于$\mathcal{P}_n$，整个凸$n$ -类。$f_4(3)$、$f_5(4)$和$f_6(3)$的值是已知的。在本文中，我们计算的值的$f_5(3)$，$f_6(5)$和$f_6(4)$。此外，我们证明，对于所有的$n\ge 6$，我们有\begin{equation*} \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\fracπ{n}\right)\le 1-f_n(n-1)\le \min\left(\frac{1}{n}, \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\frac{2π}{n}\right)\right). \end{equation*}这些界限可以用来改善已知的估计$f_n(m)$。
2021-04-25 math.CO math.MG
The maximum volume polytope with nine vertices inscribed in the sphere
该研究解决了凸几何中9顶点内接球面最大体积多面体的经典问题，结合组合与几何方法，确定了其体积上界及对应构型。
2026-11-09 math.CO math.MG
Lattice Equable Quadrilaterals III: tangential and extangential cases
一个格点相等四边形是平面上的一个四边形，它的顶点位于整数格点上，并且在面积等于周长的意义上是相等的。本文讨论了切向和外切向的情况。我们证明，直到欧氏运动，只有6个凸切格等四边形，而凹的等四边形排列在7个无穷族中，每个无穷族由一个著名的2阶三元丢番图方程给出.另一方面，除了风筝，直到欧几里德运动只有一个凹的外切格等四边形，而有无穷多个凸的。
2021-11-11 math.MG
Extremal inscribed and circumscribed complex ellipsoids
证明了Cn中的一个凸集若包含两个极大体积的内接复椭球，则其中一个是另一个的平移。另一方面，最小体积的外切复椭球是唯一的。作为应用，我们证明了Brunn对椭球的刻画的复类比.
2020-12-29 math.MG
Intrinsic volumes of inscribed random polytopes in smooth convex bodies
设$K$是具有二次连续可微边界和处处正Gauss-Kronecker曲率的$d$维凸体.用$K_n$表示根据均匀分布从$K$中独立随机选择的$n$点的凸包。匹配的下限和上界获得的数量级的方差的$s$ -th固有体积$V_s(K_n)$的$K_n$的$s\in\{1, ..., d\}$。进一步证明了$K_n$的内禀体积的强大数定律.基本工具是Barány和Larman的经济帽覆盖定理和Efron-Stein刀切不等式。
2009-06-01 math.MG math.PR
The Two Incenters of the Arbitrary Convex Quadrilateral
对于具有面积${\cal A}$和周长$p$的任意凸四边形$ABCD$，我们在其牛顿线上定义两点$I_1, I_2$作为圆心。这些点是半径为$r_1, r_2$的两个圆的圆心，这两个圆与$ABCD$的相对侧相切。然后，我们证明，${\cal A}=pr/2$，其中$r$是调和平均的$r_1$和$r_2$。我们还调查了特殊情况下与$I_1\equiv I_2$和/或$r_1=r_2$。
2017-11-29 math.HO math.MG
Surface areas of equifacetal polytopes inscribed in the unit sphere $\mathbb{S}^2$
研究单位球面上7、8个点的凸包表面积最大化问题，给出了凸包为全等等腰或等边三角形面时的最优解。
2023-05-18 math.MG
Polyhedra inscribed in a quadric
研究三维空间中内接于二次曲面的凸多面体。直到射影变换，有三种这样的曲面：球面、双曲面和柱面。我们的主要结果是：可平面图$Γ$被实现为内接于双曲面或柱面的多面体的$1$ -骨架当且仅当$Γ$被实现为内接于球面的多面体的$1$ -骨架且$Γ$允许哈密顿圈. Rivin通过研究双曲空间中理想多面体的几何，刻画了内接于球面的凸多面体。我们研究的情况下，双曲面和圆柱体的反德西特几何和半管几何中的凸理想多面体的空间参数化。正如圆柱可以看作是球面和双曲面的退化，半管几何自然是双曲和反德西特几何的极限。我们提倡用统一的观点来贯穿对这三个案例的研究。
2014-10-13 math.DG math.GT math.MG
On polyhedra inscribed in $S^2$, with approximately equal edges
在${\Bbb{R}}^3$中考虑内接于单位球面$S^2$的三角面凸多面体。测量它们与具有三角形面的正多面体的偏差的一种方法是考虑最长边和最短边的长度的商。如果面数趋于无穷大，而具有这个面数的多面体变化，那么这个商的下极限是$2 \sin 36^{\circ } = 1.1756 \ldots $。
2019-09-06 math.MG
Containment and inscribed simplices
设K和L是R^n中的紧凸集.证明了以下两个命题是等价的：（i）对于K中的每个至多有n+1个顶点的多面体Q，L包含Q的平移。(ii)L包含K的翻译。设1 <= d <= n-1。证明了以下两个命题是等价的：（i）对于K内至多d+1个顶点的多面体Q，L包含Q的平移. (ii)对于每个d维子空间W，集合L在W上的正交投影包含集合K在W上的相应投影的平移。证明了：若K是R^n中至少有d+2个暴露点的紧凸集，则存在紧凸集L，使得L的每个d维正交投影都包含K的相应投影的平移，而L不包含K的平移.特别地，只要dim（K）> d，就存在这样的凸体L。
2010-10-22 math.MG
A limit theorem for Hausdorff approximation by random inscribed polytopes
本文研究用边界随机采样点的凸包逼近光滑凸体，证明在最优密度下Hausdorff逼近误差经重标度后趋于Gumbel分布。
2025-08-22 math.MG math.PR
Random inscribed polytopes in projective geometries
建立了射影黎曼几何或芬斯勒几何中随机内接多面体自然体积的中心极限定理。此外，还得到了对偶体积的正规近似和随机多面体集的平均宽度。通过证明欧几里得空间中按正连续密度从光滑凸体边界上选取的随机点的凸包的加权体积的一个一般中心极限定理，得到了这些结果.在背景中的几何估计加权表面机构和贝里-埃辛界的泛函的独立随机变量。
2020-05-21 math.DG math.MG math.PR
An Efficient Algorithm to Calculate the Center of the Biggest Inscribed Circle in an Irregular Polygon
本文提出了一种求多边形内接最大圆圆心的有效算法。这项工作的灵感来自Daniel Garcia-Castellanos和Umberto Lombardo的出版物，他们的算法用于寻找陆地的不可达极点。两个更有效的算法被发现，其中一个只适用于当问题可以被描述为线性问题，如在一个凸多边形的情况下。保留字：距离几何，欧氏距离，内切圆，不规则多边形，算法，数学优化，蒙特卡罗，线性规划，极大极小
2012-12-13 cs.DS math.MG
The Beauty of Random Polytopes Inscribed in the 2-sphere
考虑$\mathbb{R}^d$中单位球面上的随机点集，它可以是均匀采样的，也可以是泊松点过程。它的凸包是一个随机内接多面体，其边界近似于球面。我们专注于案件$d=3$，其中有初等证明和迷人的公式度量性质。特别是，我们研究了急性小平面的分数，预期的内在体积，总的边缘长度，和一个不动点的距离。最后将结果推广到具有同胚密度的椭球。
2020-07-15 math.MG math.PR
On a necessary and sufficient cyclicity condition for a quadrilateral
一个具有a，b，c，d和对角线p，q的凸四边形是循环的当且仅当abp-bcq+ cdp-bcq =0。这个条件，尽管它的简单性，似乎是未被注意到的和出乎意料的证明弹性。我们采用先进的计算机代数和非线性分析方法。
2004-10-08 math.AC math.GM math.MG
On a Dowker-type problem for convex disks with almost constant curvature
本文研究Dowker型问题在将Hausdorff拓扑替换为表面积测度拓扑时，关于几乎常曲率凸圆盘的最大内接多边形面积序列凹性是否成立。
2024-02-06 math.MG
Inradius estimates for convex domains in 2-dimensional Alexandrov spaces
我们得到了曲率下有界的2维Alexandrov度量空间中严格凸等周域的内接球半径的精确下界。我们也刻画的情况下，达到这样的界限。
2018-08-24 math.DG math.MG
Variance estimates for random disc-polygons in smooth convex discs
本文证明了以$C^2_+$为边界的光滑凸圆上内接随机圆多边形顶点数和缺失面积方差的渐近上界。我们还考虑了这种概率模型的外接变量，其中凸盘近似随机圆的交叉。
2018-02-08 math.MG
Variants of a theorem of Macbeath in finite dimensional normed spaces
University of Szeged（塞格德大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究了在有限维规范空间中，最大体积凸多面体的几种体积指标的极值问题，扩展了Macbeath定理的范围。
2025-12-29 math.MG
Dowker-type theorems for disk-polygons in normed planes
本文研究了赋范平面上由单位圆盘平移交集定义的 $C$-$n$-gons 的 Dowker 型定理，证明了外切 $C$-$n$-gons 的面积和周长及内接 $C$-$n$-gons 的周长定理成立，并发现对于典型原点对称凸体，内接面积定理不成立。
2024-03-25 math.MG
The extended oloid and its inscribed quadrics
非球面是两个半径相等的圆在垂直平面上的凸包，每个圆的圆心都位于另一个圆上。它是一个可展曲面的一部分，我们称之为扩展曲面。本文确定了扩展椭球面$\mathcal{O}$的所有内接二次曲面$\mathcal{Q}_λ$的切向系统，其中$λ$是系统参数。由此得到了$\mathcal{O}$与$\mathcal{Q}_λ$接触曲线$\mathcal{C}_λ$的参数方程、$\mathcal{O}$回归曲线$\mathcal{R}$的边缘和$\mathcal{R}$的渐近线。研究了接触曲线$\mathcal{C}_λ$的性质，包括$λ\rightarrow\pm\infty$ .得到了切向系统$\mathcal{Q}_λ$的自配极四面体。确定了$\mathcal{O}$与任意直纹面$\mathcal{Q}_λ$的公共母线。进一步导出了$\mathcal{O}$在平面上展开时，$\mathcal{C}_λ$和$\mathcal{R}$的图像曲线。
2015-04-14 math.AG math.MG
The Inverse Kakeya Problem
我们证明，可以放置在一个给定的凸形$Q \subset \mathbb{R}^{d}$在任何所需的方向是最大的内接球的$Q$的最大凸形。当“最大”表示“最大体积”和“最大表面积”时，该陈述均为真。球是唯一的解决方案，除了在二维情况下最大化周长时。
2019-12-18 math.MG
Intersection number and the stability of some inscribable graphs
一个可平面图是可内接的，如果它与内接于球面的多面体的骨架组合等价。对于一个可写图，在它的组合等价类中，如果我们总能找到内接于任意一个足够接近球面的凸曲面的多面体，那么我们称这样的可写图为稳定图。将Teichmüller填充理论与微分拓扑方法相结合，研究了一类可写图的稳定性.
2015-01-01 math.GT math.MG
Random Hyperplanes of a Convex Body, Sylvester's Problem and Crofton's Formula
受第67届William Lowell Putnam数学竞赛的启发，我们将总结在网站上找到的三种不同解决方案。这个普特曼问题是西尔维斯特四点问题的一个特例！假设在一个凸体上随机取四个点，它们形成凸四边形的概率是多少？我们将看到，克罗夫顿公式，二维随机割线和这个问题的解决方案之间存在着联系。然后，我们将提出的解决方案后，金曼[3]西尔维斯特的四点问题在二维和三维的单位球，通过在三维和四维的凸体，分别。
2021-09-10 math.MG
The volume of random polytopes circumscribed around a convex body
设$K$是$\mathbb{R}^d$中的一个凸体，它在一个球中自由滑动。令$K^{(n)}$表示包含$K$的$n$闭半空间的交，其边界超平面根据某个指定的概率分布独立且同分布。证明了$K^{(n)}$和$K$的体积差的期望的渐近公式，以及$K^{(n)}$的体积方差的渐近上界.我们实现这些结果，首先证明类似的语句的加权平均宽度近似的凸体，承认一个滚动球的内接随机多面体，然后通过极化这些结果。
2014-09-29 math.MG math.PR
Polarization problem on a higher-dimensional sphere for a simplex
本文研究了由$S^{d-1}$上的$d+1$点构成的势在球面$S^{d-1}\subset \mathbb R^d$上的最小值的最大化问题（最大离散极化问题）。这些点通过由欧几里得距离平方的函数$f$给出的势相互作用，其中$f:[0,4]\to (-\infty,\infty]$是连续的（在扩展意义上），并且在$[0,4]$上是递减的，并且在$(0,4]$上是有限的和凸的，具有凹或凸导数$f'$。证明了内接于$S^{d-1}$的正则$d$ -单形的顶点的构型是最优的.这个结果对于$d>3$是新的（对于$d=2$和$d=3$的某些特殊情况也是新的）。作为一个副产品，我们发现一个更简单的证明已知的最佳覆盖性质的正则$d$ -单形的顶点在$S^{d-1}$。
2020-03-03 math-ph math.MG math.MP
Rigidity in the Planar Ulam Floating Body Problem with perimetral density $σ=\tfrac16$
University of Cincinnati（辛辛那提大学）
研究平面凸域在周长密度σ=1/6下的乌拉姆浮体问题，利用Zindler旋转装置框架，将问题转化为与内接正六边形相关的二维动力系统。主要结果表明，圆盘是唯一在该周长密度下在任意位置都能保持平衡的凸域，为有理周长密度的凸设定提供了新的刚性结果。
2026-04-11 math.CA math.MG
The extremal volume ellipsoids of convex bodies, their symmetry properties, and their determination in some special cases
一个凸体K具有唯一的最小体积的外切椭球CE（K）和唯一的最大体积的内接椭球IE（K）。我们首先给出了一个统一的，现代的阐述这些极值椭球的基本理论，使用的半无限规划的方法开创了弗里茨约翰在他的开创性的1948年的文件。然后，我们研究了凸体及其极值椭球的自同构群。证明了如果凸体K的自同构群足够大，则可以用半无限规划或非线性规划精确地确定极值椭球CE（K）和IE（K）.作为例子，我们计算了当凸体K是给定椭球在两个平行超平面之间的部分时，以及当K是截头二阶锥或椭球柱时的极值椭球。
2007-09-05 math.FA math.MG
Reverse isoperimetric problems under curvature constraints
本文解决了$λ$ -凸体类中的几个逆等周问题，即，凸体，其边界上每一点的曲率都被某个$λ> 0$所限制。我们在$\mathbb{R}^3$中对Borisenko的一个猜想给出了肯定的回答，该猜想指出$λ$ -凸透镜，即，半径为$1/λ$的两个球的交点是所有给定表面积的$λ$ -凸体中体积的唯一极小化者。同时，我们证明了一个反向的内半径不等式：在常曲率和任意维数的模型空间中，我们证明了$λ$ -凸透镜（适当定义在非零曲率空间中）在所有给定表面积的$λ$ -凸体中具有最小的内接球.这解决了Bezdek在$\mathbb{R}^n$中关于等周球多面体最小内径的一个猜想。
2023-03-04 math.DG math.MG
Inverse Blaschke-Santaló inequality for convex curves enclosing the origin several times
H. Guggenheimer推广了包围原点$k \ge 2$次的局部凸曲线$C$的平面体积积问题.他指出，最小体积产品$V(C)V(C^*)$为这些曲线是达到如果曲线由最长的对角线的一个经常$(2k+1)$ -gon，与中心$0$，这些对角线采取始终在积极的方向。该约束最小值的形式为$k^2 + O(k)$。我们调查这个猜想的特殊情况。对于局部凸的$n$ -带$2k+1 \le n \le 4k$的情形，如果$0$的所有边的圆心角都等于$2k π/n$，我们证明了这一点.对于$4k+1 \le n$，我们证明了：对于包围原点$k \ge 2$ ×的局部凸$n$ -ε，当直到一个非奇异线性映射顶点位于$0$的单位圆上，且所有边的圆心角等于$2k π/n$时，体积积$V(K)V(K^*)$的临界（平稳）值是精确的.对于包围原点$k \ge 2$次并内接于单位圆的局部凸$n$ -ε，用$2k+1 \le n$证明了关于$0.43$的乘因子猜想.
2019-05-28 math.MG
The missing (A, D, r) diagram
本文研究了涉及凸体面积、直径和内径的“最优”泛几何不等式。术语“最优”应理解为以下意义：我们解决的问题，最小化/最大化的勒贝格测度的凸体之间的所有凸集的给定直径和内径。在二维情况下的最小化问题已经解决了在以前的工作中，由M。Hernandel-Cifre和G.萨利纳斯在这篇文章中，我们提供了一个推广到n维的情况下，基于不同的方法，以及在二维情况下的最大化问题的完整解决方案。这使我们能够完全确定平面凸体关于面积、直径和内半径三个量值的所谓二维Blaschke-Santal图，记为（A，D，r）。这样的图用于确定取决于其直径和内径的凸集的面积的可能值的范围。虽然凸几何的这个问题看起来很基本，但直到现在还没有答案。这可能与图描述使用了意外的特定凸集有关，例如一种内接于等边三角形的平滑九边形。
2021-05-07 math.MG math.OC
Hermite--Hadamard inequalities for nearly-spherical domains
本文推广了Pasteczka关于Hermite--Hadamard不等式的猜想证明，将原有带内切球多胞形的情形扩展到存在点到边界切超平面距离不超过(d+1)|Ω|/|∂Ω|的紧凸域情形。
2023-08-22 math.CA math.MG
