Algebraic vertices of non-convex polyhedra
在这篇文章中，我们定义了一个广义多面体的代数顶点，并表明它是定义多面体所需的最小点集。证明了广义多胞体$P$的指示函数是以$P$的代数顶点为顶点的单形的指示函数的线性组合。我们还证明了任何广义多面体的指示函数都是顶点在代数顶点的锥和线锥的指示函数的整数系数线性组合。代数顶点的概念与傅里叶-拉普拉斯变换密切相关。证明了点$\mathbf{v}$是广义多面体$P$的代数顶点当且仅当$P$的切锥在$\mathbf{v}$处具有非零的傅里叶-拉普拉斯变换.
2017-01-05 math.MG
The maximum volume polytope with nine vertices inscribed in the sphere
该研究解决了凸几何中9顶点内接球面最大体积多面体的经典问题，结合组合与几何方法，确定了其体积上界及对应构型。
2026-11-09 math.CO math.MG
Cutting along a symmetric quadrilateral to construct an embedded flexible dodecahedron
该研究针对嵌入三维欧氏空间的柔性多面体，提出一种构造新柔性多面体曲面的通用方法，还构造出拥有8个顶点的嵌入柔性十二面体，提升了其运动范围与阐述简洁性。
2026-09-07 math.MG
A characterization of convex hyperbolic polyhedra and of convex polyhedra inscribed in the sphere
我们描述了一个表征凸多面体在$\h^3$在他们的二面角，Rivin开发。我们还描述了该理论的一些几何和组合的后果。这些后果之一是一个组合特征的凸多面体在$\E^3$所有的顶点位于单位球。这解决了雅各布·施泰纳在1832年提出的一个问题。
1992-10-01 math.MG
On the icosahedron inequality of László Fejes-Tóth
本文研究了求内接于单位球面且具有给定性质的最大体积多面体的问题。推广了L. Fejes-Tóth其中一个有趣的后果的事实，即正二十面体具有最大的体积类的多面体与12个顶点和内接在单位球。我们给出了一个上界的体积这样的星形（相对于原点）的三角多面体，我们知道它的面的最大边长，分别。作为推广不等式的进一步结果，我们证明了一个猜想，即两个具有公共质心的正则单形的顶点所构成的最大体积多面体是立方体。
2014-11-21 math.MG
Kasner meets Poncelet
给定一个平面五边形，构造两个新的五边形：第一个五边形的顶点是原五边形对角线的交点，第二个五边形的顶点是原五边形的内接二次曲线的切点。E.卡斯纳定理，发表于1928年，声称这两个操作对五边形交换。我们将Kasner的结果推广到Poncelet多边形，即内接于圆锥曲线且外切于圆锥曲线的多边形。
2017-07-28 math.MG
Intriguing Invariants of Centers of Ellipse-Inscribed Triangles
Rice University（莱斯大学）；Data Science Consulting Ltd.（数据科学咨询有限公司）
本文描述了两个顶点固定在椭圆边界上，第三个顶点扫过椭圆边界的椭圆内接三角形族的中心不变量，证明了：（i）如果三角形的中心是重心和正交心的固定仿射组合，则其轨迹是椭圆;（ii）在这类仿射组合族上，轨迹的中心扫过一条直线;（iii）在平行固定顶点族上，所述轨迹沿第二线刚性平移。此外，我们还研究了椭圆上两个固定顶点组合上椭圆轨迹包络的不变量。
2021-04-16 cs.CG cs.RO math.MG
Steffen's flexible polyhedron is embedded. A proof via symbolic computations
本文利用计算机符号计算，首次在数学文献中严格证明了 Steffen 柔性多面体是嵌入的，填补了该经典多面体长期缺乏形式化证明的空白。
2025-08-04 math.MG
A flexible polyhedron without self-intersections in Euclidean 3-space, all of whose dihedral angles change during a flex
本文构造了一个无自交的球面同胚柔性多面体，并证明其在弯曲过程中所有二面角均发生变化，该多面体有26个顶点、72条边和48个面，性质通过Wolfram Mathematica符号计算验证。
2024-06-23 math.MG
Variants of a theorem of Macbeath in finite dimensional normed spaces
University of Szeged（塞格德大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究了在有限维规范空间中，最大体积凸多面体的几种体积指标的极值问题，扩展了Macbeath定理的范围。
2025-12-29 math.MG
On Properties of a Regular Simplex Inscribed into a Ball
设$B$是${\mathbb R}^n$中的一个欧氏球，$C(B)$是具有一致范数$\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$的连续函数$f:B\to{\mathbb R}$的空间。$Π_1\left({\mathbb R}^n\right)$是指一组次数为$\leq 1$的多项式，即，在${\mathbb R}^n$上的一组线性函数。具有节点$x^{(j)}\in B$的插值投影器$P:C(B)\to Π_1({\mathbb R}^n)$由等式$Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right)$、$j=1,$、$\ldots,$、$ n+1$定义。作为从$C(B)$到$C(B)$的算子的$P$的范数可以通过公式$\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |λ_j(x)|.$计算。这里$λ_j$是对应于具有顶点$x^{(j)}$的$n$维非退化单形$S$的基本拉格朗日多项式。设$P^\prime$是一个投影仪，其节点在一个正单形的顶点\linebreak中内接到球中。我们用性质$\|P^\prime\|_B=\sum |λ_j(y)|$描述点$y\in B$。我们还提出了一个几何猜想，它暗示$\|P^\prime\|_B$等于$B$中节点的插值投影的最小范数。我们证明，这一猜想成立至少$n=1,2,3…
2021-05-17 math.MG
A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon
给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。
2017-06-09 cs.CG math.MG
Pentagonal bipyramids lead to the smallest flexible embedded polyhedron
针对无自相交可弯曲多面体的顶点数下限问题，本文通过Galois群分类可弯曲五角双锥，发现可扩展为8顶点嵌入可弯曲多面体的构造，解决了该未决问题。
2024-10-17 cs.CG math.AC math.AG
Balancing polyhedra
我们定义的机械复杂性$C(P)$的凸多面体$P,$解释为一个均匀的固体，作为其面，边和顶点的总数和静态平衡的数量之间的差异，和机械复杂性$C(S,U)$的主要平衡类$(S,U)^E$与$S$稳定和$U$不稳定的平衡作为力学复杂性的下确界的所有多面体在该类。我们证明了一类具有$S, U > 1$的$(S,U)^E$的机械复杂性是$2(f+v-S-U)$在所有多面体对$(f,v )$上的最小值，其中一个整数对称为多面体对，如果存在一个具有$f$面和$v$顶点的凸多面体.特别是，我们证明了一类$(S,U)^E$的机械复杂性为零，当且仅当存在一个凸多面体的$S$面和$U$顶点。我们还给出了单站类$(1,U)^E$和$(S,1)^E$的机械复杂性的渐近尖锐的界限，并提供了一个复杂性依赖奖的Gömböc类$(1,1)^E$的复杂性。
2021-11-17 math.MG
Weakly Inscribed Polyhedra
研究了$\mathbb{R}\mathbb{P}^3$中顶点均在球面上的凸多面体。我们不要求，特别是，多面体位于内部的领域，因此术语“弱内接”。如果我们把$\mathbb{R}\mathbb{P}^3$看作是双曲空间和de Sitter空间的组合，并以球面为公共理想边界，则这种多面体可以解释为理想多面体。我们有三个主要结果：（1）用纯组合的方法刻画了弱内接多面体的$1$ -θ，（2）用线性规划刻画了弱内接多面体的外二面角，（3）刻画了弱内接多面体边界上诱导的双曲-deSitter结构.
2020-02-04 math.DG math.GT math.MG
On the infinitesimal rigidity of polyhedra with vertices in convex position
设$P \subset \R^3$为多面体。证明了如果$P$是弱凸的（即. e.它的顶点位于严格凸域的边界上）和可分解（即，e. $P$可以三角化而不添加新的顶点），则它是无穷小刚性的。我们证明了这个猜想下的一个弱额外的假设codecomposability。证明依赖于一个结果的独立利益有关的希尔伯特-爱因斯坦函数的三角形凸多面体。我们确定的签名的海森函数的内部边缘的变形。特别地，如果没有内部顶点，则Hessian是负定的。
2007-11-13 math.DG math.MG
The volume of a spherical antiprism
我们考虑球面反棱镜。它是一个凸多面体与$2n$顶点在球面空间$\mathbb{S}^3$。该多面体具有一组对称性$S_{2n}$，该对称性由$2n$阶的镜像旋转对称性生成，即旋转到角度$π/n$，然后是反射。我们建立了在$\mathbb{S}^3$中存在这种多面体充要条件。然后利用球面等腰梯形的性质，得到其二面角与边长的余弦关系。最后，我们得到了球反棱柱体积关于边长的显式积分公式。
2021-10-23 math.MG
A second eight-faced polyhedron in which every two faces share an edge
Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）
本文报告了第二个嵌入三维空间中的八面体多面体，其每两个面共享至少一条边，具有八面九边形、24顶点、36边，与已知例子组合不等价，且具有D2对称性。
2026-09-29 math.CO math.MG
Conway's spiral and a discrete Gömböc with 21 point masses
我们展示了一个凸的、单站多面体（即，有一个稳定和一个不稳定的平衡），有21个顶点和21个面。这个多面体是一个0-骨架，每个顶点的质量相等。上面的构造用作单单站0-骨架的面和顶点的最小数目的上界，并且补充了最近提供的8个顶点的下界。这是第一个已知的单单静态多面体固体的构造。我们还表明，一个类似的建设均匀分布的质量不能导致在单单站固体。
2022-08-09 math.CO math.MG
The volume of a compact hyperbolic antiprism
考虑紧致双曲反棱柱。它是双曲空间$\mathbb{H}^3$中具有$2n$顶点的凸多面体。该多面体具有对称群$S_{2n}$，该对称群由$2n$阶的镜像旋转对称生成，即旋转到角度$π/n$，然后是反射。我们建立了在$\mathbb{H}^3$中存在这种多面体充要条件。然后，我们发现它们的二面角和边长之间的关系，在余弦规则的形式。最后，我们得到了用边长表示双曲反棱柱体积的精确积分公式。
2018-07-22 math.MG
On integer points inside a randomly shifted polyhedron
本文研究凸体随机平移后内部格点数的分布问题，在已知其期望等于体积的背景下，重点探讨了顶点位于整点的多面体情形下该随机变量的分布性质。
2025-07-12 math.MG math.PR
A rigidity criterion for non-convex polyhedra
设$P$是$\R^3$中的一个（不一定是凸的）嵌入多面体，其顶点在椭球上。假设$P$的内部可以分解为凸多胞体而不需要添加任何顶点。则$P$是无穷刚性的。更一般地，令$P$是限定域的多面体，该域是具有不相交内部的多面体$C_1, ..., C_n$的并集，其顶点是$P$的顶点。设存在一个不含$P$顶点但与$C_i$所有边相交的椭球。则$P$是无穷刚性的。证明是基于超理想双曲多面体的一些几何性质。
2003-01-30 math.DG math.MG
The polytope of non-crossing graphs on a planar point set
对于$\R^2$中$n$点的有限集$\A$，定义了一个$(3n-3)$维简单多面体，它的面偏序集同构于具有顶点集$\A$的"非交叉标记图“的偏序集，其中标记图定义为几何图及其顶点子集. $\A$上的非交叉图的偏序集表现为该多面体中的一个面的星形的补。多面体有一个唯一的最大有界面，其维数为$2n_i +n -3$，其中$n_i$是$\conv(\A)$内部$\A$的点数。这个多面体的顶点都是$\A$的伪三角剖分，边是两种类型的翻转：传统的对角翻转（在伪三角剖分中）和删除或插入一条边。作为我们的建设的副产品，我们证明了所有的伪三角形是无穷小刚性图。
2003-05-30 math.CO math.MG
Polarization problem on a higher-dimensional sphere for a simplex
本文研究了由$S^{d-1}$上的$d+1$点构成的势在球面$S^{d-1}\subset \mathbb R^d$上的最小值的最大化问题（最大离散极化问题）。这些点通过由欧几里得距离平方的函数$f$给出的势相互作用，其中$f:[0,4]\to (-\infty,\infty]$是连续的（在扩展意义上），并且在$[0,4]$上是递减的，并且在$(0,4]$上是有限的和凸的，具有凹或凸导数$f'$。证明了内接于$S^{d-1}$的正则$d$ -单形的顶点的构型是最优的.这个结果对于$d>3$是新的（对于$d=2$和$d=3$的某些特殊情况也是新的）。作为一个副产品，我们发现一个更简单的证明已知的最佳覆盖性质的正则$d$ -单形的顶点在$S^{d-1}$。
2020-03-03 math-ph math.MG math.MP
Pseudo-edge unfoldings of convex polyhedra
一个凸多面体K的伪边图是K中的一个3连通嵌入图，它的顶点与K的顶点重合，它的边是距离最小测地线，它的面是凸的。在欧氏三维空间中构造了一个凸多面体K，它具有一个伪边图，K关于该伪边图是不可折叠的.证明是基于Pogorelov的结果凸帽规定的曲率，和展开障碍几乎平坦凸帽由于Tarasov。我们的例子有340个顶点，大大简化了Tarasov早期的构造，并证实了Durer猜想不适用于伪边展开。
2019-02-27 math.CO math.DG math.GT
On dendrites, generated by polyhedral systems and their ramification points
本文考虑$\mathbb R^d$中的收缩相似系统，将一个给定的多面体$P$发送到多面体$P_i\subset P$，其非空交是单点的，包含这些多面体的公共顶点，而系统的交超图是无圈的。证明了该系统的吸引子$K$是$\mathbb R^d$中的枝晶.这种枝晶的分枝点是有穷级的，其上界仅依赖于多面体$P$，枝晶$K$的割点等于整个$K$的维数当且仅当$K$是若尔当弧.
2017-07-07 math.DS math.MG
Are all Weakly Convex and Decomposable Polyhedral Surfaces Infinitesimally Rigid?
本文研究了弱凸且可分解多面体的无穷小刚性猜想，通过构造非余可分解的 $T$-多面体族并利用离散 Hilbert-Einstein 泛函的 Hessian $M_T$ 进行特征值实验，提供了此类柔性多面体可能不存在的实验证据。
2024-04-25 math.DG math.MG
Geodesic trajectories on regular polyhedra
考虑多面体上两点之间的所有测地线。在正四面体上，我们描述了从一个顶点到另一个顶点的所有测地线。利用Stern-Brocot树探讨了立方体顶点间测地线的递归结构，在某种精确意义上证明了某些顶点对间测地线的数目是其他顶点对间测地线的两倍。我们还得到了这样一个事实，即在正四面体或立方体上不存在起始于同一顶点和终止于同一顶点的测地线。
2015-08-12 math.CO math.MG
Finding Weakly Simple Closed Quasigeodesics on Polyhedral Spheres
凸多面体上的闭拟短程线是一条在顶点外局部直的闭曲线，在那里它在两侧形成至多$π$的角。虽然在凸多面体上存在一个简单的闭拟短程线已经由Pogorelov在1949年证明，但找到一个多项式时间算法来计算这样一个简单的闭拟短程线已经被反复提出作为一个公开问题。我们的第一个贡献是提出了一个扩展的定义准测地线的内在设置（不一定是凸的）多面体球，并证明了存在一个弱简单的封闭的准测地线在这样的设置。我们的证明不进行通过光滑表面的近似，但依赖于一个适应的磁盘流的哈斯和斯科特的多面体表面的上下文中。我们的第二个结果是利用这个存在定理提供一个有限的算法来计算一个弱简单的封闭拟短程线的多面体球。在凸多面体上，我们的算法计算一个简单的封闭拟短程线，解决了Demaine，Hersterberg和Ku的一个开放问题。
2022-09-28 cs.CG math.MG
Variations on the Three-Sphere: Laves' Labyrinth Lopped
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；arXiv, Cornell University（arXiv，康奈尔大学）
本文研究了在三球上构建具有双扭的拉夫斯网络，该网络是600胞的子集，并探讨其与三维空间中著名srs拉夫斯网络结构的关系。
2026-04-14 cond-mat.soft math-ph math.MG
Asymmetric polygons with maximum area
我们说一个内接于圆的多边形是不对称的，如果它不包含两个作为直径端点的对径点。给定圆的$n$直径和正整数$k<n$，本文讨论了以给定直径的端点$k<n$为顶点的最大面积非对称$k$边形的计算问题.这种类型的多边形的研究是出于民族音乐学的应用。
2015-01-30 cs.CG math.CO math.MG
Mono-monostatic polyhedra with uniform point masses have at least 8 vertices
凸多面体的单站性质（即只有一个稳定或不稳定的静态平衡点的性质）一直是研究的焦点，因为康威和盖伊发表了第一个这样的对象存在的证明，其次是Bezdek和Reshetov的结构。这些示例将$F\leq 14, V\leq 18$建立为用于均匀单稳定多面体的最小数目的面和顶点的相应\emph{upper bounds}。Conway和Guy通过证明不存在单稳定的齐次四面体，建立了与$F, V \geq 5$相同的面数和顶点数的下界，并对单不稳定的情形建立了相同的下界。同样清楚的是，$F,V \geq 5$边界也适用于凸的、在每个点处具有单位质量的齐次点集（也称为多面体0-骨架），并且它们也适用于具有恰好一个稳定的和一个不稳定的平衡点（齐次骨架和0-骨架）的单-单静态多面体。在这里，我们提出了一个算法，我们提高了下界$V\geq 8$顶点（意味着$f \geq 6$面）单不稳定和单单稳定0-骨架。我们的算法似乎不太适合计算单稳定性的下界。我们指出这些困难与工作的道森和Finbow谁探讨了单稳态属性的简单在更高的层面。
2021-03-23 cs.CG math.MG
