Alexander I. Bobenko, Sebastian Heller, Nicholas Schmitt
We describe the construction of CMC surfaces with symmetries in $\mathbb S^3$ and $\mathbb R^3$ using a CMC quadrilateral in a fundamental tetrahedron of a tessellation of the space. The fundamental piece is constructed by the generalized Weierstrass representation using a geometric flow on the space of potentials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
For a manifold with an affine connection, we prove formulas which infinitesimally quantify the gap in a certain naturally defined open geodesic quadrilateral associated to a pair of tangent vectors $u$, $v$ at a point of the manifold. We show that the 1st order infinitesimal obstruction to the quadrilateral to close is always zero, the 2nd order infinitesimal obstruction to the quadrilateral to close is $-T(u,v)$ where $T$ is the torsion tensor of the connection, and if $T = 0$ then the 3rd order infinitesimal obstruction to the quadrilateral to close is $(1/2)R(u,v)(u+v)$ in terms of the curv…
The square-peg problem asks if every Jordan curve in the plane has four points which are the vertices of a square. The problem is open for continuous Jordan curves, but it has been resolved for various regularity classes of curves between continuous and $C^1$-smooth Jordan curves. Here, in a generalization of the square-peg problem, we consider embedded curves in space, and ask if they have inscribed quadrilaterals with equal sides and equal diagonals. We call these quadrilaterals "square-like". We give a regularity class (finite total curvature without cusps) in which we can prove that every …
Graphs with positive Lin-Lu-Yau curvature without quadrilaterals
本文研究了无四边形且具有正Lin-Lu-Yau曲率的图，分类了特定结构的图，包括环、友谊图和佩特森图的线图。
Minimal surfaces over the Pitot quadrilaterals
本文提出了一种构造Pitot四边上Scherk型极小图的方法，通过调和映射和Weierstrass数据，得到具有特定高斯映射和高度函数行为的极小图，并证明了其曲率最大化性质。
Curvature line parametrization from circle patterns
本文研究了曲率线光滑网和光滑共轭网分别用具有无穷小四边形的离散网（圆形网和平面四边形网）的局部和全局逼近。结果表明，在光滑曲面上选取离散网格的点，可以获得全局二阶逼近。还给出了一种近似确定光滑曲面主方向的简单尺规作图法。
Toric geometry of convex quadrilaterals
本文给出了凸标号四边形上Abreu方程的一个显式解。这证实了Donaldson在这种特殊情况下的一个猜想，并暗示了在[6，22，14]中构造的显式复曲面Kähler-Einstein和复曲面Sasaki-Einstein度量的完整分类。作为副产品，我们得到了丰富的极端环面（复杂）的轨道曲面，包括Kähler-Einstein的，并证明了一个环面轨道曲面与4个不动点的环面行动，Futaki不变的消失是一个充要条件的Kähler度量存在的常数数量曲率。我们的结果还提供了不允许极端度量的相对K-不稳定复曲面轨道表面的明确例子。
Simply-connected minimal surfaces with finite total curvature in $\H^2\times\R$
Laurent Hausperth和Harold Rosenberg在$\H^2\times\R$中发展了具有有限全曲率的极小曲面理论。他们证明了这样一个曲面的全曲率必须是$-2π$的非负整数倍.在这方面出现的第一个例子是垂直测地平面和Scherk极小图理想多边形域。最近还构造了其他非单连通的例子。本文证明了具有$-2π$的全曲率全曲率的$\H^2\times\R$中唯一的完全极小曲面是理想四边形上的Scherk极小图.对于任意整数$k\geq 1$，我们构造了具有全曲率$-4kπ$的嵌入式单连通极小曲面，这些曲面不是理想多边形整环上的Scherk极小图.
Constant mean curvature surfaces from ring patterns: Geometry from combinatorics
本文利用正交相交圆的球填充定义了三维欧几里得和洛伦兹空间中的离散常平均曲率曲面，提出变分原理求解边界值问题，并基于纯组合数据构造经典曲面的离散类比，推广了Koebe多面体的离散极小曲面理论。
We survey the results on fundamental groups of open manifolds with nonnegative Ricci curvature. We also present some open questions on this topic.
Nonnegative curvature, symmetry and fundamental group
证明了平丛的等变变形的一个结果，作为推论，得到了具有无限个基本群的黎曼流形上等距群作用的两个“有限覆盖中的分裂”定理，其中流形是非负里奇曲率的紧致流形或非负截面曲率的完备流形.
On the fundamental group of a complete globally hyperbolic Lorentzian manifold with a lower bound for the curvature tensor
本文研究了某类具有正曲率张量的整体双曲Lorentz流形的基本群。证明了类光测地完备参数化Lorentz乘积的基本群在曲率张量为正和纤维紧的条件下是有限的。
A Curvature Varifold Whose Weak Second Fundamental Form is Not Preserved Under Decompositions
本文构造了一个曲率varifold，证明其无法分解为曲率varifold分量，揭示了弱第二基本形式在分解下的不保持性。
We introduce fourth fundamental form $IV,$ and $i$-th curvature formulas of hypersurfaces in the four dimensional Euclidean geometry ${\mathbb{E}}^{4}$. Defining fourth fundamental form and $i$-th curvatures for hypersurfaces, we calculate them on rotational hypersurface. In addition we study rotational hypersurface satisfying $Δ^{IV}\mathbf{x=Ax}$ for some $4\times 4$ matrix $\mathbf{A.}$
The fundamental group of manifolds of positive isotropic curvature and surface groups
本文研究了具有正迷向曲率的紧致流形（PIC）的拓扑。具有正迷向曲率的非单连通紧致流形有很多例子。证明了具有PIC的紧致黎曼流形的基本群不包含与紧致黎曼曲面的基本群同构的子群。证明使用稳定的极小曲面理论。
On a sharp form of curvature conjecture for minimal graphs
针对单位圆盘上极小图的曲率问题，作者基于高斯曲率严格不等式的证明，改进了Hopf常数估计，并证明对任意单位法向量存在极小图，其原点正上方曲率接近相关Scherk型曲面曲率，强化了经典结果。
The Mean Curvature of the Second Fundamental Form of a hypersurface
给出了半黎曼空间中超曲面的第二基本型面积泛函的一阶变分的表达式。引入了“第二基本型的中曲率“的概念。给出了非本征超球面的曲率的一些特征。
Ricci Curvature, Diameter and Fundamental groups
本文讨论正Ricci曲$n$ -流形的基本群和直径。本文利用一种方法，将Cheeger和Colding关于等变Hausdorff收敛的结果与Ricci形式的分裂定理相结合，给出了具有正里奇曲率的紧致流形拓扑的新信息.此外，我们还得到了流形在里奇曲率下界下的一个弱Margulis引理。
On the fundamental group of steady gradient Ricci solitons with nonnegative sectional curvature
本文证明了具有非负截面曲率的完备稳态梯度Ricci孤立子的基本群要么平凡要么无限，并得出$n$维完备$κ$-非塌缩的此类孤立子必微分同胚于$\mathbb{R}^n$的推论。
Macroscopic dimension and fundamental group of manifolds with positive isotropic curvature
我们证明了一个猜想格罗莫夫的效果，即流形与各向同性曲率有界低于1（后可能重新缩放）是宏观1维的规模大于1。作为结果，我们证明了具有正迷向曲率的紧致流形具有虚自由的基本群。我们的主要技术是仿照唐纳森的版本的Hörmander技术产生（几乎）全纯部分，我们用来构建不稳定的部分。
Compact Manifolds with Unbounded Nilpotent Fundamental Groups and Positive Ricci Curvature
本文构造了一族紧流形，其基本群不是一致几乎交换的，但具有一致正Ricci曲率，从而回答了Kapovitch和Wilking工作遗留的问题。
Fundamental group of compact decent spacetimes with lightlike hypersurface curvature
本文研究带有类光超曲面曲率的紧致正则4维时空的基本群，证明其叶状结构的叶紧致时基本群为多循环群，非全恶性的4维紧致pp波时空也具有多循环基本群。
On the total curvature and extrinsic area growth of surfaces with tamed second fundamental form
本文证明了一个完全的非紧的浸入欧几里得空间中的二次外面积增长的曲面具有有限的全曲率，只要该曲面满足第二基本型且允许全曲率.在这种情况下，我们也得到了一个推广的Chern-Osserman不等式。在非负曲率曲面的特殊情况下，我们证明了如果曲面驯服了第二基本型，则曲面与欧几里德平面同构;如果曲面强驯服了第二基本型，则曲面与欧几里德平面等距.本文的最后一部分刻画了浸入具有极点和径向截面曲率二次衰减的周围空间中的任意驯服的第二基本型子流形的基音。
This paper presents an investigation of the relation between some positivity of the curvature and the finiteness of fundamental groups in semi-Riemannian geometry. We consider semi-Riemannian submersions $π: (E, g) \rightarrow (B, -g_{B}) $ under the condition with $(B, g_{B})$ Riemannian, the fiber closed Riemannian, and the horizontal distribution integrable. Then we prove that, if the lightlike geodesically complete or timelike geodesically complete semi-Riemannian manifold $E$ has some positivity of curvature, then the fundamental group of the fiber is finite. Moreover we construct an exam…
On the Inner Curvature of the Second Fundamental Form of a Surface in the Hyperbolic Space
本文的研究对象是三维双曲空间中具有正定第二基本型的紧致曲面。证明了只有外球面才能满足关于第二基本型高斯曲率的几个条件。
On the fundamental tone of minimal submanifolds with controlled extrinsic curvature
本文的目的是在一定的外曲率限制下得到欧氏空间或双曲空间的极小子流形的基调。给出了Cartan-Hadamard环境流形中的极小子流形的第第二基本型的范数的一些充分条件，这些条件使我们能够得到相同的上、下界.作为一个内在结果，我们得到了Cartan-Hadamard流形体积增长达到McKean给出的基音下界的一个充分条件.
Let M be a Riemannian n-manifold with n greater than or equal to 3. For k between 1 and n, we say M has k-positive Ricci curvature if at every point of M the sum of any k eigenvalues of the Ricci curvature is strictly positive. In particular, one positive Ricci curvature is equivalent to positive Ricci curvature and n-positive Ricci curvature is equivalent to positive scalar curvature. Let G be the fundamental group of the closed manifold M. We say that G is virtually free if G contains a free subgroup of finite index, or equivalently, if some finite cover of M has a fundamental group that is …
Torus actions, almost non-negative curvature and fundamental groups
该研究在对称性假设下，证明了Fukaya-Yamaguchi等人关于几乎非负曲率闭流形基本群的猜想。
Fundamental groups of open manifolds with nonnegative Ricci curvature and universal cover Euclidean volume growth
本研究针对非负Ricci曲率开流形的基本群性质问题，证明了万有覆叠具欧氏体积增长时基本群有限生成且实质上阿贝尔，还将有限生成结论推广到更一般条件，肯定了Pan-Rong猜想。
Nonnegative Ricci curvature, stability at infinity, and finite generation of fundamental groups
本文研究了具有非负里奇曲率的开$n$ -流形$M$的基本群.证明了如果存在一个整数$k$，使得$M$的黎曼泛覆盖的无穷远切锥是一个度量锥，且其最大欧氏因子的维数为$k$，则$π_1(M)$是等距生成的.特别是，这证实了Milnor猜想的流形，其普遍覆盖有欧几里得体积增长和唯一的切锥在无穷远。
Fundamental groups on manifolds with positive isotropic curvature
黎曼几何的一个中心主题是理解黎曼流形的曲率和拓扑之间的关系。正迷向曲率（PIC）是一种自然的、研究较多的曲率条件，它包括具有点间收缩截面曲率的流形和具有正曲率算子的流形。根据Micallef和Moore的结果，具有PIC的紧致单连通流形只有一种拓扑型，即任何这类流形必同胚于球面.另一方面，有一大类具有PIC的非单连通流形。一个重要的未决问题是如何理解这一方向的结果。证明了具有PIC的紧致流形M^n的基本群不包含同构于\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}的子群.所使用的技术涉及极小曲面。
Nonnegative Ricci curvature, small linear diameter growth and finite generation of fundamental groups
1968年，Milnor证明了具有非负里奇曲率的完备非紧流形有一个非负生成的基本群.作者应用Abresch和Gromoll（1990）的过剩定理证明了两个定理。第一个状态，如果这样的流形有小的线性直径增长，那么它的基本群是连续生成的。第二个国家，如果这样的流形有一个无限生成的基本群，然后它有一个切锥在无穷远这是不极性。这两个定理的一个推论是，如果这样的流形具有线性体积增长，那么它的基本群是线性生成的。
Minimal reflection surfaces in $\mathbb S^3.$ Combinatorics of curvature lines and minimal surfaces based on fundamental pentagons
本文研究三维球面中由极小 $n$ 边形逐次反射生成的紧极小反射曲面，分析其曲率线组合结构，并基于五边形构造新实例及讨论面积。
Mean Curvature of the Indicatrix of Finsler Manifold
Finsler流形中的基本函数定义了一个依赖于点和方向的度量。切空间在任何一点都是黎曼空间，而指标面是凸超曲面。本文用基本函数来表示指标体的中曲率。
Compact Mean Convex Hypersurfaces and the Fundamental Group of Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature
证明了在非负里奇曲率的非紧连通完备黎曼n-流形N中存在嵌入的紧致无边界严格正中曲率超曲面S，这意味着由包含所诱导的S和N的基本群之间的同态是满射的，只要N-S有两个连通分支，其中一个分支相对于S具有非紧闭包和平凡同伦.证明的思想是将N看作一个合适的洛伦兹流形中的类空超曲面，然后应用甘农和李关于时空拓扑的某些经典结果的最新版本。作为应用，我们证明了如果N是渐近平坦的，那么它只有一端，并且当n大于3时，N是单连通的。
Positive bisectional curvature, Ricci mass, and the fundamental group
本文证明了正双截曲率完备非紧 Kähler 流形上 Ricci 形式最高次幂积分有限，解决 Yau-Yang 猜想特例，并推论基本群有限，方法为构造有限 Monge-Ampère 质量的多次调和权函数。
Fundamental groups of manifolds with positive sectional curvature and torus symmetry
1965年，S. S.陈省身提出了一个问题，在何种程度上基本群的流形承认积极的截面曲率看起来像球形空间型群体。最初的问题在1998年被Shankar否定地回答，但在对称性的存在下有许多积极的结果。这些分类根据其结论的强度而分为不同的类别。我们给出了一个概述，这些结果的情况下，环面对称性，并证明在这些类别中的每一个新的结果。
Three-manifolds of positive Ricci curvature and convex weakly umbilic boundary
本文考虑具有弱脐边界（边界的第二基本型是度量的常数倍）的三流形。证明了如果初始流形具有正的里奇曲率且边界是凸的（非负的第二基本型），则它的度量可以通过里奇流变形为具有常曲率和全测地边界的度量.
On Loops Representing Elements of the Fundamental Group of a Complete Manifold with Nonnegative Ricci Curvature
本文研究具有非负里奇曲率的完备非紧流形.粗略地说，如果给定任意不可压缩的闭曲线C和任意紧集K，存在包含在M \K中的闭曲线与C同伦，则称M具有无穷大循环性质.本文的主要定理如下。定理I：若M具有正的里奇曲率，则它具有无穷大环性质.定理二：若M具有非负里奇曲率，则它要么具有无穷大环性质，要么等距于紧致全测地子流形上的平坦法丛，且其双覆盖是分裂的.定理三：设M是完备的黎曼流形，M具有从点p开始的沿某条射线到无穷远的环，D是包含点p的具有光滑边界的预紧区域，S是射线上包含点q的边界的任意连通分支.则由包含映射导出的从S的以q为基的基本群到Cl（D）的以p为基的基本群的映射为上。
Nonnegative Ricci Curvature, Euclidean Volume Growth, and the Fundamental Groups of Open $4$-Manifolds
本文研究具有非负Ricci曲率的4维开流形，证明当万有覆盖具有欧氏体积增长时基本群有限生成，从而证实Pan-Rong猜想在n=4时成立，并进一步刻画了基本群的代数结构。
Rigidity of amalgamated product in negative curvature
设$Γ$是截面曲率上界为-1的紧致n维黎曼流形X的基本群。我们假设$Γ$是它的子群A和B在合并子群C上的自由积。证明了C的临界指数$δ(C)$满足$δ(C) \geq n-2$ .当且仅当在X中存在一个嵌入的紧致超曲面Y，它是全测地的，具有常截面曲率-1，具有基本群C，并且它将X分成两个连通分支，这两个连通分支的基本群是A和B。如果$Γ$是HNN扩展，或者更一般地，如果$Γ$作用于没有不动点的单纯树，则类似的结果成立。
Fundamental Groups of Spaces with Bakry-Emery Ricci Tensor Bounded Below
首先将Cheeger-Colding几乎分裂定理推广到光滑度量测度空间。利用几乎分裂定理的扩展证明了如果一个光滑测度空间具有几乎非负的Bakry-Emery里奇曲率和一个体积下界，那么它的基本群是几乎阿贝尔群。其次，若光滑度量测度空间的Bakry-Emery里奇曲率下有界，则基本群的生成元个数一致有界.这些结果是对具有里奇曲率的黎曼流形的下有界定理的推广。
Eigenvalue Estimates for submanifolds of $N \times \mathbb{R}$ with locally bounded mean curvature
本文给出了$ N \times \mathbb{R}$中局部有界中曲率子流形开集基音的下界，其中$N$是具有径向截面曲率的$n$维完备黎曼流形$K_{N} \leq κ$ .当浸入最小时，我们的估计是尖锐的。我们还证明了圆柱有界极小曲面具有正的基调。
On the Ricci curvature of normal metrics on Biquotients
证明了具有有限基本群的闭双商上的任意正规度量都具有正的里奇曲率.
Finite generation of fundamental groups for manifolds with nonnegative Ricci curvature whose universal cover is almost $k$-polar at infinity
本文证明非负 Ricci 曲率完备开流形在万有覆盖满足几乎 $k$-极条件时基本群有限生成且几乎阿贝尔，并在几乎最大体积增长时形变收缩到平坦流形。
Metrics of positive Ricci curvature on quotient spaces
本文证明了具有有限基本群的闭双商存在正里奇曲率度量。又设M是一个闭流形，紧李群G以上齐次李群作用在M上，L是G的一个自由作用在M上的闭子群.我们表明，商N：= M/L进行度量的非负Ricci和几乎非负截面曲率。此外，若N有有限个基本群，则N也容许正的里奇曲率度量.特别的例子包括具有有理上同调环的单连通流形的无限族和复和四元数射影空间的积分同调。
The Gauss map and second fundamental form of surfaces in a Lie group
本文给出了具有给定Gauss映射和正外曲率的可定向单连通曲面到单模李群的等距浸入存在的可积性条件。特别是，我们讨论的情况下，当李群是欧几里德单位球$\mathbb{S}^3$和建立之间的对应关系的简单连接的表面具有外部曲率$K$，$K$从0和-1，沉浸在$\mathbb{S}^3$与简单连接的表面具有非零外部曲率沉浸在欧几里得空间$\mathbb{R}^3$。此外，我们还证明了等距浸入$\mathbb{S}^3$中的曲面具有正的常外曲率当且仅当其高斯映射是到黎曼球面的调和映射。
Note on the backwards uniqueness of mean curvature flow
本文给出了任意余维有界第二基本型的中曲率流的向后唯一性定理。
Pinching estimates for negatively curved manifolds with nilpotent fundamental groups
设$M$是$[-a^2,-1]$中截面曲率的完备黎曼度量，其基本群包含有限指数的$k$ -步幂零子群.证明了$a\ge k$回答了M.格罗莫夫此外，我们表明，对于任何$ε>0$，流形$M$承认一个完整的黎曼度量的截面曲率内$[-(k+ε)^2,-1]$。
Caccioppoli's inequalities on constant mean curvature hypersurfaces in Riemannian manifolds
这是一个修订版本（微小的变化和更深入的了解，在正曲率的情况下）。证明了黎曼流形中完备的、非紧的、有限指标的、常中曲率超曲面的第第二基本型的无迹部分的Caccioppoli不等式，并满足一定的曲率条件.这使我们能够统一和澄清许多分散在文献中的结果，并获得一些新的结果。例如，我们证明了在${\mathbb R}^{n+1},$中不存在稳定的、完备的、非紧的具有常中曲率的超曲面$H\not=0,$，只要对适当的${\mathbb R}^{n+1},$，第二基本型的无迹部分的$L^p$ -范数满足某种增长条件。
Scalar Curvature, Injectivity Radius and Immersions with Small Second Fundamental Forms
本文在 spin 条件及 n≤8 限制下，研究正标量曲率流形的单射半径、光滑浸入的焦半径以及区域平均曲率的拓扑下界。
On the fundamental tone of immersions and submersions
本文给出了具有有界中曲率的完备子流形上Laplace-Beltrami算子谱的下界估计，该子流形的周围空间允许具有负截面曲率的黎曼流形上的李曼浸入。我们的主要定理推广了许多以前已知的估计，并适用于浸入和淹没。
On submanifolds with recurrent second fundamental form in spaces of constant curvature
本文给出了常曲率空间M（c）中具有递归非平行第二基本型的n维子流形F的完全局部分类和几何描述.
Nonnegative Ricci curvature, almost stability at infinity, and structure of fundamental groups
本文研究非负Ricci曲率开流形的基本群，在万有覆盖无穷远切锥截面几乎稳定的条件下，证明基本群有限生成且含有限指数正规阿贝尔子群，并给出指数上界。
Kaehler submanifolds with parallel pluri-mean curvature
本文研究了一类Kähler子流形$M \subset \R^n$的局部几何，它推广了常中曲率曲面.中曲率矢量的作用由第二基本形式$α$的$(1,1)$-部分（即$dz_id\bar z_j$-分量）发挥，我们称之为多中曲率。我们证明了这些Kähler子流形的特征在于存在一个相关的具有旋转第二基本型的等距子流形族。特别感兴趣的是各向同性的情况下，这个相关的家庭是平凡的。我们还研究了相应的高斯映射是多重调和的性质。
On the topology of manifolds with nonnegative Ricci curvature and linear volume growth
本文研究非负 Ricci 曲率与线性体积增长的开流形，证明其基本群含有限指数子群 $\mathbb{Z}^k$，且正 Ricci 曲率下基本群有限。
Curvature in Synthetic Differential Geometry of Groupoids
本文在综合微分几何的框架下研究了群胚中曲率的基本性质。通常在综合微分几何，它的组合性质强调。特别地，经典的Bianchi恒等式是从它的组合恒等式推导出来的。
Boundary estimates for the Ricci flow
本文考虑了具有边界流形上的里奇流，并对其中曲率和共形类进行了适当的控制。我们得到了高阶估计的曲率和第二基本型附近的边界，类似于施的局部导数估计。作为应用，我们证明了Hamilton紧性定理的一个版本，其中极限有界。最后，我们表明，在三维的第二基本型的边界及其衍生物的先验控制的环境曲率和一些非崩溃的假设。特别地，只要曲率保持有界，流动就存在，这与还需要对第二基本型进行控制的一般情况相反。
Minimal hypersurfaces in $\mathbb{S}^5$ with vanishing Gauss-Kronecker curvature
本文给出了$\mathbb{S}^5$中Gauss-Kronecker曲率为零、$3$ -中曲率、第二基本型无处为零的完备极小超曲面的局部刻划.
We construct a sequence of smooth minimizing surfaces in a sequence of metrics converging to the standard Euclidean metric, so that they have diverging $L^2$ norm of second fundamental form.
In this paper we establish conditions on the length of the traceless part of the second fundamental form of a complete constant mean curvature hypersurface immersed in a space of constant sectional curvature in order to show that it is totally umbilical.
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