All-Pairs 2-Reachability in $\mathcal{O}(n^ω\log n)$ Time
在$2$ -可达性问题中，我们给出了一个有向图$G$，我们希望确定对于给定的一对顶点$u$和$v$，从$u$到$v$是否有两条（边或顶点）不相交的路径。在本文中，我们提出了一个算法，计算$2$ -可达性信息的所有对顶点在$\mathcal{O}(n^ω\log n)$时间，其中$n$是顶点的数量和$ω$是矩阵乘法指数。因此，我们表明，所有对$2$ -可达性的运行时间仅在传递闭包的$\log$因子内。此外，我们的算法产生一个见证人（即，分离边或分离顶点），其中$2$ -可达性不成立。通过处理这些见证，我们可以在$\mathcal{O}(n^2)$额外的时间内计算$G$的所有边和顶点支配树，这反过来又使我们能够在$\mathcal{O}(1)$时间内回答各种连接查询。例如，我们可以在恒定时间内测试，对于任何一对查询顶点$u$和$v$以及任何查询边$e$，是否存在从$u$到$v$的避开边$e$的路径，或者对于任何查询顶点$u$、$v$和$w$，是否存在从$u$到$v$的避开顶点$w$的路径。
2017-07-26 cs.DS
A Brief Note on Single Source Fault Tolerant Reachability
令$G$是具有$n$顶点和$m$边的有向图，并且令$s \in V(G)$是指定的源顶点。我们考虑了边（或顶点）失效情况下$s$的单源可达性（SSR）问题。形式上，如果$G$的生成子图$H$具有以下性质，则它是{ \em $k$ -容错可达性子图（$k$-FTRS）}。对于$G$中至多$k$边（或顶点）的任何集合$F$，以及对于任何顶点$v\in V(G)$，顶点$v$从$G-F$中的$s$可达当且仅当它从$H - F$中的$s$可达。Baswana等人[STOC 2016，SICOMP 2018]表明，在上述设置中，对于任何正整数$k$，我们可以计算具有$2^k n$边的$k$ -FTRS。在本文中，我们给出了一个简单得多的算法计算$k$-FTRS，并观察到，它扩展到更高的连通性以及。我们的研究结果遵循一个简单的应用程序的\emph{important separators}，一个众所周知的技术参数化的复杂性。
2019-04-17 cs.DS
Directed Reachability-Preserving Minimum Edge Cut: Approximation and Planar Hardness
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究有向三终端保持可达性的最小边割问题，提出基于根线性近似的O(√r)近似算法，并证明有向平面版本是NP难的。
2026-06-17 cs.CC cs.DS
$\tilde{O}(n^{1/3})$-Space Algorithm for the Grid Graph Reachability Problem
有向图可达性问题将$n$ -顶点有向图$G=(V,E)$以及两个区别的顶点$s$和$t$作为输入。问题是确定在$G$中是否存在从$s$到$t$的路径。这是NL类的典型完全问题。Asano等人提出了一种求解有向网格和平面图可达性问题的$\tilde{O}(\sqrt{n})$空间和多项式时间算法。本文的主要结果是证明了仅用$\tilde{O}(n^{1/3})$空间就可以在多项式时间内解决限制于格图的有向图可达问题。
2019-09-20 cs.DS
Õptimal Fault-Tolerant Labeling for Reachability and Approximate Distances in Directed Planar Graphs
本研究提出一种针对有向加权平面图的$\tilde O(1)$大小容错标记方案，可仅通过三个顶点的标记在$\tilde O(1)$时间内求解单故障下的$(1+\u03b5)$近似距离查询，填补了该领域此前无高效方案的空白，且优于可达性问题原有的集中式预言机结果。
2025-03-24 cs.DC cs.DS
Optimal labelling schemes for adjacency, comparability, and reachability
对于每个包含$2^{Ω(n^2)}$ $n$ -顶点图为$n\to \infty$的遗传类，我们构造了渐近最优的邻接标号方案.该政权包含许多类的兴趣，例如完美的图形或可比性的图形，我们获得了一个邻接标签计划的标签$n/4+o(n)$位每个顶点。这意味着每个顶点具有$n/4+o(n)$位标签的有向图的可达性标签方案和每个元素具有$n/4+o(n)$位标签的偏序集的可比性标签方案的存在。所有这些结果都是最好的，直到低阶项。
2021-06-03 cs.DS math.CO
Fully Dynamic Single-Source Reachability in Practice: An Experimental Study
给定一个有向图和一个源顶点，全动态单源可达性问题是维护从给定顶点可达的顶点集，受边删除和插入。它是图中最基本的问题之一，直接或间接地出现在许多不同的应用中。虽然已经有关于这个问题的理论工作，显示了完全动态问题的线性条件下界和仅插入和仅删除的上界击败这些条件下界，但还没有实验研究比较完全动态可达性算法在实践中的性能。以前的实验研究在这方面只集中在更一般的所有对可达性或传递闭包问题，并没有使用真实世界的动态图。在本文中，我们弥合这一差距的经验研究了一套广泛的算法的单源可达性问题的完全动态设置。特别是，我们设计了几个完全动态的变种，众所周知的方法来获得和维护可达性信息相对于一个杰出的来源。此外，我们扩展了现有的插入或删除只有上界到全动态算法。即使我们评估的所有完全动态算法的每次操作的最坏情况时间至少在图中的边的数量上是线性的（正如预期的那样，给出了条件下界），我们在我们广泛的实验评估中表明，它们的性能差异很大，无论是在生成的还是在真实世界的实例上。
2020-02-03 cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Pairwise Reachability Oracles and Preservers under Failures
在本文中，我们认为可达性预言和可达性的有向图/网络容易边缘/节点故障。设$G = (V, E)$是$n$ -节点上的有向图，$P\subseteq V\times V$是$G$中的顶点对的集合.我们提出了第一个非平凡的单和双容错的两两可达的查询时间恒定的Oracle建设。此外，我们提供了极端的界限稀疏容错可达性的可达性，弹性两个或更多的失败。在这项工作之前，这种预言和可达性转换器被广泛研究的特殊情况下，单源和所有对设置。然而，对于任意对的情况，除了从单源设置中隐含的那些结果之外，对于双重（或更多）故障没有已知的先前（非平凡）结果。其中一个主要问题是，是否有可能超越可达性oracle的$O(n |P|)$大小限制（从单源设置中导出）和双重故障的可达性设置（或$k$故障的$O(2^k n|P|)$限制）。我们肯定地回答这个问题。
2021-10-22 cs.DS
Efficient Dynamic Approximate Distance Oracles for Vertex-Labeled Planar Graphs
设$G$是一个图，其中每个顶点都与一个标签相关联。顶点标记的近似距离Oracle是一种数据结构，其在给定顶点$v$和标记$λ$的情况下，返回从$v$到$G$中具有标记$λ$的最近顶点的距离的$(1+\varepsilon)$近似。如果这样的oracle也支持标签更改，则它是动态的。在本文中，我们提出了三个不同的动态近似顶点标记的距离预言机平面图，所有的多对数查询和更新时间，和近线性空间的要求。
2017-08-27 cs.DS
Linear-time approximation schemes for planar minimum three-edge connected and three-vertex connected spanning subgraphs
我们提出了第一个多项式时间近似方案，即，对任意常数ε > 0，给出了无向平面图的最小三边连通生成子图问题和最小三点连通生成子图问题的（1 + ε）-近似算法.两种近似方案都在线性时间内运行。
2017-01-28 cs.DS
Efficient Vertex-Label Distance Oracles for Planar Graphs
我们考虑顶点标记平面图中的距离查询。对于任何固定的$0 < ε\leq 1/2$，我们展示了如何将具有顶点标签和弧长的有向平面图预处理成回答以下形式的查询的数据结构。给定顶点$u$和标签$λ$，返回$(1+ε)$ -从$u$到具有标签$λ$的最近顶点的距离的近似值。对于具有$n$顶点的有向平面图，使得最大弧长与最小弧长的比率由$N$界定，预处理时间为$O(ε^{-2}n\lg^{3}{n}\lg(nN))$，数据结构大小为$O(ε^{-1}n\lg{n}\lg(nN))$，并且查询时间为$O(\lg\lg{n}\lg\lg(nN) + ε^{-1})$。我们还指出，本文的早期版本中建议的无向平面图的顶点标签距离预言是不正确的。
2017-12-16 cs.DS
Designing Practical PTASes for Minimum Feedback Vertex Set in Planar Graphs
我们提出了两个算法的最小反馈顶点集问题的平面图：一个$O(n \log n)$ PTAS使用线性核和平衡分离器，和一个启发式算法使用核化和局部搜索。我们实现了这些算法，并将其性能与Becker和Geiger的2-近似算法进行了比较。我们观察到，虽然我们的PTAS是有竞争力的2-近似算法的大平面图，其运行时间要长得多。我们的启发式算法在大多数大型平面图上的性能优于2-近似算法，并提供了运行时间和解质量之间的折衷，即“PTAS行为”。
2018-04-21 cs.DS
A deterministic polynomial kernel for Odd Cycle Transversal and Vertex Multiway Cut in planar graphs
我们表明，奇循环transmittance和顶点多路切割承认确定性多项式核时，限制到平面图和参数化的解决方案的大小。这就回答了索拉布的一个问题。在获得这些结果的过程中，我们提供了一个高效的稀疏化例程，其风格类似于用于平面图中施泰纳树问题的稀疏化例程（FOCS 2014）。它与以前的工作不同，因为它保留了低成本子图的存在，这些子图不一定是原始平面图中的Steiner树，而是在添加位于公共面上的顶点对之间的所有边后变成Steiner树的结构。我们还展示了顶点多路切割和顶点平面化问题之间的联系，其中多项式核的存在仍然是一个重要的开放问题。
2018-12-12 cs.DS
Near-Optimal Distance Oracles for Vertex-Labeled Planar Graphs
给定一个无向$n$ -顶点平面图$G=(V,E,ω)$，它具有非负边权函数$ω:E\rightarrow \mathbb R$，并给每个顶点分配一个标签，顶点标记距离oracle是一个数据结构，它对于由顶点$u$和标签$λ$组成的任何查询报告从$u$到最近的具有标签$λ$的顶点的最短路径距离。我们证明了，如果有一个距离预言机的无向$n$ -顶点平面图与非负边权重使用$s(n)$空间和查询时间$q(n)$，那么有一个顶点标记的距离预言机与$\tilde{O}(s(n))$空间和$\tilde{O}(q(n))$查询时间。使用Long和Pettie的最先进的距离预言机，我们的构造产生了一个顶点标记的距离预言机，在一个极端使用$n^{1+o(1)}$空间和查询时间$\tilde O(1)$，在另一个极端使用$\tilde O(n)$空间和$n^{o(1)}$查询时间，以及在他们的论文中获得的空间和查询时间之间的充分权衡的预言机。这是平面图的第一个非平凡的精确顶点标记距离预言机，据我们所知，对于任何有趣的图形类以外的树。
2021-09-30 cs.DS
Join-Reachability Problems in Directed Graphs
对于给定的有向图集合G，我们定义G的可并可达图J（G）为：对于任意一对顶点a和b，G的有向图J（G）包含一条从a到b的路当且仅当G的所有图中都存在这样一条路。我们的目标是计算J（G）的有效表示。特别是，我们考虑这个问题的两个版本。在显式版本中，我们希望构造G的最小可达图。在隐式版本中，我们希望建立一个有效的数据结构（在空间和查询时间方面），使得我们可以快速报告所有图中到达查询顶点的顶点集。这个问题与研究充分的可达性问题有关，并受到图结构数据库和图算法的新兴应用的启发。我们考虑两个图的连接可达性结构的建设和开发技术，可以应用到显式和隐式的问题。首先，我们提出了最佳和接近最佳的结构路径和树。然后，基于这些结果，我们提供了有效的结构，平面图和一般有向图。
2010-12-22 cs.DS
A Note on Fault Tolerant Reachability for Directed Graphs
本文描述了低高阶在容错网络设计中的应用。Baswana等人[DISC 2015]研究了以下可达性问题。我们给出了一个流图$G = (V, A)$，其起始点为$s$，生成树$T =(V, A_T)$以$s$为根。如果$G$的子图$G' = (V, A_T \cup A')$与$G$具有相同的支配者，我们称弧集$A'$有效。我们的目标是找到一个有效的最小尺寸集。Baswana等人给出了一个在$O(m \log{n})$时间内计算最小有效集的$O(m \log{n})$时间算法，其中$n = |V|$和$m = |A|$ .在这里，我们提供了一个简单的$O(m)$时间算法，它使用$G$的支配树$D$和它的低-高阶。
2015-11-24 cs.DS
A tight lower bound for Vertex Planarization on graphs of bounded treewidth
在顶点平面化问题中，要求从输入图中删除尽可能少的顶点以获得平面图。这个问题的参数化的复杂性，参数化的解决方案的大小（删除顶点的数量）最近引起了极大的关注。Jansen、Lokshtanov和Saurabh [SODA 2014]的最新算法在$n$ -顶点图上按时间$2^{O(k \log k)} \cdot n$运行，其解大小为$k$。如果可以在运行时间范围内获得对$k$的单指数依赖性，则它仍然是开放的。Jansen、Lokshtanov和Saurabh的工作的核心技术贡献之一是一种算法，该算法在树宽$w$的图上求解顶点平面化的加权变体$2^{O(w \log w)} \cdot n$。在这个简短的说明中，我们证明了这个例程的运行时间在指数时间假设下是紧的，即使是在未加权的图中，也可以通过树深度进行参数化。因此，它是不可能的，一个潜在的单指数算法的顶点平面化参数化的解决方案的大小可以通过仅仅改善上述有界树宽子程序。
2015-11-26 cs.DS
A Polynomial Kernel for Planar Directed Feedback Vertex Set
本文解决了平面有向反馈顶点集问题的多项式核开放问题，提出确定性核算法，通过结构归约、平面偶图压缩和有向割论证，得到$O(k^{66}\log^2 k)$大小的核。
2026-11-04 cs.DS
Minimizing Reachability Times on Temporal Graphs via Shifting Labels
研究通过移动时序图中的连接来加速信息传播，最小化源到达所有顶点的最大时间；证明受限更改时NP难，无限制时单源多项式、双源NP难，并给出FPT算法及多类图的多项式算法。
2025-10-08 cs.DS
Worst-case Deterministic Fully-Dynamic Planar 2-vertex Connectivity
我们研究动态平面图的$n$顶点，受到边删除，边收缩，边插入面，和分裂的顶点在指定的角落。我们动态地保持这样一个平面图的组合嵌入，受到连接和$2$ -顶点连接（双连接）对顶点之间的查询。当一个查询对是连通的而不是双连通的时，我们会找到第一个和最后一个割顶点来分隔它们。此外，我们允许通过翻转由至多两个顶点连接到图的其余部分的子图的嵌入来对嵌入进行局部改变。我们使用$O(n)$大小的数据结构，支持在确定性、最坏情况、$O(\log^2 n)$时间内的所有查询和更新。在此之前，全动态平面双连通性（受我们的操作集）的最佳界限是一般图的摊销$\tilde{O}(\log^3 n)$，并且具有最坏情况的多对数更新时间的算法仅在部分动态（仅插入或仅删除）设置中已知。
2022-09-28 cs.DS
(1+epsilon)-Distance Oracle for Planar Labeled Graph
给定一个顶点标记的图，每个顶点$v$都附加有一个来自一组标签的标签。顶点标签查询需要从给定顶点到具有给定标签的顶点集合的最短路径的长度。如果给定的图是平面的，我们将展示如何构造一个预言机，这样就需要$O(\frac{1}εn\log n)$存储空间，并且任何顶点标签查询都可以在$O(\frac{1}ε\log n\log ρ)$时间内用拉伸$1+ε$来回答。$ρ$是给定图的半径，它是直径的一半。对于$ρ= O(\log n)$的情况，我们构造了一个Oracle，在不改变存储空间顺序的情况下，实现了$O(\log n)$的查询时间。
2012-01-31 cs.DS
On Solving Reachability in Grid Digraphs using a Psuedoseparator
本文针对网格有向图可达性问题，提出一种基于新型伪分离器的分治算法，将空间复杂度从既有最优的Õ(n^{1/3})进一步降至O(n^{1/4+ε})，同时保持多项式时间。
2024-12-31 cs.CC cs.DS
Restless reachability problems in temporal graphs
该研究针对时态图和顶点着色时态图中受等待时间限制的可达性问题，提出基于约束多线性筛选的代数算法框架，在O(2^k k m Δ)时间和O(n Δ)空间内解决问题，且算法最优，可扩展至10亿条时态边的大型图。
2024-12-03 cs.DC cs.DS
Multi-Source Reachability in Near-Optimal Time
Weizmann Institute（魏茨曼科学研究所）
针对有向图多源可达性问题，提出近最优确定性算法，在$\tilde{O}(n^{\omega(\sigma)})$时间内计算可达集，突破了超二次时间障碍。
2026-06-25 cs.DS
Towards single face shortest vertex-disjoint paths in undirected planar graphs
给定图$G$中的终端$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$的$k$对，最小和$k$顶点不相交路径问题是找到具有最小总长度的顶点不相交路径的集合$\{Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}\}$，其中$Q_{i}$是$s_i$和$t_i$之间的$s_i$到$t_i$的路径。我们考虑的问题，在平面图中，很少有人知道计算的易处理性，即使在限制的情况下。Kobayashi和Sommer提出了无向平面图中$k \le 3$的多项式时间算法，假设所有终端最多与两个面相邻。Colin de Verdiere和Schrijver给出了一个多项式时间算法，当所有的源都在一个面的边界上，所有的汇都在另一个面的边界上，并询问是否存在多项式时间算法，只要所有的终端都在一个公共面上。当$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$在一个公共面上按逆时针方向排列时，我们给出了无向平面图的$O(kn^5)$时间算法.
2015-07-21 cs.DS
Obtaining a Planar Graph by Vertex Deletion
在k-Apex问题中，任务是找到最多k个顶点，其删除使给定的图平面。存在解的图构成了一个小闭图类，因此根据Robertson和Seymour的深入结果，对于k的每一个固定值都有一个O（n^3）时间算法。然而，证明是极其复杂的，大O符号隐藏的常数是巨大的。在这里，我们给出了一个简单得多的算法，这个问题的二次运行时间，通过迭代减少输入图，然后应用技术的图形有界树宽。
2008-12-29 cs.DS
Testing Simultaneous Planarity when the Common Graph is 2-Connected
两个平面图G1和G2共享一些顶点和边是“同时平面的”，如果它们有平面图，使得共享的顶点[边]在两个图中由相同的点[曲线]表示。同时平面性的有效检验是一个悬而未决的问题。当两个图共享一个2-连通子图时，我们给出了一个线性时间算法来检验同时平面性。我们的算法扩展到k平面图的情况下，每个顶点[边]是共同的所有图形或属于其中之一。
2011-12-09 cs.DS
Maximum Integer Flows in Directed Planar Graphs with Multiple Sources and Sinks and Vertex Capacities
我们考虑在顶点和边都有容量的平面图中寻找最大流的问题，并考虑多个源和汇。当容量为整数时，我们提出了三种算法。第一个算法运行在$O(n \log^3 n + kn)$时间时，所有的能力是有界的，其中$n$是在图中的顶点的数量和$k$是终端的数量。该算法首次解决了当$k$有界但大于2时的近线性时间内的顶点不相交路径问题。第二种算法在$O(k^2(k^3 + Δ) n \text{ polylog} (nU))$时间内运行，其中$U$是单个顶点的最大有限容量，$Δ$是顶点的最大度。最后，当$k=3$，我们提出了一个算法，运行在$O(n \log n)$时间，该算法的工作，即使当容量是任意实数。我们的算法提高了最快的以前已知的算法时，$k$和$Δ$是小的$U$是有界的多项式在$n$。在此结果之前，最快的算法在$O(n^2 / \log n)$时间内运行的实际容量和$O(n^{3/2} \log n \log U)$的整数容量。
2021-05-24 cs.DS
The Price of Universal Temporal Reachability
LIP6, CNRS, Sorbonne Université（巴黎第六大学国家科学研究中心）；Department of Informatics, Kyushu University（九州大学信息学系）
本文研究动态网络中的时间可达性问题，发现其无序价格与顶点数成正比，与静态网络的常数价格形成对比。
2026-10-26 cs.DS
Faster Algorithm for Maximum Flow in Directed Planar Graphs with Vertex Capacities
本文给出了一个计算平面图中最大整数流的$O(k^3 n \log n \min(k,\log^2 n) \log^2(nC))$ -时间算法，该平面图的整弧{ \em和顶点}容量由$C$和$k$源和汇限定.这比之前已知的用于该问题的最快算法提高了$\max(k^2,k\log^2 n)$倍[Wang，SODA 2019]。加速比是由两个独立的想法。首先，我们用$k$顶点替换Wang的迭代过程，该迭代过程使用用于平面图中的最大流算法的$O(k^3 n \log^3 n)$ -时间算法的$O(k)$调用[Borradaile等人，FOCS 2012，SICOMP 2017]，通过仅调用Borradaile等人的算法的替代过程。其次，我们展示了两种用于计算$k$ -顶点图中的流的替代方案，这些图在我们对Wang的过程的修改中出现，比Borradaile等人的算法更快。本文介绍并分析了Goldberg和Tarjan [JACM 1988]的并行最大距离推重标记算法的一种顺序实现。
2021-08-12 cs.DS
Connectivity Oracles for Planar Graphs
本文研究平面图的动态子图连通性问题。在这个模型中，有一个固定的底层平面图，其中每个边和顶点要么是“关闭”（失败），要么是“打开”（恢复）。我们希望回答关于“on”子图的连通性查询。该模型有两个自然变体，一个是在所有连接查询之前存在$d$边/顶点故障，另一个是故障/恢复和查询混合在一起。我们提出了一个$d$ -故障连通性甲骨文平面图，处理任何$d$边/顶点故障在$sort(d,n)$时间，使连接查询可以回答在$pred(d,n)$时间。(Here $sort$和$pred$是在大小为$d$的$[n]$子集上进行整数排序和整数前导搜索的时间。）我们的算法有两个离散部分。第一个算法是针对三连通平面图的。它利用了巴内特定理，该定理指出每个三连通平面图都包含一个3度生成树。第二部分是从一般平面图到三连通平面图的一般约化。此外，我们的算法是可证明的最佳。Patrascu和Thorup关于前趋搜索的下限的含义是没有$d$ -故障连通性预言机（甚至在树上）可以击败$pred(d,n)$查询时间。我们将我们的算法扩展到子图连接模型，其中边/顶点故障（但没有恢复）与连接查询混合在一起。在三连通平面图中，每个故障和查询都在$O(\log n)$时间内处理（摊销），而在一般平面图中，两个边界都变成了$O(\log^2 n)$。
2012-04-23 cs.DS
A Linear Kernel for Planar Red-Blue Dominating Set
在红-蓝支配集问题中，给定一个二分图$G = (V_B \cup V_R,E)$和一个整数$k$，并询问$G$是否有一个至多由$k$个“蓝”顶点组成的子集$D \subseteq V_B$，使得来自$V_R$的每个“红”顶点与$D$中的一个顶点相邻.我们提供了第一个明确的线性核这个问题的平面图，最大的$43k$的大小。
2017-04-28 cs.DS
Maximum Flow in Directed Planar Graphs with Vertex Capacities
在本文中，我们提出了一个O（nlog n）的算法寻找一个最大流的有向平面图，其中的顶点是受容量约束，除了弧。如果源和宿在同一个面上，那么我们的算法可以在O（n）时间内实现。对于一般（非平面）图，顶点容量不会使问题变得更困难，因为有一个简单的减少，消除顶点容量。然而，这种减少并不能保持图形的平面性。我们算法的本质是一种不同的约简，它确实保留了平面性，并且可以在线性时间内实现。对于无向平面图的特殊情况，最近有人提出了一个具有相同时间复杂度的算法，但我们指出它存在一个缺陷。
2009-05-04 cs.DM cs.DS
Single-Exponential Algorithms for Directed Feedback Vertex Set on Planar Digraphs
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（马哈拉施特拉邦数学科学研究所，HBNI）；University of Bergen（卑尔根大学）；New York University Shanghai（纽约大学上海校区）
针对平面有向图上的有向反馈顶点集问题，提出首个单指数固定参数算法（随机化 $4.24^k$，确定性 $8.04^k$），利用欧拉型计数恒等式归约到多项式可解的有向反馈弧集。
2026-09-29 cs.DS
Capacitated Dominating Set on Planar Graphs
容量约束支配通过为每个顶点指定所需的需求和在其封闭邻域中覆盖需求的可用容量来推广经典的支配集问题。我们的目标是找到一个最小的顶点集，可以覆盖所有的图的需求，而不超过任何的能力。在本文中，我们特别关注具有硬容量的支配，其中顶点的容量和成本最多可以对解决方案做出一次贡献。以前的复杂性结果表明，这个问题不能有效地解决（甚至接近）一般。本文在最大容量和最大需求有界的条件下，给出了无权平面图中容量控制问题的多项式时间近似算法。我们还展示了如何将这一结果扩展到密切相关的Capacitated顶点覆盖问题。
2016-04-15 cs.DS
A 13k-kernel for Planar Feedback Vertex Set via Region Decomposition
我们显示了一个核的最多$13k$顶点的平面反馈顶点集问题限制到平面图，即，将输入实例$(G,k)$变换为具有至多$13k$顶点的等效实例的多项式时间算法。为此，我们引入一些新的约简规则。然而，我们的主要贡献是在核大小的分析中的区域分解技术的应用。我们表明，我们的分析是紧的，一个恒定的附加项。
2014-10-30 cs.DM cs.DS
Orienting Graphs to Optimize Reachability
本文主要研究两个问题：（i）如何对无向图的边进行定向，以使有序顶点对（x，y）的数目最大化，使得从x到y有一条有向路;（ii）如何对边进行定向，以使有序顶点对的数目最小化。本文描述了第一个问题的二次时间算法，并证明了第二个问题是NP-难的，在某个常数1+ n> 1内近似。后一个证明还表明，第二个问题等价于“可比性图完备化”;这两个问题以前都不是NP困难的。
2002-05-18 cs.DM cs.DS
Towards optimal kernel for connected vertex cover in planar graphs
我们研究了顶点覆盖问题的连通版本的参数化复杂性，其中解集必须诱导一个连通子图。虽然这个问题不承认一般图的多项式核（除非NP是coNP/poly的子集），但对于平面图，Guo和Niedermeier [ICALP'08]显示了至多14 k个顶点的核，随后由Wang等人[MFCS'11]改进为4k。这里的常数4是如此之小，以至于一个自然的问题出现了：它可能已经是这个问题的最优值了吗？本文给出了一个否定的答案：给出了平面图的连通点覆盖的一个（11/3）k-点核。我们相信，这一结果将激发进一步的研究，寻找一个最佳的内核。
2011-10-10 cs.DM cs.DS
Lossy Planarization: A Constant-Factor Approximate Kernelization for Planar Vertex Deletion
在无F-minor-free删除问题中，我们希望在给定的图中找到一个最小顶点集，该顶点集与族F中所有图的minor模型相交。顶点平坦化问题是族F ={K_5，K_{3,3}}的无F-子式删除的一种特殊情况。只要族F包含至少一个平面图，则已知F-minor-free删除允许常数因子近似算法和多项式核化[Fomin，Lokshtanov，Misra和Saurabh，FOCS '12]。顶点平面化问题可以说是F不包含平面图的最简单的设置，并且常数因子近似或多项式核化的存在仍然是一个主要的开放问题。在这项工作中，我们表明，顶点平面化承认一个算法，这是一个组合的两种方法。也就是说，我们提出了一个多项式A-近似核化，对于某个常数A> 1，基于有损核化的框架[Lokshtanov，Panolan，Ramanujan和Saurabh，STOC '17]。简单地说，当给定图G和整数k时，我们展示了如何计算poly（k）顶点上的图G '，使得G'的任何B-近似解都可以提升为G的（A * B）-近似解，只要A * B * OPT（G）<= k。为了实现这一点，我们开发了一个框架，稀疏的平面图，近似保留所有的隔离符和近隔离符之间的子集给定的终端集。我们的结果产生了一个国家的最先进的顶点平面化的近似算法的改进。这个问题允许一个多项式时间O（n ^eps）-近似算法，对于任何eps> 0，和一个准多项式时间（…
2022-02-04 cs.CC cs.DS
Shortest Vertex-Disjoint Two-Face Paths in Planar Graphs
令$G$是复杂度为$n$的有向平面图，每条弧具有非负长度。令$s$和$t$为$G$的两个不同面;令$s_1,...,s_k$为与$s$关联的顶点;令$t_1,...,t_k$为与$t$关联的顶点。给出了一个在$O(kn\log n)$时间内计算连接$G$中$(s_i,t_i)$对的$k$两两顶点不相交路径的算法。
2008-02-20 cs.DS math.CO
Linear-time algorithm for vertex 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs
在没有单色三角形的2-着色问题（或三角树2-着色）中，简单，连通，无向图的顶点被着色为“黑”或“白”，使得没有3个相互相邻的顶点具有相同的颜色。在本文中，我们肯定地回答了在我们以前的工作中提出的问题，即，是否存在一个算法解决平面图上的2-着色没有单色三角形线性时间复杂度。
2021-10-09 cs.DS math.CO
Parallel Planar Subgraph Isomorphism and Vertex Connectivity
我们提出了第一个并行固定参数算法的子图同构的平面图，有界亏格图，更一般地说，所有的局部有界树宽的小封闭图。我们的随机低深度算法对目标图的大小具有接近线性的工作依赖性。现有的低深度算法不能保证工作保持渐近相同的任何恒定大小的模式。通过使用到某些分离圈的连接，我们的子图同构算法可以在渐近近线性工作和多对数深度下确定平面图的顶点连通性（具有很高的概率）。以前，在平面图中没有次二次功和多对数深度界（特别是用于区分四连通和五连通平面图）。
2020-07-02 cs.DC cs.DS
The planar directed k-Vertex-Disjoint Paths problem is fixed-parameter tractable
给定图G和k对顶点（s_1，t_1），.，（s_k，t_k），k-顶点不相交路径问题要求两两顶点不相交路径P_1，.，使得P_i从s_i到t_i。Schrijver [SICOMP'94]证明了平面有向图上的k-顶点不相交路问题可以在时间n^{O（k）}内求解。我们给出了一个运行时间为2^{2^{O（k^2）}} n^{O（1）}的算法，即证明了问题的固定参数可处理性.
2013-04-15 cs.DM cs.DS math.CO
Asymptotically Optimal Vertex Ranking of Planar Graphs
一个（顶点）$\ell$ -排名是一个着色$φ:V(G)\to\mathbb{N}$的顶点的图$G$与整数颜色，使任何路径$u_0,\ldots,u_p$的长度最多$\ell$，$φ(u_0)\neqφ(u_p)$或$φ(u_0)<\max\{φ(u_0),\ldots,φ(u_p)\}$。我们发现，对于任何固定的整数$\ell\ge 2$，每个$n$顶点平面图有一个$\ell$ -排名使用$O(\log n/\log\log\log n)$颜色，这是紧的，即使当$\ell=2$ ;对于无限多的值的$n$，有$n$顶点可平面图，其中任何2-排名需要$Ω(\log n/\log\log\log n)$颜色。这个结果也推广到有界亏格图。在发展这个证明，我们得到的最佳界限所需的$\ell$排名图树宽$t$和简单树宽$t$图的颜色数。这些上界是建设性的，并给出$O(n)$时间算法。来自我们的技术的其他结果包括新的sublogarithmic上限所需的$\ell$ -顶点小的无图和$k$ -可平面图的排名的颜色的数量。
2022-08-18 cs.DS math.CO
How many vertex locations can be arbitrarily chosen when drawing planar graphs?
证明了平面上具有基数$\lceil \frac{\sqrt{\log_2 n}-1}{4} \rceil$的不同点的集合$S$可以是任意具有$n$顶点的平面图的无交直线图的顶点的子集。证明了当$S$被限制为单侧凸点集时，它的基数增加到$\lceil \sqrt[3]{n} \rceil$ .证明是建设性的，并产生O（n）-时间绘图算法。作为证明的一部分，我们证明了每个极大平面图都包含一个大诱导双连通外平面图和一个大诱导外路（弱对偶是路的外平面图）。
2012-12-04 cs.CG cs.DS
Vertex Disjoint Path in Upward Planar Graphs
$k$ -顶点不交路问题是算法图论中研究最多的问题之一。在1994年，Schrijver证明了当限制在平面有向图类中时，对于每个固定的$k$，该问题都可以在多项式时间内得到解决，并且它是否是固定参数可处理的（关于参数$k$）在这个限制类中是一个长期存在的公开问题。就在最近，\cite{CMPP}。\实现了重大突破，作出了积极回答。尽管这个结果很重要（他们的证明也很精彩），但它在理论上还是很重要的。他们的证明技术在技术上非常复杂，并且至少具有双指数参数依赖性。因此，实际上可以实现该算法似乎是不现实的。因此，在本文中，我们研究了一类较小的平面有向图，一类向上平面有向图，一类研究得很好的平面图，可以画在一个平面上，使所有的边缘都向上绘制。我们证明了在向上平面有向图类上，问题（i）仍然是NP-完全的，（ii）问题是固定参数可处理的。虽然成员在FPT如下立即从\cite{CMPP}的一般结果，我们的算法只有单指数参数依赖相比，一般平面有向图的双指数参数依赖。此外，我们的算法可以很容易地实现，在\cite{CMPP}中的算法相比。
2013-12-05 cs.CC cs.DS
Convex Grid Drawings of Planar Graphs with Constant Edge-Vertex Resolution
我们继续研究了3连通平面图的凸直线网格图的面积要求，这在过去的几十年里已经得到了深入的研究。出于应用程序，如图形编辑器，我们还需要获得的图纸有界边顶点分辨率，也就是说，顶点和任何非入射边之间的最近距离是下界的常数，不依赖于图形的大小。本文提出了一个以n个顶点和f个内面的3连通平面图为输入，在大小为（n-2+a）x（n-2 +a）的整数网格上计算边顶点分辨率至少为1/2的凸直线图的作图算法，其中a=min{n-3，f}.我们的结果改进了Chrobak，Goodrich和Tamassia以前最著名的面积界（3 n-7）x（3 n-7）/2。
2022-05-09 cs.CG cs.DS
SEFE with No Mapping via Large Induced Outerplane Graphs in Plane Graphs
我们证明了每个$n$ -顶点平面图都可以与任何$(n/2)$ -顶点平面图同时嵌入，且不需要映射，且有固定边。为了达到这个结果，我们证明了每个$n$ -顶点平面图都有一个至少包含$n/2$顶点的导出外平面子图。证明了每一个$n$ -顶点平面图和每一个$n$ -顶点平面部分3-树都允许无映射且有固定边的同时嵌入.
2013-09-18 cs.DM cs.DS math.CO
A Framework for Parameterized Subexponential Algorithms for Generalized Cycle Hitting Problems on Planar Graphs
次指数参数化算法是已知的平面图上的广泛的自然问题，但技术通常是高度特定的问题。本文的目标是介绍一个框架，获得$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的一个家庭的图形修改问题，其中包括问题，可以被看作是广义循环命中问题。我们的出发点是节点唯一标签覆盖问题（也就是说，给定一个CSP实例，其中每个约束都是两个变量的值的排列，任务是删除$k$变量以使实例可满足）。我们引入了一个变种的问题，其中$k$顶点必须删除，使每一个2-连接组件的剩余实例是可满足的。然后，我们使用基数约束来扩展该问题，这些约束限制某个值可以使用的次数（全局或在解的2连通分量内）。我们表明，有一个$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的平面图的任何问题，可以制定这种方式，其中包括大量的研究问题，例如，奇循环transmittance，子集反馈顶点集，组反馈顶点集，子集组反馈顶点集，顶点多路切割，和组件顺序连接。对于那些问题，承认适当的（准）多项式内核（增加参数仅线性和保持平面性），我们的结果立即意味着平面图上的$2^{O(\sqrt{k}\cdot\operatorname{polylog}(k))}n^{O(1)}$时间参数化算法。特别是，我们使用或适应已知的核化结果，以获得$2^{O(\sqrt{k}\cdot \operatorname{polylog}(k))} n^{O(1)}$时间（随机）算法的顶点多路…
2021-10-28 cs.CC cs.DS
Geodetic sets for directed acyclic planar geodetic graphs
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学）
研究有向无环平面测地图中判定是否存在至多\(k\)个顶点的测地集这一问题，证明其为NP完全问题，还表明相关强测地集和监控测地集问题同样NP完全，且给出有向无环串并联图中最小测地集顶点数等可线性时间计算。
2026-07-09 cs.DS math.CO
Adjacency Labelling for Planar Graphs (and Beyond)
我们发现，存在一个平面图的邻接标签计划，其中每个顶点的$n$ -顶点平面图$G$被分配一个$(1+o(1))\log_2 n$ -位标签和两个顶点$u$和$v$的标签足以确定，如果$uv$是边的$G$。这是最优的低阶项，是第一个这样的渐近最优的结果。这个结果的另一个等价的解释是，对于每个$n$，存在一个具有$n^{1+o(1)}$顶点的图$U_n$，使得每个$n$ -顶点平面图是$U_n$的导出子图。这些结果推广到有界亏格图、无顶点子图、子闭族的有界度图和$k$ -平面图。
2021-02-04 cs.DC cs.DS math.CO
A 9k kernel for nonseparating independent set in planar graphs
研究了平面图上NP难问题的核化（一种有效的预处理）。我们的主要结果是一个核的大小最多为9 k顶点的平面最大非分离独立集问题。这个结果的一个直接结果是，平面连通顶点覆盖没有至多（9/8 -n）k个顶点的核，对于任何n> 0，假设P \ne NP。我们还给出了一个非常简单的平面最大叶的5 k-顶点核，这导致了平面连通支配集的核的（5/4 -n）k个顶点的下界（也在P \ne NP下）。作为一个副产品，我们展示了一些极值图论的结果，这可能是独立的利益。我们证明了不含分隔符的图只包含度为2的顶点，它包含（a）一个至少有n/4个叶子的生成树和（b）一个大小至少为n/9的非分离独立集（也等价地，一个大小至多为8/9 n的连通顶点覆盖）。结果（a）是Kleitman和West [SIDMA 1991]的一个定理的推广，他们对最小度为3的图给出了相同的界。最后证明了每个n-顶点外平面图都包含一个独立集I和一个顶点不交圈的集合C，使得9个|I| >= 4 n-3 |C| .
2012-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
Assigning times to minimise reachability in temporal graphs
时间图（其中边在指定时间是活动的）与图上的传播过程特别相关，例如~传播疾病或传播信息。受实际应用的启发，修改静态图以控制这种传播已经证明是以前研究的一个丰富的主题。在这里，我们引入了一种新的修改时间图：每个边的活动次数是固定的，但我们可以改变（组）边是活跃的相对顺序。我们调查的问题，确定一个排序的边缘，最大限度地减少从任何一个起始顶点可达的顶点的最大数量;流行病学上，这对应于最坏情况下的顶点数量感染在一个单一的疾病爆发。我们研究这个问题的两个版本，这两个版本，我们证明是$\NP$硬，并确定的情况下，该问题可以有效地解决或近似。
2020-08-13 cs.CC cs.DM cs.DS
