Evolving convex curves by a generalized length-preserving flow
Laiyuan Gao, Shengliang Pan
本文研究平面凸曲线的广义保长流，证明其全局存在性，并随时间趋于无穷大将凸曲线形变为圆。
本文研究平面中凸曲线的广义保长流。证明了该流全局存在，且随时间趋于无穷大时，将凸曲线形变为圆。
This paper deals with a generalized length-preserving flow for convex curves in the plane. It is shown that the flow exists globally and deforms convex curves into circles as time tends to infinity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hypersurfaces with capillary boundary evolving by volume preserving power mean curvature flow
该研究提出半空间中带毛细边界超曲面的保体积（或保面积）幂平均曲率流，并证明任意凸初始超曲面均可全局存在且光滑收敛至球冠。
On Area-preserving and Length-preserving Nonlocal Flow of Convex Closed Plane Curves
对于任意的$α>0,$，我们研究了凸闭平面曲线的$k^α$型保长和保面积非局部流，并证明了这两类流使曲线在$C^{\infty}% $ -范数下演化为圆.当$\ $
On a length preserving curve flow
本文考虑了平面上凸曲线的一种新的保长曲线流。我们证明了全局流的存在，演化曲线所包围的区域的面积不断增大，并且当t趋于无穷大时，演化曲线收敛于C-无穷拓扑中的圆.
A non-local area preserving curve flow
本文研究了平面上凸曲线的一类保面积非局部流。我们证明了该流动是全局存在的，演化曲线的长度是非增的，并且当时间趋于无穷大时，曲线在C^{ \infty }意义下收敛到一个圆.
Local umbilic, convexity and cylindrical estimates for fully nonlinear curvature flows
本文将Huisken--Stampacchia迭代局部化方法推广至全非线性曲率流，建立了曲率一次齐次函数演化超曲面的渐近尖锐曲率夹挤估计局部化，并扩展至弯曲环境空间。
Deforming convex curves with constant anisotropic length
本文提出一种保持各向异性长度的曲线流，证明任意凸闭初始曲线均可全局演化，并渐近收敛为某 Wulff 形状边界的位似形。
Mixed volume preserving curvature flows in hyperbolic space
考虑双曲空间中具有单调、对称、齐次一次曲率函数F的曲率流。此外，我们假设F是凹的和反凹的或凸的。对于紧致的初始超曲面，证明了其在球面上是严格凸的情形下，混合保体积曲率流的长时间存在性。此外，我们表明，这些流指数收敛在C-无穷拓扑的测地球。
The quermassintegral preserving curvature flow for horo-convex hypersurfaces in the sphere
本研究提出球面中horo-凸超曲面的完全非线性曲率流，可保持任意指定球面quermassintegral，证明了horo-凸性保持、长时间存在及指数收敛到对应测地球面。
Volume preserving non homogeneous mean curvature flow of convex hypersurfaces
我们考虑一个凸欧几里德超曲面的体积或面积保持流的速度由一般的非齐次函数的中曲率。对于广泛的一类可能的速度函数，我们表明，任何封闭的凸超曲面收敛到一个圆形的球。证明是基于等周比的单调性，它允许控制超曲面的内半径和外半径，并推导出一致的曲率上的界限的最大值原理参数。
Quermassintegral preserving curvature flow in Hyperbolic space
考虑双曲空间中闭\emph{h-convex}超曲面的保quermass积分流，其速度由主曲率的一次齐次对称、严格增的光滑函数$f$的任意正幂给出，该函数是反凹的，其对偶$f_*$在正锥边界上趋于零.证明了若初始超曲面为\emph{h-convex}，则流的解成为严格的\emph{h-convex}，对于$t>0$，流始终存在且在光滑拓扑下指数收敛于测地球.
Whitney-Graustein Homotopy of Locally Convex Curves via a Curvature Flow
设$X_0, \widetilde{X}$是平面上两条光滑、闭、局部凸且卷绕数相同的曲线。构造了一个带非局部项的曲率流，将$X_0$演化为$\widetilde{X}$ .证明了该流全局存在，并保持了演化曲线的局部凸性和弹性能量。如果两条曲线具有相同的弹性能量，则曲率流随着时间趋向于无穷大而将演化曲线变形为目标曲线$\widetilde{X}$。
Geometric $C^1$-stability of geodesic spheres under volume-preserving mean curvature flow
该研究在单连通空间形式中，通过定量Alexandrov反射论证，证明保体积平均曲率流下测地球面的几何C¹稳定性，得到长时间存在性、最终凸性及光滑指数收敛结果。
Entire Graphs Evolving by Powers of the Mean Curvature
研究了以中曲率的正幂为法向速度演化的凸整图。在温和的假设下，我们证明了长期存在。
The volume-preserving Willmore flow
我们考虑$\mathbb{R}^3$中的闭曲面在保体积Willmore流的作用下演化，并证明了光滑解存在时间的一个下界.对于Willmore能量低于$8π$的球面初始曲面，通过适当的blow-up和证明一个约束Lojasiewicz-Simon不等式，我们证明了该曲面的长时间存在性和收敛性.
Stability of the Volume Preserving Mean Curvature Flow in Hyperbolic Space
研究保体积中曲率流的动力学性质。Huisken引入了这个流，他还证明了如果初始超曲面在欧几里得空间中是严格凸的，则它收敛于同一封闭体积的圆形球体。我们研究了这种流在双曲空间中的稳定性。特别地，我们证明了，如果初始超曲面是双曲平均凸和接近脐球在$L^2$ -意义上，那么流存在的所有时间和指数收敛到脐球。
A class of inverse curvature flows for star-shaped hypersurfaces evolving in a cone
给定欧氏$(n+1)$ -空间（$n\geq2$）中的光滑凸锥，我们考虑严格平均凸超曲面，其边界关于锥的中心为星形且垂直于锥。如果锥内的超曲面由一类反曲率流演化，那么，通过在梯度的推导中使用锥的凸性和Hölder估计，我们可以证明这种演化始终存在，并且随着时间趋于无穷大，演化的超曲面光滑地收敛到一个圆球的一部分。
Singularities of the area preserving curve shortening flow with a Neumann free boundary condition
本文研究了在直线上或在凸区域外具有Neumann自由边界条件的保面积曲线缩短流。我们给出了一个标准的初始曲线，保证在有限时间内出现一个奇点。我们证明了奇点是II型的。此外，如果这些初始曲线是凸的，则在有限的最大存在时间处适当地重新标度产生一个或半个死神作为极限流。我们构造满足上述标准的初始曲线的例子。
Convexity and the Dirichlet problem of translating mean curvature flows
在这项工作中，我们提出了一个新的演化几何流（称为平移中曲率流）的平移孤子的超曲面$R^{n+1}$。研究了平移中曲率流的正性保持等基本性质。研究了图平移中曲率流的狄利克雷问题，讨论了流的整体存在性和收敛性.
Volume preserving Gauss curvature flow of convex hypersurfaces in the hyperbolic space
本文研究双曲空间中凸超曲面的保体积高斯曲率流，证明解长期存在且指数收敛到测地球，是首个仅要求初始凸性的非局部型保体积曲率流结果。
Star-shaped Centrosymmetric Curves under Gage's Area-preserving Flow
证明了Gage的保面积流能使中心对称的星形初始曲线光滑地演化，在有限时间内使其凸，并在时间趋于无穷大时使其变形为圆。
Anisotropic curvature measures and volume preserving flows
本文第一部分发展了欧几里得空间中凸体的各向异性曲率测度理论。证明了任何凸体，如果其边界各向异性曲率测度等于其它低阶各向异性曲率测度的非负系数线性组合，则该凸体是标度Wulff形.这推广了Schneider的经典结果。数学。海弗。\textbf{54}（1979），42- 60]和Kohlmann [Arch. Math.（Basel）\textbf{70}（1998），250- 256]对各向异性设置的研究。证明中的主要成分是广义各向异性Minkowski公式和Heintze-Karcher型不等式的凸体。第二部分考虑欧几里得空间中光滑闭凸超曲面的保体积流，其速度由$k$次平均曲率的正幂$α$加上一个全局项来保持超曲面的封闭体积。我们证明了，如果初始超曲面是严格凸的，那么流的解存在于所有时间，并收敛到Hausdorff意义下的Wulff形状。通过各向异性曲率措施的Wulff形状的特征定理将被用于证明的收敛结果至关重要。此外，在$k=1$，$n$或$α\geq k$的情形下，我们还可以进一步将Hausdorff收敛性改进为光滑收敛和指数收敛.
Evolution of convex lens-shaped networks under curve shortening flow
我们考虑R^2中的凸对称透镜形网络，它们在曲线缩短流下演化。我们证明了封闭的凸区域在有限时间内收缩到一个点。此外，经过适当的重新缩放的进化网络收敛到一个自相似收缩网络，我们证明了在适当的类中是唯一的。我们还包括一些自相似收缩网络的分类结果。
Volume preserving mean curvature flow in the Hyperbolic space
我们证明：“如果$M$是双曲空间的一个紧致超曲面，由horospheres凸，并由体积保持中曲率流演化，那么它一直流动，由horospheres凸性被保持，并且流以指数方式收敛到测地球”。另外，我们证明了当$M$不是凸于球面但足够接近于测地球面时，关于长时间存在性和收敛性的相同结论也成立。
On length-preserving and area-preserving inverse curvature flow of planar curves with singularities
本文研究具有奇点的平面曲线的保面积和保长逆曲率流，证明$\u2113$-凸勒让德曲线分别演化为特定半径的圆，并推导出几何不等式。
Curvature measures and volume preserving flows in h-convex geometry
本文针对双曲空间h-凸几何，引入修正曲率测度概念并推广经典结果，研究保体积移位α-高斯曲率流，证明其解全局存在且收敛到测地球，修正曲率测度理论是刻画极限形状的关键。
Global stability of traveling waves for an area preserving curvature flow with contact angle condition
我们考虑一个不断发展的平面曲线，两个端点可以自由移动的$x$轴上产生恒定的接触角。当这条平面曲线的演化受保面积曲率流方程控制时，我们讨论了整体时间解的渐近性态。主要结果表明，任何运动曲线收敛到行波，如果运动曲线从嵌入凸曲线开始，并保持在全球时间有界。
Volume preserving flow by powers of $k$-th mean curvature
我们考虑欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+1}$中的闭凸超曲面的流动，其速度由$k$次中曲率$E_k$的幂加上一个全局项来给出，该全局项被选择来施加一个约束，该约束涉及到演化超曲面的封闭体积$V_{n+1}$和混合体积$V_{n+1-k}$.证明了若初始超曲面是严格凸的，则该流的解始终存在且光滑收敛于一个圆球。在初始超曲面上不需要曲率拼挤假设。
The quermassintegral preserving mean curvature flow in the sphere
本文引入球面上凸超曲面带全局项的平均曲率流，可保持任意拟质量积分固定，证明其从严格凸初始超曲面出发全局存在且收敛到测地球面，解决了Huisken 1987年相关问题，并分类了空间形式中常曲率型方程解及孤子。
Stability of the surface area preserving mean curvature flow in Euclidean space
我们证明了当初始无迹第二基本型的L^2-范数很小（但初始超曲面不一定是凸的）时，欧几里得空间中的保表面积中曲率流始终存在，并指数收敛于一个圆球.
Singularities of Axially Symmetric Volume Preserving Mean Curvature Flow
研究了由保体积中曲率流演化的曲面的奇点形成问题。对于具有Neumann边界条件的$\mathbb{R}^3$中的轴对称流动-旋转面，我们证明了第一个发展奇点是I型的。结果是在没有任何额外的曲率假设的情况下得到的，而轴对称和边界条件是合理的，给出了体积约束。对主要证明的其他结果和成分包括一个非圆柱抛物最大值原理，和一系列的几何量的估计，涉及梯度，曲率项及其衍生物。它们在任意维度上都成立。
On length-preserving and area-preserving inverse curvature flows in the hyperbolic plane
本文研究双曲平面中保持面积和长度的κ^α型曲率流，证明凸性在流中保持，并展示曲线光滑收敛到测地圆，同时推导了流存在性的充分条件。
Star-shaped Curves under Gage's Area-preserving Flow and the CSF
本文利用Dittberner的奇点分析理论证明了GAPF全局演化光滑嵌入星形曲线的猜想，并构造星形“飞翼”曲线反例，证明GAPF和CSF均不一定保持曲线星形性。
Anisotropic-Length-Preserving Weighted Anisotropic Curvature Flows
本文研究各向异性长度保持的加权各向异性曲率流，证明光滑凸闭曲线解全局存在且各向异性曲率收敛至位似Wulff形状边界曲率。
Inverse Gauss curvature flows with free boundaries in a cone
研究了边界垂直于严格凸锥的严格凸超曲面。我们证明了如果这些超曲面在高斯曲率的幂驱动下在这个锥内扩展，那么演化始终存在，并且演化的超曲面在重新缩放后光滑地收敛到一个圆球面。
Volume-preserving flow by powers of the m-th mean curvature
研究了闭凸超曲面在保体积曲率流下的演化。速度由第m个中曲率的幂加上体积保持项给出，包括中曲率或高斯曲率的幂的情况。我们证明了，如果初始超曲面满足适当的拼挤条件，则解始终存在并收敛于一个圆球。
Translating solutions for Gauss curvature flows with Neumann boundary conditions
我们考虑了由非参数对数高斯曲率流演化的严格凸超曲面，它们服从Neumann边界条件。解决方案示出了顺利收敛到超曲面移动平移。特别地，对于有界区域，我们证明了具有指定法向导数的凸函数满足一致振动估计。
Volume-Preserving flow by powers of the mth mean curvature in the hyperbolic space
本文研究了具有常截面曲率$κ$的双曲空间${\mathbb{H}}_κ^{n+1}$中的维数$n(\geq 2)$的闭超曲面沿其法向量方向演化，其中速度由$m$的中曲率的幂$β(\geq 1/m)$加上一个体积保持项给出，包括中曲率的幂和$\mbox{Gauß}$曲率的幂的情况.主要结果是：如果初始超曲面满足最大和最小主曲率之比处处接近1，仅依赖于$n$，$m$，$β$和$κ$，则在保持这一点的情况下，存在流的唯一光滑解，并且演化超曲面指数收敛到${\mathbb{H}}_κ^{n+1}$的测地球面，包围与初始超曲面相同的体积。
On a non-local area-preserving curve flow
本文提出一种针对平面闭凸曲线的新型非局部保面积曲率流，证明该流动可缩短曲线长度并使其渐趋圆形，最终在C^∞意义下收敛到有限圆，丰富了几何曲率流的研究内容。
Anisotropic flow of convex hypersurfaces by the square root of the scalar curvature
在欧几里得空间中，当给定一个严格凸的初始超曲面时，我们证明了由数量曲率的平方根乘以一个正的各向异性因子$ψ$所变形的流的光滑解的存在性.我们还证明了重标度曲面收敛到光滑极限流形，这是一个圆球。在二维情况下，它表明，与体积保持重新标度，极限轮廓满足孤子方程。
On an area-preserving inverse curvature flow for plane curves
本文研究凸闭平面曲线的1/κⁿ型保面积非局部逆曲率流，证明其全局存在、曲线长度非递增且最终在C^∞度量下收敛为圆，丰富了平面曲线保面积流的理论结果。
Volume preserving nonhomogeneous Gauss curvature flow in hyperbolic space
研究双曲空间中保体积非齐次高斯曲率流，证明解在所有正时间存在且指数收敛到测地球，关键在于高斯曲率振荡衰减与双曲曲率测度论结合推导出 Hausdorff 收敛。
Mixed volume preserving flow by powers of homogeneous curvature functions of degree one
本文研究了欧几里得空间${\mathbb{R}}^{n+1}$中维数为$n(\geq 2)$的闭超曲面在混合保体积流下的演化.速度等于幂$β(\geq 1)$的均匀，无论是凸或凹，曲率函数的程度加上混合体积保持长期，包括权力的情况下的中曲率和高斯曲率。主要结果是，如果初始超曲面满足适当的拼挤条件，则该流动始终存在唯一的光滑解，并且演化的超曲面指数收敛到一个圆球，包含与初始超曲面相同的混合体积.这一结果覆盖并推广了McCoy \cite{McC05}，Cabezas-Rivas和Sinestrari \cite{CS10}关于欧几里得空间中凸超曲面的已有结果，使之适用于更一般的具有相似曲率pinching条件的凸超曲面的曲率流.
On the Convergence of Axially Symmetric Volume Preserving Mean Curvature Flow
研究了由保体积中曲率流演化的轴对称超曲面的收敛性。假设曲面在流动过程中的任何时候都不会沿着轴尖断，并且没有任何附加条件，例如曲率，我们证明了当超曲面有自由边界并满足Neumann边界数据时，它收敛到半球，当它是无边界紧致时，收敛到球体。
Volume preserving non homogeneous mean curvature flow in hyperbolic space
本文研究了双曲空间中由半球凸的超曲面的保体积保面积曲率流，其速度由一般的正的、中曲率的增函数给出，不一定是齐次的.对于这类速度，我们证明了指数收敛到测地球。这个证明是由[10]给出的，并且是基于由horospheres保持凸性，允许限制内半径和外半径，并通过最大值原理参数给出曲率的统一界限。为了推导出指数趋势，我们研究了与超曲面相关的适当比率的行为，该超曲面在时间上以指数方式收敛到与测地球相关的值。
Deforming Locally Convex Curves into Curves of Constant $k$-order Width
提出一种保持局部凸性与弹性能的非局部曲率流，证明其全局收敛到恒定 $k$ 阶宽度曲线，并刻画极限为多重圆的对称条件。
Sparsity-preserving means on a homogeneous convex cone
本文在五维Vinberg锥上提出Cholesky-Vinberg和Log-Vinberg两种均值，分别基于可解群和仿射插值，具有等变性、平坦度量及显式公式，并保持稀疏结构。
Two nonlocal inverse curvature flows of convex closed plane curves
本文提出两类非局部逆曲率流，使闭凸曲线长度递减、面积递增，并在无奇点时光滑收敛至圆。
A fourth-order area-preserving curve flow in centro-equiaffine geometry
本文基于Guan和Li(2015)的工作，引入一种通过仿射Minkowski公式定义的四阶中心等距不变曲线流，证明在无初始曲线小性假设下，流在长时间内存在，且曲线面积保持并最终光滑收敛到圆。
Diameter and curvature control under mean curvature flow
我们证明了对于双凸超曲面的中曲率流，当接近第一奇异时刻时，内直径保持一致控制。我们还得到了尖锐的$L^{n-1}$ -估计的正则性规模的水平集流与两个凸的初始数据。我们的证明依赖于一个详细的分析圆柱形区域（$\varepsilon$管）下的中曲率流。结果是新的，即使在最经典的情况下，平均凸曲面演变的中曲率流在$\mathbb{R}^3$。
Poincaré and Brunn--Minkowski inequalities on the boundary of weighted Riemannian manifolds
研究了一个密度满足Bakry-Emery曲率维数条件（结合了广义里奇曲率的下界和广义维数的上界）的黎曼流形.我们首先在其边界上得到一个庞加莱型不等式，假设后者是局部凸的;这推广了一个纯粹的欧几里德不等式Colesanti，最初作为Brunn-Minkowski不等式的无穷小形式导出，从而排除了任何超越欧几里德设置的扩展。广义平均凸边界的对偶版本也得到了，产生的加权拉普拉斯算子的边界上的谱间隙估计。受这些不等式的启发，提出了一个新的几何发展方程，它把迄今仅限于纯线性情形的凸区域的Minkowski加法运算推广到黎曼情形.这种几何流的特征在于具有平行的法线（变化的速度）的演变超曲面沿轨迹，并密切相关的齐次蒙日-安培方程的外部的凸区域。利用演化超曲面边界上的Poincaré型不等式，在加权Riemann背景下得到了一个新的Brunn-Minkowski不等式，从而使得演化封闭域的加权体积具有一定的非线性性质.所有这些结果似乎是新的，即使在经典的非加权黎曼设置。
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