Entire Graphs Evolving by Powers of the Mean Curvature
Martin Franzen
研究了以中曲率的正幂为法向速度演化的凸整图。在温和的假设下，我们证明了长期存在。
We study convex entire graphs evolving with normal velocity equal to a positive power of the mean curvature. Under mild assumptions we prove longtime existence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Evolving hypersurfaces by their mean curvature in the background manifold evolving by Ricci flow
研究了单参数超曲面族在正曲率算子作用下浸入闭黎曼流形的变形问题。该超曲面族中的超曲面满足中曲率流，而其周围度量满足规范化里奇流。我们证明了如果背景流形的初始度量是充分收缩的，并且初始超曲面也满足适当的收缩条件，那么超曲面要么在有限时间内收缩到一个圆点，要么在时间趋于无穷大时收敛到一个全测地球面.
Mean curvature flow of an entire graph evolving away from the heat flow
我们提出了两个初始图形在整个$\mathbb{R}^n$，$n \geq 2$的中曲率流的行为不同的热流。在第一个例子中，两个流稳定在不同的高度。在我们的第二个例子中，当热流稳定时，中曲率流无限地振荡。这些结果突出了维度$n \geq 2$和维度$n=1$之间的差异，其中Nara-Taniguchi证明了在曲线缩短流下演化的$C^{2,α}(\mathbb{R})$中的整个图收敛于具有相同初始数据的热方程的解。
Evolving hypersurfaces by their inverse null mean curvature
本文引入了一个新的渐近平坦时空初始数据集中超曲面的几何发展方程，将边缘外捕获面理论与渐近平坦黎曼流形中的逆中曲率流研究结合起来.利用水平集方法和适当的变分原理，发展了弱解理论。这种新的流动有一个自然的应用作为一个变分型的方法来构建MOTS，这项工作也给了新的见解逆中曲率流的弱解理论。
Curvature Blow-up in Doubly-warped Product Metrics Evolving by Ricci Flow
对于任意流形$N^p$，当Einstein度量为正时，我们研究了高维乘积$M = N^p \times S^{q+1}$上的里奇流的行为.特别是，我们提供了一个严格的建设本地，II型，圆锥奇点形成这样的空间。结果表明，对于任何$k > 1$存在一个解的曲率爆破率$\| Rm \|_{\infty} (t) \gtrsim (T-t)^{-k}$与奇异性建模的Ricci-平坦的锥在抛物尺度。
Mean curvature flow into an ambient Riemannian manifold evolving by Ricci flow coupled with harmonic map heat flow
本文研究在Ricci流与调和映射热流耦合演化的带边流形中，平均曲率流的变分、Harnack不等式、Huisken单调性公式及孤子构造与刻画。
Entire bounded constant mean curvature Killing graphs
本文证明了在一定曲率条件下，位于板内的具有常中曲率的整Killing图必是全测地切片。
Entire unbounded constant mean curvature Killing graphs
本文给出了位于可能无界区域内的整常中曲率Killing图必为切片的条件。
Uniqueness of entire graphs evolving by Mean Curvature flow
本文研究图中曲率流的唯一性。我们考虑局部Lipschitz函数的初始条件图，并证明在一维情况下，解是唯一的，没有任何进一步的假设。这个结果，然后推广到旋转对称的解决方案。在一般的$n$维的情况下，我们证明了在额外的条件下的唯一性：我们需要一个{ \em一致下界}的第二基本型和高度函数的初始条件。后者的结果扩展到初始条件是正确的图在子域上的$\mathbb{R}^n$。
The extrinsic curvature of entire minimal graphs in $\H^2\times\R$
本文给出了$\H^2\times\R$，$\H^2$和双曲平面中整个极小图的外曲率的一个最优估计.
A class of inverse curvature flows for star-shaped hypersurfaces evolving in a cone
给定欧氏$(n+1)$ -空间（$n\geq2$）中的光滑凸锥，我们考虑严格平均凸超曲面，其边界关于锥的中心为星形且垂直于锥。如果锥内的超曲面由一类反曲率流演化，那么，通过在梯度的推导中使用锥的凸性和Hölder估计，我们可以证明这种演化始终存在，并且随着时间趋于无穷大，演化的超曲面光滑地收敛到一个圆球的一部分。
Zero mean curvature entire graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski 3-space
经典地知道，根据Bernstein定理，在欧氏3-空间中只有零中曲率整图是平面。若Lorentz-Minkowski三维空间$\boldsymbol{R}^3_1$中的曲面的因果类型由类空变为类时，则称该曲面为混合型曲面.在$\boldsymbol{R}^3_1$中，Osamu Kobayashi发现了两个非平面的混合型零中曲率整图。据作者所知，这两个例子是唯一已知的例子，整个零中曲率图的混合型无奇点。本文在Lorentz-Minkowski $3$ -空间中构造了几类实解析零中曲率的混合型整图.上面提到的整个图都属于这些类之一。
Neckpinch dynamics for asymmetric surfaces evolving by mean curvature flow
本文研究了由中曲率流（MCF）演化的曲面。对于一开集的初始数据，$C^3$ -接近圆，但不假设旋转对称或正中曲率，我们表明，MCF解决方案成为奇异的有限时间内形成颈夹，我们得到详细的渐近的奇异性形成。我们的结果表明，在一个精确的方式，MCF解决方案成为渐近旋转对称附近的neckpinch奇点。
Entire $σ_k$ curvature flow in Minkowski space
本文研究Minkowski空间中非紧类空超曲面的$σ_k$曲率流。我们证明了如果初始超曲面满足一定的条件，那么流是存在的。此外，我们表明，重新缩放后，流收敛到一个自膨胀。
Entire convex curvature flow in Minkowski space
本文研究Minkowski空间中非紧类空超曲面的完全非线性曲率流。我们证明了如果初始超曲面满足一定的条件，那么流是存在的。此外，我们表明，重新缩放后的流收敛到未来的类时双曲面，这是一个自膨胀。
Entire spacelike hypersurfaces with constant $σ_{n-1}$ curvature in Minkowski space
证明了在Minkowski空间中，若类空的具有常$σ_{n-1}$曲率的$(n-1)$ -凸超曲面$M$具有有界主曲率，则$M$是凸的.此外，如果$M$不是严格凸的，在一个$\mathbb{R}^{n,1}$刚性运动后，$M$分裂为一个产品$M^{n-1}\times\mathbb{R}.$。我们还构造了严格凸的，类空超曲面$M$的非平凡的例子，具有恒定的$σ_{n-1}$曲率和有界的主曲率。
Examples of entire zero-mean curvature graphs of mixed-type in Lorentz-Minkowski space via Konderak's formulas
本文利用 Konderak 表示公式，在 Lorentz-Minkowski 空间中构造了不属于“Kobayashi 曲面”类的混合型整体零平均曲率图，揭示了此类图包含大量出人意料的有趣例子。
Whitney-Graustein Homotopy of Locally Convex Curves via a Curvature Flow
设$X_0, \widetilde{X}$是平面上两条光滑、闭、局部凸且卷绕数相同的曲线。构造了一个带非局部项的曲率流，将$X_0$演化为$\widetilde{X}$ .证明了该流全局存在，并保持了演化曲线的局部凸性和弹性能量。如果两条曲线具有相同的弹性能量，则曲率流随着时间趋向于无穷大而将演化曲线变形为目标曲线$\widetilde{X}$。
Entire self-expanders for power of $σ_k$ curvature flow in Minkowski space
在[19]中，我们证明了如果一个整的、类空的凸超曲面$\mathcal{M}_{u_0}$具有有界的主曲率，则$σ_k^{1/α}$从$\mathcal{M}_{u_0}$开始的（$σ_k$的幂）曲率流允许$t>0.$的光滑凸解$u$。此外，在重新缩放之后，该流收敛到满足$σ_k(κ[\tilde{\mathcal{M}}])=(-\left<X_0, ν_0\right>)^α.$的凸自扩展器$\tilde{\mathcal{M}}=\{(x, \tilde{u}(x))\mid x\in\mathbb{R}^n\}$。Minkowski空间中$σ_k$曲率流的幂的自扩张的存在性，以前没有研究过.在本文中，我们填补了这一空白。
Entire hypersurfaces of constant scalar curvature in Minkowski space
我们证明了Minkowski空间$\mathbb R^{n,1}$中的每个正则域$\mathcal D$（它不是楔形）都存在一个其依赖域为$\mathcal D$且其数量曲率为$(-\infty,0)$中的一个预定常数（或函数，在适当的假设下）的整超曲面.在相当一般的假设下，这些超曲面是唯一的，并提供$\mathcal D$的叶理。作为应用，我们证明了每个极大全局双曲柯西紧致平坦时空都允许由常数量曲率的超曲面构成的叶理，推广了Barbot-Béguin-Zeghib（对于$n=2$）和Smith（对于$n=3$）以前的结果到任何维数。
Entropy and lowest eigenvalue on evolving manifolds
本文确定了一般发展流形上共轭热方程的经典Boltzmann-Shannon熵的前两阶导数。基于Boltzmann-Shannon熵的二阶导数，我们构造了抽象几何流中的Perelman F熵和W熵。当满足一个技术条件时，熵的单调性成立。在具有非负里奇曲率的静态黎曼流形上，当周围空间具有非负截面曲率时，Hamilton里奇流、List推广里奇流、Müller里奇流与调和映射流耦合以及Lorentz中曲率流都满足这个条件.在最低本征值随时间可微的额外假设下，得到了抽象情形下带位势的Laplace-Beltrami算子最低本征值的演化公式.
Evolving Pinched Submanifolds of the Sphere by Mean Curvature Flow
本文证明了球面上的高余维平均曲率流在第二基本型的范数平方与球面的中曲率和背景曲率的范数平方之间存在一个pinching条件下，收敛到一个圆点或一个全测地球面上.我们表明，这种捏是尖锐的尺寸$n\geq 4$，但不是尖锐的尺寸$n=2,3$。对于维数$n=2$和余维数$2$，我们考虑了一个包含法丛的法曲率的可供选择的Pinching条件.最后，我们锐化了四个球面中曲面的Chern-do Carmo-Kobayashi曲率条件-这个曲率条件对于极小曲面是尖锐的，我们猜想它对于球面中的曲率流也是尖锐的。
Neckpinch singularities in fractional mean curvature flows
本文研究分数中曲率流下集合的演化。我们的主要结果表明，对于任何尺寸的$n > 2$，存在一个嵌入面的$\mathbb R^n$演变的分数中曲率流，它发展的奇异性之前，它可以收缩到一个点。当采用$n > 3$时，这个结果推广了Grayson关于经典中曲率流的模拟结果.有趣的是，当$n = 2$，我们的结果提供了一个反例，而不是在非局部的框架，著名的格雷森定理，其中规定，任何光滑的嵌入曲线在平面上发展（经典）MCF收缩到一个点。
Entire self-similar solutions to Lagrangian Mean curvature flow
我们考虑了整拉格朗日图的中曲率演化的自相似解。当势函数$u$的Hessian本征值严格一致地在-1和1之间时，我们证明了在势水平上所有的收缩孤子都是二次多项式，而膨胀孤子与具有Hessian界的二次齐次函数一一对应.我们还表明，如果初始势函数是锥状在无穷远，然后缩放流收敛到一个扩展的孤子的时间趋于无穷大。
Harnack Estimates for Conjugate Heat Kernel on Evolving Manifolds
本文给出了抽象几何流中共轭热核的Harnack估计。我们的计算包括一个修正项D。当D非负时，我们可以得到一个Harnack不等式。我们的抽象制定提供了一个统一的框架，一些已知的结果，特别是包括相应的结果Ni，佩雷尔曼，和Tran作为特殊情况。并在具有非负截面曲率的Lorentz流形上建立了Ricci-Harmonic流和中曲率流的新结果。
Hypersurfaces with capillary boundary evolving by volume preserving power mean curvature flow
该研究提出半空间中带毛细边界超曲面的保体积（或保面积）幂平均曲率流，并证明任意凸初始超曲面均可全局存在且光滑收敛至球冠。
Entire Constant Mean Curvature Graphs in $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$
对于$0\leq H< 1/2$，我们在$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$中构造了整个$H$ -图，这些图是抛物线的，并且不被$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$的等距的一个参数群所不变。它们的渐近边界是$(\partial_\infty\mathbb{H}^2)\times\mathbb{R}$ ;它们在无穷远处是稠密的。当$H=0$的例子是由P. Collin和第二作者[2]构造的最小图。
Constructing entire minimal graphs by evolving planes
本文提出通过演化平面方法构建高维极小图，并揭示其与特殊拉格朗日图的关系。
Entire downward translating solitons to the mean curvature flow in Minkowski space
本文研究Minkowski空间中一类中曲率流方程的整体平移解$u(x)$.证明了如果$Σ=\{(x, u(x))| x\in\mathbb{R}^n\}$是严格类空超曲面，则$Σ$在$\mathbb{R}^{k, 1}$中（在分裂掉平凡因子后）约化为严格凸秩k孤子，其“blowdown”收敛于$\mathbb{R}^k$中正齐次一阶凸函数的重$λ\in(0, 1)$.我们还表明，有非唯一性的旋转对称的解决方案可能会被扰动的解决方案，由任意光滑的一阶扰动。
Inverse mean curvature evolution of entire graphs
利用逆中曲率流研究了$R^n$上严格平均凸整图的演化.首先，我们建立了在无穷远处具有超线性增长的星形整图的全局存在性。在这项工作中的主要结果涉及的临界情况下，渐近锥整凸图。在这种情况下，我们表明，存在一个时间$ T < +\infty$，这取决于增长在无穷远的初始数据，使唯一的解决方案的流量存在所有$t < T$。此外，作为$t \to T$，解收敛于平坦平面。我们的技术利用了完全非线性流的超快扩散特性，这一特性意味着我们的解决方案在空间无穷远处的渐近行为对最大存在时间起着至关重要的影响，因为这种行为无限快速地向内部传播。
Entire scalar curvature flow and hypersurfaces of constant scalar curvature in Minkowski space
证明了Minkowski空间中无穷远点处具有给定类光方向集的具有常负数量曲率的整类空超曲面的存在性，构造了无穷远点处具有给定类光方向集的整类空数量曲率流，并证明了该流收敛于具有常数量曲率的类空超曲面.证明依赖于障碍的建设和先验估计。
Lagrangian Mean Curvature flow for entire Lipschitz graphs
研究了具有Lipschitz连续初值的整拉格朗日图的中曲率流。假设$\R^{2n}$中初始整Lagrangian图的Lipschitz范数有一定的界，我们证明了Lagrangian势的抛物型方程\eqref{PMA}有一个长时间解，该解对所有正时间是光滑的，并且满足远离时间的一致估计$t=0$ .特别地，在中曲率流下，图立即变得光滑，并且解始终存在，使得第第二基本型在图上均匀地衰减为0，如$t\to \infty$。我们对Lipschitz范数的假设等价于拉格朗日势$u$在$L^\infty$中一致凸且Hessian有界的假设。我们应用这个结果证明了平移孤子的Bernstein型定理，即如果这样的整个拉格朗日图是一个光滑的平移孤子，那么它一定是一个平坦的平面。我们还证明了在额外的条件下的进化图的收敛性。
Modified mean curvature flow of entire locally Lipschitz radial graphs in hyperbolic space
渐近Plateau问题要求在双曲空间$\mathbb{H}^{n+1}$中存在在无穷远处具有预定渐近边界的常中曲率的光滑完备超曲面。修正的中曲率流（MMCF）是由Xiao和第二作者在几年前首先提出的，它提供了一种在$\mathbb{H}^{n+1}$中利用几何流来寻找具有常数中曲率的超曲面的工具。与通常的中曲率流类似，MMCF是与超曲面$Σ$相关的面积-体积泛函$\mathcal{I}(Σ)=A(Σ)+σV(Σ)$的自然负$L^2$梯度流。本文证明了从整局部Lipschitz连续径向图出发的MMCF存在且始终保持径向图。一般来说，人们不能期望流的收敛，因为它可以从流开始从一个horosphere（其渐近边界退化到一个点）。
Volume-Preserving flow by powers of the mth mean curvature in the hyperbolic space
本文研究了具有常截面曲率$κ$的双曲空间${\mathbb{H}}_κ^{n+1}$中的维数$n(\geq 2)$的闭超曲面沿其法向量方向演化，其中速度由$m$的中曲率的幂$β(\geq 1/m)$加上一个体积保持项给出，包括中曲率的幂和$\mbox{Gauß}$曲率的幂的情况.主要结果是：如果初始超曲面满足最大和最小主曲率之比处处接近1，仅依赖于$n$，$m$，$β$和$κ$，则在保持这一点的情况下，存在流的唯一光滑解，并且演化超曲面指数收敛到${\mathbb{H}}_κ^{n+1}$的测地球面，包围与初始超曲面相同的体积。
Entire spacelike hypersurfaces with constant $σ_k$ curvature in Minkowski space
本文证明了Minkowski空间中具有指定类光方向的光滑、整、严格凸、类空、常$σ_k$曲率超曲面的存在性。这等价于证明了具有给定高斯映射像的光滑、整、严格凸、类空、常$σ_k$曲率超曲面的存在性。我们还证明了不存在任何完整的、凸的、严格类空的、常$σ_k$曲率超曲面。进一步推广了\cite{RWX}中的结果，构造了严格凸的、类空的、常$σ_k$曲率的、具有有界主曲率的超曲面，其高斯映射的像是单位球.
Entire spacelike hypersurfaces of constant Gauss curvature in Minkowski space
证明了Minkowski空间中具有给定Gauss曲率的光滑整严格凸类空超曲面的存在性和稳定性。证明是基于障碍的建设和当地的先验估计。
Exponential contraction in Wasserstein distance on static and evolving manifolds
在不要求里奇曲率非负的曲率条件下，建立了黎曼流形上扩散过程热半群的Wasserstein距离指数收缩.与Wang（2016）的结果相比，我们专注于指数收缩率的显式估计。此外，我们表明，我们的结果扩展到流形下的几何流动。作为应用，对于时间非齐次半群，在弱曲率条件下，得到了一个具有指数收缩率的梯度估计，以及相应的发展测度系的唯一性.
On the entire self-shrinking solutions to Lagrangian mean curvature flow II
本文给出了$(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n, g_τ)$中拉格朗日中曲率流的整体自收缩解的Bernstein型结果。证明依赖于先验估计和障碍的建设。
Entire spacelike hypersurfaces of prescribed scalar curvature in Minkowski space
证明了Minkowski空间中具有给定负数量曲率，且在无穷远处给定值停留在光锥有界距离处的整类空超曲面的存在唯一性.
Gaussian Mean curvature flow
研究了欧几里得空间中$n$维凸超曲面在密度为$e^{\varepsilon \frac12 nμ^2 |x|^2}$，$\varepsilon =\pm 1$的中曲率流下的演化，并根据$μ$与演化超曲面在时刻0的法曲率的上、下界之间的关系完全确定了它.
Rigidity of Entire self-shrinking solutions to curvature flows
我们证明了：（a）具有欧几里德度量的${\mathbb C}^{m}$中的拉格朗日中曲率流的任何整图自缩解是平坦的;（b）具有伪欧几里德度量的${\mathbb C}^{m}$中的拉格朗日中曲率流的任何类空整图自缩解是平坦的，如果位势的Hessian在下面二次有界;以及（c）对于Kähler里奇流，（b）的Hermitian对应。
Entire solutions of two-convex Lagrangian mean curvature flows
本文研究由整体函数梯度图构成的拉格朗日子流形在平均曲率流下的演化，在较弱的二凸性条件下证明了特殊拉格朗日演化方程的长时间存在性与收敛性，推广了以往仅适用于强凸情形的结果。
Complete translating solitons to the mean curvature flow in $\mathbb{R}^3$ with nonnegative mean curvature
证明了中曲率流的任意完全浸没的双侧平均凸平移孤子$Σ\subset \mathbb{R}^3$都是凸的。作为推论，$\mathbb{R}^3$中的整体平均凸图形平移孤子是轴对称的“碗孤子”。我们还证明了如果$Σ$的中曲率在无穷远处趋于零，则$Σ$可以表示为一个完整的图，“碗孤子”也是如此.最后我们对定义在带状区域上的所有局部严格凸图形平移孤立子进行了分类。
Entire spacelike hypersurfaces of prescribed Gauss curvature in Minkowski space
研究Minkowski空间中具有正常数或给定Gauss曲率的类空凸超曲面（K-超曲面）。我们的主要目的是研究相关的Monge-Ampere方程的整体解以及有界区域上的狄利克雷问题。
On mean curvature flow with driving force starting as singular initial hypersurface
研究了在奇异初始超曲面下，轴对称闭超曲面在驱动力作用下按其中曲率演化的问题。我们用水平集方法研究这个问题。给出了界面肥化与非肥化的判别准则。
Harnack inequalities for evolving hypersurfaces on the sphere
利用严格单调的1-齐次凸曲率函数$f$，$0<p\leq 1.$的幂证明了单位球面上流动超曲面的Harnack不等式.若$f$是中曲率，则得到了更强的Harnack不等式.
Diameter and curvature control under mean curvature flow
我们证明了对于双凸超曲面的中曲率流，当接近第一奇异时刻时，内直径保持一致控制。我们还得到了尖锐的$L^{n-1}$ -估计的正则性规模的水平集流与两个凸的初始数据。我们的证明依赖于一个详细的分析圆柱形区域（$\varepsilon$管）下的中曲率流。结果是新的，即使在最经典的情况下，平均凸曲面演变的中曲率流在$\mathbb{R}^3$。
Hyperbolic inverse mean curvature flow
本文在假设$\mathbb{R}^{n+1}$（$n\geqslant2$）的初始紧致光滑超曲面是平均凸星形的条件下，证明了双曲型反（平均）曲率流的短时存在性（有或无指定的强迫项）.给出了几个有趣的例子和一些演化超曲面几何量的双曲型发展方程。此外，在不同的初速度假设下，得到了$\mathbb{R}^2$平面上双曲反中曲率流的展开和收敛结果，其演化曲线是正常运动的。
A Curvature Flow and Applications to an Isoperimetric Inequality
证明了翘曲乘积曲面上中曲率型曲线流的径向图解的长时间存在性和收敛于圆（在曲面翘曲势的弱假设下）.这个曲率流保留了由不断发展的曲线所包围的区域，这一事实被用来证明一个一般的等周不等式适用于径向图在翘曲产品表面的翘曲潜力弱假设下。
Bernstein Theorems for Space-like Graphs with Parallel Mean Curvature and Controlled Growth
本文得到了具有平行中曲率的整图的一个Ecker-Huisken型结果。
On the monotonicity of spatial critical points evolving under curvature-driven flows
我们描述的变化的空间临界点的光滑曲线（定义为一个标量距离$r$从一个固定的原点$O$）的曲率驱动的流动下演变的数量$N(t)$。在后者中，在表面法线方向上的速度$v$可以仅取决于曲率$κ$。在仅发生一般鞍结分岔的假设下，我们证明了当偏导数$v_κ$为正时，$N(t)$将减小，当偏导数为负时，$N(t)$将增大（定理1）。第5节提供了通用性假设的依据。对于三维曲面，曲率驱动流动下的法向速度$v$可能仅取决于主曲率$κ, λ$。在这里，我们证明了较弱的（随机）定理2下的额外的假设，三阶偏导数可以近似为随机变量的期望值和协方差为零。定理2是Kuijper和Florack关于热方程的一个结果的推广。我们制定了一个猜想的情况下，当参考点与重心重合，我们激发了猜测的中间结果和一个例子。由于碰撞磨损模型是由偏微分方程与$v_κ,v_λ>0$，我们的研究结果表明，静态平衡点的数量减少是一些自然过程的特点。
On the Convergence of Axially Symmetric Volume Preserving Mean Curvature Flow
研究了由保体积中曲率流演化的轴对称超曲面的收敛性。假设曲面在流动过程中的任何时候都不会沿着轴尖断，并且没有任何附加条件，例如曲率，我们证明了当超曲面有自由边界并满足Neumann边界数据时，它收敛到半球，当它是无边界紧致时，收敛到球体。
Volume preserving mean curvature flow in the Hyperbolic space
我们证明：“如果$M$是双曲空间的一个紧致超曲面，由horospheres凸，并由体积保持中曲率流演化，那么它一直流动，由horospheres凸性被保持，并且流以指数方式收敛到测地球”。另外，我们证明了当$M$不是凸于球面但足够接近于测地球面时，关于长时间存在性和收敛性的相同结论也成立。
Lagrangian Mean Curvature flow for entire Lipschitz graphs II
本文证明了具有局部$C^{1,1}$初值$u_0$的完全非线性Lagrange抛物型方程解的长时间存在性和估计，其中$u_0$满足（1）对于某个正维常数$η$满足$-(1+η) I_n\leq D^2u_0 \leq (1+η)I_n$，（2）$u_0$处处弱凸或（3）$u_0$满足大的超临界Lagrange相条件.
Contraction of hypersurfaces with positive sectional curvature in hyperbolic space
研究双曲空间中正截面曲率紧致超曲面的收缩曲率流，证明初始超曲面的正截面曲率在流中保持，并在有限时间内收缩至圆点。
Inverse Hessian Curvature Flow in Minkowski Space II: The Dirichlet problem at infinity
本文研究闵可夫斯基空间中非紧致类空严格凸超曲面的逆σ_k曲率流，证明其存在整体解且归一化后收敛到对应唯一自收缩子，丰富了非紧致情形下自收缩子的相关理论。
Half-space theorem, embedded minimal annuli and minimal graphs in the Heisenberg group
在具有左不变黎曼度量的Heisenberg群Nil_3中构造了一个单参数的适当嵌入极小环族。这些环不是旋转不变的。这类图给出了一个垂直半空间定理，并证明了Nil_3中的每个完全极小图都是整图。另外，Nil_3中的一个整极小图的姐妹曲面是H^2 × R中的一个整常中曲率1/2图，反之亦然。这给出了H ^2 x R中所有整常中曲率1/2图的一个分类。最后，我们构造了H ^2 × R中适当嵌入的常数中曲率1/2环。
The half-space property and entire positive minimal graphs in M x R
证明了当M是具有有界曲率的完备递归n维黎曼流形时，M x R_+中的适当浸入极小超曲面等于某个M x {c}.另一方面，如果M具有曲率有界的非负里奇曲率，则相同的结果对M上的任何正整极小图成立。
Entire spacelike constant $σ_k$ curvature hypersurfaces with prescribed boundary data at infinity
本文研究了在$\mathcal{F}$上具有给定类光方向集$\mathcal{F}\subset\mathbb{S}^{n-1}$和扰动$q$的常$σ_k$曲率的凸整类空超曲面的存在唯一性.证明了给定双曲空间无穷远理想边界上的闭集$\mathcal{F}$和满足某些温和条件的扰动$q$，当$\frac{x}{|x|}\in\mathcal{F},$为$|x|\rightarrow\infty,$ $u(x)-|x|\rightarrow q\left(\frac{x}{|x|}\right).$时，存在完备的整类空常$σ_k$曲率超曲面$\mathcal{M}_u$，其类光方向集$\mathcal{F}$满足.我们还证明了当高斯映射像是半圆盘$\bar{B}_1^+$且扰动$q\equiv 0,$有界时，如果CMC超曲面$\mathcal{M}_u$满足$|u(x)-V_{\bar{\mathcal{B}}_+}(x)|$，则$u(x)$是唯一的.
Width and flow of hypersurfaces by curvature functions
本文给出了R^{n+1}中紧致严格凸凸超曲面的消亡时的一个界，该超曲面由一个几何流演化，其中速度由曲率给出.这一结果将Colding和Minicozzi关于中曲率流解的定理推广到了Ben Andrews研究的更广泛的一类流。在证明中，我们使用了超曲面的宽度的概念，由Colding和Minicozzi引入。利用2-宽度，我们将结果推广到2-凸超曲面.
Entire spacelike radial graphs in the Minkowski space, asymptotic to the light-cone, with prescribed scalar curvature
在${\Bbb R}^{n,1}$中，包含在原点$O$的未来中的整个类空超曲面的存在性和唯一性，并且渐近于光锥，在它们的泛点$M$处规定数量曲率为指向$\overrightarrow{OM}$方向的单位向量$\overrightarrow{Om}$的负函数，除以$\overrightarrow{OM}$的范数的平方（膨胀不变问题）。的解决方案是寻求作为图形在未来的单位双曲面发出的$O$（的双曲空间）;径向上，下的解决方案的构造，依赖于以前的结果在笛卡尔设置，意味着它们的存在。
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