The extrinsic curvature of entire minimal graphs in $\H^2\times\R$
J. M. Espinar, M. Magdalena Rodríguez, H. Rosenberg
本文给出了$\H^2\times\R$，$\H^2$和双曲平面中整个极小图的外曲率的一个最优估计.
We obtain an optimal estimate for the extrinsic curvature of an entire minimal graph in $\H^2\times\R$, $\H^2$ the hyperbolic plane.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Semisimplicity of indefinite extrinsic symmetric spaces and mean curvature
本文改进了Schienburg和Kim的一个结果，利用关于中曲率向量的形状算子给出了伪黎曼外对称空间半单性的一个判别准则.
Piecewise Flat Extrinsic Curvature
离散的中曲率和外在的曲率分量的分段平坦的单纯形流形上构造，给出近似的光滑曲率值在大多数网格无关的方式。这些结构给出了组合形式的外在铰链角，内在结构的分段平坦的流形和选择的对偶镶嵌，并可以被视为平均的$n$ -体积积分。构造也与流形维数无关。
Submanifolds with nonpositive extrinsic curvature
证明了Hessian的Omori-Yau弱最大值原理在其上成立的、具有低余维且以小半径圆柱为界的完备子流形必有富含大的正外曲率的点.余维越低，这些点越丰富。半径越小，这种曲率越大。本文的工作统一和推广了前人关于具有非正外曲率子流形的几个结果。
Extrinsic curvatures of distributions of arbitrary codimension
本文利用广义Newton变换，定义了任意余维分布的高阶中曲率，并证明了它们与Brito和Naveira（Ann.GlobalAnal. 18，371-383（2000））。我们还介绍了高阶平均曲率向量场，我们计算他们的发散某些分布，并使用此我们获得总的外在中曲率。
Extrinsic curvature and conformal Gauss-Bonnet for four-manifolds with corner
本文在四维带角点的黎曼流形的角点上定义了两个新的非本征曲率量。其中之一是逐点共形不变量，另一个的共形变换是由一个新的线性二阶逐点共形不变量的部分微分算子。高斯-博内定理就是用这些量来表述的。
Coarse extrinsic curvature of Riemannian submanifolds
本文受Ollivier粗Ricci曲率启发，提出基于Wasserstein 1-距离的黎曼子流形粗外曲率概念，并给出从Poisson点云等统计数据近似平均曲率的方法，可应用于流形学习与度量嵌入中的几何信息推断。
Clifford structures, bilegendrian surfaces, and extrinsic curvature
本文用Clifford代数建立统一框架，将黎曼与半黎曼3-流形中的常外曲率浸入曲面对应于酉丛中的双勒让德曲面，并完整分类了3-球面单位切丛中的完备与紧致浸入双勒让德曲面。
On the extrinsic principal directions and curvatures of Lagrangian submanifolds
从基本几何的子流形将回顾什么是外在的主要切向，（首先研究了卡米尔约旦在$18$ 70年代），什么是主要的第一法向，（首先研究了Kostadin Trencevski在$19$ 90年代），什么是他们相应的Casorati曲率。仅为了说明的简单起见，下文将仅在欧几里得空间中的任意子流形的情况下明确地进行。然后，对于复欧几里得空间中特殊的拉格朗日子流形，建立了这些切向和法向与其相应曲率之间的自然关系.
Stable free boundary surfaces with constant extrinsic curvature in $3$-dimensional space forms
本文针对单连通三维空间形式测地球及R³平板中的自由边界H₂曲面，借助常高阶平均曲率自由边界曲面的稳定性概念，推导得出相应刚性结果。
Backward Uniqueness of Extrinsic Geometric Flow in general ambient manifolds
本文证明了外蕴几何流在一般 ambient 流形中的逆唯一性定理，适用于多种几何流类型。
On the fundamental tone of minimal submanifolds with controlled extrinsic curvature
本文的目的是在一定的外曲率限制下得到欧氏空间或双曲空间的极小子流形的基调。给出了Cartan-Hadamard环境流形中的极小子流形的第第二基本型的范数的一些充分条件，这些条件使我们能够得到相同的上、下界.作为一个内在结果，我们得到了Cartan-Hadamard流形体积增长达到McKean给出的基音下界的一个充分条件.
Complete surfaces with positive extrinsic curvature in product spaces
我们证明了每一个完整的连接浸没表面与积极的外在曲率$K$在$H^2\times R$必须适当地嵌入，同胚到一个领域或一个平面，在后者的情况下，研究的行为结束。然后，我们把注意力集中在具有正的常外曲率的曲面（$K-$曲面）上。我们建立了$S^2\times R$和$H^2\times R$中唯一完整的$K-$曲面是旋转球面。以下是实现这一目标的关键步骤。首先得到了一般环境空间$M^2\times R$中具有切片边界的紧致$K-$曲面的高度估计。然后得到了紧$K-$曲面（和H- $surfaces) in $ H ^2 \times R$）的距离估计.最后构造了一个孤立零点为负指数的二次型。
Submanifolds of codimension two attaining equality in an extrinsic inequality
我们提供了一个参数的建设方面的极小曲面的余维2和任意维的欧几里德子流形，达到平等的一个不等式，由于De Smet，Dillen，Verstraelen和Vrancken。后者涉及到数量曲率、法曲率张量的范数和中曲率向量的长度。
Rotationally symmetric translating solutions to extrinsic geometric flows
类似于中曲率流的碗状孤子，我们构造了一类非常大的外曲率流的旋转对称平移解，即速度为$α$ -齐次（$α>0$）、椭圆且关于主曲率对称的流.我们表明，这些解决方案必然是凸的，并给出精确的速度函数，确定这些翻译定义的所有$\mathbb{R}^{n}$或包含在一个圆柱的标准。对于非零的速度，当至少有一个主曲率是非零的，我们也能够描述渐近的翻译在无穷远。
On the total curvature and extrinsic area growth of surfaces with tamed second fundamental form
本文证明了一个完全的非紧的浸入欧几里得空间中的二次外面积增长的曲面具有有限的全曲率，只要该曲面满足第二基本型且允许全曲率.在这种情况下，我们也得到了一个推广的Chern-Osserman不等式。在非负曲率曲面的特殊情况下，我们证明了如果曲面驯服了第二基本型，则曲面与欧几里德平面同构;如果曲面强驯服了第二基本型，则曲面与欧几里德平面等距.本文的最后一部分刻画了浸入具有极点和径向截面曲率二次衰减的周围空间中的任意驯服的第二基本型子流形的基音。
Extrinsic isoperimetry and compactification of minimal surfaces in Euclidean and Hyperbolic spaces
本文研究了双曲空间和欧几里得空间中具有有限总外曲率的（适当）浸入完备极小曲面$P^2$的拓扑，利用这些曲面中的外球所满足的等周不等式（见\cite{Pa}）.基于上述的等周分析，我们给出了这些极小曲面满足的Chern-Osserman不等式（在$\erre^n$和$\Han$中）的另一个部分统一的证明.最后，我们给出了具有有限总外曲率的双曲空间中完备极小曲面的一个Chern-Osserman型等式。
Some relationships between intrinsic and extrinsic invariants of submanifolds in generalized S-space-forms
本文建立了广义S-空间形式的结构向量场相切子流形的某些内在不变量（包括截面曲率、Ricci曲率和数量曲率）与平方中曲率之间的Chen型不等式，并讨论了它们相等的情形.我们将所得结果应用于斜子流形。
One-sided curvature estimates for H-disks
本文证明了嵌入$\mathbb{R}^3$中的具有常中曲率的圆盘的一个外部单侧曲率估计，它与常中曲率的值无关.我们应用文献[24]中的这种外在单侧曲率估计证明了这些圆盘的弱弦弧型结果。在第4节中，我们应用这个弱弦弧的结果，得到嵌入在具有常数中曲率的$\mathbb{R}^3$中的圆盘的单侧曲率估计的内在形式。在自然意义下，这些单侧曲率估计分别推广了Colding和Minicozzi在[8]的定理0.2和[9]的推论0.8中给出的嵌入在$\mathbb{R}^3$中的极小圆盘的外和内单侧曲率估计.
Comparison of exit moment spectra for extrinsic metric balls
我们证明了环境黎曼空间$N^{n}$中子流形$P^m$的外度量球的布朗运动出射时的$L^1$矩谱的上、下界.我们假设$P$和$N$都具有受控的径向曲率（分别为中曲率和截面曲率），如从$N$中的极点观察的那样。给出了在适当翘曲的乘积模型空间中测地度量球的出射矩谱的界。边界是尖锐的意义上，等式中获得的特征情况下。作为推论，我们也得到了新的内在的比较结果的出射时间谱的周围流形$N^n$本身的度量球。
Extrinsic Paneitz operators and Q-curvatures for hypersurfaces
对于黎曼流形的任意超曲面，最近的工作引入了外赋共形拉普拉斯算子和外赋Q-曲率的概念。本文给出了任意维全脐超曲面的外赋Paneitz算子P_4和相应的外赋Q-曲率的显式表达式。此外，在一般情况下，给出了临界外生P_4和临界外生Q_4的全积分的显式表达式。该积分是整体共形不变量。最后，我们建立了临界外生Q_4的Alexakis-Deser-Schwimmer分解的一个类似形式。
The Gauss map and second fundamental form of surfaces in a Lie group
本文给出了具有给定Gauss映射和正外曲率的可定向单连通曲面到单模李群的等距浸入存在的可积性条件。特别是，我们讨论的情况下，当李群是欧几里德单位球$\mathbb{S}^3$和建立之间的对应关系的简单连接的表面具有外部曲率$K$，$K$从0和-1，沉浸在$\mathbb{S}^3$与简单连接的表面具有非零外部曲率沉浸在欧几里得空间$\mathbb{R}^3$。此外，我们还证明了等距浸入$\mathbb{S}^3$中的曲面具有正的常外曲率当且仅当其高斯映射是到黎曼球面的调和映射。
Extrinsic curvature of codimension one isometric immersions with Hölder continuous derivatives
证明了：如果$n$是偶数，$(M,g)$是紧致的$n$维黎曼流形，其Pfuman形式是体积形式的正倍数，且$y\in C^{1,α}(M;\mathbb{R}^{n+1})$是与$n/(n+1)< α\leq 1$的等距浸入，则$y(M)$是有界外曲率曲面.证明了这一点，表明外在曲率，定义通过一个适当的拉回的体积形式上的$n$ -球通过高斯映射，是相同的内在曲率，定义的Pfidian形式。后一个事实是以积分恒等式的形式陈述的布劳威尔度的高斯映射，这是经典的$C^2$功能，但新的$n>2$在目前的背景下，低的规律性。
Complete surfaces with negative extrinsic curvature
N. V. Efimov \cite{Ef1}证明了在$\R^3$中不存在具有一致负曲率的完整光滑曲面。我们将其推广到具有收缩曲率的三维流形中的等距浸入：如果$M^3$的截面曲率介于两个常数$K_2$和$K_3$之间，则存在$K_1 < \min(K_2, 0)$，使得$M$不包含曲率低于$K_1$的光滑、完整的浸入曲面。确定了$K_1$的最优值。这一结果依赖于双曲型Monge-Freere方程解退化的传播现象。
Generalized Willmore Energies, Q-Curvatures, Extrinsic Paneitz Operators, and Extrinsic Laplacian Powers
四十多年前，Paneitz，以及独立的Fradkin和Tseytlin，发现了一个四阶共形不变的微分算子，本质上定义在共形流形上，将标量映射到标量。该运算符是所谓的外赋帕尼茨运算符的特殊情况，该外赋帕尼茨运算符定义在共形流形本身是共形嵌入超曲面的情况下。特别是，这编码的障碍，以顺利地解决五维标量拉普拉斯方程，和适当的高维类似物，在保形紧凑的结构与恒定的数量曲率。此外，外赋Paneitz算子借助于在牵引丛上的定义，可以作用于一般类型的张量。出于大量的应用程序，我们明确地计算外部Paneitz运营商。我们应用这个公式得到：嵌入四维流形的外耦合Q曲率，具有负常数数量曲率的共形紧致五维流形的重整化体积异常，嵌入四维流形的Willmore能量，光滑求解五维奇异Yamabe问题的局部障碍，以及嵌入曲面和四维流形的新的外耦合四阶和六阶算子.
The mixed Einstein-Hilbert action and extrinsic geometry of foliated manifolds
我们开发的变化公式的数量的外在几何适应变化的度量几乎产品（如叶状）黎曼流形，并应用它们来研究总混合数量曲率的分布-模拟经典的爱因斯坦-希尔伯特作用。混合标量曲率${\rm S}_{\,\rm mix}$是所有平面上的平均截面曲率，这些平面包含来自几乎乘积结构的分布和我们考虑的保持分布正交性的变化的向量。我们得到的方向导数$D J_{\,\rm mix}$（总${\rm S}_{\,\rm mix}$）的适应变化的度量封闭的几乎产品的流形和叶状的任意尺寸。所得到的Euler-Lagrange方程以两种等价形式表示：外几何形式和内部分Ricci张量形式.当然，这些混合场方程允许大量的解（例如，扭曲的产品）。
Extrinsic curvature flows and applications
这些笔记来自于作者在2020年1月在墨尔本大学矩阵研究所举行的几何分析和偏微分方程早期职业研究人员研讨会上的一系列小型讲座。我们讨论了膨胀曲率流的一些经典方面，并得到了一些初步的应用。在这些笔记中，我们将详细介绍讲座中所涉及的内容。
Extrinsic Bonnet-Myers Theorem and almost rigidity
本文证明了正Ricci曲率紧致流形的外在Bonnet-Myers定理，并给出了欧氏空间中正截面曲率且外在直径几乎最大的紧致超曲面的几乎刚性结果。
Extrinsic Isoperimetric Analysis on Submanifolds with Curvatures Bounded from Below
得到了径向截面曲率有下界的周围空间中子流形的外球的等周向量的上界。子流形本身仅被假定为具有下界的中曲率的径向部分的向量场和上的径向部分的内在单位法线的边界处的外在球，分别。同样，我们也建立了外部球中布朗运动的平均退出时间的下界。在这些情况下，我们可以将我们的分析一直延伸到无穷大，我们应用容量比较技术来获得子流形是抛物的充分条件，即保证任何布朗粒子在整个子流形中自由移动的条件，最终必然以概率1重新访问其起点的任何给定邻域。本文的结果是在一个粗略的意义上的对偶本作者以前得到的类似结果在互补的设置，我们假设的曲率有界从上面。
Compactification of the space of Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds with bounded total extrinsic curvature and volume
对于$\mathbb{C}^{n}$中的一列浸入连通闭Hamilton定常拉格朗日子流形，其体积和总外曲率具有一致的界，证明了对于任何远离有限点集的非负整数$k$，其子流形在$C^{k}$中局部一致收敛于一点或收敛于一个Hamilton定常拉格朗日$n$ -varifold，且其极限在${\mathbb{C}}^{n}$中是Hamilton定常的.我们还得到了一个定理，扩展Hamilton定常拉格朗日子流形$L$通过一个紧集$N$的Hausdorff余维至少为2，是局部非崩溃的体积匹配其Hausdorff维数，如果$L$的平均曲率是在$L^{n}$和$L$的局部体积附近的$N$满足的条件。
On quasicomplete $k$-surfaces in $3$-dimensional space-forms
本文引入拟完备性概念，证明在三维空间形式中常正外在曲率且满足 k>Max(0,-c) 的拟完备浸入曲面必为测地球面，从而完成该类曲面的完整分类。
A mean curvature flow approach to Hamilton's pinching theorem
本文通过均曲率流方法证明了Hamilton的外insic收缩定理，采用几何分析手段解决曲面收缩问题。
Catenaries and minimal surfaces of revolution in hyperbolic space
该研究在双曲平面中引入外在悬链线概念，刻画其曲率性质，证明双曲空间极小旋转曲面的母线为外在悬链线，并给出一类外在悬链线的内蕴刻画。
Extrinsic Paneitz operators and $Q$-curvatures for hypersurfaces
对于黎曼流形$X$的任何超曲面$M$，最近的工作引入了外在共形拉普拉斯算子和外在$Q$ -曲率的概念。在这里，我们推导出显式公式的外在版本${\bf P}_4$的Paneitz运营商和相应的外在四阶$Q$曲率${\bf Q}_4$一般尺寸。这个结果涉及到嵌入$M^4 \hookrightarrow X^5$（定义在Weyl张量和无迹第二基本形式中）的一系列明显的局部共形不变量和非平凡的局部共形不变量$\mathcal{C}$。反过来，我们将$\mathcal{C}$确定为两个局部共形不变量$J_1$和$J_2$的线性组合。此外，$J_1$和$J_2$的线性组合可以用嵌入$M \hookrightarrow X$的明显的局部共形不变量来表示。这最终将${\bf Q}_4$结构的非平凡部分简化为非平凡不变式$J_1$。对于闭的$M^4 \hookrightarrow {\mathbb R}^5$，我们将$J_i$的积分与Guven和Graham-Reichert的泛函联系起来.此外，在一般背景下，我们建立了超曲面$M^4 \hookrightarrow X^5$的Graham-Reichert泛函的一个E-Schwimmer型分解.在这种情况下，我们发现一个进一步的局部共形不变$J_3$。最后，我们得到了一个显式公式的奇异Yamabe能量的封闭$M^4 \hookrightarrow …
On the extrinsic geometry of contact structures
本文证明了外曲率对切触结构的拓扑结构没有任何限制，但明显的限制除外。
Quantitative long range curvature estimate for mean curvature flow
证明了光滑凸$α$ -非塌陷古中曲率流对任意一对$x,y$都满足曲率的定量估计$H(y,t)\leq CH(x,t)(H(x,t)|x-y|+1)^2$.换句话说，重新缩放的曲率最多根据重新缩放的外部距离以二次方式增长。
The Penrose inequality in extrinsic geometry
本文解决了G. Huisken的外蕴几何彭罗斯不等式猜想，证明三维渐近平坦支撑曲面的外质量下界，刻画等号情形的半悬链面结构，并通过极小毛细曲面的非递减量完成证明，为悬链面提供新的几何刻画。
Ends, fundamental tones, and capacities of minimal submanifolds via extrinsic comparison theory
研究了具有可控径向截面曲率的极小子流形在具有极点的环境流形中的外球体积和外环容量.关键的结果是关注的旋转对称模型流形中的相应实体的体积和容量的比较。使用的体积和容量的渐近行为，然后我们得到上界的数量的结束，以及估计的基本色调的子流形的问题。
Some sharp differential sphere theorems for nonnegative scalar curvature manifolds
本文利用Ricci流得到了几个新的内、外微分球面定理。对于内禀情形，我们证明了闭单连通$n(\ge 4)$维黎曼流形$M$与$S^n$是同构的，如果下列条件之一点态成立：$$ (i)\ R_0>\left(1-\frac{24(\sqrt{10}-3)}{n(n-1)}\right)K_{max};\quad \ (ii)\ \frac{Ric^{[4]}}{4(n-1)}>\left(1-\frac{6(\sqrt{10}-3)}{n-1}\right)K_{max}.$$这里$K_{max}$，$Ric^{[k]}$和$R_0$分别代表最大截面曲率，$k$次弱Ricci曲率和归一化数量曲率.对于外部情况，即，当$M$是浸入$\bar{M}$的闭单连通$n(\ge 4)$维子流形时.我们证明了$M$与$S^n$是同构的，如果它满足一些pinching曲率条件。在我们的拼挤条件中，唯一涉及的外部量是最大截面曲率$\bar K_{max}$和平均曲率向量的平方范数$\vert H\vert^2$。更准确地说，我们证明了$M$是同构的$S^n$，如果以下条件之一成立：\begin{itemize} \item[(1)] $R_0\ge \left(1-\frac{2}{n(n-1)}\right)\bar{K}_{max} +\frac{n(n-2)}{(n-1)^2}\vert H\…
Piecewise flat approximations of local extrinsic curvature for non-Euclidean embeddings
本文在分段平坦流形上构造平均曲率和有向曲率的离散形式，通过铰链角加权标量和为欧几里得与非欧几里得空间中的光滑流形提供局部曲率近似，并证明了随网格细化收敛于光滑曲率值。
Asymptotically extrinsic tamed submanifolds
本文从外在的观点研究了常截面曲率实空间型$κ\leq 0$中等距浸入的开子流形在无穷远处的结构。我们将使用衰减的第二基本型的所谓驯服浸入，以获得一个描述在无穷远的子流形线的结构结果的文件Internat。Math.Res.Notices1994，no.9，作者R. E. Greene，P. Petersen和S. Zhou and Math.Ann.2001，321（4），authenticated by A. Petrunin和W.图希曼我们也将从下面得到一个估计的数量，其端部的体积增长方面的一类特殊的外部域，外部球。
Spectral Bernstein theorems for submanifolds in Euclidean spaces
本文研究欧几里得空间中子流形的本质谱，探讨了有限总均曲率、外向距离梯度收敛性、外向体积增长或曲率pinching等几何条件，并证明了当子流形的二阶基本形式满足L^p有界时，其本质谱为[0, +∞)。
Intrinsic and extrinsic geometry of hypersurfaces in $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$
本文利用外几何给出了$\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$和$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$中共形平坦超曲面和径向平坦超曲面的几何特征.在适当的形状算子条件下，我们利用旋转超曲面对共形平坦超曲面进行了分类。此外，还建立了径向平坦超曲面与半平行超曲面之间的密切关系。这些结果给出了具有特殊内禀结构的超曲面的几何描述，如Einstein度量、Ricci孤子和具有常数量曲率的超曲面。
Curvature estimates for submanifolds in warped products
给出了等距浸入流形作为翘曲积的圆柱有界子流形的内曲率和外曲率的估计。我们还解决的情况下的全空间的黎曼淹没子流形的结果的扩展。
Curvature estimates for constant mean curvature surfaces
我们推导出嵌入在$\mathbb{R}^3$与非零常数中曲率光盘的外在曲率估计。
Extrinsic geometry of the Gromoll-Meyer sphere
在Sp（2）上的一族2参数左不变度量中，我们确定了哪些度量具有非负截面曲率，哪些度量是Einstein度量.在广义$\widetilde{N}^{11}=(Sp(2)\times S^4)/S^3$上，我们构造了一个齐次等参叶理，它的等参超曲面与Sp（2）同构.进一步，在广义$\widetilde{N}^{11}/S^3$上，我们构造了一个超正规系统，其超正规超曲面与Gromoll-Meyer球面$Σ^7$同构.并且，每个超曲面上的诱导度量同时具有正的里奇曲率和拟正的截面曲率.
Extrinsci radius pinching in space forms of nonnegative sectional curvature
利用高阶中曲率给出了欧几里得空间和开半球的紧致超曲面的外半径的新估计。然后我们证明了与这些估计相对应的拼挤结果。证明了在适当的拼挤条件下，该超曲面是测地超球面的仿射同构且几乎等距。
Modified mean curvature flow of graphs in Riemannian manifolds
本文研究了在具有Killing向量场的Riemannian流形中修改的平均曲率流，得出了先验估计并证明了光滑整体长时间解的存在性。
Residue families, singular Yamabe problems and extrinsic conformal Laplacians
设$(X,g)$是具有边界$M^n$的紧致流形，$σ$是$M$的定义函数.对于这些数据，我们将自然共形协变多项式单参数微分算子族$C^\infty(X) \to C^\infty(M)$联系起来。它们是通过一个剩余的建设，推广了早期的建设框架内的庞加莱-爱因斯坦度量。剩余族定义的主要成分是奇异度量$σ^{-2}g$的拉普拉斯算子的本征函数。证明了如果$σ$是奇异Yamabe问题的近似解，则这些族可以表示为某些退化Laplacian的合成.这一结果意味着Gover和Waldron在最近的著作中引入的外保形Laplacian和外$Q$ -曲率的概念可以自然地用剩余族来重新表述。新的谱理论的角度使我们能够与外在的共形拉普拉斯算子和关键的外在$Q$ -曲率的散射算子的渐近双曲度量$σ^{-2}g$扩展工作的格雷厄姆和Zworski。后一种关系意味着外在共形拉普拉斯算子是自伴的。本文用Laplace-Robin算子描述了奇异Yamabe度量体积的渐近展开。我们还推导出新的本地全息公式的所有外部$Q$ -曲率的重整化体积系数，标量曲率的背景度量，和渐近展开的拉普拉斯算子的奇异度量$σ^{-2}g$的本征函数。此外，我们证明了一个新的公式的奇异Yamabe障碍$B_n$，我们使用后一个公式推导出明确的表达式的障碍在低阶的情况下（确认以前的结果）。最后，我们将障碍物$B_n$与超临界$Q$ -曲率…
Discrete extrinsic curvatures based on polar polyhedra concept
本文利用局部极多面体序列构造球面高斯映射的分片仿射逼近，得到平均曲率和高斯曲率的逐点收敛逼近，并实现弯曲能量的自然离散化。
A Rigidity Result for Minimal Rotation Hypersurfaces of 5D Spaces of Constant Curvature
本文证明五维常曲率空间中极小超曲面上的一个外在逐点不变量非正，且其恒为零当且仅当超曲面为旋转超曲面，并猜想该刚性结果可推广到其他维数。
Curvature estimates for properly immersed $ϕ_{h}$-bounded submanifolds
Jorge-Koutrofiotis和Pigola-Rigoli-Setti证明了外有界子流形的锐截面曲率估计。Bessa和Montenegro证明了这些估计在适当浸入的圆柱有界子流形上成立。另一方面，Bessa和Dajczer证明了适当浸入圆柱有界子流形的精确中曲率估计.在本文中，我们证明了这些截面和中曲率估计的一个更大的类的子流形，适当浸入$ϕ$ -有界子流形。
Isolated singularities of graphs in warped products and Monge-Ampère equations
研究了三维翘曲积空间中具有不可移孤立奇点的正外曲率图，并描述了它们在几种自然情况下在奇点处的行为.本文利用蒙日-安培方程对三维空间形式中的曲面进行了分类，这些曲面嵌入在不可移的孤立奇点周围，并且在每一点上都有一个规定的、实解析的、正的外曲率函数。具体地说，我们证明了这个空间是在一对一的对应空间的定期，解析，严格凸约旦曲线在2维球体$\mathbb{S^2}$。
Entire bounded constant mean curvature Killing graphs
本文证明了在一定曲率条件下，位于板内的具有常中曲率的整Killing图必是全测地切片。
Entire unbounded constant mean curvature Killing graphs
本文给出了位于可能无界区域内的整常中曲率Killing图必为切片的条件。
Convexity estimate for translating solitons of concave fully nonlinear extrinsic geometric flows in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文的主要结果是外几何流在主曲率的$1$ -齐次凹函数下演化的平移孤子的凸性估计。此外，我们显示这些超曲面的例子在$\mathbb{R}^{n+1}$的特定功能。
Mass from an Extrinsic Point of View
本文从外蕴角度将浸入子流形的第 $q$ 阶 Gauss–Bonnet–Chern 质量写成总平均曲率与曲率向量—位置向量积分两项的线性组合，并据此导出对应正质量定理成立时的几何不等式。
Height estimates for surfaces with some constant curvature in $\mathbb{r} \times_{f} \mathbb{r}^{2}$
本文利用共形参数推导翘积空间中正外在或平均曲率曲面的必要方程，给出高度估计并分类紧致极小图，扩展了先前研究。
Intrinsic and extrinsic comparison results for isoperimetric quotients and capacities in weighted manifolds
设$(M,g)$是一个完备的非紧黎曼流形，并有一个函数$e^h$，它对与黎曼度量相关联的Hausdorff测度进行加权.在这项工作中，我们假设一些加权或未加权的$M$曲率的径向下界或上界推导比较的加权等周商和度量球在$M$集中在一个点$o\in M$的加权容量。作为结果，我们得到了抛物性和双曲性准则的加权流形推广以前的。在我们的研究中的一个基本工具是从$o$的距离函数的加权拉普拉斯分析。该技术扩展到适当浸入$M$中的非紧子流形，并对其加权平均曲率进行一定的控制。
Linear Regression on Manifold Structured Data: the Impact of Extrinsic Geometry on Solutions
该研究针对流形结构数据的线性回归问题，分析了数据流形外在几何（曲率或高阶非线性项）对回归解唯一性的影响，明确了流形几何在保障分布外推理时回归模型稳定性的作用。
Conformal Geometry of Embedded Manifolds with Boundary from Universal Holographic Formulae
对于带边界的嵌入共形超曲面，我们构造了临界阶局部不变量及其正则相关的微分算子。这些都是在使用奇异Yamabe问题和相应的最小超曲面与边界的建设全息。它们包括一个外在的Q-曲率的嵌入式共形流形的边界，其内部，Q-曲率和伴随的边界海侵曲率。这给出了通用公式的外在类似物的布兰森Q-曲率，同时推广的Willmore能量密度，包括边界海侵条款所需的共形不变性。给出了与这些曲率相关的外共形Laplacian幂型算子。该构造还给出了边界在共形无穷远处的极小超曲面所确定的体积和超面积渐近中的发散项和反常项的计算公式。一个主要特点是发展一个普遍的，基于分布的，边界演算的治疗这些和相关的问题。
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