Almost sure convergence of numerical approximations for Piecewise Deterministic Markov Processes
Institute for Stochastics, Johannes Kepler University（约瀚内斯·开普勒大学随机数学研究所）
本文针对分段确定性马尔可夫过程，通过将随机跳跃时间转化为带随机阈值的常微分方程组首达时间问题，并利用确定性连续数值方法求解，证明了随机算法的几乎必然渐近收敛率与嵌入的确定性方法阶数相同。
2011-12-06 cs.NA math.NA math.PR
Stability and convergence analysis of a class of continuous piecewise polynomial approximations for time fractional differential equations
Utrecht University（乌得勒支大学）
本文提出并研究了一类用于近似时间分数微分方程的数值方法，基于连续分段多项式近似Caputo分数导数，分析了局部截断误差、全局误差及A(π/2)-稳定性，并通过数值实验验证理论结果。
2017-03-22 cs.NA math.NA
Convergence of Lagrange finite elements for the Maxwell Eigenvalue Problem in 2D
我们考虑二维麦克斯韦本征值问题的有限元近似。我们证明，在一定的设置，收敛的离散特征值使用拉格朗日有限元。特别是，我们证明了收敛在三种情况下：分段线性元的鲍威尔-萨宾三角形，分段二次元的Clough-Tocher三角形，和分段四次（和更高）的一般形状规则三角形的元素。我们提供了支持理论结果的数值实验。计算还表明，在一般的三角剖分，特征值近似是非常敏感的近奇异顶点，即，恰好落在两条“几乎”直线上的顶点。
2021-02-16 cs.NA math.NA
Convergence of the tamed Euler scheme for stochastic differential equations with Piecewise Continuous Arguments under non-Lipschitz continuous coefficients
Department of Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学系）
本文研究了带有分段连续参数的随机微分方程在非利普希茨连续系数下的tamed欧拉方案收敛性，证明该方法具有强一阶收敛性。
2015-01-31 cs.NA math.NA
Numerical Approximations and Convergence Analysis of Piecewise Diffusion Markov Processes, with Application to Glioma Cell Migration
本文提出基于thin方法与Euler-Maruyama格式的PDifMP数值逼近方案，证明其均方与弱收敛性，并应用于神经胶质瘤细胞迁移模拟。
2024-08-22 cs.NA math.NA math.PR
Adaptive Reconstruction for Electrical Impedance Tomography with a Piecewise Constant Conductivity
University College London（伦敦大学学院）；Shanghai Normal University（上海师范大学）
本文提出并分析了一种数值方法，用于从边界电压测量中恢复分段常数电导率，该方法基于标准Tikhonov正则化与Modica-Mortola惩罚泛函，并利用合适的后验误差估计器进行自适应网格细化。证明了自适应算法的收敛性，并通过数值实验展示了算法的收敛行为。
2019-04-18 cs.NA math.NA math.OC
Strong convergence of the adaptive Milstein method for nonlinear stochastic differential equations with piecewise continuous arguments
针对非线性分段连续参数随机微分方程，提出自适应Milstein方法，解决超线性增长下显式方法发散问题，证明其强收敛且收敛阶最优，并用数值实验验证。
2025-02-24 cs.NA math.NA
Adaptive Piecewise Poly-Sinc Methods for Ordinary Differential Equations
提出了一种新的基于Sinc点的常微分方程自适应分段逼近方法。自适应方法是一种分段配置法，它利用Poly-Sinc插值来达到近似的预定精度水平。我们的工作扩展了自适应分段Poly-Sinc方法的函数逼近，我们推导出一个先验的误差估计，我们的自适应方法，并显示其指数收敛的迭代次数。在这项工作中，我们显示了指数收敛的迭代次数的先验误差估计得到的分段配置法，提供了一个很好的估计的精确解的常微分方程在Sinc点存在。我们使用统计方法进行分区细化。在正则和刚性常微分方程上验证了自适应贪婪分段Poly-Sinc算法。
2022-09-27 cs.NA math.NA
A Fast Volume Integral Equation Solver with Linear Basis Functions for the Accurate Computation of Electromagnetic Fields in MRI
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术学院）；Q Bio
本文提出了一种基于极化/磁化电流的稳定体积积分方程求解器，用于高效准确计算高不均匀和高对比物体的电磁散射。通过使用Galerkin方法对离散化后的公式进行离散化，采用不连续分段线性基函数在均匀体素网格上进行处理，利用FFT加速迭代求解器中的矩阵-向量乘积。数值结果表明，与标准低阶（分段常数）离散化方案和基于电通量密度的更传统VIE公式相比，所提出的框架具有更高的精度和更稳定的收敛性。最后，该求解器被应用于分析复杂几何结构，包括常用于电磁波与生物组织相互作用建模的现实人体模型。
2020-12-23 cs.CE cs.NA math.NA
Fractional semilinear optimal control: optimality conditions, convergence, and error analysis
采用分数阶Laplace算子的积分定义，分析了一类分数阶半线性椭圆型偏微分方程（PDE）的最优控制问题，并考虑了控制约束.我们建立了分数阶半线性椭圆偏微分方程的适定性，并分析了其正则性和合适的有限元离散。在我们的最优控制问题的设置，我们推导出最优解的存在性以及第一和第二阶最优性条件的最优变量的正则性估计也进行了分析。我们设计了一个完全离散的计划，近似控制变量与分段常数函数的状态和伴随方程离散连续分段线性有限元。我们分析了离散化的收敛性质，并推导出先验的误差估计。
2021-09-03 cs.NA math.NA math.OC
Convergence of Adaptive, Randomized, Iterative Linear Solvers
确定性和随机性，行作用和列作用线性求解器由于其简单性，低计算和存储复杂性以及易于与其他技术组合而变得越来越受欢迎。此外，为了实现高性能，这样的求解器必须经常适应给定的问题结构和硬件平台上的问题将被解决。不幸的是，确定这种适应性求解器是否会收敛到一个解决方案，需要同样独特的分析。因此，适应性强、可靠的求解器开发和部署缓慢。在这项工作中，我们提供了一个一般的假设下，这种适应求解器保证收敛概率为1，并提供最坏情况下的收敛速度。因此，我们可以为从业者提供指导，指导他们如何设计高度适应的、随机的或确定性的、行作用或列作用的线性求解器，这些线性求解器也保证收敛。
2021-04-26 cs.NA math.NA
Piecewise linear secant approximation via Algorithmic Piecewise Differentiation
School of Mathematical Sciences and Information Technology, Ecuador（厄瓜多尔数学与信息技术学院）；Zuse Institute Berlin, Germany（柏林祖斯研究所）；Humboldt University of Berlin, Germany（柏林洪堡大学）；Technical University of Berlin, Germany（柏林工业大学）
本文提出通过算法分段微分对分段可微函数进行局部分段线性近似，证明其误差为双线性阶，并基于此提出广义牛顿法，证明其收敛性及收敛速率与半光滑牛顿法相当。
2017-08-11 cs.NA math.NA
Total Generalized Variation for Inverse Problems Involving Piecewise Linear Finite Elements
Institute for Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）；Heart Center Bonn, Department of Internal Medicine II, University Hospital Bonn（波恩大学医院第二内科心脏中心）；Department of Mathematics, University of Trento（特伦托大学数学系）
本文证明分段线性有限元离散化在二阶总广义变分泛函中的收敛性，并推广至时空设置，收敛速率为h^{1/4}，数值实验验证了理论，并在心电图成像逆问题中改进现有技术。
2026-09-14 cs.NA math.NA
On Convergence Lemma and Convergence Stability for Piecewise Analytic Functions
Peking University（北京大学）
本文证明了函数$f$是解析映射和极大算子的有限复合的一个收敛引理。引理表明，在孤立的局部极小点$x^*$附近的$δ$ -平稳点集收缩为$x^*$为$δ\to 0$。它是强凸$C^1$函数形式的自然扩展。然而，引理的正确性是微妙的。解析映射对于引理是必要的，因为用可微映射或$C^\infty$映射替换它会使引理为假。证明是基于分层定理的半解析集的Eschojasiewicz。这个证明的一个扩展提出了一个几何特征的一组不动点的$f$。最后，提出了稳定点的概念，称为收敛稳定性。它问，在小的数值误差下，是否一个合理的收敛优化方法开始附近的一个稳定点，最终应该收敛到同一个稳定点。只有当目标函数既非光滑又非凸时，收敛稳定性的概念才定性地变得非平凡。利用收敛引理，给出了$f$收敛稳定性的直观等价条件.这些结果为研究非光滑非凸优化的“何处收敛”问题提供了一个新的几何视角。
2022-08-11 cs.AI cs.GT cs.LG
A nested Schur complement solver with mesh-independent convergence for the time domain photonics modeling
提出了一种嵌套Schur补求解器，用于求解Maxwell方程组在完全匹配层（PML）无反射边界条件下的指数和隐式时间积分所产生的线性系的迭代解.这些线性系是所谓的双鞍点系统，其结构由Schur补解算器以嵌套的两级方式处理。求解器被证明有一个网格独立的收敛在外部的水平，而内部的水平系统是椭圆型的，因此可以有效地处理各种求解器。
2019-01-31 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Convergence analysis of two-level methods with general coarse solvers
多层方法是求解离散偏微分方程的大规模线性系的最有效的数值方法之一。此类方法的基本模块是两级过程，由兼容松弛和粗级校正组成。关于两级收敛理论，以前的大多数工作集中在精确（Galerkin）粗解的情况下。然而，在实践中，它往往是太昂贵，以解决伽辽金粗层次系统时，它的大小是相对较大的。与精确情形相比，非精确两层方法的收敛性理论更具有实际意义，但在文献中的研究还比较少，特别是当使用非线性粗解器时。在本文中，我们建立了一个一般的框架来分析收敛性的不精确两层方法，其中粗层系统是通过一个内部迭代程序近似求解。该框架允许我们在内迭代中使用各种（线性、非线性、确定性、随机或混合）求解器，只要相应的精度估计可用。
2021-11-07 cs.NA math.NA
Convergence of first-order Finite Volume Method based on Exact Riemann Solver for the Complete Compressible Euler Equations
最近发展的概念耗散可压缩流的测量值的解决方案是一个合适的工具来描述可能发展的多维欧拉方程的解决方案中的振荡和奇异性。本文研究完全可压缩Euler方程基于精确黎曼解算子的一阶有限体积法的收敛性。具体地，我们推导了熵不等式，并证明了数值方法的一致性。通过对极限的讨论，证明了数值解的弱收敛性和强收敛性，并给出了它们的极限。对螺旋线、Kelvin-Helmholtz和Richtmyer-Meshkov问题的数值结果与我们的理论分析是一致的。
2021-05-05 cs.NA math.NA
Sparse Hierarchical Solvers with Guaranteed Convergence
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出一种稀疏线性系统求解器，通过提高低频误差精度，增强求解器对线性系统条件数的鲁棒性，保持线性计算成本和内存占用。
2017-03-13 cs.NA math.NA
On the Penalty term for the Mixed Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation
本文研究了由\cite{gudi2008mixed}提出的求解双调和方程的混合间断Galerkin有限元法中罚项的影响。所提出的混合间断伽辽金法对分段二次元元显示出次优的收敛速度，而对分段线性元没有显著的收敛速度。我们表明，通过选择惩罚项成比例的$|e_k|^{-1}$而不是$|e_k|^{-3}$，确保最佳的收敛速率的近似，包括分段线性元。最后，我们提出了数值实验来验证我们的理论结果。
2020-05-22 cs.NA math.NA
Fast solution of incompressible flow problems with two-level pressure approximation
本文针对增广Taylor-Hood混合逼近离散的不可压缩流动问题，开发了基于奇异压力质量矩阵和两阶段压力对流-扩散策略的高效预条件迭代求解器，以解决压力过度指定带来的求解困难。
2024-05-28 cs.NA math.NA
Continuous-data-assimilation-enabled fast and robust convergence of an Uzawa-based solver for Navier-Stokes equations with large Reynolds number
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种结合连续数据同化（CDA）的Uzawa求解器，用于加速和保证大雷诺数Navier-Stokes方程的收敛，通过部分解数据提升收敛速度和鲁棒性。
2026-03-23 cs.NA math.NA
A proof of convergence for the gradient descent optimization method with random initializations in the training of neural networks with ReLU activation for piecewise linear target functions
University of Münster（明斯特大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳大数据研究院）
梯度下降（GD）型最优化方法是用整流线性单元（ReLU）激活来训练人工神经网络（ANN）的标准工具。尽管GD型最优化方法在用ReLU激活训练ANN的数值模拟中取得了巨大成功，它仍然是-即使在最简单的情况下，普通香草GD最优化方法与随机初始化和人工神经网络与一个隐藏层-一个开放的问题，以证明（或反驳）GD最优化方法的风险在这样的ANN的训练中收敛到零作为ANN的宽度的猜想，独立随机初始化的数量和GD步骤的数量增加到无穷大。在本文中，我们证明了这一猜想的情况下，输入数据的概率分布是一个紧凑的区间上的连续均匀分布，其中的概率分布的神经网络参数的随机初始化是标准正态分布，和所考虑的目标函数是连续和分段仿射线性。粗略地说，在我们的数学收敛分析中的关键成分是（i）证明风险函数的全局最小值的合适集合是\emph{twice continuously differentiable submanifolds of the ANN parameter spaces}，（ii）证明这些全局最小值的集合上的风险函数的Hessian满足适当的\emph{maximal rank condition}，并且，此后，（iii）应用[Fehrman，B.，Gess，B.，Jentzen，A.，非凸目标函数的随机梯度下降法的收敛速度。J·马赫。学习. Res. 21（136）：1- 48，2020]以建立具有随机初…
2021-08-10 cs.LG cs.NA math.NA
On the convergence of iterative solvers for polygonal discontinuous Galerkin discretizations
本文研究了多边形网格元素对不连续Galerkin离散化超几何守恒律系统迭代求解器收敛性的影响，通过von Neumann分析和数值实验验证了六边形和正方形网格在块Jacobi方法中具有更小的特征值，从而加快收敛速度。
2018-01-12 cs.NA math.NA
On Computational Order of Convergence of some Multi-Precision Solvers of Nonlinear Systems of Equations
Technical University of Catalonia（加泰罗尼亚理工大学）
本文重新审视了求解非线性方程组的迭代方法的局部收敛阶，给出了基于多重线性函数展开的简短解析证明，并定义了自适应多精度算术下的计算收敛阶的m维推广。
2011-06-06 cs.NA math.NA
High-order mass-lumped schemes for nonlinear degenerate elliptic equations
我们提出并分析了一个数值框架的Stefan或多孔介质类型的非线性退化椭圆型方程的近似。这个框架是基于分段常数近似的功能，我们证明是必要的，以获得收敛和误差估计。收敛性是建立在没有正则性假设的解决方案。然后进行详细的分析，以了解设计性能，使计划，尽管这些分段常数近似和退化的模型，以满足高阶误差估计，如果解决方案是分段光滑。数值试验，连续和不连续的近似方法的基础上，提供了各种1D和2D的问题，退化的性质和设计选择的收敛速度的影响。
2019-12-19 cs.NA math.NA
Convergence Guarantees for Gradient-Based Training of Neural PDE Solvers: From Linear to Nonlinear PDEs
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；Institute of Natural Sciences, MOE-LSC, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学自然科学研究院，教育部计算数学重点实验室）；CMA-Shanghai, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学上海市应用数学中心）
本文提出统一收敛理论，证明线性PDE下PINNs的全局收敛和非线性PDE下随机特征模型收敛到临界点，并揭示隐式正则化效应，实验验证了理论。
2025-10-08 cs.NA math.NA
Error Estimation of Numerical Solvers for Linear Ordinary Differential Equations
本文提出基于分段赫尔米特插值的残差定义，用于评估数值解的可靠性，并通过实例展示其在多种ODE模型中的有效性。
2018-04-10 cs.NA math.NA
Efficient Direct Space-Time Finite Element Solvers for Parabolic Initial-Boundary Value Problems in Anisotropic Sobolev Spaces
考虑了各向异性索伯列夫空间中抛物型初边值问题的时空变分形式和Hilbert型变换。这种变分设置是时空伽辽金有限元离散化的起点，该离散化导致代数方程的大的全局线性系。我们提出并研究了新的有效的直接求解器为这个系统。特别是，我们使用张量积方法与分段多项式，全球连续的animation和检验函数。所开发的求解器是基于Bartels-Stewart方法和快速对角化方法，从而解决了一系列的空间子问题。基于快速对角化方法的求解器允许并行解决这些空间子问题，从而在时间上完全并行化。我们分析了所提出的算法的复杂性，并给出了一个二维空间域的数值例子，其中稀疏的空间子问题的直接求解器。
2020-08-05 cs.NA math.NA
Piecewise Constant Policy Approximations to Hamilton-Jacobi-Bellman Equations
University of Oxford（牛津大学）；Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院）
本文研究了分段常数策略时间步进在求解HJB方程中的优势，展示了不同线性近似方案和网格可用于不同控制参数的线性方程，通过等价于切换系统和一致性、稳定性和单调性论证，证明了使用受限的更高阶插值可保证收敛性，并通过投资和期权定价模型进行数值测试。
2016-01-20 cs.NA math.NA
Piecewise orthogonal collocation for computing periodic solutions of coupled delay equations
本文将分段正交配置方法扩展至计算耦合更新和延迟微分方程的周期解，通过严格误差分析证明了相关有限元方法的收敛性并给出理论误差估计，最后以数值实验验证理论结果。
2023-05-20 cs.NA math.NA
Global convergence of iterative solvers for problems of nonlinear magnetostatics
本文研究非线性磁静力学问题的迭代求解器收敛性，利用等价的最小化问题证明了阻尼牛顿法等方法的全局线性收敛性，并验证了理论结果在多种近似方案中的适用性。
2024-03-27 cs.NA math.NA
$Γ$-Convergence of an Ambrosio-Tortorelli approximation scheme for image segmentation
本文证明了Ambrosio-Tortorelli逼近在分片光滑设置下对Mumford-Shah泛函的$\Gamma$-收敛，从而为图像分割中该逼近的极小元收敛性提供了理论保证。
2023-09-04 cs.NA math.AP math.NA
Piecewise orthogonal collocation for computing periodic solutions of renewal equations
本文将分段正交配置法用于更新方程周期解计算，给出严格误差分析与收敛性证明，并通过数值实验及分岔分析应用验证其有效性。
2023-12-07 cs.NA math.NA
Implicit Neural Solver for Time-dependent Linear PDEs with Convergence Guarantee
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）
快速精确求解含时不定常偏微分方程是物理、工程、生物等领域的研究热点。一般来说，隐格式格式比显式格式具有更好的稳定性和正确性。现有的隐格式格式通常是迭代的，并采用一个通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器学习一类偏微分方程的最佳迭代方案，在数据驱动的方式。我们通过使用深度神经网络修改现有半隐式求解器的迭代来实现这一目标。此外，我们从理论上证明，我们的方法保留了现有的迭代求解器提供的正确性和收敛性保证。我们还证明，我们的模型推广到一个不同的参数设置比在训练过程中看到的，并实现更快的收敛相比，半隐格式。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
Convergence of a Deep BSDE solver with jumps
该研究针对带跳解耦FBSDE及相关PIDE的深度学习数值逼近误差，拓展已有经典工作，给出有限和无限活动情形下的先验与后验误差估计。
2025-01-16 cs.NA math.NA math.OC
Convergence theory for IETI-DP solvers for discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis that is explicit in h and p
在本文中，我们开发了一个收敛理论的双原始等几何撕裂和互连（IETI-DP）求解器等几何多补丁离散的泊松问题，其中补丁耦合使用不连续的伽辽金。所提出的理论提供了条件数的界限，是明确的网格大小h和样条度p。我们给出了一个分析，认为各种选择的原始自由度：顶点值，边缘平均值，和两者的组合。如果仅取顶点值或顶点值和边平均值作为原始自由度，则条件数界与相容情形相同。如果只取边缘平均值，收敛理论和实验都表明，预处理系统的条件数随相邻块上网格尺寸的比值而增长。
2020-05-19 cs.NA math.NA
Sign controlled solvers for the absolute value equation with an application to support vector machines
设$A$是一个实$n\times n$矩阵，而$z,b\in \mathbb R^n$ .分段线性方程组$z-A\vert z\vert = b$称为绝对值方程。它等价于一般的线性互补性问题，因而一般是NP难的.关于后者的问题，三个解决方案：一个直接的，一个半迭代和一个离散变量的阻尼牛顿。他们以前证明的范围内的正确性和收敛性，分别延长。它们的性能进行比较的XOR分离问题的支持向量机，可以重新制定为一个绝对值方程的实例。
2021-03-03 cs.NA math.NA
Piecewise monotone estimation in one-parameter exponential family
本研究针对单参数指数族提出分段单调参数序列的估计方法，基于修改的PAVA算法利用自然与期望参数对偶性，并通过信息准则选择正则化参数，模拟验证其数据驱动检测变点能力，应用于谱估计、因果推断及ODE求解器误差量化。
2023-12-22 cs.NA math.NA math.ST
Smoothing Newton Methods for Evolving Piecewise Smooth Systems Arising from Parabolic PDEs with Hysteresis
Peking University（北京大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出了一种基于平滑牛顿法的求解器，用于解决含连续滞回算子的抛物方程，实现了有限元误差分析及高效收敛性。
2026-10-20 cs.NA math.NA
Learning Neural PDE Solvers with Convergence Guarantees
提出一种用深度神经网络修改现有迭代求解器更新以学习特定领域快速求解器的方法，保留收敛保证，在单一几何上训练后泛化到多种几何和边界条件，实现2-3倍加速。
2019-06-04 cs.NA math.NA stat.CO
A mixed finite element method with piecewise linear elements for the biharmonic equation on surfaces
对于R2中的区域，用混合有限元法和三角形元上的分段线性（边界三角形可能除外）有限元离散Dirichlet和Neumann边界条件的双调和方程已经得到了很好的研究。这里我们研究多面体曲面上的类似问题。特别地，我们给出了双调和方程的离散解到相应光滑解的收敛性证明。我们得到的收敛速度是相同的已知的平面设置。我们的证明集中在三个不同的问题上：求解曲面上的双调和方程，在曲面度量下求解离散空间中的双调和方程，在曲面多面体近似度量下求解离散空间中的双调和方程.我们使用逆离散拉普拉斯算子来限制两个离散问题的解之间的误差，并推广了一个平坦的策略来限制曲面上的离散解和精确解之间的剩余误差。
2022-04-20 cs.NA math.NA
Adaptive Morley FEM for the von Kármán equations with optimal convergence rates
自适应Morley有限元法（FEM）在Dörfler标记下以最优的收敛速度逼近vonKármán方程的正则解。这遵循一般公理框架的稳定性，减少，离散可靠性和准正交性的显式残差为基础的误差估计的关键参数。特别要注意的是，在所产生的三线性形式中的弱制定的senderdiscretisation的非线性和分段Sobolev嵌入。离散可靠性遵循符合同伴的离散Morley函数从medius分析。准正交性也依赖于一种新的分段$H^1$的先验误差估计和仔细的非线性分析。
2020-11-17 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of a Preconditioned Steepest Descent Solver for the Cahn-Hilliard Equation with Logarithmic Potential
针对带对数势的Cahn-Hilliard方程有限差分格式计算效率问题，提出保正的预处理最速下降迭代求解器，证明其几何收敛性，数值验证了鲁棒性与效率。
2024-12-09 cs.NA math.NA
Convergence rates for gradient descent in the training of overparameterized artificial neural networks with piecewise affine activation
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen (CUHK-Shenzhen)（香港中文大学（深圳））
本文研究了在过参数化 regime 下，使用分段仿射激活函数的人工神经网络通过批量梯度下降优化时的收敛速度问题，证明了在神经网络宽度足够大且学习率足够小的情况下，均方误差以线性速度收敛到零。
2026-05-19 cs.LG cs.NA math.NA
A multigrid-reduction-in-time solver with a new two-level convergence for unsteady fractional Laplacian problems
多重网格减少时间（MGRIT）技术已被证明是成功的，在实现更高的运行时加速利用时间上的并行性。本文的目标是开发和分析一个MGRIT算法，使用FCF松弛与时间相关的时间网格传播，寻求非定常分数拉普拉斯问题的有限元近似。文[L.陈河，巴西-地H. Nochetto，E. Ot{á}rola，A. J. Salgado，Math.Comp.85（2016）2583- 2607]被选择为空间解算器。由[B]驱动。S. Southworth，SIAM J. Matrix Anal. 40（2019）564- 608]，我们提供了一个新的时间特征值近似性质，然后推导出一个广义的两级收敛理论，该理论消除了[X. Q. Yue，S. Shu，X. W. Xu，W. P. Bu，K. J. Pan，Comput.数学应用78（2019）3471- 3484]。通过数值计算证实了理论预测的正确性，并证明了收敛上界的精确性。
2021-02-09 cs.NA math.NA
Randomized Block Adaptive Linear System Solvers
针对随机线性求解器理论收敛速率与实际效率脱节的问题，提出三项通用准则，保证适配型随机求解器对各类线性系统有最坏情况指数收敛速率，并在26种求解器上验证了理论有效性。
2023-04-27 cs.NA math.NA
Randomized Orthogonal Projection Methods for Krylov Subspace Solvers
随机正交投影方法（ROPMs）可以用来加速Krylov子空间方法在各种情况下的计算。通过理论和数值研究，我们建立了这些方法产生准最优逼近的Krylov子空间。我们的数值实验概述了测试集中所有矩阵的ROPM的收敛性，偶尔会出现峰值，但总体上具有与标准OPM相似的收敛速度。
2023-03-10 cs.NA math.NA
Convergence and quasi-optimal cost of adaptive algorithms for nonlinear operators including iterative linearization and algebraic solver
考虑一类具有强单调Lipschitz连续非线性项的二阶椭圆型边值问题。我们设计和研究其自适应数值逼近互连的有限元离散，Banach Picard线性化，和压缩线性代数求解器。我们特别确定停止标准的代数求解器，一方面不要求一个过于严格的公差，但另一方面是足够的不精确（扰动）巴拿赫-皮卡德线性化保持收缩。同样，我们确定适当的停止标准的巴拿赫-皮卡德迭代，留下的线性化误差量是无害的残余后验误差估计，以可靠地引导自适应网格细化。对于所得到的算法，我们证明了一个收缩的（双重）不精确迭代后，一些数量的网格细化/线性化/代数求解器的步骤，导致其线性收敛。此外，对于通常的网格细化规则，我们还证明了整体误差衰减的最佳速率相对于添加的元素（自由度）的数量相对于初始网格。最后，我们证明了我们的完全自适应算法驱动器的整体误差下降，具有相同的最优速率也相对于整体算法成本表示为累计总和的网格元素的数量在所有网格细化，线性化，代数求解步骤。数值实验支持这些理论研究结果，并说明了最佳的整体算法成本的完全自适应算法在几个测试用例。
2020-04-27 cs.NA math.NA
Analysis of a time-stepping discontinuous Galerkin method for fractional diffusion-wave equation with nonsmooth data
分析了求解分数扩散波问题的时步间断伽辽金方法。该方法在时间离散上采用分段常数函数，在空间离散上采用连续分段线性函数。当源项为非光滑项时，建立了关于解的正则性的近最优收敛速度，并在适当的正则性假设下导出了近最优收敛速度$ \ln(1/τ)(\sqrt{\ln(1/h)} h^2+τ)$.收敛性也建立在没有光滑假设的初始值。最后，数值实验验证了理论结果。
2019-08-24 cs.NA math.NA
On the circumradius condition for piecewise linear triangular elements
Hitotsubashi University（一桥大学）
本文讨论了三角形元素线性插值的误差分析，指出外接圆半径条件比最大角条件对有限元方法收敛性更为关键，并通过数值实验验证了该条件的最佳性。
2014-12-21 cs.NA math.NA
L2 convergence of smooth approximations of Stochastic Differential Equations with unbounded coefficients
本文针对具有无界系数的随机微分方程，结合传统随机分析与粗糙路径技术证明了其分段线性Wong-Zakai逼近的L^2收敛性，弥补了现有结果仅覆盖几乎必然收敛的不足。
2020-11-25 cs.NA math.NA math.PR
Methods toward better Multigrid Solver Convergence
研究通过调整各向异性、网格层数、预处理器平滑步数、坐标系和初始向量等条件，采用F-cycle多重网格技术求解简单泊松问题，并分析求解器性能。
2008-05-20 cs.NA math-ph math.MP
Multigrid solvers for isogeometric discretizations of the second biharmonic problem
我们开发了一个多重网格求解器的第二个双调和问题的背景下，等几何分析（IgA），我们也允许零阶项。在以前的论文中，作者已经开发了一个分析的基础上Hackbusch的框架的第一个双调和问题。这种分析只能推广到第二双调和问题，如果一个假设均匀网格。在本文中，我们证明了一个多重网格收敛估计Bramble的多重网格分析框架，没有正则性假设。我们证明了收敛速度的界与零阶项的尺度和样条次数无关。它仅线性地依赖于水平的数量，因此在数学上依赖于网格的大小。数值实验表明，所提出的多重网格方法的收敛理论和效率。
2021-12-23 cs.NA math.NA
Piecewise linear interpolation via kernels
Lappeenranta–Lahti University of Technology LUT（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；Ca’ Foscari University of Venice（威尼斯卡福斯卡里大学）；Ludwig Maximilian University of Munich（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）
本文通过核插值方法研究分段线性插值，证明其与格林核相关，并获得与经典线性样条一致的逼近速率。
2026-08-04 cs.NA math.NA
