Construction of normal numbers via pseudo-polynomial prime sequences
本文通过连接伪多项式在素数处求值的$q$元展开式构造基$q$中的正规数。这推广了Tichy和作者最近的一个结果。
2014-12-10 math.NT
Normal number constructions for Cantor series with slowly growing bases
令$Q=(q_n)_{n=1}^\infty$是具有$q_i\ge 2$的碱基序列。在$q_i$缓慢增长且满足某些附加弱条件的情况下，我们给出了一个数的构造，它的$Q$ -Cantor级数展开式是$Q$ -正态和$Q$ -分布正态的.此外，这种结构将导致一个可计算的数字，只要我们有一些额外的条件上的$Q$的可计算性，并从这个结构，我们可以提供可计算的数字结构与非典型的正常性质。
2014-09-18 math.NT
Construction of normal numbers via generalized prime power sequences
通过将素数幂的$q$-adic展开式$\lfloorαp^θ\rfloor$与$α>0$和$θ>1$连接起来，构造了基$q$中的正规数.
2013-11-21 math.NT
Computing normal integral bases of abelian number fields
设L是n次阿贝尔数域，伽罗瓦群G是G的.在本文中，我们研究如何有效地计算正规整基L，如果至少有一个，假设群G和整基L是已知的。
2017-04-02 math.NT
Construction of normal numbers with respect to Generalized Lüroth Series from equidistributed sequences
广义Lüroth级数推广了$b$ -adic表示和Lüroth级数。几乎所有的实数都是正规数，但构造一个正规数并不容易。本文给出了广义Lüroth级数（包括无穷位级数）正规数的一种新构造。我们的方法连接的任意等分布序列的扩展的开始。
2015-09-28 math.NT
Uncanny subsequence selections that generate normal numbers
给定一个实数$0.a_1a_2 a_3\dots$，它与基$b$正交，我们检查递增序列$n_i$，使得数$0.a_{n_1}a_{n_2}a_{n_3}\dots$与基$b$正交。经典上已知，如果$n_i$形成等差数列，则这将起作用。我们给出了更多的构造，包括基于数字$a_i$递归定义的$n_i$。特别感兴趣的是，我们表明，如果一个数字是正常的基础$b$，然后删除所有的数字从其扩展等于$(b-1)$离开基地- $(b-1)$扩展是正常的基础$(b-1)$。
2016-07-12 math.NT
Construction of normal numbers with respect to the $Q$-Cantor series expansion for certain $Q$
A. Renyi \cite{Renyi}在$Q$ -Cantor级数的背景下给出了简单正规性的一个推广。同样，本文给出了$Q$ -Cantor级数正规性概念的一个推广定义.我们将证明一个定理，它允许我们将具有特殊性质的数字序列连接起来，以给出某个$Q$的$Q$ -正常数的数字。然后我们将使用这个定理来构造一个Q和一个$Q$ -正规的实数$x$。
2010-09-17 math.NT
Normal ordering of degenerate integral powers of number operator and its applications
借助于第二类Stirling数，给出了数算符的整数幂的玻色子算符的正规序。作为一个“退化版本”的这一点，我们认为正常的有序退化的整数幂的玻色子运营商的数量，这是由第二类退化斯特林数的手段表示。作为这个正常的顺序的应用程序，我们推导出两个方程定义的退化斯特林数的第二类和Dobinski式的退化贝尔多项式公式。
2022-04-06 math.NT
On a question of Mendès France on normal numbers
在2008年或更早的时候，Michel Mendès France要求一个实数$x$的实例，使得$x$和$1/x$对于给定的整数基$b$都是简单正规的。通过构造一个数$x$，使得$x$及其倒数$1/x$都是连分数正规的，并且对于所有大于或等于$2$的整数基都是正规的，我们给出了一个肯定的答案.此外，$x$和$1/x$都是可计算的。
2021-08-15 math.NT
On the construction of absolutely normal numbers
给出了一个绝对正规实数$x$的构造，使得对于任何大于或等于$2$的整数$b $，序列$(b^n x \mod 1)_{n\geq 0}$的第一个$N$项的差异具有渐近阶$\mathcal{O}(N^{-1/2})$ .这低于几乎对所有实数都成立的偏差阶数。甚至存在绝对正常的数字有这样一个小的渐近阶的差异是不知道的。
2017-07-09 math.NT
Class number one criterion for some non-normal totally real cubic fields
设${\{K_m\}_{m\geq 4}}$是由不可约三次多项式$f_m(x)=x^3-mx^2-(m+1)x-1$定义的非正规全实三次数域族，其中$m$是具有$m\geq 4$的整数。本文给出了$K_m$的一个类数判定准则。
2012-12-06 math.NT
On the Hausdorff dimension of countable intersections of certain sets of normal numbers
我们证明了$Q$ -分布正态但不是简单的$Q$ -比率正态的数的集合具有完全的豪斯多夫维数。进一步证明了在一定条件下，这种形式的集合的可数交即使不是胜利集（在W. Schmidt）。因此，我们构造了许多明确的例子，这些数字是同时分布正常的，但不是简单的比例正常的某些可数家庭的基本序列。此外，我们还证明了某些相关集是获胜集或第一范畴集。
2014-04-16 math.NT
Hausdorff's forgotten proof that almost all numbers are normal
本文推广豪斯多夫1914年的证明，以最基础的方式证明了几乎所有数字都是正规数，该证明对一年级本科生可及。
2021-03-10 math.NT
Some identities involving degenerate Stirling numbers arising from normal ordering
本文给出了第一类和第二类退化Stirling数的一些恒等式和递推关系，它们是第一类和第二类普通Stirling数的退化形式.它们是由数算符的退化整幂及其逆的正规序、玻色子算符的某些关系以及Stirling数本身的递推关系导出的。这里我们注意到，虽然数算子的整数幂的正规序是借助于第二类Stirling数表示的，但数算子的退化整数幂的正规序是借助于第二类退化Stirling数表示的。
2022-04-04 math.NT
Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion
固定整数序列$Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$，使所有$n$的$q_n$都大于或等于2。本文改进了J. Galambos和F. Schweiger证明了对于满足一定条件的序列$Q$，几乎所有（在勒贝格测度意义下）$[0,1)$中的实数相对于$Q$ -Cantor级数展开是$Q$ -正规的.我们还提供了渐近描述的数字块中的$Q$ -康托级数展开的一个典型的数字的出现次数。引入了强$Q$ -正规性的概念，它满足一个类似的典型性结果.这两个概念对于$b$ -元展开是等价的，但是对于康托级数展开，强正规性比正规性更强。为了证明这一点，我们提供了一个显式的结构序列$Q$和一个实数，是$Q$ -正常的，但不是强$Q$ -正常的。我们利用本文的结果证明了在序列$Q$上的一个较弱的条件下，A. \cite{Renyi}中的Rényi将在$[0,1)$中密集。
2011-08-30 math.NT
On functions without a normal order
图兰的方法在建立正常秩序的素除子的数量是用来表明，某一类算术函数没有正常秩序。
2016-06-14 math.NT
Discrepancy bounds for normal numbers generated by necklaces in arbitrary base
莫迪凯湾莱文构造了一个基数为2的正态数$λ$，使得序列$(\left\{2^n λ\right\})_{n=0,1,2,\ldots}$与$D_N$的差异非常小。事实上，我们有$N\cdot D_N = \mathcal{O} \left(\left(\log N\right)^2\right)$。Becher和Carton推广了Levin的这种构造技术，他们通过完美嵌套项链生成了正常数，并且他们证明了对于这些正常数，与Levin的特殊例子相同的上偏差估计成立。在本文中，现在我们推导出所谓的半完美嵌套项链的上偏差界，并表明对于任意素数基$p$中的Levin正规数，该偏差的上界是最佳可能的，即，$N\cdot D_N \geq c\left(\log N\right)^2$与$c>0$，用于无穷多个$N$。这个结果推广了以前的结果，其中我们对于Levin对于基$p=2$的特殊例子确保了$N\cdot D_N =O( \left(\log N\right)^2)$在$N$中是最好的可能。Schmidt的一个著名结果证明了对$[0,1)$中的任意序列，对于无穷多个$N$，$N\cdot D_N\geq c \log N$与$c>0$是一致的.所以在这个问题中有一个$\log N$因子的差距，对于一个正常数，$N$中的差异的最佳顺序是什么。我们的结果为莱文的正常数在任何素数基地一方面可能支…
2022-11-08 math.NT
Normal numbers in sparse Cantor sets
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学自然科学学院）；CONICET（阿根廷国家科学研究委员会）
研究豪斯多夫维数为零的康托型集合中正规数，通过扩展施密特方法，证明独立非均匀分布伯努利数字诱导测度赋予奇基数下正规数全质量，并给出显式算法构造，支持相关猜想。
2026-07-09 math.NT
Cantor series constructions of sets of normal numbers
令$Q=(q_n)_{n=1}^{\infty}$是大于或等于2的整数序列。如果序列$(q_1q_2... q_n x)_{n=1}^{\infty}$是模1均匀分布的，我们说$[0,1)$中的实数$x$是{ \it $Q$ -分布正态}。在\cite{Lafer}中，P. Lafer要求为任意$Q$构造一个$Q$ -分布正态数。在对$Q$的一个较弱的条件下，构造了一个$Q$ -分布正态数集$Θ_Q$.这一套是完美的，无处密集。另外，给定$[0,1]$中的任何$α$，我们提供序列$Q$的显式示例，使得$Θ_Q$的Hausdorff维数等于$α$。在$q_n$上的一定增长条件下，我们给出了对$Θ_Q$中的每个$x$都成立的偏差估计。
2012-02-21 math.NT
Normal numbers from Steinhaus viewpoint
本文回顾了文献[0，1]中Borel σ-代数B的一个非标准构造，并利用完全非拓扑方法构造了B中的测度族（特别是勒贝格测度）.这种方法可以追溯到1923年的Steinhaus，现在用于引入正常数概念的自然推广，并探索其内在的概率性质。我们证明，在几乎所有的情况下，几乎所有的实数在[0，1]是正常的（关于这个广义的概念）。这个过程突出了[0，1]中Borel σ-代数和勒贝格测度的一些明显隐藏但有趣的特征。
2008-06-22 math.NT
A simpler normal number construction for simple Luroth series
Champernowne著名地证明了由一个接一个的所有整数连接而成的数$0.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)...$是以10为基数的正规数。我们将Champernowne的构造推广到其他各种数字系统，包括有限位数的广义Lüroth级数。对于这些系统，我们的构造简化了Madritsch和Mance最近给出的构造。一路上，我们给出了一个估计的多项式系数的总和以上的倾斜超平面在帕斯卡的单纯形，这可能是普遍感兴趣的。
2013-11-19 math.NT
On the Hausdorff dimension of the difference sets between typical and normal numbers
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Collegium Mathematicum（波兹南亚当·密茨凯维奇大学数学学院）；AGH University of Krakow, Faculty of Applied Mathematics（克拉科夫AGH科技大学应用数学学院）
该研究探讨典型数与基2正规数差集的豪斯多夫维数，证明二者差集具完全豪斯多夫维数，通过计数论证而非显式构造确定维数。
2026-08-18 math.NT
Some normal numbers generated by arithmetic functions
令$g \geq 2$。一个实数被称为g-正规的，如果它的基g展开式包含具有期望极限频率的每个有限序列。设λ表示欧拉函数，σ表示约数和函数，λ表示卡迈克尔函数。我们证明了如果f是由σ，σ或λ组成的任意函数，则由连续f值的基g位连接得到的数\[ 0. f(1) f(2) f(3) \dots \]是g-正规的.我们还证明了同样的结果，如果输入1，2，3，\dots被替换为素数2，3，5，\dots。这个证明是Copeland和Erdos在1946年引入的一种方法的改编，该方法证明了0.235711131719 \ldots的10-正规性。
2013-09-27 math.NT
The exact order of discrepancy for Levin's normal number in base 2
Mordechay Levin构造了一个数字$α$，它在基数2中是正常的，并且使得序列$\left\{2^n α\right\}_{n=0,1,2,\ldots}$具有非常小的差异$D_N$。事实上，我们有$N\cdot D_N = \mathcal{O} \left(\left(\log N\right)^2\right)$。这意味着，该$α$是正常的极高质量。在本文中，我们证明了这种估计是最好的，即，对于无穷多个$N$的$N\cdot D_N \geq c \cdot \left(\log N\right)^2$。
2022-08-25 math.NT
Number theoretic applications of a class of Cantor series fractal functions, II
众所周知，所有在基$b$中$k$阶正规的数也是小于$k$阶正规的数。另一个基本事实是，每个实数在基$b$中是正规的，当且仅当它在基$b^k$中对所有$k$都是简单正规的。这可以解释为，当且仅当所有数字块沿着每个无限等差数列以期望的相对频率出现时，一个数在基$b$中是正常的。我们重新解释这些定理的$Q$ -康托级数展开，并表明，他们不再是真的，在一个特别强的方式。本文的主要理论成果是将构造具有某些病态性质的正规数的问题归结为求解丢番图关系系统的问题。
2014-07-22 math.NT
Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part II
我们研究了非零有理乘法和有理加法如何影响$Q$ -Cantor级数展开式的正态性。特别地，我们证明了存在一个$Q$，使得满足$Q$ -正态分布但不满足$Q$ -正态分布的实数集，并且当它与有理数相乘和相加时仍具有这个性质的实数集具有全豪斯多夫维数.此外，我们给出了这样一个数字，这是明确的意义上，它是可计算的。
2014-07-15 math.NT
Normality of algebraic numbers and the Riemann zeta function
本文发现代数数正规性与Riemann zeta函数在垂直等差数列上的均值存在关联，并给出正代数无理数对基数b正规的充要条件，即上述极限为零。
2024-12-17 math.NT
Normal bases of small height in Galois number fields
Claremont McKenna College（克莱蒙特梅肯纳学院）
本文研究Galois数域中的正规基问题，证明了存在具有有界Weil高度的正规基，并在d为素数时给出了更优的界。
2026-02-09 math.NT
Normality of different orders for Cantor series expansions
设$S \subseteq \mathbb{N}$具有这样的性质：对于每个$k \in S$，集合$(S - k) \cap \mathbb{N} \setminus S$具有渐近密度$0$。证明了存在一个基本序列$Q$，其中$Q$ -正规于$S$中的所有阶，但不正规于$S$中的所有阶的数集$Q$具有全Hausdorff维数.如果函数$k \mapsto 1_S(k)$是可计算的，则存在可计算的例子。例如，存在可计算基本序列$Q$，其中所有偶数阶正规而所有奇数阶不正规的数的集合具有全Hausdorff维数。这与$b$ -元展开式有很强的相似性，在$b$-元展开式中，任何对于$k$阶正规的实数也必须对于$1$和$k-1$之间的所有阶正规。此外，我们构造的所有数字都满足一个不寻常的条件，即沿着非平凡算术级数采样的块频率不会收敛到期望值。这也与$b$元展开的情况形成强烈对比，但更类似于连分数展开的情况。作为推论，当沿着任何非平凡算术级数采样时不正常的$Q$ -正常数的集合具有全Hausdorff维数。
2016-07-25 math.NT
Distribution Of Sequences Generated By Certain Simply-Constructed Normal Numbers
1949年沃尔证明了$x = 0.d_1d_2d_3 \dots$是正态的当且仅当$(0.d_nd_{n+1}d_{n+2} \dots)_n$是均匀分布的序列。在这篇文章中，我们考虑的序列是轻微的变化。特别是，我们表明，某些正常数的形式$0.a_na_{n+1}a_{n+2} \dots$，其中$a_n$是一个序列的正整数，在一个相当自然的方式产生的序列不是均匀分布的。受Davenport和Erdés结果的启发，我们还证明了对于非常数整数多项式序列$(0.f(n)f(n+1)f(n+2) \dots)_n$不是均匀分布的。
2015-11-04 math.NT
The Hasse invariant of the Tate normal form $E_5$ and the class number of $\mathbb{Q}(\sqrt{-5l})$
证明了当$l \equiv 2,3$模$5$时，将Tate规范形$E_5$的Hasse不变量除以特征$l$的$g(x) = x^4+ax^3+(11a+2)x^2-ax+1$形式的不可约四次因子的个数是域$\mathbb{Q}(\sqrt{-5l})$的类数$h(-5l)$的简单线性函数.当$l \equiv 1, 4$模$5$时，对于$g(x)$的不可约二次因子也有类似的结果。这意味着一个公式的线性因子的数量超过$\mathbb{F}_p$的超奇异多项式$ss_p^{(5*)}(x)$对应于群$Γ_0^*(5)$。
2021-03-16 math.NT
On Simply Normal Numbers to Different Bases
设s为大于或等于2的整数。一个实数是以s为基的正规数，如果在它的以s为基的展开式中，每一个数字0，1，.，s-1以相同的频率1/s发生。设X是非完全幂的正整数的集合，因此X是集合{2，3，5，6，7，10，11，.} .设M是从X到正整数集合的函数，使得对于X中的每个s，如果m在M（s）中，则m的每个除数都在M（s）中，如果M（s）是无限的，则它等于所有正整数的集合。M上的这些条件是必要的，因为存在一个实数，它仅仅垂直于恰好的基s^m，使得s在X中，m在M（s）中。我们证明了这些条件也是充分的，并进一步证明了满足这些条件的实数集具有全豪斯多夫维数。这推广了W. M. Schmidt（1961/1962）关于不同基的正规数。
2013-11-02 math.NT
Construction of μ-normal sequences
在本文中，我们扩展Champernowne的正常数的建设提供序列是通用的一个给定的不变的概率测度，这不需要是最大的。给出了正规数关于Lüroth级数展开式、连分数展开式和$β$ -展开式的一个构造、估计和例子.
2014-10-06 math.NT
Constructions of normal numbers with infinitely many digits
本文针对任意有序概率序列L，在可数无限字母表上构造L-正规序列，并将其投影到GLS数系等仿射数系中，从而得到一类具有正规Lüroth展开的数。
2024-02-22 math.NT
On Moments of non-normal number fields
本文为非正规数域上整理想计数函数的幂和建立了渐近公式，推广了伽罗瓦及非正规三次扩张的已知结果。
2021-04-10 math.NT
Computable Absolutely Pisot Normal Numbers
本文分析了一个产生绝对正规数的位数的算法的收敛阶。此外，我们引入了一个更强的概念，绝对正规性，允许皮索数为基础，这将导致扩展与非整数基地。
2016-10-20 math.DS math.NT
Transcendence Meets Normality: Construction of Transcendentally Normal Numbers
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
该研究定义了超越正规数，证明几乎所有实数都是这类数，给出其显式构造与递归数位计算算法，扩展方法构造了符合对数迭代律偏差的LIL-正规数，并讨论相关开放问题。
2026-09-23 math.NT math.PR
On simply normal numbers with digit dependencies
本文研究基 b 展开中数字满足 Toeplitz 型依赖关系的数，利用完全加性算术函数构造出简单 Borel 正规数，并给出其正规性成立的充要条件及偏差的有效上界。
2023-05-28 math.NT
Degenerate r-Bell polynomials arising from degenerate normal odering
最近，Kim-Kim引入了退化的r-Bell多项式，并研究了由投影演算导出的一些结果。本文的目的是通过玻色子算符研究退化的r-Bell多项式和数的一些性质。特别地，我们得到了|z|中退化r-Bell多项式的生成函数的两个表达式，以及退化r-Bell数的递推关系和Dobinski式.这些都是来自退化正常有序的退化积分幂的数量运营商的玻色子运营商的退化r-Stirling数的第二类出现的系数。
2022-08-10 math.NT
Normal ordering associated with λ-Stirling numbers inλ-Shift algebra
第二类Stirling数与Weyl代数中的正规序有关，而第一类无符号Stirling数与移位代数中的正规序有关。Kim-Kim引入了第一类无符号Stirling数和第一类r-Stirling数的λ-模拟。本文引入了移位代数的λ-模拟（称为λ-移位代数），并研究了λ-移位代数中的正规序.从λ-移位代数的正规序出发，得到了第一类无符号Stirling数的λ-模拟的一些恒等式.
2023-02-20 math.CO math.NT
On the Borel complexity of continued fraction normal, absolutely abnormal numbers
我们证明了连分数展开式的正态性和基- $b$展开式的正态性是最大的逻辑分离的。特别地，对于固定的$b\ge 2$，相对于连分数展开正规但不是基$b$正规的数的集合是$D_2(\boldsymbolΠ_3^0)$ -完全的.此外，相对于连分数展开正规但不正规于\emph{any}基- $b$展开的数的集合是$D_2(\boldsymbolΠ_3^0)$ -hard的，证实了存在不可数的许多这样的数，这在以前只在假设广义黎曼假设的情况下才知道。通过改变证明方法，我们还能够证明基- $2$正规数、基- $3$非正规数的集合也是$D_2(\boldsymbolΠ_3^0)$ -完备的。我们还证明了关于分母固定的分数的连分数展开式的正规性的一个辅助结果。
2021-11-22 math.LO math.NT
Absolutely Abnormal Numbers
尽管事实上几乎所有的实数都是绝对正规的--也就是说，在它们展开到任何基数时的数字以预期的频率出现在所有可能的配置中--但没有一个绝对正规数的具体例子是已知的。在这篇笔记中，我们研究了相反的极端，即对任何无基都正常的数，并且我们成功地写出了这样一个数。
2000-11-17 math.NT
Abelian-normal decimal expansions
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
本文引入阿贝尔-正则数的概念，构造了一个非正常类比Champernowne常数$D_{10}$，并证明其在特定加权函数下的阿贝尔-正则性，同时提出两个开放性问题。
2026-08-24 math.CO math.NT
On the continued fraction expansion of absolutely normal numbers
我们构造了一个绝对正规数，它的连分数展开式是正规的，因为它包含了所有具有Gauss-Kuzmin测度给出的期望渐近频率的部分同分向量的有限模式.该结构是基于谢尔宾斯基的思想，并使用混合随机变量和的大偏差定理。
2017-01-27 math.DS math.NT
Super-Dense Sets and Their Role in the Theory of Normal Numbers
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
本文引入并研究了实数集上的新拓扑大小概念——超密度，证明超密集集与余来测集等价，并探讨了其在正常数理论中的应用，证明非正常数集为超密集集而正常数集不是，且构造了将正常数映射到非正常数的函数。
2026-04-22 math.GN math.NT
Concatenated Fibonacci and Lucas numbers do not form normal numbers
这份手稿已经被撤回，因为它有一个致命的缺陷，这是由于对科普兰-鄂尔多斯定理的误解造成的。
2011-09-21 math.NT math.PR
Insertion in constructed normal numbers
由Borel定义，一个实数是正规的整数基$b$，大于或等于$2$，如果在它的基- $b$扩展的每一个数字块出现相同的限制频率作为每一个其他块的相同长度。我们考虑在构造的基- $b$正规展开式中的插入问题，以获得基$(b+1)$的正规性.
2021-11-13 cs.DM math.CO math.NT
Normal numbers with given limits of multiple ergodic averages
我们对空间$\{0,1\}^\mathbb{N}$中的正规序列的集合感兴趣，其中模式$11$在位置$k, 2k$上具有给定的频率。确定了这类集合的拓扑熵。
2020-07-15 math.DS math.NT
Generalized degenerate stirling numbers arising from degenerate boson normal ordering
本文针对退化玻色子正规序衍生的广义退化第二类(r,s)-斯特林数及对应贝尔多项式展开研究，推导其性质、显式表达式与生成函数，明确其为已有相关概念的退化形式。
2023-05-07 math.CO math.NT
The Brauer-Siegel and Tsfasman-Vladut Theorems for Almost Normal Extensions of Number Fields
经典的Brauer-Siegel定理指出，如果$k$贯穿$\mathbb{Q}$的正规扩张序列，使得$n_k/\log|D_k|\to 0,$，则$\log h_k R_k/\log \sqrt{|D_k|}\to 1.$首先，本文将Brauer-Siegel定理和Tsfasman-Vlaughman定理推广到几乎正规数域的情形.其次，使用Hajir和Maire的方法，我们构造了几个关于渐近好的数域塔中的Brauer-Siegel比的新例子。这些例子给出的Brauer-Siegel比的值比Tsfasman和Vllaughduduelman给出的值小
2004-11-04 math.AG math.NT
On absolutely normal numbers and their discrepancy estimate
我们构造了一个绝对正规实数$x$的基$2$展开式，使得对于每一个大于或等于$2$的整数$b$，序列$(b^0 x, b^1 x, b^2 x , \ldots)$模$1$的差异基本上与几乎所有实数所实现的差异相同.
2017-07-11 cs.OH math.NT
Normal numbers and normality measure
为了描述有限二元序列的伪随机性，Mauduit和S{á}rk{<$}zy引入了正态性测度$\mathcal{N}$。Alon，Kohayakawa，Mauduit，Moreira和R{<$}dl证明了$N$ -元二元序列的正态性测度的最小可能值满足$$ (1/2 + o(1)) \log_2 N \leq \min_{E_N \in \{0,1\}^N} \mathcal{N}(E_N) \leq 3 N^{1/3} (\log N)^{2/3} $$对于足够大的$N$。本文对常数$c$，将上界改进为$c (\log N)^2$，解决了正态性测度极小值的渐近阶问题，并证明了Alon \emph{et al.}的一个猜想.证明的基础上有关的正规性措施的二进制序列的正常数在基地2的差异。
2013-02-08 cs.DM math.CO math.NT
M. Levin's construction of absolutely normal numbers with very low discrepancy
在目前已知的绝对正规数的构造中，Mordechay Levin在1979年给出的构造达到了最低的偏差界。在这项工作中，我们分析这种结构的可计算性和计算复杂性。我们表明，在基本假设下，它产生一个可计算的实数。该构造没有明确给出分数展开式的位数，但它给出了一个递增逼近序列，其极限是所宣布的绝对正规数。第$n$次近似的误差小于$2^{2^{-n}}$。为了获得$n$次近似，在最坏的情况下，构造需要在$n$中为双指数的多个数学运算。我们考虑的变体的建设，降低了计算复杂性的差异增量为代价。
2015-10-02 cs.DS math.NT
On normal numbers and self-similar measures
本文证明了：若$\{φ_i(x)=λx+t_i\}$是等压缩迭代函数系，且$b$是满足$\frac{\log b}{\log |λ|}\notin\mathbb{Q},$的正整数，则对$\{φ_i\}$的任意非原子自相似测度，几乎所有$x$在基$b$中正规.
2021-11-22 math.CA math.DS math.NT
