Homogenization of non-convex integral energies with Orlicz growth via periodic unfolding
该研究将周期展开法推广至Orlicz框架，证明了Orlicz-Sobolev框架下向量值构型上非凸积分能量的均匀化结论。
2024-06-23 math.AP
A Global div-curl-Lemma for Mixed Boundary Conditions in Weak Lipschitz Domains
我们证明了一个全球版本的所谓的div-curl-引理，补偿紧性和均匀化理论的一个重要结果，混合切向和正常的边界条件在有界弱Lipschitz域在3D和弱Lipschitz接口。关键的工具和我们的论点的核心是德拉姆复杂和韦克的选择定理，麦克斯韦方程组的基本紧凑嵌入结果。
2018-12-15 math.AP
Homogenization of equi-coercive nonlinear energies defined on vector-valued functions, with non-uniformly bounded coefficients
本文研究了$W_)^{1,p}(Ω)^M$中定义在向量值函数上的非线性泛函的等强制序列$\{\mathcal{F}_n\}$的渐近性，其中$p>1$，$M\ge1$，$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\ge2$的有界开集.泛函$\{\mathcal{F}_n\}$的强局部能量密度$F_n({\cdot}, Du)$满足关于第二个变量的Lipschitz条件，该第二个变量由仅在某个适当的空间$L^r(Ω)$中有界的正序列$\{a_n\}$控制。证明了序列$\{\mathcal{F}_n\}$ $Γ$ -对于$L^p(Ω)^M$的强拓扑收敛于一个泛函$\mathcal{F}$，它对于充分正则的函数$u$具有强局部密度$F({\cdot}, Du)$.这个紧性结果扩展了以前的结果的主题，这是基于最大原理参数的非线性标量的情况下，或适应div-curl引理的线性情况下。在这里，矢量字符和非线性的问题需要一个新的方法的基础上仔细分析的渐近极小与功能$\mathcal{F}_n$。施加到能量密度$F_n({\cdot}, Du)$的条件的相关性，说明了几个例子，包括一些经典的超弹性能量。
2016-09-19 math.AP
Donati representation theorem for periodic functions in relation to homogenization theory
本文讨论了周期函数的性质，重点讨论了具有周期边界条件的偏微分方程（系统），称为“细胞问题”。这些细胞的问题自然产生的渐近研究偏微分方程的快速振荡系数，这项研究被称为“均匀化理论”。我们相信，本文件可能会揭示一个新的光知名的概念，例如通过显示隐藏的联系之间的格林公式，div-curl引理和多纳蒂的表示定理。我们的状态和证明三个扩展的Donati定理适应的周期性框架，超越自己的重要性，是必不可少的理解细胞问题的变分制剂应变，应力和位移。第四节对函数的迹的性质及其与函数周期性的关系进行了研究。
2023-01-30 math.AP
Two-parametric error estimates in homogenization of second order elliptic systems in $\mathbb{R}^d$ including lower order terms
在$L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$中，我们考虑一个自伴算子${\mathcal B}_\varepsilon$，$0< \varepsilon \leqslant 1$，由微分表达式$b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D}) + \sum_{j=1}^d (a_j({\mathbf x}/\varepsilon) D_j +D_j a_j({\mathbf x}/\varepsilon)^*) + Q({\mathbf x}/\varepsilon)$给出，其中$b({\mathbf D}) = \sum_{l=1}^d b_l D_l$是一阶微分算子，$g, a_j, Q$是${\mathbb R}^d$中关于某个格$Γ$周期的矩阵值函数。假设$g$是有界正定的，而$a_j$和$Q$一般是无界的。研究了广义预解式$({\mathcal B}_\varepsilon - ζQ_0({\mathbf x}/\varepsilon))^{-1}$，其中$Q_0$是$Γ$ -周期有界正定矩阵值函数，$ζ$是复值参数.在$(L_2 \to L_2)$ -和$(L_2 \to H^1)$ -规范的两个参数的误差估计（相对于参数$\varepsilon$和$ζ$）的广义预解式的近似。
2015-09-06 math.AP
Periodic unfolding and homogenization for the Ginzburg-Landau Equation
在$\R^2$的有界区域$Ω$上，研究了一类由两个参数驱动的Ginzburg-Landau方程解$u_{\varepsilon,δ}$的渐近性态：通常的Ginzburg-Landau参数，记为$\varepsilon$，以及由$2\times 2$正定矩阵$x\to A(\frac{x}δ)$构成的域的尺度参数$δ$.字段$\R^2\ni x\to A(x)$属于$W^{2,\infty}$类并且是周期性的。我们表明，对于一个适当的选择的$\varepsilon$的依赖于$δ$，存在一个极限配置$u_\infty\in H^1_g(Ω,S^1)$，这是一个有限的奇点集，是一个弱解的方程的$S^1$值调和函数的几何有关的通常的均匀化矩阵$A^0$。
2009-04-11 math.AP
A Global div-curl-Lemma for Mixed Boundary Conditions in Weak Lipschitz Domains and a Corresponding Generalized $\mathrm{A}_{0}^{*}$-$\mathrm{A}_{1}$-Lemma in Hilbert Spaces
我们证明了所谓的div-curl-lemma，在偏微分方程的均匀化理论中的一个重要结果，为混合边界条件有界弱Lipschitz域在3D弱Lipschitz接口的整体和局部版本。我们将推广我们的结果使用一个抽象的希尔伯特空间设置，这表明相应的结果，以保持在任意维以及各种微分算子。关键的工具和我们的论点的核心是希尔伯特复形和相关的紧嵌入。
2018-12-11 math-ph math.AP math.FA
Error estimate of the second-order homogenization for divergence-type nonlinear elliptic equation
针对具有快速振荡系数的二阶非线性椭圆型方程，给出了二阶双尺度展开式、基于平移不变量的校正子正则性的统一证明以及从余项中提取$O(ε)$的引理.如果数据足够光滑，则$L^\infty$中的零阶（或能量）、Hölder范数中的一阶、（线性周期情况）最大范数中的二阶（甚至一阶）梯度（或通量）的误差都是局部的$O(ε)$。它可以用于抛物方程。
2011-08-25 math-ph math.AP math.MP
Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: Two-parametric error estimates
设$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$是类$C^{1,1}$的有界域.在$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$中，我们研究了一类自伴矩阵椭圆型二阶微分算子$B_{D,\varepsilon}$，$0<\varepsilon\leqslant 1$.该算子的主要部分以因子分解的形式给出。该算子涉及系数无界的低阶项。$B_{D,\varepsilon}$的系数是周期性的，并且取决于$\mathbf{x}/\varepsilon$。研究了广义预解式$\left(B_{D,\varepsilon}-ζQ_0(\cdot/\varepsilon)\right)^{-1}$，其中$Q_0$是周期有界正定矩阵值函数，$ζ$是复值参数。我们得到近似的广义预解的$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ -运营商规范和规范的运营商从$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$的Sobolev空间$H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$，与两个参数的误差估计（取决于$\varepsilon$和$ζ$）。
2017-06-16 math.AP
Homogenization of nonstationary periodic Maxwell system in the case of constant permeability
在$L_2({\mathbb R}^3;{\mathbb C}^3)$中，我们考虑了由微分表达式$μ_0^{-1/2}\operatorname{curl} η(\mathbf{x}/\varepsilon)^{-1} \operatorname{curl} μ_0^{-1/2} - μ_0^{1/2}\nabla ν(\mathbf{x}/\varepsilon) \operatorname{div} μ_0^{1/2}$给出的自伴算子${\mathcal L}_\varepsilon$，$\varepsilon >0$，其中$μ_0$是常正定矩阵，矩阵值函数$η(\mathbf{x})$和实值函数$ν(\mathbf{x})$关于某个格是周期的，正定的和有界的.我们研究了算子值函数$\cos (τ{\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$和${\mathcal L}_\varepsilon^{-1/2} \sin (τ{\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$对于$τ\in {\mathbb R}$和小$\varepsilon$的行为。结果表明，这些算子收敛于算子${\mathcal L}^0$在Sobolev空间$H^s$（具有适当的$s$）到$L_2$的算子范数下的相应算子值函数.这里${\mathcal L}^0$是具有常系数的…
2020-08-07 math-ph math.AP math.MP
A drift homogenization problem revisited
本文重新讨论了L. Tartar与受漂移扰动的三维斯托克斯方程有关（与科里奥利力有关）。在这里，一个标量方程和二维斯托克斯方程与$L^2$有界振荡漂移被认为是。在较高的可积性条件下，基于振荡检验函数方法的Tartar方法适用并导致具有额外零阶项的极限方程。当漂移仅假设在$L^2$中等积时，得到了相同的极限行为。然而，缺乏可积性使得难以直接使用Tartar方法。提出了一种基于均匀化理论的新方法。它是基于一个参数的拉普拉斯算子允许写的解决方案的方程作为一个解决方案的一个不动点问题，并使用截断函数，即使在向量值的情况下。另一方面，引入不同齐次零阶项的两个反例实际上表明了等可积性假设的最优性。
2010-06-16 math.AP
Homogenization of high-contrast two-phase conductivities perturbed by a magnetic field. Comparison between dimension two and dimension three
均匀化的法律序列的高对比度的两相非对称电导率由一个参数$h$扰动推导出在二维和三维。参数$h$表征了存在磁场时导体理想化模型的电导率的反对称部分。在二维的扩展的Dykhne变换的非周期性的高电导率允许证明，均匀化的电导率取决于$h$通过一些均匀化的矩阵值函数在磁场的情况下获得。由于另一种方法，这一结果在周期性框架中得到了改善，并通过十字形薄结构来说明。使用其他工具，三维的纤维增强介质提供了完全不同的均匀导电性。
2011-12-19 math.AP
Cell averaging two-scale convergence: Applications to periodic homogenization
本文的目的是引入另一种双尺度收敛的概念，它为具有周期振荡系数的偏微分方程的均匀化提供了一种更自然的建模方法：在消除检验函数的可容许性的麻烦的同时，它简化了所有标准紧性结果的证明，这使得经典的双尺度收敛非常值得关注：证明了$L^2_{\sharp}[Y,L^2(Ω)]$和$L^2_{\sharp}[Y,H^1(Ω)]$中的有界序列相对于这种新类型的收敛是相对紧凑的。突出的优势的概念上的经典均匀化问题的线性二阶椭圆型方程的一阶边界校正型结果也建立。最后，在一个非线性问题上指出了该方法可能存在的缺陷：$\mathbb{S}^2$值平稳调和映射的弱二尺度紧性结果。
2016-07-19 cond-mat.mtrl-sci math.AP
High frequency homogenization for travelling waves in periodic media
我们考虑几个不同方程的行波在周期性介质中的高频均匀化：标量值波的波动方程，如声学;矢量值波的波动方程，如电磁和弹性;和一个系统，包括薛定谔方程。当波长是中等周期性单元的大小的量级时，这种均匀化适用。行波被假定为两个波的和：具有晶体波矢量$\Bk$和频率$ω_1$的调制布洛赫载波加上具有晶体波矢量$\Bm$和频率$ω_2$的调制布洛赫载波。我们推导了调制函数的有效方程，并证明了在标量和系统两种情况下，两种不同的波之间的有效方程中没有耦合。为了更准确地说，我们证明，没有耦合，除非$ω_1=ω_2$和$(\Bk-\Bm)\odotΛ\in 2π\mathbb Z^d,$其中$Λ=(λ_1λ_2\dotsλ_d)$是周期性细胞的介质和任何两个矢量$a=(a_1,a_2,\dots,a_d), b=(b_1,b_2,\dots,b_d)\in\mathbb R^d,$的产品$a\odot b$被定义为矢量$(a_1b_1,a_2b_2,\dots,a_db_d).$这最后一个条件迫使载波是等效布洛赫波，这意味着在系统的有效方程的耦合常数消失。我们使用双尺度分析和一些新的弱收敛型引理。分析是不是在同一水平的严格的Allaire和同事谁使用两个尺度收敛理论来处理这个问题，但具有简单的优点，这将使它很容易扩展到的情况下，有退化的布洛赫特征值。
2016-06-24 math.AP
On the existence of extensions for manifold-valued Sobolev maps on perforated domains
针对穿孔域上的流形值Sobolev函数，结合经典扩展结果与基于流形拓扑的收缩论证构造扩展，并探讨其与迹算子满射性的关联，为扩展存在性提供必要条件。
2025-08-06 math.AP
Emergence of a convex strange term via homogenization of non-local energies at the critical exponent
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；Scuola Superiore Meridionale（南方高等学院）
本文在临界指数下推导周期穿孔域上非局部能量的Γ-极限，证明尺度分离，并发现奇异项能量密度具有凸性，该结论适用于向量值情形。
2026-09-11 math.AP math.OC
A new div-curl result. Applications to the homogenization of elliptic systems and to the weak continuity of the Jacobian
本文在$\mathbb{R}^N$的开集$Ω$（$N\geq 2$）中，对分别在$L^p(Ω)^N$和$L^q(Ω)^N$中有界的两列向量值函数与${1/p}+{1/q}=1+{1/(N-1)}$的乘积，建立了一个新的div-curl结果.我们还假设乘积在$W^{-1,1}(Ω)$中弱收敛。证明的关键成分是一个紧凑的结果，有界序列在$W^{1,q}(Ω)$，基于嵌入$W^{1,q}(S\_{N-1})$到$L^{p'}(S\_{N-1})$（$S\_{N-1}$单位球的$\mathbb{R}^N$）通过适当选择的环上的梯度不是太高，在德乔治和曼弗雷迪的精神。将div-curl结果应用于等矫顽系统的均匀化，如果$N\textgreater{}2$，则对于某些$ρ\textgreater{}{N-1\over 2}$，其系数在$L^ρ(Ω)$中等有界，如果$N=2$，则在$L^1(Ω)$中等有界.它还允许我们证明一个弱连续性结果的雅可比矩阵的有界序列在$W^{1,N-1}(Ω)$满足一个替代假设的$L^\infty$强估计Brezis和阮。两个例子显示了结果的清晰度。
2015-01-09 math.AP
Homogenization of a generalized Stefan Problem in the context of ergodic algebras
我们解决的确定性均匀化，遍历代数的一般情况下，一个双重非线性问题，推广了著名的Stefan模型，并包括经典的多孔介质方程。它可以表示为微分包含，对于实值函数$u(x,t)$，$$ \frac{\partial}{\partial t}\partial_u Ψ(x/\ve,x,u)-\nabla_x\cdot \nabla_ηψ( x/\ve,x,t,u,\nabla u) \ni f(x/\ve,x,t, u), $$在有界域$\Om\subset \R^n$，$t\in(0,T)$上，连同初始边界条件，其中$Ψ(z,x,\cdot)$是严格凸的，$ψ(z,x,t,u,\cdot)$是$C^1$凸函数，两者都具有二次增长，满足一些附加的技术假设。作为振荡变量的函数，$Ψ(\cdot,x,u),ψ(\cdot,x,t,u,η)$和$f(\cdot,x,t,u)$属于与任意遍历代数$Å$相关联的广义Besicovitch空间$\BB^2$。Visintin（2007）基于双尺度收敛技术解决了周期性情况。Visintin的分析周期性的情况下，在很大程度上依赖于减少两个规模的收敛到通常的$L^2$收敛在carnival产品$Π\X\R^n$，其中$Π$是周期性的细胞的可能性。这种简化在一般遍历代数的情况下不再可能。为了克服这个困难，我们必须使用的概念，两个规模的杨措施代数的平均值，与有界序…
2013-05-17 math.AP
A Directional Lipschitz Extension Lemma, with Applications to Uniqueness and Lagrangianity for the Continuity Equation
我们证明了一个Lipschitz扩张引理，其中的扩张过程同时保持Lipschitz连续两个非等价的距离。所考虑的两个距离是欧几里得距离，粗略地说，是沿着连续向量场的（可能是多值的）流的积分曲线的测地线距离。扩张的测地距离的Lipschitz常数可以根据原函数的测地距离的Lipschitz常数来估计。这个Lipschitz扩展引理允许我们在索伯列夫空间$W^{1,p}$中的向量场的情况下，在与向量场相关的所谓“向前-向后积分曲线“对于几乎每个起始点都是平凡的假设下，去除关于连续方程的DiPerna-Lions理论中的唯一性所需的解的高可积性假设，其中$p$大于空间维度。更准确地说，对于这样的向量场，我们证明了连续性方程的局部可积的弱解的唯一性和拉格朗日性。
2021-01-26 math.AP
Transverse Singularities of Minimal Two-Valued Graphs in Arbitrary Codimension
证明了n维极小二值Lipschitz图的一些正则性结果。主要定理包含了切锥的唯一性和奇异集在至少一个切锥等于一对相交的多重n维平面的任一点的邻域中的正则性，并且在至少一个切锥等于四个不同的多重n维半平面的并集的任何点的邻域中，所述四个不同的多重n维半平面沿着（n-1）-维度轴关键成分是一个新的过剩改进引理通过爆破方法获得（灵感来自L。Simon关于极小子流形的“重一”类的奇性），并且可以无条件迭代。我们还证明了沿（n-1）或（n-2）维子空间具有平移不变的n维极小二值Lipschitz图的任何切锥确实是上述两种形式之一的锥，这产生了奇异集的全局分解结果
2016-09-06 math.AP math.DG
Kirchhoff equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical nonlinearity
我们考虑下面的Kirchhoff-Choquard方程\[ -M(\|\na u\|_{L^2}^{2})\De u = \la f(x)|u|^{q-2}u+ \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2^*_μ-2}u \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \text{ on } \pa \Om , \]其中$\Om$是$\mathbb{R}^N( N\geq 3)$中具有$C^2$边界的有界区域，$2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$，$1<q\leq 2$，并且$f$是连续实值变号函数.当$1<q< 2$时，利用Nehari流形方法和集中紧性引理，证明了上述问题正解的存在性和多解性.利用山路引理证明了当$q=2$时正解的存在性.
2019-01-31 math.AP
Geometric Rigidity Estimates for Incompatible Fields in Dimension $\ge$ 3
证明了维度大于2的不相容场的几何刚性不等式。我们能够得到强的标度不变的$L^p$估计在超临界状态，而临界指数$1^* = \frac{n}{n-1}$，我们有一个标度不变的不等式只有弱$L^1$规范。虽然不是最优的，这样的估计在$L^{1 ,\infty}$是足够的，以推断出一个有用的引理，给出了$BV$界的$SO(n)$值字段与有界卷曲。
2017-03-09 math.AP math.FA
